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【决战期中·50道填空题专练】北师大版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，A.B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 　个.
2．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为　 　
3．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25%，则∠2的度数为　 　
4．若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为　 　.
5．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是　 　（填序号）
6．下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是　 　（填序号）
7．如图，上午9时，一艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B两点观望灯塔C，测得，则从B处到灯塔C的距离为 　 　 海里．
8．如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是　 　.
9．华润超市从某商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于市场行情影响，导致该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打　 　折.
10．如图，在中，，，是的平分线，.若，分别是和上的动点，则的最小值是　 　.
11．小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为　 　（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为　 　．
12．如图，、分别为的中线和高，，已知，，则的面积为　 　．
13．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
14．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是　 　
15．如图，点P是 ∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离等于　 　；
16．无理数的小数部分是　 　．
17．如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是　 　．
18．如图，是边上的两点，且，则的度数为　 　．
19．如图，点D在上，．若，则　 　．
20．若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是　 　.
21．如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是：　 　．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠ABD＝　 　°．
23．如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　（填序号）．
24．如图，在四边形中，是四边形的对角线，，过点C作于点E，，若的长度比的长度多3，则的长为　 　．
25．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　 　．
26．数轴上点A表示的数是-1，将A点向左平移2个单位，再向右平移5个单位得到点B，则点B表示的数是　 　．
27． 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为　 　.
28．如图，在等边△ABC中，P是△ABC的三条角平分线AP，BP，CP 的交点，若△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为　 　.
29．点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是　 　
30．如图等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　．
31．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的度数为　 　.
32．如果关于x的不等式组的解集为x<3，那么m的取值范围为　 　.
33．如图，，平分，连接，交于点P．若，，则　 　．
34． 如图，直线y= kx+b 与直线y=-3x相交于点A(m，6)，则关于x 的不等式kx+b>-3x 的解是　 　.
35． 如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(2，0)，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是　 　.
36．如图，在，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，则的度数是　 　．
37．实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为　 　．
38．如图是由线段，，，，组成的图形，已知，，则的度数是　 　．
39．如图，在中，D是BC延长线上一点，，，则的余角是　 　.
40．如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是　 　.
41．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连结，设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则　 　秒．
42．如图，在中，是AC边上一点，且，连结BD并延长至点，使，连结AE，若，则　 　，　 　.
43．如图，在△ABC中，∠C=2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　 　
44．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠BCF的度数为　 　.
45． 已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 　 　．
46．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：　 　；(只填写序号)
47．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号）
48．如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为（1，1）和（3，1），规定将等边三角形ABC先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为　 　．
49．如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
50．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为　 　．
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【决战期中·50道填空题专练】北师大版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，A.B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 　个.
【答案】9
【解析】【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.
所以符合条件的点C共有9个.
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边.
2．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为　 　
【答案】（3，-2）
【解析】【解答】解：过点P、P'作x轴、y轴的垂线，如图所示：
∵将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，
∴∠BOA=∠POP'=90°，
∴∠BOP'=∠POA，
∴OP'=PO，∠OBP'=∠OAP=90°，
∴△P'BO≌△PAO（AAS），
∴AO=BO=2，PA=BP'=3，
∴P'的坐标为（3，-2），
故答案为：（3，-2）
【分析】过点P、P'作x轴、y轴的垂线，先根据旋转的性质得到∠BOA=∠POP'=90°，进而结合题意得到OP'=PO，∠OBP'=∠OAP=90°，再根据三角形全等的判定与性质证明△P'BO≌△PAO（AAS）即可得到AO=BO=2，PA=BP'=3，然后结合点的坐标即可求解。
3．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25%，则∠2的度数为　 　
【答案】70°
【解析】【解答】解：设AB与直线n交于点E，如图：
则∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°．
又∵直线m∥n，
∴∠2=∠AED=70°；
故答案为：70°.
