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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，在 中， ， 是 上一点，过 作 于 ，并与CA的延长线相交于 ，试判断 的形状，并说明理由.
2．邓家香腊鸭是广安区的著名美食，深受食客们的喜爱．某特产专卖店购进一批袋装腊鸭，成本为40元/袋．经市场调研发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．设销售单价降低x元时，每天的销售量为y袋．
（1）求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量x的取值范围）
（2）该特产专卖店计划销售这种腊鸭的利润率不得低于30%，那么当销售单价定为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少袋？（）
3．如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数．
4．已知如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABD=30°，AB=AD，DC⊥BC于点C，若BD=4，求CD的长.
5． 苏绣的发源地在苏州吴县一带，现已遍布很多地区．清代是苏绣的全盛时期，可谓流派繁衍，名手竞秀．某国际旅游公司计划购买A，B两种苏绣作品作为纪念品．已知购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元．
（1）求A种苏绣作品和B种苏绣作品的单价分别为多少元；
（2）该国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种苏绣作品多少件？
6．在△ABC中，∠A＝30°，∠DCE=15°，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠B的度数．
7．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA＝3米），向右转24°，再前进3米后到达点B（AB＝OA＝3米），又向右转24°，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）n的值为 　 　．
（2）小明走出的这n边形的周长为 　 　米．
（3）若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的每一个内角的度数．
8．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A，B，C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D，E两地进行处理.已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米.
（1）求运往两地的数量各是多少立方米
（2）若A地运往D地a立方米(a为整数)，B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍.其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A，C两地运往D，E两地有哪几种方案
（3）已知从A，B，C三地把垃圾运往D，E两地处理所需费用如下表：
单位：元/立方米
A地 B地 C地
运往D地所需费用 22 20 20
运往E地所需费用 20 22 21
在(2)的条件下，请说明哪种方案的总费用最少
9．如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．
（1）请说出的理由；
（2）试说出的理由；
（3）试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．
10．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积
11．如图，AC，FC分别平分∠BAD，∠BFD，且分别与FB，AD相交于点G，H，已知∠B=40°，∠D=50°，求∠C的度数.
12．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，．
（1）计算：______（用含a的代数式表示）；
（2）若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围；
（3）若，求a的值．
13．如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数。
14．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．
（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．
15．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
16．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．试判断△AFC的形状，并说明理由．
17．解不等式 ，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
18．如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求EF的长．
19．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
20．如图， 分别是 的高和角平分线， ， ，求 的度数．
21．已知点P(2a－4，3a＋6)在第三象限，求点Q(－a，2a＋4)所在的象限.
22．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC=EF，∠A=∠E，BC与DF交于点O，且OD=OB.
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）若∠A=30°，∠F=100°，求∠BOD的度数.
23．解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
24．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高.
（1）请你判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长.
25．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示， 已知真空热水管 与支架 所在的直线相交于点 ， 且 ， 支架 与水平线 垂直， ， ． 求：
（1） 支架 的长．
（2） 真空热水管 的长． (结果保留根号)
26．老王准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上小陈的手机号码中有两个数字已模糊不清．如果用x，y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成)，老王记得这11个数之和是20的整数倍．
（1） 求x+y的值．
（2）求老王一次拨对小陈手机号码的概率．
27．如图，已知中，是边上的高，点E在线段上，且平分．若，，求和的度数．
28．我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
29．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．
30．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．（不写作法）
①以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
②再把△A1B1C1绕点C1，顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请你画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．
31．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC=DE；
（2）若∠B=30°，∠APC=70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP=CE．
32．在平面直角坐标系中，已知点 在第二象限，求 的取值范围。
33．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．
（1）求证：△ACD等腰三角形；
（2）若∠BAC=100°，求∠BDC的度数．
34．如图， 平分 交 于点D， 于点E， 于点F， ，若 ，求 的长.
