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沪科版2025—2026学年七年级下册期中模拟核心考点专练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
2．某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度0.000000007米；单个芯片面积：2.5平方毫米；集成元件数量80亿个；光刻工艺线宽误差：±0.0000000005米．数据“0.000000007”用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．0.7×10﹣8 C．70×10﹣10 D．7×109
3．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
6．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若（x－5）(x＋2)＝x2＋px＋q，则p、q的值是（　　）
A．3，10 B．3，-10 C．-3，10 D．-3，-10
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
10． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是　 　．
12．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
13．计算：　 　．
14．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，那么代数式|b﹣a|+|2a+c|﹣|c﹣b|的化简结果是　 　．
15．如果长方体的长为，宽为a，高为，则它的体积是　 　（用含a的式子表示）．
16．一种定价为20元的商品，商店“6.18”做促销打折活动，优惠方式如下：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价的八折付款．小宇有160元，他最多可以购买该商品　 　件．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：；
（2）因式分解：．
18．已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）若，求的值；
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值．
20．已知，，…，．
将以上等式两边分别相加得
用你发现的规律解答下列问题
（1）猜想并写出：____ ____；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①_____________；
②______________；
（3）思考并计算：的值．
21．现有四个实数：①，②，③，④
（1）将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：　 　；无理数：　 　．
（2）请在数轴上近似表示出以上四个实数．
（3）请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
　 　　 　　 　　 　
22．某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，其中C型号的礼品500件，A型号的礼品比B型号的礼品多200件.已知三种型号的礼品单价如下表所示：
型号 A B C
单价(元) 30 20 10
（1）求计划购进A和B两种型号的礼品分别多少件.
（2）实际购买时，在计划总价格不变的情况下，解答下列问题：
①若只购进B，C两种型号的礼品，且B型号的礼品件数不超过C型号的礼品件数的2倍，则B型号的礼品最多购进多少件
②若只购进A，B两种型号的礼品，它们的单价分别打折，折，，a，b均为整数，且购进的礼品总数比计划多300件，求a，b的值.
23．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到．
（1）写出由图2所表示的数学等式：______；
写出由图3所表示的数学等式：______．
（2）利用上述结论，解决下面问题：
①已知，，求的值．
②在①的条件下，若、、分别是的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
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沪科版2025—2026学年七年级下册期中模拟核心考点专练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可得导火索燃烧完的时间为，人跑开的时间为．
∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域，
∴导火索燃烧完的时间要大于人跑开的时间，即，
故选：A．
【分析】
由不等关系“ 点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域 ”列不等式即可．
2．某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度0.000000007米；单个芯片面积：2.5平方毫米；集成元件数量80亿个；光刻工艺线宽误差：±0.0000000005米．数据“0.000000007”用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．0.7×10﹣8 C．70×10﹣10 D．7×109
【答案】A
【解析】【解答】解：0.000000007=7×10-9.
故答案为：A.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：设打x折，由题意得
，
解得：x≥7．
故最多可打7折．
故答案为：C．
【分析】设打x折，根据题意列出不等式，再求出x的取值范围即可。
4．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A.在不等式aB.在不等式aC.在不等式aD.a，b的值不确定，的大小比较有多种情况，例如当a=0，b=1时，则，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边都加上（或都减去）同一个数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍然成立（不等号不变）；不等式两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号方向，所得的不等式仍然成立．据此分析各选项，无法根据不等式性质推导的，可以举例子．
5．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得m+4+m-2=0，求解可得m的值.
6．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＞0，
解②得x≤2，
∴不等式组的解集为0＜x≤2，
∴在数轴上表示为
故答案为：B
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，在表示在数轴上即可求解。
7．若（x－5）(x＋2)＝x2＋px＋q，则p、q的值是（　　）
A．3，10 B．3，-10 C．-3，10 D．-3，-10
【答案】D
【解析】【解答】∵（x－5）(x＋2)＝x2-3x-10，（x－5）(x＋2)＝x2＋px＋q，
∴p=-3，q=-10，
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法可得（x－5）(x＋2)＝x2-3x-10，再利用待定系数法可得p=-3，q=-10，从而得解.