【分析】先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠AED=70°，再根据两直线平行，内错角相等即可求解.
4．若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】7
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
360°=（n-2）×180°-540°，
解之：n=7.
故答案为：7.
【分析】利用n边形的内角和公式（n-2）×180°及已知一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
5．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是　 　（填序号）
【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①符合题意；
在△DMP和△ACM中
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠DMP=∠AMC
∴∠DPA=∠DCA=60°，故②符合题意；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴AM=DN
又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，
则∠AMC＞∠ACM，
∴AC＞AM
∴AC＞DN，故③不符合题意；
由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN
又△ACE≌△DCB
∴AE=DB
∴EM=BN，故④符合题意；
∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，故⑤符合题意．
故答案为：①②④⑤
【分析】①由等边三角形的性质可得∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD，BC=CE，利用邻补角可求出∠ACE=∠DCB=120°，根据SAS证明△ACE≌△DCB，故正确；②由△ACE≌△DCB可得∠BDC=∠EAC，由对顶角相等∠DMP=∠AMC，利用三角形内角和得出∠DPA=∠DCA=60°，故正确；③证明△ACM≌△DCN（ASA），可得AM=DN，根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，即得∠AMC＞∠ACM，在同一个三角形中由大角对大边可得AC＞AM，即得AC＞DN，故错误；④由△ACM≌△DCN可得AM=DN，由△ACE≌△DCB 可得AE=DB，即得EM=BN；⑤求出∠DCE=∠BEC=60°，可证CD∥BE，故正确.
6．下列四个说法中：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于的三角形是等边三角形；③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 其中不正确的是　 　（填序号）
【答案】④
【解析】【解答】解：①三个角都相等的三角形是等边三角形，正确，不符合题意；
②有两个角等于的三角形是等边三角形；正确，不符合题意；
③有一个角是的等腰三角形是等边三角形；正确，不符合题意；
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形. 不正确，符合题意；
故答案为：④．
【分析】根据等边三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．如图，上午9时，一艘船从A处出发，以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B两点观望灯塔C，测得，则从B处到灯塔C的距离为 　 　 海里．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：60.
【分析】根据三角形外角的性质计算出∠BCA的度数，进而根据"等角对等边"即可求解.
8．如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是　 　.
【答案】50°
【解析】【解答】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°.
故答案为：50°.
【分析】根据题意可得DE⊥AC，∠CAD=25°，由余角的性质可得∠ADE=65°，根据旋转的性质可得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠B=65°，然后根据内角和定理进行计算.
9．华润超市从某商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于市场行情影响，导致该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打　 　折.
【答案】七
【解析】【解答】解：设该商品打x折销售，
由题意得： 1200×-800≥800×5%，
解得：x≥7，
∴ 至多可打7折；
故答案为：七.
【分析】设该商品打x折销售，由利润=标价×折扣-进价=进价×利润率，根据“ 利润率不低于5% ”列出不等式并解之即可.
10．如图，在中，，，是的平分线，.若，分别是和上的动点，则的最小值是　 　.
【答案】4.8
【解析】【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点E，连接PE，过点C作CF⊥AB于点F
∵AB=AC，是的平分线
∴AD⊥BC，△ABC关于直线AD对称，
∵点Q、点E关于AD对称
∴PQ=PE
∴PC+PQ=PC+PE≥CF
当C、P、E三点共线且与CF重合时，PC+PQ取得最小值，且最小值为线段CF的长
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵
∴
即PC+PQ的最小值为4.8.
故答案为：4.8.
【分析】作点Q关于AD的对称点E，连接PE，过点C作CF⊥AB于点F，由等腰三角形的性质可得
AD⊥BC，△ABC关于直线AD对称，BD=CD=3，根据轴对称的性质可得PQ=PE，则PC+PQ=PC+PE≥CF，故当C、P、E三点共线且与CF重合时，PC+PQ取得最小值，且最小值为线段CF的长，利用勾股定理可得AD，根据等面积法可得CF，据此解答.