35． 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围．
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1
36．锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）．
某供应商给出以下两种优惠方案：
方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品；
方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折．
（1）设购买型物品套，
选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______．
选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______．
（2）选择哪种方案更划算？请说明理由．
37． 某运动员5 000 m长跑的个人最好成绩为 16 min 45 s. 在一次 5 000 m长跑比赛中，他跑完前3000 m用时10 min30s. 如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少
38．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAB=35°，∠B=50°，求∠C的度数．
39．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
40．已知一个多边形的边数为n．
（1）若，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值．
41．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
①将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
②画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
42．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求∠BDC的度数．
43．如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．
44．如图，是等边三角形，点D是边的中点，连接，点P是线段上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．
（1）写出图1中一对全等的三角形： ；
（2）如图2，若B，P，Q三点在一条直线上，试探究线段与的数量关系；
（3）若，当点P从点B运动到点D时，探究点Q的运动路径，并求出该路径的长度．
45．如图，在中，，平分，于，若，求的度数．
46．如图，在中，，于，点、分别在线段、上，且平分，与交于点．
（1）当、是等腰三角形时，求的大小；
（2）当，，求的大小．
47．对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点为图形的“关联点”．
（1）图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为，
①如图①，在点，，，中，线段的“关联点”是 ▲ ；
②如图②，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围；
（2）图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点为的“关联点”，直接写出t的取值范围．
48．如图，在Rt中，，，，边的垂直平分线分别与、轴、轴交于点、、．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）直接写出点的坐标，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
49．如图，和的度数都是．
（1）若，求的度数；
（2）若射线OC，OD恰好分别是和的平分线，求的度数；
（3）当射线OK在内部，时，我们称k为射线OK在内的比值，记作．
在（2）的条件下，射线OP，OQ分别从射线OA和OB同时开始旋转，其中射线OP绕点O顺时针旋转，射线OQ绕点O逆时针旋转，当射线OP旋转到射线OB时，射线OP，OQ停止旋转．设运动时间为t秒．若射线OP，OQ的运动速度分别为每秒和，射线OQ到达射线OA后立即以原速返回，则当t为何值时，？
50． 定义：如果三角形的两个内角 与 满足 ， 那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1） 如图 1， 在 中， 平分 ． 求证： 为“奇妙三角形”．
（2）若 为 “奇妙三角形”， 且 ． 求证： 是直角三角形．
（3） 如图 2， 在 中， 平分 ， 若 为 “奇妙三角形”， 且 ， 直接写出 的度数．
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【决战期中·50道解答题专练】北师大版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，在 中， ， 是 上一点，过 作 于 ，并与CA的延长线相交于 ，试判断 的形状，并说明理由.
【答案】解：△ADF是等腰三角形，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，
∴∠F=∠BDE，
而∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，即△ADF是等腰三角形.
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠B=∠C，再利用垂直的定义及余角的性质可证得∠F=∠BDE，由此可推出∠F=∠FDA，再利用等角对等边，可证得结论.
2．邓家香腊鸭是广安区的著名美食，深受食客们的喜爱．某特产专卖店购进一批袋装腊鸭，成本为40元/袋．经市场调研发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．设销售单价降低x元时，每天的销售量为y袋．
（1）求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量x的取值范围）
（2）该特产专卖店计划销售这种腊鸭的利润率不得低于30%，那么当销售单价定为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少袋？（）
【答案】（1）解：由题意得每天的销售量y=20x+300．
（2）解：∵这种腊鸭的利润率不得低于30%，
∴（60﹣x﹣40）÷40×100%≥30%，
解得x≤8．
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，y取得最大值，最大值为y＝300+20x＝460 （袋），
此时60﹣8＝52 （元）
答：当销售单价定为52元时，每天的销售量最大，最大销售量为460袋．
【解析】【分析】（1）根据“当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋”即可得到y与x的一次函数关系式；
（2）根据结合题意列出不等式，从而得到x的取值，再根据一次函数的性质求出最值，进而即可求解。
3．如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数．
【答案】解：．
【解析】【解答】解：∵与关于边所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A=∠C=20°，∠ABO=∠CBO，
∵∠BOD=45°，
∴∠ABO=∠BOD-∠A=25°，
∴∠ABD=2∠ABO=50°，
∴∠ADC=∠ABD+∠A=70°.
【分析】根据轴对称求出AOB≌△COB，再利用全等三角形的性质求出∠A=∠C=20°，∠ABO=∠CBO，最后利用三角形的外角性质等计算求解即可。
4．已知如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABD=30°，AB=AD，DC⊥BC于点C，若BD=4，求CD的长.
【答案】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠DBC=∠ABD=30°，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠C=90°，
∵在Rt△BDC中，∠DBC=30°，BD=4，
∴CD= BD，
【解析】【分析】由已知可求得∠ABD=∠DBC=30°，由DC⊥BC，则根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半求解即可．
5． 苏绣的发源地在苏州吴县一带，现已遍布很多地区．清代是苏绣的全盛时期，可谓流派繁衍，名手竞秀．某国际旅游公司计划购买A，B两种苏绣作品作为纪念品．已知购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元．
（1）求A种苏绣作品和B种苏绣作品的单价分别为多少元；
（2）该国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元，那么最多能购买A种苏绣作品多少件？
【答案】（1）解：设A种苏绣作品的单价为x元，B种苏绣作品的单价为y元，
根据题意得
解得
答：A种苏绣作品的单价为300元，B种苏绣作品的单价为200元.
（2）解：设购买A种苏绣作品m件，则购买B种苏绣作品(200－m)件，
根据题意，得300m＋200(200－m)≤50 000，
解得m≤100.
∴m的最大值为100.
答：最多能购买A种苏绣作品100件．
【解析】【分析】（1）根据“ 购买1件A种苏绣作品与2件B种苏绣作品共需要700元，购买2件A种苏绣作品与3件B种苏绣作品共需要1 200元 ”列出方程组求解即可.
