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人教版2025—2026学年八年级下册期中模拟押题抢分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )
A．335°° B．255° C．155° D．150°
4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在BD，AB上，连接CE，EF，当，时，CE的长（　　）
A． B． C． D．
5．如图，若D、E、F分别是△ABC三边中点，EF＝6cm，DE＝4cm，DF＝5cm，则△ABC的周长为（　　）
A．15cm B．18cm C．30cm D．36cm
6．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形 中， ，按以下步骤作图：①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ， ；②作直线 ，且 恰好经过点 ，与 交于点 ，连接 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
9．如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
10．已知点Р是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： =　 　。
12．如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为　 　．
13．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　.
14．若直角三角形的两条直角边长分别为2 1和2 1，则这个直角三角形的斜边长为 　 　．
15．已知是实数，且，则的值是　 　.
16．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE=　 　°
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）
（2）
18． 如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=2，BC=4，求AE的长．
19．已知关于x的一元二次方程：．
（1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）；
（2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．
20．如图，的对角线AC、BD相交于点O，，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
21．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点．
（1）求圆锥的全面积；
（2）求蚂蚁爬行的最短距离．
22．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
23．图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．
（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当，时，求图2中空白部分的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年八年级下册期中模拟押题抢分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】 A（-3，4），
OA==5，
四边形OABC是菱形，
AO=CB=OC=AB-5，
点B的横坐标为-3-5=-8，
故点B的坐标为：（-8，4），
故选：C
【分析】根据勾股定理求出OA，根据菱形性质求出点B的横坐标，即可求出点B的坐标。
3．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )
A．335°° B．255° C．155° D．150°
【答案】B
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故选：B．
【分析】
先根据三角形内角和定理求出△ABC中除∠A外另外两个内角的和∠B+∠C，再根据∠1、∠2与∠B、∠C构成四边形，利用四边形内角和定理求出∠1+∠2的度数。
4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在BD，AB上，连接CE，EF，当，时，CE的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AE，过点E作EM⊥AD于点M，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，∠BAD=90°，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，∠ECD=∠EAD
∵CE=EF
∴AE=EF
∴∠AFE=∠FAE，
∵∠AFE=2∠ECD
∴∠FAE=2∠ECD=2∠EAD
∵∠FAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴2∠EAD+∠EAD=90°
∴∠EAD=30°，
设EM=a，
则AE=2a，
在Rt△AME中，由勾股定理得，
，
在Rt△AME中，∠ADB=45°，
∴△DME是等腰直角三角形
∴MD=EM=a.
∵AD=1.
∴
解得：
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】连接AE，过点E作EM⊥AD于点M，先证△ADE≌△CDE，得出AE=CE，∠ECD=∠EAD，结合CE=EF得出AE=EF，于是得出∠AFE=∠FAE，即可求出∠EAD=30°，设EM=a，则AE=2a，根据勾股定理求出AM的长，再求出DM的长，根据AD=1即可求出a的值，从而求出CE的长.
5．如图，若D、E、F分别是△ABC三边中点，EF＝6cm，DE＝4cm，DF＝5cm，则△ABC的周长为（　　）
A．15cm B．18cm C．30cm D．36cm
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，
∵点D、E、F为三边的中点，
∴，，，
∴的周长为：
=30(cm)
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△ABC的周长即可。
6．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
B、和不是同类项，无法合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的性质和加减运算逐一计算即可.
7．如图，在菱形 中， ，按以下步骤作图：①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ， ；②作直线 ，且 恰好经过点 ，与 交于点 ，连接 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由作图可知AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，DE=CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=AB=4，DE= CD=2，
在Rt△AED中，DE= AD，
∴∠DAE=30°，AE= = ，
∴∠D=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°，
在Rt△ABE中，
BE= = = ．
故答案为：B．
【分析】先求出CD=AD=AB=4，DE= CD=2，再求出∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°，最后利用勾股定理求解即可。
8．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图所示，连接，
∵，且四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，最小，
当时，当最小，
当时，，
∴，
故答案为：C．
【分析】由于对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可判断四边形OEPF为矩形，由于矩形的对角线相等，则EF的最小值实则是线段OP的最小值，显然当OP垂直AB时值最小．
9．如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN= AB，
即线段MN的长度不变，故①正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故②正确；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误。
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；
综上所述，会随点P的移动而不变化的是①②⑤。
故选B.
【分析】此题考查了三角形中位线定理， 平行线之间的距离，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN= AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
10．已知点Р是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点P作PE∥AC交AB于点E，
∵PE∥AC，PD∥AB，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴PD=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=∠60°，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C=60°，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP=PE，
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B=60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PD=PC=AE，
∴△AEP就是 以线段AP，BP，CP为边的三角形 ，
∵∠APC=104°，
∴∠PAC=180°-∠C-∠APC=16°，
∴∠BAP=60°-∠PAC=44°，
∵PE∥AC，
∴∠APE=16°，
∴∠AEP=180°-∠APE-∠BAP=120°，
∴△APE三个内角的度数分别为44°，16°，120°，
故最小内角的度数为16°.
故答案为：B.
