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【决战期中·50道解答题专练】人教版数学八年级下册期中复习测试卷
1．已知，如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB= 13，AD=12，AC=15，BD=5，求BC的长．
2．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
3．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的．求多边形的边数．
4．已知：x，y为实数，且 ，化简： ．
5．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
6．如图，已知在中，，，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连结．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰直角三角形时，求的值；
（3）当为等腰三角形时，求的值．
7．在中，，，，求．
8．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简： +|a-b|+ -|b-c|
9．如图，D为边上的一点，，，，，求的长.
10．化简
（1）+．（1≤x＜4）
（2）（）2﹣．
11．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=2．求斜边AB的长．
13．如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC为等腰三角形．
15．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
16．在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形？
17．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=8， BC=6，∠D=30°，求CD的长.
18．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大 ，求这个多边形的边数．
19．图，ABCD的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：ABCD是矩形；
（2）求点到线段的距离．
20．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，O是对角线AC的中点，E是BC边上一点，连结EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且（OE=OF。
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形。
（2）若 求 的度数。
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，求∠ACD的度数．
22．如图，某厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．已知AB=8m，求DE+DF的长．
23．如图，地块的周长为56m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，DE＝8m，点F，G分别在边EB，CD上，且AE＋FB＝GC．
（1）求证：四边形DEFG为矩形．
（2）若AE＝FB，GC＝2DG，求种植花卉区域四边形DEFG的面积．
24．如图所示，在△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。
25．计算：+﹣2sin60°+|tan60°﹣2|
26．如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
27．已知228．项目式学习．
下表是某创新小组测量学校旗杆高度的实践活动的相关情况．
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
测量步骤 如图，为旗杆上用来固定旗子的绳子，点D距地面的高度为，用皮尺测量的长度．将绳子拉至的位置，用皮尺测得点B到的距离和到地面的垂直高度 示意图
测量数据 米，米，米
根据以上测量结果，求学校旗杆的高度．
29．如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）试说明CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；
（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．
30．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．
31．如图， ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F． 请你找出图中与AF相等的一条线段，并加以证明．（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）
（1）结论：AF=　 　．
（2）证明你的结论。
32．（1）计算：；
（2）在 中，与相交于点，点为的中点，，求的长．
33．如图， Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧， ，点O是BD的中点，连接AC， AO， OC.
（1）求证：△AOC为等腰三角形
（2） 若∠ADB = 30°， ∠BDC =40°， 求∠AOC的度数：
（3） 若锐角∠ADC =α， 求∠AOC的度数（用α的代数式表示）.
34．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
35．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形对角线的长和矩形的面积．
36．如图，四边形ABCD是菱形，为对角线AC的中点，点在AB的延长线上，，垂足为，点在AD的延长线上，，垂足为．若，求证：四边形CEHF是菱形.
37． 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点．
（1）如图，连接，于点，图中有 ▲ 对“勾股三角形”；分别是哪几对？
（2）如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接）
38．如图，某公路上A，B两点的正南方有D，C两村庄，现要在公路AB上建一个车站E，使C，D两村到E站的距离相等，已知AB=50km，DA=20km，CB=10km，请你设计出E站的位置，并计算车站E距A点多远
39．【问题提出】已知：点E，F分别为正方形的边上的点，，如图1，探究图中线段之间的数量关系．
【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长到点G，使，连接．
【解决问题】（1）请你根据王明同学提供的思路探究线段之间的数量关系（直接写出结果）；
（2） 已知，求正方形的面积．
【思维拓展】如图2，中，，，点M，N在边上，．若，求的长．
40．若菱形的一个角与三角形的一个角重合，且它的对角顶点在这个重合角的对边上，则称这个菱形为这个三角形的“亲密菱形”。如图，在△CFE中，（ 90°，以点C为圆心，以任意长为半径作弧AD，再分别以点A，D为圆心，大于 长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD。
（1）求证：四边形ACDB为△CFE的“亲密菱形”。
（2）求四边形ACDB的面积。
41．如图，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
42．图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？
43．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：．（提示；运用面积等量关系）
44．如图，在四边形中，，．
（1）______度；（用含，的代数式表示）
（2）若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由．
45．正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE，AC和BE相交于点F，连接DF.求 ∠AFD的度数.
46． 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠ACB=45°，AC＞AB，E，F为对角线AC上的两点(点E与A、C、F都不重合)，AE=CF，EM⊥BC于点M，FN⊥AD于点N，连结EN，FM．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）四边形EMFN能否成为矩形？四边形EMFN能否成为菱形？请直接写出答案．
（3）连结MN，作点C关于MN的对称点C'，若点C'落在边AB上，求AE的长.