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，完全平方公式，平方差公式计算求解即可。
9．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
10． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：将方程分解为质因数幂
分解质因数：
化简为：
∴
由第二式得，代入第一式：
代入第三式：
则，
解得：
计算代入得：，
故答案为：Ａ.
【分析】首先将方程分解为质因数幂的形式，通过比较指数建立方程组，解方程组后代入计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，不等式组可以转化为，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可.
12．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
【答案】8＜a≤10
【解析】【解答】解：解不等式组得，
，
∵不等式组有3个整数解，
即整数解为2，3，4，
即可得 ，解得8＜a≤10.
故答案为：8＜a≤10.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后结合不等式组有3个整数解就可得到a的范围.
13．计算：　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】先利用0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可.
14．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，那么代数式|b﹣a|+|2a+c|﹣|c﹣b|的化简结果是　 　．
【答案】3a
【解析】【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜c＜0＜a， ， ，
∴b a＜0，2a＋c＞0，c b＞0，
∴|b﹣a|+|2a+c|﹣|c﹣b|＝a b＋2a＋c c＋b＝3a，
故答案为：3a．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
15．如果长方体的长为，宽为a，高为，则它的体积是　 　（用含a的式子表示）．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：.
【分析】 先用长方体的体积=长宽高代入题中数据列出代数式，然后再用整式乘法计算化简即可.
16．一种定价为20元的商品，商店“6.18”做促销打折活动，优惠方式如下：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价的八折付款．小宇有160元，他最多可以购买该商品　 　件．
【答案】8
【解析】【解答】解：小宇有160元，设他最多可以购买该商品x件，
由题意得5×20+20×0.8×（x-5）≤160，
解得x≤8.75，
∵x代表的是购买商品的数量，
∴x只能为自然数，
∴x最大为8，即最多购买8件商品.
故答案为：8.
【分析】小宇有160元，设他最多可以购买该商品x件，用购买前5件商品的费用+购买的超过5件商品的费用不超过160元建立不等式，求解得出x的取值范围，进而根据x代表的是购买商品的数量，只能为自然数，可得x的最大取值即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】解：（1）；（2）
（1）解：
；
（2）解：
【解析】【分析】（1）先分别处理负指数幂、零指数幂和乘方：负指数幂转化为，零指数幂等于1，是；再将这些结果进行加减运算，最终得到数值。
（2）第一步先提取公因式，将原式化为；第二步观察括号内的式子，发现它是完全平方公式，进而分解为。
18．已知x的两个平方根是与，且的算术平方根是3．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，；
∴。
（2）解：，，
，
的立方根是2．
【解析】【分析】（1）根据“ x的两个平方根互为相反数”，可以列式求出a的值；根据算术平方根的定义列式计算即可求出b的值，最后根据平方根的定义代入计算即可求出的值；
（2）结合（1）的计算结果，将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案．
（1）解：的两个平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，；
∴；
（2）解：，，
，
的立方根是2．
19．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，的值为．
仿照上面的方法解答下面问题：
（1）若，求的值；
（2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式及a的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：．
∴，，
∴.
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，求出m、n的值，最后求出m+n的值即可；
（2）设另一个因式为，利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得，最后求出a、p的值即可.