（2）根据题意“ 国际旅游公司计划购买A种苏绣作品和B种苏绣作品共200件，总费用不超过50 000元 ”列出不等式并求解，再根据不等式解集确定其最大整数解.
6．在△ABC中，∠A＝30°，∠DCE=15°，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠B的度数．
【答案】解：∵CD是△ABC的高，∠DCE＝＝15°，
∴∠CED=90°-15°=75°，
∵∠A＝30°
∴∠ACE=75°-30°=45°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BCE=∠ACE=45°，
∴∠ACB=90°，
∴∠B＝60°，
【解析】【分析】根据高线可得∠CED的度数，再根据三角形的外角求得∠ACE的度数，进而根据角平分线得到∠BCE=∠ACE，即可求出∠B的度数即可.
7．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA＝3米），向右转24°，再前进3米后到达点B（AB＝OA＝3米），又向右转24°，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）n的值为 　 　．
（2）小明走出的这n边形的周长为 　 　米．
（3）若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的每一个内角的度数．
【答案】（1）15
（2）45
（3）解：根据题意，得（m-2）×180°＝720°+360°，
解得m＝8，
∴这个正m边形的每一个内角的度数为 ．
【解析】【解答】解：（1）n=360°÷24°=15；
（2）n边形的周长=15×3=45；
（3）根据题意可得，多边形的内角和为720°+360°=1080°，即（m-2）×180°=1080°，
所以m=8，正八边形的每一个内角为1080°÷8=135°。
【分析】（1）多变形的外角和为360°，根据正多边形的每一个外角为24°，求出n的值；
（2）根据题意可知，正多边形的边长为3，结合n的值，求出周长即可；
（3）根据多边形的内角和定理以及外角和定理求出m的值即可。
8．在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A，B，C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D，E两地进行处理.已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米.
（1）求运往两地的数量各是多少立方米
（2）若A地运往D地a立方米(a为整数)，B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍.其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A，C两地运往D，E两地有哪几种方案
（3）已知从A，B，C三地把垃圾运往D，E两地处理所需费用如下表：
单位：元/立方米
A地 B地 C地
运往D地所需费用 22 20 20
运往E地所需费用 20 22 21
在(2)的条件下，请说明哪种方案的总费用最少
【答案】（1）设运往E地x立方米，由题意得x+2x-10=140，解得x=50， ∴2x-10=90.
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米.
（2）由题意可得解得20∵a是整数，∴a=21或22.
∴有如下两种方案，
方案一：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米.
方案二：A地运往 D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米.
（3）方案一共需费用：22×21+20×29+30×20+22×10+39×20+11×21=2873元；
方案二共需费用：22×22+28×20+30×20+22×10+38×20+12×21=2876元.
所以方案一的总费用最少.
【解析】【分析】 本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次不等式组及一元一次方程是解答此题的关键．
（1）设运往地立方米，则运往地立方米，根据“运往两个垃圾处理场的垃圾总量，，三地的垃圾数量和”列方程即可；
（2） 根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据是整数可得出的值，进而可求出答案；
（3）分别求出两种方案所需费用，比较后可得结论．
9．如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．
（1）请说出的理由；
（2）试说出的理由；
（3）试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．
【答案】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，点、、在同一条直线上，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
又∵，
∴是等边三角形（有一内角为度的等腰三角形为等边三角形）．
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而结合题意运用三角形全等的判定证明即可求解；
（3）先根据三角形全等的性质得到，进而根据三角形全等的判定即可求解。
10．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积
【答案】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：CD就是所求的中线；
（3）如图所示：AE即为BC边上的高；
（4）4×4÷2=16÷2=8．
故△A′B′C′的面积为8．
故答案为：8．
【解析】【分析】（1）连接BB′，过A、C分别做BB′的平行线，并且在平行线上截取AA′=CC′=BB′，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；
（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．
（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；
（4）根据三角形面积公式即可求出△A′B′C′的面积．
11．如图，AC，FC分别平分∠BAD，∠BFD，且分别与FB，AD相交于点G，H，已知∠B=40°，∠D=50°，求∠C的度数.
【答案】解：∵∠B+∠1+∠AGB=180°，∠C+∠3+∠CGF=108°，∠AGB=∠CGF
∴∠B+∠1=∠C+∠3，
∴∠1﹣∠3=∠C﹣∠B，
同理可得：∠2﹣∠4=∠D﹣∠C.
∵AC，FC分别平分∠BAD，∠BFD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠C﹣∠B=∠D﹣∠C，
∴∠C (∠B+∠D) ×(40°+50°)=45°.
【解析】【分析】由三角形内角和定理得出∠1-∠3=∠C-∠B，同理，∠2-∠4=∠D-∠C，由角平分线定义得出∠1=∠2，∠3=∠4，得出∠C-∠B=∠D-∠C，即可得出∠C的度数.