11．小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为　 　（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为　 　．
【答案】；17
【解析】【解答】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：，
不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，
由题意得，
解得，
所以排队人数m的最小值为17，
故答案为：；17．
【分析】（1）根据“甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐”用甲的人数m减去6×2+4×2，再除以6，再根据“乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）”，用m减去4人，然后再除以6，结果时间相等，据此即可建立方程：
（2）乙窗口的取餐速度为6人/分钟，用m减去4人，然后再除以6人/分钟，求出小明在乙窗口取餐的时间；甲窗口的取餐速度为4人/分钟，用m减去4乘以2人，然后再除以4人/分钟，求出小明在甲窗口排队取餐的时间，最后再根据“小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少”，建立不等式：，最后再进行求解即可
12．如图，、分别为的中线和高，，已知，，则的面积为　 　．
【答案】15
【解析】【解答】解：∵为的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积，
∵为的中线，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：15．
【分析】先根据等腰三角形的性质可求出的长，再求出的面积，然后利用等底同高的三角形面积相等求出的面积，再求出的面积．
13．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
【答案】32
【解析】【解答】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【分析】
设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可．
14．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是　 　
【答案】-3
【解析】【解答】由，
解得：a≤x<3，
∵不等式组的整数解共有5个，
则其整数解为：-2，-1，0，1，2，
∴-3故答案为-3【分析】先解出不等式组的解集a≤x<3，再将结合不等式组的整数解共有5个，可得-315．如图，点P是 ∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离等于　 　；
【答案】3
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥OB于D，
∵点P为∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，PC=3，
∴PD=PC=3，
即点P到OA的距离为3
故答案为：3
【分析】过点P作PD⊥OB于D，由点P为∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，PC=3，得出PD=PC=3，即可得出答案。
16．无理数的小数部分是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的小数部分是，
故答案为：．
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5<<6，然后计算出-2的范围，进而可得其小数部分.
17．如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD是的两条中线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，
故答案为：6
【分析】连接PC，P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6。
18．如图，是边上的两点，且，则的度数为　 　．
【答案】120°
【解析】【解答】解：，
∴是等边三角形，，
，
∵，，
，
，
故答案为：120°．
【分析】根据等边三角形的判定以及等腰三角形“等边对等角”性质得是等边三角形，，从而得，进而结合三角形外角的性质求出，最后根据角的和差关系即可求出的度数 .
19．如图，点D在上，．若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可.
20．若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是　 　.
【答案】19cm
【解析】【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当8cm是腰时，周长=8+8+3=19cm.
故它的周长为19cm.
故答案是：19cm.
【分析】分3cm为腰长、8cm为腰长，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而可求出周长.
21．如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是：　 　．
【答案】到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【解析】【解答】解：由作图可知BC=BD，AC=AD，
可知点A、B两点都在线段CD的垂直平分线上，（到线段两端点C、D距离相等的点在线段CD的垂直平分线上）
故答案为： 到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上．
【分析】由同一圆上半径处处相等可知BD等于BC，AD等于AC，再结合“线段垂直平分线的判定“易知，点B和点A都在线段CD的垂直平分线上。
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠ABD＝　 　°．
【答案】32.5
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=
65°，
又BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=32.5°．
故答案为：32.5．
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用角平分线的性质可得∠ABD=32.5°。
23．如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　（填序号）．
【答案】①③④
【解析】【解答】∵是高线，，
∴，又，
∴（同角的余角相等），故①正确；
由平分知，，
由是高线知，，
∴，
即，故②错误；
，故③正确；
∵，∴
故④正确．
因此正确的选项有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】由高线的定义及对顶角相等可的，故①正确；由平分及三角形内角和定理可知，，由是高线知，，，即，故②错误；根据三角形外角的性质可得
，故③正确；根据“AAS”可证，则，
故④正确．
24．如图，在四边形中，是四边形的对角线，，过点C作于点E，，若的长度比的长度多3，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：在上截取，连接，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵AB的长度比CD的长度多3，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质.在上截取，连接，则垂直平分，利用垂直平分线的性质可推出：，利用角的运算可推出，根据等角对等边可推出：，过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，，利用、直角三角形的性质可推出：AM=CN，再利用三角形外角性质推出，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，根据全等三角形的性质可推出：，利用线段的运算可求出BE的长度.