【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点P作PE∥AC交AB于点E，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AEPD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得PD=AE，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=∠BAC=∠60°，由二直线平行，同位角相等得∠BPE=∠C=60°，从而由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△BPE是等边三角形，则BP=PE，同理PD=PC=AE，AEP就是 以线段AP，BP，CP为边的三角形 ，进而根据三角形的定理及平行线的性质分别算出△APE三个内角的度数即可判断得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： =　 　。
【答案】8
【解析】【解答】解：.
故答案为：8.
【分析】利用两个二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可.
12．如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为　 　．
【答案】54
【解析】【解答】解：∵ 点，是、的中点，
∴DE=AB，
∵DE=27，
∴AB=54m.
故答案为：54.
【分析】根据点，是、的中点可得DE=AB，进而得出答案.
13．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　.
【答案】24
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4，
在直角三角形ABO中，
由勾股定理得，AO＝3，
∴AC＝6，
∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24，
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝5，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD＝4，由勾股定理求出AO的值，然后求出AC的值，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行计算.
14．若直角三角形的两条直角边长分别为2 1和2 1，则这个直角三角形的斜边长为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得
斜边长为.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理，可求出直角三角形的斜边长.
15．已知是实数，且，则的值是　 　.
【答案】4
【解析】【解答】根据非负数之和等于0的性质可得关于的方程组，求出a值即可.
解：因为+|a2-2a-8|=0，
∴，
解得a=4.
故答案为：4
【分析】本题考查二次根式的非负性，绝对值的非负性.先根据二次根式的非负性，绝对值的非负性可列出方程组，解方程组可求出a的值.
16．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE=　 　°
【答案】75
【解析】【解答】因为四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC=45°，
∵∠BDE=15°，∴∠ADB=∠ADE ∠BDE=30°，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴OA=OD=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴DC=OC，
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∵∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，∴CE=DC，∴CE=OC，∴∠COE=∠OEC，
∵∠OCB=30°，∴∠COE=12(180° ∠OCE)=75°，
故答案为：75.
【分析】根据矩形的性质可得：OC=OD=DC，∠OCE=30°，三角形CDE为等腰直角三角形，所以CE=DC=OC，根据三角形内角和可求得∠COE
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：=6；
（2）解：.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的加减法法则，先化简，再合并同类二次根式即可.
18． 如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O，交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=2，BC=4，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴CF＝AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝FC，
设BF＝x，则AF＝FC＝4 x，
在Rt△ABF中，AB＝2，
根据勾股定理得，AB2＋BF2＝AF2，
即4＋x2＝（4 x）2，
解得：x＝1.5，
∴BF＝1.5，
∴AE＝FC＝4 1.5＝2.5．
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△FCO≌△EAO，可得CF＝AE，再结合AD∥BC，证出四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可证出四边形AECF为菱形；
（2）设BF＝x，则AF＝FC＝4 x，利用勾股定理可得AB2＋BF2＝AF2，即4＋x2＝（4 x）2，求出x的值，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
19．已知关于x的一元二次方程：．
（1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）；
（2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．
【答案】（1）解：对于关于x的一元二次方程，
，，，
，，
；
（2）解：当时，，
此时菱形的面积为．
【解析】【分析】（1）根据二次方程根与系数的关系可得，，根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.
（2）根据菱形面积即可求出答案.
（1）解：对于关于x的一元二次方程，
，，，
，，
；
（2）解：当时，，
此时菱形的面积为．
20．如图，的对角线AC、BD相交于点O，，OE与AB交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：添加AC⊥BD，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AOBE是平行四边形
∵AC⊥DB
∴∠AOB=90°
∴四边形AOBE是矩形
（2）解：由（1）可知，四边形AOBE是矩形
∴AB=OE=10
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵AC⊥BD
∴
∴BD=12
∴
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得AB=OE=10，再根据平行四边形性质可得，根据勾股定理可得BD，再根据平行四边形面积即可求出答案.
21．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点．
（1）求圆锥的全面积；
（2）求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）解：∵．
∴在中，由勾股定理，得母线，
∴；
（2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，，
而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为，
∴，
解得，即是等腰直角三角形．
在中，由勾股定理，得，
∴蚂蚁爬行的最短距离为．

【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得母线l，再根据圆锥全面积即可求出答案.
（2）设扇形的圆心角为，根据弧长公式求出圆锥的侧面展开后的扇形的弧长，根据题意建立方程，解方程可得，即是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵．
∴在中，由勾股定理，得母线，
∴；
（2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，，
而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为，
∴，
解得，即是等腰直角三角形．
在中，由勾股定理，得，
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
22．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CF＝AE，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF∠ABC＝35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°．
【解析】【分析】(1)先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，进而得到DE＝BF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出即可.
(2)先根据平行四边形的性质得到∠ADC，再根据平分线的定义求出∠EBF，进而得到∠EDF，进行计算即可.
23．图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．
（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
（2）当，时，求图2中空白部分的面积．
【答案】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
∴，即．
（2）解：当时，，
由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示出图2的面积可得，，再化简可得，即；
（2）将a、b的值代入求出，再利用割补法求出即可.
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