12．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，．
（1）计算：______（用含a的代数式表示）；
（2）若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围；
（3）若，求a的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴关于x的不等式组转化为：，
解得：，
∵不等式组恰有4个整数解，
∴，整数解为：1，2，3，4，
∴，
∴.
（3）解：，
当时，则：，解得：（舍去）；
当时，则：，解得：；
当时，则：，解得：（舍去）；
故．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组转化为：，再求出，结合“不等式组恰有4个整数解”可得，整数解为：1，2，3，4，再求出m的取值范围即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据题干中的定义及计算方法列出方程求解即可.
13．如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数。
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC= BC，∠ABC=∠ACB= 60°．
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD=40°，AC=CD= BC．
∴∠BCD= 100°，
∴∠CBD=∠D=40°，
∴∠ABD=20°
【解析】【分析】根据旋转的性质，即可得到∠ACD=40°，AC=CD=BC，继而由等边三角形的性质求出∠CBD=40°，得到答案即可。
14．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．
（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．
（2）解：∠ADE+2∠DEB=180°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠DEB，
∴∠ADE+2∠DEB=180°．
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求证出∠ADE=2∠DEB。
（2）根据角平分线的性质，得出∠ADE与∠DEB的关系。
15．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
【答案】解： ，由①得：x＜2，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再在数轴上画出解集即可。
16．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．试判断△AFC的形状，并说明理由．
【答案】解：△AFC 是等腰三角形.理由如下：
由已知可证△BAD≌△BCE，
则 BA=BC，
∴ ∠BAC=∠BCA，
可得∠FAC=∠FCA，
∴ △AFC 是等腰三角形
【解析】【分析】△AFC 是等腰三角形.理由如下：由题意用角角边可证△BAD≌△BCE，根据全等三角形的性质得：BA=BC，由等边对等角得∠BAC=∠BCA，由角的构成可得∠FAC=∠FCA，然后根据等腰三角形的判定可求解.
17．解不等式 ，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
【答案】解：去分母得：2（2x﹣1）-3（5x+1）≤6，去括号得：4x﹣2﹣15x﹣3≤6，移项得：4x﹣15x≤6+2+3，合并同类项得：﹣11x≤11，把x的系数化为1得：x≥﹣1．这个不等式的解集可表示如图： ，其所有负整数解为-1
【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（不等式性质：不等式左右两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式左右两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）不等式的两边都加或减去一个数，不等号的方向不变；求出个不等式的解集并在数轴上表示出来，得到所有负整数解.
18．如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求EF的长．
【答案】（1）证明：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
（2）解：F为的中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
答：的长为12．
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用进行角之间的转换得出，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）根据中点的定义及等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理计算的长．
19．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
【答案】解：(1)、设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
则x+（x﹣80）=320，
解这个方程，得x=200．
∴x﹣80=120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
(2)、设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得：，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，
安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
【解析】【解答】(1)、首先设饮用水有x件，根据" 饮用水和蔬菜共320件列方程求解即可；
(2)、设租用甲种货车m辆，然后根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，利用m为正整数即可得到方案.
20．如图， 分别是 的高和角平分线， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ．
【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠BAC=86°，由角平分形的定义可得 ，根据直角三角形的性质可求出，根据∠DAE=∠CAE-∠CAD即可求解.
21．已知点P(2a－4，3a＋6)在第三象限，求点Q(－a，2a＋4)所在的象限.
【答案】解：∵点P(2a－4，3a＋6)在第三象限，
∴ ，
解此不等式组得a＜－2.
∴2a＜－4，即2a＋4＜0.
又∵－a＞2，
∴点Q在第四象限.
【解析】【分析】根据第三象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组可得a＜－2，然后根据不等式的性质得出点Q的横、纵坐标的正负，结合象限内点的坐标特征即可求出答案.
22．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC=EF，∠A=∠E，BC与DF交于点O，且OD=OB.
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）若∠A=30°，∠F=100°，求∠BOD的度数.
【答案】（1）证明：由条件可知∠OBD=∠ODB，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（AAS）
（2）解：由条件可知
【解析】【分析】(1)由OD=OB，可得由“AAS”可证两三角形全等即可；
(2)由三角形内角和定理先求得的度数，进而再次由三角形内角和定理求解的度数即可.
23．解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：∵由①得：x＞﹣2.5，
由②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，
在数轴表示为：
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可.
24．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高.
（1）请你判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：垂直平分.理由如下：
是的角平分线，，分别是和的高，.
在和中，
.
，垂直平分.
（2）解：，
.
，.
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得出DE=DF，根据三角形全等的判定得出Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，求出AE=AF，根据垂直平分线的判定即可得出答案；
(2)根据三角形面积公式得出，求出结果即可.
25．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示， 已知真空热水管 与支架 所在的直线相交于点 ， 且 ， 支架 与水平线 垂直， ， ． 求：
（1） 支架 的长．
（2） 真空热水管 的长． (结果保留根号)
【答案】（1）解：Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，
∴CE=
∴.