25．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　 　．
【答案】m＜4
【解析】【解答】解：
由不等式①得，
由不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
解得m＜4，
故答案为：m＜4．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
26．数轴上点A表示的数是-1，将A点向左平移2个单位，再向右平移5个单位得到点B，则点B表示的数是　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵数轴上点A表示的数是-1，将A点向左平移2个单位，再向右平移5个单位得到点B，
∴点B表示的数是：-1-2＋5＝2.
故答案为：2.
【分析】数轴上点A表示的数为a，将点A向左平移m个单位长度，再向右平移n个单位长度可得a-m+n，据此解答.
27． 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为　 　.
【答案】75°
【解析】【解答】解：如图，
据图知，∠2+45°=90°，∠3+30°=90°，∠1=∠4，
∴∠2=45°，∠3=60°，
又 ∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠4=180°- ∠2-∠3=75°，
∴∠1=75°.
故答案为：75°.
【分析】根据三角尺的特性知∠2=45°，∠3=60°，根据直尺特性知∠1=∠4，结合平角的定义计算∠4的度数.
28．如图，在等边△ABC中，P是△ABC的三条角平分线AP，BP，CP 的交点，若△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如解图，过点 P 作 PD⊥AB 于点D，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点F，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD=PE=PF，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵
∴S1=S2
【分析】根据角平分线的性质定理可得出PD=PE=PF，根据等边三角形的性质可得出AB=AC=BC，再根据三角形的面积计算公式，可得出S1=S2。
29．点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：过作于，
，，平分，
，
点到边的距离等于10，
，
，
故答案为：．
【分析】过作于，根据角平分线的性质得出，再根据垂线段最短确定PQ的取值范围．
30．如图等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　．
【答案】11
【解析】【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=3，
∴S△ABC=AD·BC=24即×6AD=24，
解之：AD=8，
∵EF垂直平分AB，
∴AM=BM，
当点A，M，D在同一直线上时，AM+DM的值最小，就是AD的长，此时△BDM的周长最小；
△BDM的周长的最小值为AD+BD=8+3=11.
故答案为：11.
【分析】连接AD，AM，利用等腰三角形的性质可证得AD⊥BC，同时可求出BD的长，利用三角形的面积公式求出AD的长，利用垂直平分线的性质可得到AM=BM，当点A，M，D在同一直线上时，AM+DM的值最小，就是AD的长，此时△BDM的周长最小；然后求出△BDM的周长的最小值.
31．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的度数为　 　.
【答案】80°
【解析】【解答】解：如图
，
由B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，得
∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠CBD=85°.
由AE∥BD得∠DBA=∠BAE=45°.
由角的和查，得
∠ABC=∠DBC-∠DBA=85°-45°=40°，∠BAC=∠BAE+CAE=45°+15°=60°.
由三角形的内角和定理，得
∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-40°=80°.
故答案为：80°.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠CBD=85°，由平行线的性质可得∠DBA=∠BAE=45°，然后根据∠ABC=∠DBC-∠DBA，∠BAC=∠BAE+CAE求出其度数，接下来根据内角和定理求解即可.
32．如果关于x的不等式组的解集为x<3，那么m的取值范围为　 　.
【答案】m≥3
【解析】【解答】解：
解不等式①得
x<3
解不等式②得
x∵不等式组 的解集为 x<3 ，
∴m≥3
故答案为：m≥3.
【分析】解不等式组， 根据不等式的解集确定m的取值范围.