47．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连结FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。（提示：取BD的中点H，连结FH，HE)
（2）如图2，在△ABC中，O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，连结DG，若AB=CD=5，∠OEC=60°，求OE的长度。
48．如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
（1）如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
（2）如图3，当时，连结，若，求的长．
49．如图，在菱形ABCD中，∠B═60°，M，N分别为线段AB，BC上的两点，且BM═CN，AN，CM相交于点E，连结DE。
（1）求证：△BCM≌△CAN。
（2）求∠AED的度数。
（3）求证：AE+CE=DE。
50．如图①，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且∠EAF= 60°．
（1）写出BE，CF，AB之间的数量关系；
（2）如图②，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；
（3）如图③，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE ，DF ，AB三者之间的关系．
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【决战期中·50道解答题专练】人教版数学八年级下册期中复习测试卷
1．已知，如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB= 13，AD=12，AC=15，BD=5，求BC的长．
【答案】解：∵AD2 +BD2= 144+25= 169 ，AB2= 169，
∴AD2+BD2 =AB2，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90° ，
∴CD2=AC2-AD2=152-122=92，
∴CD=9，∴ BC=CD+BD=9+5= 14．
【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理证明 ∠ADC=90° ，再利用勾股定理求出CD的长，最后用CD+B即可。
2．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
【答案】（1）①是；②是
（2）解：∵是直角三角形，，
∴，即．
∵是可爱三角形，，
∴有三种情况：
①，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
②，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
③，此种情况不成立．
综上，的长为或．
【解析】【解答】（1）解：①设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是“可爱三角形”，
故答案为：是；
②∵，
∴该三角形是“可爱三角形”，
故答案为：是；
【分析】（1）①设等边三角形的边长为，根据“可爱三角形”的定义可作出判断；
②利用“可爱三角形”的定义可作出判断；
（2）根据勾股定理得BC2=AB2-AC2，由题意需要分三种情况：AB2+AC2=2BC2；AB2+BC2=2AC2；AC2+BC2=AB2≠2AB2，进行计算可依次求出的长．
3．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的．求多边形的边数．
【答案】解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为x度，依题意得：
x+ x=180，
解得x=135，
则360÷（180﹣135）=360÷45=8．
答：多边形的边数是8．
【解析】【分析】可设多边形的一个内角是x度，根据题意表示出外角的度数．再根据各个内角和各个外角互补，列方程求解即可．
4．已知：x，y为实数，且 ，化简： ．
【答案】解：依题意，得
∴x﹣1=0，解得：x=1
∴y＜3
∴y﹣3＜0，y﹣4＜0
∴
=3﹣y﹣
=3﹣y﹣（4﹣y）
=﹣1．
【解析】【分析】应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果．
5．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
【答案】（1）EF=BE+DF，
证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAQ=45°，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中
∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=EQ=BE+BQ=BE+DF．
（2）解：AM=AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，
∴×EQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．
（3）AM=AB，
证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，
∵折叠后B和D重合，
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，
在△ADF和△ABQ中，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠FAE=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中，
，
∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF=EQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，
∴×EQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．
【解析】【分析】（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠EAF，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可；
（2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；
（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，证△EAQ≌△EAF，推出EF=EQ即可．
6．如图，已知在中，，，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连结．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰直角三角形时，求的值；
（3）当为等腰三角形时，求的值．
【答案】（1）解：∵点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动，点P的运动时间为t，
∴BP=t，
∵BC=16，t=7，
∴PC=BC-BP=16-t=16-7=9，
∵∠ACB=90°，AC=12，
∴AP=.
答：的长度为15；
（2）解：由（1）得：BP=t，PC=16-t，
∵△ACP为等腰直角三角形，且∠ACP=90°，AC=12，
∴PC=AC，
∴，
解得：t=4或t=28.