（2）解：Rt△CAO中，∠BAC=30°，AC=165cm，
∴
∴
∴OB=OD=OC-DC=，
∴.
【解析】【分析】（1）利用含30度锐角直角三角形的性质可知CE等于DE的一半，然后利用勾股定理可求得CD长；
（2）同样利用含30度锐角直角三角形的性质可知OC等于AO的一半，利用勾股定理可求得OC、OA的值，利用线段和差求得OB、OD长，进而求得AB长.
26．老王准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上小陈的手机号码中有两个数字已模糊不清．如果用x，y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成)，老王记得这11个数之和是20的整数倍．
（1） 求x+y的值．
（2）求老王一次拨对小陈手机号码的概率．
【答案】（1）解：设这11个数之和是20的a倍，
由题意得，
1+3+9+x+3+7+y+5+8=20a，
∴x+y=20a-36，
∵0≤x≤9，0≤y≤9，
∴0≤x+y≤18
∴0≤20a-36≤18
解得1.8≤a≤2.7
∵a是整数
∴a=2
∴x+y=20×2-36=4．
（2）解：∵x+y=4，x、y为0~9的整数，
∴，，，，，
∴共有5种可能结果，
∴一次打对号码的概率是．
【解析】【分析】 （1）设这11个数字之和是20的a倍，先根据题意列出x+y和a之间的方程，再根据0≤x≤9，0≤y≤9，得到0≤x+y≤18，所以0≤20a-36≤18，最后解不等式根据a是整数即可得出答案；
（2）根据x+y=4，x、y为0~9的整数，得出x、y的值共有5种可能结果，再根据概率公式P（A）=，计算即可得出答案.
27．如图，已知中，是边上的高，点E在线段上，且平分．若，，求和的度数．
【答案】解：中，，，
，
平分，
，
又，
，
是边上的高，
，
．
【解析】【分析】先根据三角形内角和等于180°得到∠BAC，再AE是角平分线得出∠EAC，最后根据三角形高线的性质和内角和定理证出即可.
28．我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
（2）解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．

【解析】【分析】（1）根据新定义求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据新定义得到，求出不等式的解集为，再求出，最后计算求解即可。
（1）解：由题意得，，
，
，
解得：，
不等式的解集为．
（2）解：由题意得，，
，
，
解得：，
关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，
，
解得：，
的值为．
29．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．
【答案】条件是EC=BF，
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
∵EA⊥AB，FD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△AEC和Rt△DFB中

∴Rt△AEC≌Rt△DFB（HL）．
【解析】【分析】先求出AC=BD，∠A=∠D=90°，再根据HL定理推出即可．
30．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．（不写作法）
①以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
②再把△A1B1C1绕点C1，顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请你画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．
【答案】解：①如图，△A1B1C1即为所求，由图可知B1的坐标（﹣5，4）；
②如图，△A2B2C2即为所求，由图可知B2的坐标（﹣1，2）．
【解析】【分析】①作出各点关于原点的对称点，再顺次连接，并写出B1的坐标即可；②根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并写出B2的坐标即可．
31．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC=DE；
（2）若∠B=30°，∠APC=70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP=CE．
【答案】（1）证明：
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC＝DE；
（2）解：①∵∠B＝30°，∠APC＝70°，
∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°＝∠CAE，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝＝＝70°；
②∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠E=70°，
∴∠APC=∠E，∠ACP＝∠ACE，
在△ACP和△ACE中，
∠APC＝∠E，∠ACP＝∠ACE，AC=AC，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP=CE．
【解析】【分析】（1）利用ASA证出△BAC≌△DAE，即可证出BC＝DE；
（2）①先求出∠CAE＝40°，再根据△BAC≌△DAE，得出AC=AE，即可得出∠E＝=70°；
②利用AAS证出△ACP≌△ACE，即可证出CP=CE．
32．在平面直角坐标系中，已知点 在第二象限，求 的取值范围。
【答案】解：根据题意，列不等式组 ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴ 的取值范围是 。
【解析】【分析】根据第二象限点的符号特征（-，+），可列出关于m的不等式组，求解即可.
33．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD．
（1）求证：△ACD等腰三角形；
（2）若∠BAC=100°，求∠BDC的度数．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形．
（2）解：∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=20°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=20°，
∵AC=AD，
∴
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=70°-20°=50°．
【解析】【分析】(1)由角平分线∠ABD=∠CBD，由平行线得∠ADB=∠CBD，由此得∠ABD=∠ADB，即有AB=AD，又AB=AC得AD=AC；
(2)由∠BAC=100°得∠ABC=40°，由平行线和角平分线即可得∠BDC的度数.
34．如图， 平分 交 于点D， 于点E， 于点F， ，若 ，求 的长.