33．如图，，平分，连接，交于点P．若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】如图所示：
过点Q作QH∥AB，
∴ ∠BAQ=∠AQH=23°
∵ ∠AQC=51°
∠AQC= ∠AQH+ ∠HQC
∴ ∠HQC=28°
∵ AB∥CD
∴ QH∥CD
∴ ∠QCD=∠HQC=28°
∵ CQ平分 ∠BCD
∴ ∠QCP=∠QCD=28°
∴ ∠APC=∠AQC+∠QCP=51°+28°=79°
【分析】本题考查平行公理的推论和和平行的“铅笔”模型。同一平面内，平行于同一直线的两直线平行。平行的铅笔模型中，过拐点作平行线，是常见的方法。运用三角形的外角定理，更容易计算角度。
34． 如图，直线y= kx+b 与直线y=-3x相交于点A(m，6)，则关于x 的不等式kx+b>-3x 的解是　 　.
【答案】x>-2
【解析】【解答】解：把B(m，6)代入y=-3x，
可得6=-3m，
解得m=-2，
∴B(-2，-6)，
由图象可得关于x的不等式kx+b>-3x的解集是x>-2，
故答案为：x>-2 .
【分析】把B(m，6)代入y=-3x，求出点B的坐标，再根据图象即可确定不等式组的解集.
35． 如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(2，0)，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是　 　.
【答案】(4，4)
【解析】【解答】
解：∵“帅"位于点(2，0)，
∴在象棋棋盘上，以 “帅” 的位置为参考，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴；
∴"马"位于点(4，2)
∵棋子“马”向上平移2个单位长度
∴平移后的“马”位于点(4，4)
故答案为：(4，4) .
【分析】
本题考查平面直角坐标系的应用和点的平移规律，熟知点的平移规律是解题关键.
平面直角坐标系中，点的平移遵循 “上加下减，左加右减” 原则，即向上平移纵坐标增加，向下平移纵坐标减小，向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增加；根据 “帅” 位于(2，0)，确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向。在象棋棋盘上，以 “帅” 的位置为参考，可建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴；观察图中 “马” 的初始位置，可知："马"位于点(4，2)，再根据平移性质，纵坐标增加2，横坐标不变可得：平移后的“马”位于点(4，4)，由此可得出答案.
36．如图，在，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，则的度数是　 　．
【答案】135°
【解析】【解答】解：∵， ，
∴为等腰直角三角形，∠AOB=45°，
∵绕点
沿逆时针方向旋转
得到
，
∴为等腰直角三角形，∠A1OB1=45°，旋转角为 ，
∴，
故答案为：135°．
【分析】由 绕点 沿逆时针方向旋转 得到 ，得出 为等腰直角三角形，∠A1OB1=45°，旋转角为 ，即可得解。
37．实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
38．如图是由线段，，，，组成的图形，已知，，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作，过点M作，
，
，
∵，
，
，，
，
=∠PAM+∠DCM=62°，
.
故答案为：.
【分析】过点A作，过点M作，由，根据两直线平行内错角相等可得进而推出，再根据平行公理的推论可得AP∥MN，根据，即可求解；
39．如图，在中，D是BC延长线上一点，，，则的余角是　 　.
【答案】0°
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴的余角是．
故答案为：．
【分析】本题考查三角形外角的性质和余角的定义，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知，从而求出的度数，从而得解．
40．如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是　 　.
【答案】60°
【解析】【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P'，当点P与P'重合时，PE+PC最小=P'C+P'E，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴P'C=BP'，
∴P'E+P'C=P'B+P'E=BE，即BE是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴BE⊥AC，∠EBC=30°，
又∵P'C=P'B，
∴∠P'CB=∠P'BC=30°，
∴∠CP'E=∠P'CB+∠P'BC=60°，
即当PC+PE最小时，∠CPE的度数是60°.
故答案为：60°.