（1）解：∵，
∴，解得．
∴，，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为，a的值是．
20．已知，，…，．
将以上等式两边分别相加得
用你发现的规律解答下列问题
（1）猜想并写出：____ ____；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①_____________；
②______________；
（3）思考并计算：的值．
【答案】（1）；
（2）①；②
（3）解：
，
答：该式的值为．
【解析】【解答】解：（1）由已知规律可得，
故答案为：，；
（2）①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
【分析】（1）根据已知等式的结构特征，猜想写出即可；
（2）根据展开，利用裂项相消法，化简计算即可；
（3）先将分母为相差2的两数乘积的分式，再提公因式转化为可裂项的形式，再化简求和即可．
（1）解：由已知规律可得，
故答案为：，；
（2）解：①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
（3）解：
，
答：该式的值为．
21．现有四个实数：①，②，③，④
（1）将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：　 　；无理数：　 　．
（2）请在数轴上近似表示出以上四个实数．
（3）请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
　 　　 　　 　　 　
【答案】（1）①④；②③
（2）解：各数在数轴上表示如下图所示：
（3）；；；
【解析】【解答】解：(1)
有理数：无理数：②-π，③
故答案为：①④；②③；
(3)各数用小于号连接为：
故答案为：
【分析】(1)先把含有根号的数化简，然后根据有理数和无理数的概念进行判断即可；
(2)把已知条件中是实数用数轴上的点表示出来即可；
(3)观察(2)中所画数轴，按照从左到右的顺序，用小于号连接起来即可.
22．某单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，其中C型号的礼品500件，A型号的礼品比B型号的礼品多200件.已知三种型号的礼品单价如下表所示：
型号 A B C
单价(元) 30 20 10
（1）求计划购进A和B两种型号的礼品分别多少件.
（2）实际购买时，在计划总价格不变的情况下，解答下列问题：
①若只购进B，C两种型号的礼品，且B型号的礼品件数不超过C型号的礼品件数的2倍，则B型号的礼品最多购进多少件
②若只购进A，B两种型号的礼品，它们的单价分别打折，折，，a，b均为整数，且购进的礼品总数比计划多300件，求a，b的值.
【答案】（1）解：设计划购进B型号礼品x件，则计划购进A型号礼品件，
依题意，得：，
解得：，
．
答：计划购进A型号礼品1200件，B型号礼品1000件．
（2）解：①设购进B型号礼品m件，则购进C型号礼品件，
依题意，得：，
解得：．
答：B型礼品最多购进2440件；
②设购进A型号礼品y件，则购进B型号礼品件，
依题意，得：，
．
，
，
．
，
，
，解得：．
又，a，b均为整数，
，，此时；
，，此时，不合题意，舍去；
，，此时，不合题意，舍去．
综上所述，，．
【解析】【分析】（1）设计划购进B型号礼品x件，则计划购进A型号礼品件，根据该单位计划购进A，B，C三种型号的礼品共2700件，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①设购进B型号礼品m件，则购进C型号礼品件，根据B型礼品件数不超过C型礼品的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
②设购进A型号礼品y件，则购进B型号礼品件，根据总价=单价×数量，即可得出，结合，a，b均为整数及即可得出关于求出a，b的值，再由y为整数即可确定a，b的值．
23．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到．
（1）写出由图2所表示的数学等式：______；
写出由图3所表示的数学等式：______．
（2）利用上述结论，解决下面问题：
①已知，，求的值．
②在①的条件下，若、、分别是的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：①∵，，，
∴，
∴；
②是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
【解析】【解答】解：（1） 图2中大正方形的面积为：，
9个长方形的面积和为：，
∴；
图3中阴影部分是边长为的正方形，面积为，
还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加上2个长为b宽为c的面积，加上1个边长为b的正方形的面积，加上1个边长为c的正方形的面积，即阴影部分面积为，
∴，
故填：；；
【分析】（1）图2 中大正方形的面积等于9个长方形的面积和，列出代数式，即可得出答案；图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积，列出代数式，即可得出答案；
（2）①把，整体代入，得出，即可出答案；
②根据题意得出，利用完全平方公式变形为，根据非负数的性质a=b=c，得出是等边三角形，即可得出答案．
（1）解： 大正方形的面积为：
9个长方形的面积和为：，
∴；
图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积，
即，
∴，
故答案为：；；
（2）①∵
又∵，，
∴，
∴.
②∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
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