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴
【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出DE的长，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，就可求出DF的长。
35． 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围．
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1
【答案】（1）解：，
由①+②得：，
由①-②得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴，解得：；
（2）解：∵不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵m为整数，
∴当m=-1时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1．
【解析】【分析】（1）首先解方程组，求得，， 然后再根据方程租的解满足x为非正数，y为负数 ，得出， 解不等式组即可得出；
（2）首先根据 不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1 得出， 再结合（1）中，可得， 然后在此范围内求得整数解即可。
36．锦州市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买，两种物品．经过市场调查发现，今年每套型物品的价格6万元，每套型物品的价格万元，该市准备购买型物品50套，型物品若干套（超过200套）．
某供应商给出以下两种优惠方案：
方案一：“买一送一”，即购买一套型物品，赠送一套型物品；
方案二：“打折销售”，即购买型物品200套以上，超出200套的部分按原价打八折，型物品不打折．
（1）设购买型物品套，
选择方案一所需费用为万元，则与的关系式为______．
选择方案二所需费用为万元，则与的关系式为______．
（2）选择哪种方案更划算？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：当时，解得：，
又∵，
∴；
当时，
解得：；
当时，
解得：．
答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算
【解析】【解答】解：（1）设购买B型物品套，则选择方案一所需费用与的关系式为；
选择方案二所需费用与的关系式为．
故答案为：；
【分析】
本题考查了实际情境列一次函数关系式以及一次函数的方案问题．
（1）根据题意，分别求出与的关系式为和与的关系式；
（2）通过列不等式分，及三种情况，分类讨论函数值的大小关系，确定最划算的方案．
（1）解：设购买B型物品套，则选择方案一所需费用与的关系式为；
选择方案二所需费用与的关系式为．
故答案为：；
（2）解：当时，
解得：，
又∵，
∴；
当时，
解得：；
当时，
解得：．
答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算．
37． 某运动员5 000 m长跑的个人最好成绩为 16 min 45 s. 在一次 5 000 m长跑比赛中，他跑完前3000 m用时10 min30s. 如果这名运动员希望在本次比赛中获得的成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要为多少
【答案】16分45秒=1005s，10分30秒=630s，
1005-630=375s，
设在剩下的路程中，他的平均速度为x(m/s)，
由题可列：375x+3000≥5000，
∴x≥.
∴ 在剩下的路程中，他的平均速度至少要(m/s).
【解析】【分析】 先确定总时间与剩余时间，假设剩下路程中的速度，根据距离关系列出不等式.
38．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAB=35°，∠B=50°，求∠C的度数．
【答案】解：∵AE是∠BAC的角平分线，∠EAB=35°，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°．
【解析】【分析】先根据角平分线的定义求出∠BAC的度数，再根据三角形内角和为180°，计算即可求出答案．
39．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【解答】解：（1） ，移项得 ，合并得 ；
故答案为： ；
（2） ，移项得 ，合并同类项得 ，系数化1得
故答案为： ；
（3）把不等式①与②的解集表示在数轴上，
（4）不等式的解集为
故答案为： ．
【分析】分别解出每一个不等式的解集，再把解集分别表示在数轴上，两解集的公共部分即为不等式组的解集，据此填空即可.
40．已知一个多边形的边数为n．
（1）若，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n的值．
【答案】（1）解：
（2）解：设每个外角的度数为，则每个内角的度数为
所以，
故
【解析】【分析】本题围绕多边形的内角和与外角和展开，着重考查多边形内角和公式以及内角与外角的关系.
(1)求n=8时多边形的内角和，需要运用多边形内角和公式(n - 2)度，直接代入n = 8进行计算；
(2)已知每个内角与相邻外角的关系，先设出每个外角的度数，根据内角与外角互补的性质列出方程，求出外角的度数，再利用多边形外角和为360度求出边数n．
（1）解：；
（2）设每个外角的度数为，则每个内角的度数为，
∴，
∴，
∴．
41．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
①将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
②画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【答案】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求；点B1坐标为：（﹣2，﹣1）
②如图所示：△A2B2C2，即为所求，点C2的坐标为：（1，1）．
【解析】【分析】①直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；②利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
42．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求∠BDC的度数．
【答案】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE＝CF；
（2）解：∵△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴△AEB≌△AFC，
∴∠ABE＝∠ACF，
设AC与BE相交于O，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°．
【解析】【分析】（1）从问题入手，证明线段相等通常考虑证明线段所在的三角形全等，根据全等的判定定理可以证明全等，也可以根据旋转的性质得到两个三角形是全等三角形的结论；由题中旋转可得三角形对应边和角都相等，等角同时加上旋转的角度后仍然得等角，由此可以判定出△AEB由△AFC绕点A按顺时针方向旋转45°得到，进一步判定对应边相等，也可以直接由三角形SAS判定定理直接判定全等；（2）根据旋转的性质，得到对应相等的角，观察图形，两个三角形的两组内角分别相等，那么第三组内角一定也相等，即可证得∠BDC＝∠BAC＝45° 。
43．如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．
【答案】解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°；∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC则∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，∠BEC=90°；∴∠EBC+∠C=90°，即∠C﹣60°+∠C=90°解得∠C=75°．
【解析】【分析】由△BDE是正三角形，得到∠DBE=60°；根据已知条件得到∠EBC+∠C+∠DBE=150°，求出∠C的度数.