【分析】连接BE，与AD交于点P'，当点P与P'重合时，PE+PC最小=P'C+P'E，利用等边三角形的性质得P'C=BP'，推出BE是PE+PC的最小值，由等边三角形的三线合一得BE⊥AC，∠EBC=30°，由等边对等角及三角形的外角性质得∠CP'E=∠P'CB+∠P'BC=60°，从而即可得出答案.
41．如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连结，设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则　 　秒．
【答案】或或
【解析】【解答】解： 在中由勾股定理可得：
①当AB=BF=10时，
因为BC=6，
所以
在中由勾股定理可得：
又因为
所以
又在中：
所以
②当AF=BF时，
因为
所以
所以
③当时，
因为
所以
又
所以
由勾股定理得：
所以
所以综上：t的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】分AB=BF=10、AF=BF、三种情况，根据等腰三角形的性质，运用勾股定理及等面积法进行计算即可求解.
42．如图，在中，是AC边上一点，且，连结BD并延长至点，使，连结AE，若，则　 　，　 　.
【答案】3；
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，CN⊥BE于N，
则△AME为等腰三角形，
∴AM=AE，
∵AB=AD，AM⊥BD，
∴BM=DM，
设DE为3x，则BD为4x，
∴BM=DM=BD=2x，ME=DM+DE=2x+3x=5x，
∴AM=ME=5x，
在Rt△ADM中，AM2+DM2=AD2，
∴(5x)2+(2x)2=()2，
∴29x2=29，
∴x=1，x=-1(舍)，
∴DE=3x=3，
DM=2x=2，AM=5x=5，BD=4x=4，
∵∠AMD=∠CND，∠ADM=∠CDN，AC=CD，
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴CN=AM=5，DN=DM=2，
∴BN=BD+DN=4+2=6，
∴BC=
故答案为：3，.
【分析】通过做辅助线得知△AME为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质（三线合一）可知BM=DM，设出DE与BD的长，结合图形利用勾股定理可求出x的值，即可知道DE的长度，再通过全等三角形的判定可知△AMD≌△CND（AAS），最后根据全等三角形的性质对应边相等以及勾股定理即可求出BC的长度.
43．如图，在△ABC中，∠C=2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，
共分以下几种情况：
①如下图1 ，当AD =CD，DC=DB时：
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，
∵∠ACB=2∠A，
设∠A=x°，则∠ACD=x°，∠B=∠DCB=x°，
在△ABC中，x°+x°+2x°=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=45°；
②如下图2，当AD=DC，CD=CB时：
∴∠A=∠ACD，∠BDC=∠B，
设∠A=x°，则∠B=∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，∠ACB=2∠A=2x° ，
在△ABC中，x°+2x°+2x°=180°，
解得：x=36°，
∴∠A=36°；
③当AD=DC，DB=DC时：
∴∠A=∠ACD，∠BDC=∠BCD，
∵∠ACB=2∠A，∴∠ACD=∠BCD，
设∠A=x°，则∠ACD=x°，∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
这时∠BDC=2x°与∠BDC=∠BCD=∠ACD=∠A=x°矛盾，
∴这种情况不存在；
④如下图3，当AD=AC，DB=DC时：
∴∠ADC=∠ACD，∠B=∠DCB，
设∠A=x°，则∠ACD=，
∵∠ACB=2∠A=2x°，∴∠B=∠DCB=2x°-=，
在△ABC中，x°+2x°+=180°，
解得：x=°，
∴∠A=°；
⑤如下图3，当CA=CD，DB=DC时：
∴∠A=∠ADC，∠B=∠DCB，
设∠A=x°，则∠ADC=x°，∠ACD=180°-2x°，
∵∠ACB=2∠A=2x°，∴∠B=∠DCB=2x°-（180°-2x°）=4x°-180°，
在△ABC中，x°+2x°+（4x°-180°）=180°，
解得：x=°，
∴∠A=°.