44．如图，是等边三角形，点D是边的中点，连接，点P是线段上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．
（1）写出图1中一对全等的三角形： ；
（2）如图2，若B，P，Q三点在一条直线上，试探究线段与的数量关系；
（3）若，当点P从点B运动到点D时，探究点Q的运动路径，并求出该路径的长度．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：∵，
，
又为中点，
，
，
，
．
∵在等边中，，
又，
，
又，
．
（3）解：在等边中，为中点，
，
由（2）得，
，
，
点在过点且垂直于的直线上运动，
当点与点重合时，点与点重合．
当点与点重合时运动结束，点的运动路径是线段（如图），
显然此时仍然成立．
．
【解析】【解答】（1）解：或（答案不唯一）
证明：和是等边三角形，
，
，即，
；
∵是等边三角形，点D是边的中点，
，
．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】(1)本题考察等边三角形的性质及全等三角形的判定，因为△ABC和△APQ都是等边三角形，所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，两个角同时减去∠PAD，可得∠BAP=∠CAQ，根据SAS判定定理，可得出△ABP≌△ACQ；也可根据△ABC是等边三角形，D是AC中点，AB=BC，AD=CD，∠BAD=∠BCD=60°，由SAS判定△ABD≌△CBD（答案不唯一）。
(2)本题考察全等三角形的性质及直角三角形的性质，由(1)知△ABP≌△ACQ，所以BP=CQ；因为D是AC中点，△ABC是等边三角形，所以BD⊥AC，AD=CD，∠ADQ=∠CDQ=90°，又DQ=DQ，根据SAS可得△ADQ≌△CDQ，因此CQ=AQ；由于△APQ是等边三角形，所以AP=AQ，∠APQ=60°，在Rt△APD中，∠ADP=90°，∠PAD=30°，根据直角三角形性质，PD=；又因为BD=BP+PD，代入BP=CQ和PD=，可得BD=CQ+。
(3)本题考察等边三角形的性质、全等三角形的性质及动点路径的判断，△ABC是等边三角形，D是AC中点，所以∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠ABP=30°；由(1)知△ABP≌△ACQ，所以∠ACQ=∠ABP=30°，又∠ACB=60°，因此∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=90°，即CQ⊥BC，所以点Q在过点C且垂直于BC的直线上运动；当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点D重合时，△ABP≌△ACQ仍成立，所以CQ=BP=BD=，因此点Q的运动路径是线段CQ，长度为。
（1）解：或（答案不唯一）
证明：和是等边三角形，
，
，即，
；
∵是等边三角形，点D是边的中点，
，
．
（2）解：∵，
，
又为中点，
，
，
，
．
∵在等边中，，
又，
，
又，
．
（3）解：在等边中，为中点，
，
由（2）得，
，
，
点在过点且垂直于的直线上运动，
当点与点重合时，点与点重合．
当点与点重合时运动结束，点的运动路径是线段（如图），
显然此时仍然成立．
．
（运动结束示意图）
45．如图，在中，，平分，于，若，求的度数．
【答案】解：如图：延长交于点，
，
．
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，．
，
，
，
．
，
是等边三角形，
，
．
．
【解析】【分析】延长BE交AC于点F，利用垂直的定义可证得∠AEB=∠AEF，利用角平分线的定义可证得∠BAE=∠FAE，利用ASA可证得△ABE≌△AFE，利用全等三角形的性质可知∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，由此可推出∠CBF=∠C，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得到△ABF是等边三角形，即可求出∠AFB、∠FBC的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠ADB的度数.
46．如图，在中，，于，点、分别在线段、上，且平分，与交于点．
（1）当、是等腰三角形时，求的大小；
（2）当，，求的大小．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
设，
当是等腰三角形时，分三种情况求解；
当时，，
∵，，
，
解得，，
∴；
当时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
方程无解，此时不成立；
综上所述，的大小为或；
（2）解：∵，，，
∴是等边三角形，，
∴，为的垂直平分线，
如图，连接，
∴，
∴，
同理（1），设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的大小为．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，设，分情况讨论：当时，，当时，，当时，，根据三角形内角和定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，为的垂直平分线，连接，根据等边对等角可得，设，根据三角形内角和定理可得，，再根据三角形外角性质可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵平分，
∴，
设，
当是等腰三角形时，分三种情况求解；
当时，，
∵，，
，
解得，，
∴；
当时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
方程无解，此时不成立；
综上所述，的大小为或；
（2）解：∵，，，
∴是等边三角形，，
∴，为的垂直平分线，
如图，连接，
∴，
∴，
同理（1），设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的大小为．
47．对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在图形W上，则称点为图形的“关联点”．
（1）图形W是线段，其中点A的坐标为，点B的坐标为，
①如图①，在点，，，中，线段的“关联点”是 ▲ ；
②如图②，若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，求b的取值范围；
（2）图形W是以为圆心，1为半径的．已知点，．若线段上存在点P，使点为的“关联点”，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：①，，
②如图，
当直线经过点P1(3，-1)时，可得b的最小值
当直线经过点P2(0，5)时，可得b的最大值
将P1(3，-1)代入可得：b=-4
将P2(0，5)代入可得：b=5
∴b的取值范围为
（2）t的取值范围为
【解析】【解答】解：（1）①如图
∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(3，-2)
∴绕着点Q逆时针旋转90°得到的对应点为P'(0，2)，在线段AB上，
绕着点B(3，2)顺时针旋转90°得到的对应点P'(0，2)在线段AB上
∴，为图形线段AB的“关联点”
故答案为：，
（3）根据“关联点”的定义可知：当线段MN与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值
当线段MN与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值
则
解得：
【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可求出答案.
②根据“关联点”的定义当直线经过点P1(3，-1)时，可得b的最小值，当直线经过点P2(0，5)时，可得b的最大值，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据“关联点”的定义可知：当线段MN与的“关联点”轨迹有交点时，t取得最大值，当线段MN与的“关联点”轨迹相切时，t取得最小值，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
48．如图，在Rt中，，，，边的垂直平分线分别与、轴、轴交于点、、．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）直接写出点的坐标，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）∵，为线段的垂直平分线，∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线的解析式为；
（3）或或
【解析】【解答】解：（3）解：如下图，过点作轴于点，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如下图，
∵，，，
∴当以为对角线时，可有，
当以为边时，可有，，
∴点的坐标为或或．
【分析】（1）连接，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，则，，根据角之间的关系可得∠AEO，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形， 则，即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠CEB，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得OD，则，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D，E坐标代入解析式即可求出答案.
（3） 过点作轴于点，根据等边三角形性质可得，根据勾股定理可得AK，则，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则，，，再根据平行四边形性质分类讨论即可求出答案.
49．如图，和的度数都是．
（1）若，求的度数；
（2）若射线OC，OD恰好分别是和的平分线，求的度数；
（3）当射线OK在内部，时，我们称k为射线OK在内的比值，记作．
在（2）的条件下，射线OP，OQ分别从射线OA和OB同时开始旋转，其中射线OP绕点O顺时针旋转，射线OQ绕点O逆时针旋转，当射线OP旋转到射线OB时，射线OP，OQ停止旋转．设运动时间为t秒．若射线OP，OQ的运动速度分别为每秒和，射线OQ到达射线OA后立即以原速返回，则当t为何值时，？
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∴
（2）解：若射线OC是的平分线，则有
若射线OD是的平分线，则有
此时，
（3）解：由题意可知，
∴，∴，∴
∵OP运动到OB时，OP，OQ停止运动，，∴
当时，，
∴
∵
∴若，则，解得
当时，
∴，此时有，解得
综上，t的值为3或7．
【解析】【分析】（1）根据角之间的转换进行计算即可求出答案；
（2）根据角平分线性质可得，，再根据，即可求出答案；
（3）根据题意可得，，由OP运动到OB时，OP，OQ停止运动，可得，分情况讨论：当时，当时，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
50． 定义：如果三角形的两个内角 与 满足 ， 那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1） 如图 1， 在 中， 平分 ． 求证： 为“奇妙三角形”．
（2）若 为 “奇妙三角形”， 且 ． 求证： 是直角三角形．
（3） 如图 2， 在 中， 平分 ， 若 为 “奇妙三角形”， 且 ， 直接写出 的度数．
【答案】（1）证明： ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
在 中，∵∠ACB=80°，
∴∠A+∠ABC=180°-∠ACB=180°-80°=100°，
即∠A+2∠ABD=100°，
为“奇妙三角形”．
（2）证明： 在 中， ．
为 “奇妙三角形”，
或
或 ．
当 时， 是直角三角形．
当 时， 是直角三角形．
由此证得， 是直角三角形．
（3）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵△ABD为“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD=100°，或∠ABD+2∠A=100°，
①当 时，
∵∠A=40°，
∴
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°.
②当 时，∵∠A=40°，
∴ ∠ABD=100°-2∠A=100°-2×20°=20°，
∴∠ABC=2∠ABD=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-40°=100°.
综上两种情况可得， 为 或 ．
【解析】【分析】（1）由题意，由角平分线定义可得∠A+2∠ABD=100°，根据“奇妙三角形”的定义可判断求解；
（2）根据“奇妙三角形”的定义可得或于是可得∠B=10°或∠A=10°，然后根据三角形内角和定理计算即可判断求解；
（3）根据“奇妙三角形”的定义可求解.
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