综上，∠A=45°或36°或°或°.
故答案为：45°或36°或°或°.
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角和定理等分情况讨论即可. 解题的关键是数形结合思想的运用.
44．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠BCF的度数为　 　.
【答案】30°
【解析】【解答】过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠BCF＝∠ECF＝ ∠ACB＝30°，
故答案为：30°.
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案.
45． 已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 　 　．
【答案】或3
【解析】【解答】解：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F，
根据题意可知：∠DEC=60°，∠ACB=30°，
∵AC∥DE，
∴∠ACF=∠DEC=60°，
∴∠BCF=30°，
∵AB=2，
∴BC=AB=2，
∴BF=BC=，
∴△BCE的面积=×CE BF=×2×=；
如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，
∵BC∥DE，
∴∠BCG=∠DEC=60°，
∵BC=AB=2，
∴BG=BC=3，
∴△BCE的面积=×CE BG=×2×3=3．
综上所述：△BCE的面积是或3．
故答案为：或3．
【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F；如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G。解含30度角的直角三角形即可解决问题。
46．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：　 　；(只填写序号)
【答案】①②④
【解析】【解答】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A =AC，DC=D ，
∴AD垂直平分C′C；
∴①，②都符合题意；
∵B ＝D ， DC=D ，
∴B ＝D = DC，
∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC ；
∴③不符合题意；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠A D=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，
∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴
∴D ∥EC
∴④符合题意；
故答案为：①②④.
【分析】根据角平分线的性质和三角形的外角对每个结论一一判断求解即可。
47．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
，
∴，
∴，
故①正确；
在上截取，
∵和是和的平分线，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
作于于，连接，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义推理判断①正确；在上截取，根据角平分线的定义证明，即可得到，然后推理得到，即可得到判断②；作于于，连接，根据角平分线的性质得到，然后根据计算判断③解答即可．
48．如图，等边三角形ABC的顶点A、B坐标分别为（1，1）和（3，1），规定将等边三角形ABC先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为第一次变换，则这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的顶点C的坐标为　 　．
【答案】（﹣2019，﹣ ﹣1）
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AB=3﹣1=2，
∴△ABC是等边三角形的高为 ，
∴点C到x轴的距离为 +1，横坐标为2，
∴C（2， +1），
∵第2021次变换后的三角形在x轴下方，
∴点C的纵坐标为﹣ ﹣1，横坐标为2﹣2021×1=﹣2019，
∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2019，﹣ ﹣1）．
故答案为：（﹣2019，﹣ ﹣1）．
【分析】根据轴对称判断出点C在第2021次变换后在x轴下方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后横坐标即可.
49．如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆.若与线段有两个交点，则满足的条件是　 　.
【答案】 且
【解析】【解答】解：如图1，当时，
点是的中点，
，
此时与线段只有一个交点D；
如图2，当时，作，
，点是的中点，
，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点；
当时，作，
，，
，
，
，
此时与线段有2个交点，
综上所述， 且.
故答案为： 且.
【分析】当经过点C时，BD=BC，作，由等腰三角形的性质可得AE、CE的长度，再利用勾股定理求得；当经过点A时，BD=AB，作，由等腰三角形的性质可得AF、CF的长度，再利用勾股定理求得；当时，此时与线段只有一个交点D，利用垂直平分线的性质可得BC=AB=2，综上所述， 且.
50．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，
等腰直角三角形中，，则，
∵P在线段上运动，的运动轨迹也是线段，
当P在O点和C点时分别对应的起点与终点，
∴的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段，
当与垂直时，线段的值最小，此时△CNP'为等腰直角三角形，
∵，
AC=
则CN=AN-AC=2-
∴．
故答案为．
【分析】首先确定的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段，当⊥时，的值最小，此时△CNP'为等腰直角三角形，求出CN的长度后，利用等腰直角三角形三边关系求解即可．
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