答：当为等腰直角三角形时，的值为4秒或28秒；
（3）解：由题意分三种情况讨论：
①当AB=AP时，如图，
∴BP=2BC=2×16=32，
∴t=32；
②当AP=BP时，如图，
在Rt△ACP中，
AP2=AC2+PC2，
∴，
解得：t=12.5；
③当AB=BP时，如图，
在Rt△ABC中，AC=12，BC=16，
AB=，
∴BP=AB=20，即t=20；
答：当为等腰三角形时，的值为32秒或秒或20秒．
【解析】【分析】
（1）由题意，在Rt△ACP中，用勾股定理计算即可求解；
（2）当时，为等腰直角三角形，由等腰三角形的两腰相等可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）由题意分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可．
（1）解：由题意得：，
∴，
∵，
在中，，
∴的长度为15；
（2）解：由题意得：，则，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
即或，
解得或，
∴的值为4秒或28秒；
（3）解：在中，，，
∴，
若，如图，
则，即；
若，如图，
则在中，，
解得：；
若，如图，
则；
∴当为等腰三角形时，的值为32秒或秒或20秒．
7．在中，，，，求．
【答案】解：如图，
根据勾股定理可得：．
【解析】【分析】直接利用勾股定理计算即可求解.
8．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简： +|a-b|+ -|b-c|
【答案】原式=|a|+|a﹣b|+a+b﹣|b﹣c|，
=﹣a+a﹣b+a+b﹣c+b，
=a+b﹣c.
【解析】【分析】根据数轴判断出a，b，c的正负情况以及绝对值的大小，再根据算术平方根，立方根的定义，绝对值的性质进行化简，后进行整式的加减计算即可得解.
9．如图，D为边上的一点，，，，，求的长.
【答案】解：∵，，，且，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，，
∴16.
【解析】【分析】由勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算.
10．化简
（1）+．（1≤x＜4）
（2）（）2﹣．
【答案】解：（1）∵1≤x＜4，
∴x﹣1≥0，x﹣4＜0，
∴+
=+
=|1﹣x|+|x﹣4|
=x﹣1+4﹣x
=3；
（2）由题意得，2﹣x≥0，则3﹣x＞0，
则（）2﹣
=2﹣x﹣（3﹣x）
=2﹣x﹣3+x
=﹣1．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和合并同类项的法则进行化简即可；
（2）根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质和合并同类项的法则进行化简即可．
11．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，．
在中，由勾股定理，得，
∵，O为的中点，
∴在中，．
【解析】【分析】本题考查菱形的判定和性质．
（1）先利用平行线的性质可推出，再根据平分，利用角平分线的性质可推出，据此可得，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，再根据，利用菱形的判定定理可证明四边形是菱形；
（2）根据四边形是菱形，，利用菱形的性质可推出：，，．利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入数据可求出答案．
（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，．
在中，由勾股定理，得，
∵，O为的中点，
∴在中，．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=2．求斜边AB的长．
【答案】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，所以有∠B=45°
所以BC=AC=2，故AB=
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的勾股定理，可得出AB的长度。
13．如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？
【答案】证明：OE=OF．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD．
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OFD=∠OEB．
又∠DOF=∠BOE，
∴△BOE≌△DOF．
∴OE=OF．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得OB=OD，根据BE⊥AC，DF⊥AC得∠OFD=∠OEB，结合对顶角相等得△OFD≌△OEB，从而证明OE=OF．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC为等腰三角形．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm，
由运动可知，BP=t，且△PBC为等腰三角形有三种可能：
①若BP=PC，则∠B=∠PCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
∴t=BP=AB=；
②若BP=BC，则t=4；
③若BC=PC，过点C作CH⊥AB，如图，
则BP=2BH．由CH×AB=BC×AC，得CH=；
在Rt△BHC中，由勾股定理得BH=，
∴t=BP=；
综上所述，符合要求的t的值有3个，分别是 秒或4秒秒．
【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB，根据等腰三角形的判定得出符合情况的三种情况：①BP=PC，②BP=BC，③BC=CP，根据等腰三角形的性质得出即可．
15．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
【答案】解：∵PB=PC，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PCB=（180°﹣∠BPC）=30°，
即正n边形的一个外角为30°，
∴n==12．
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠PBC=∠PCB=30°，再根据多边形外角和为360°即可求解．
16．在△ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n都是正整数；且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形？
【答案】解：∵a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，
∴a2+b2=（m2﹣n2）2+4m2n2=m4+n4﹣2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2=c2．
∴△ABC是为直角三角形
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
17．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=8， BC=6，∠D=30°，求CD的长.
【答案】解：在Rt△ABC中，
∵在Rt△ABC中，∠D=30°，
∴AD=2AC=20.
【解析】【分析】根据勾股定理求出AC的长，再直角三角形中有一个∠D=30°，求出AD再求出CD的长即可
18．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大 ，求这个多边形的边数．
【答案】解：设每个内角度数为 度，则与它相邻的外角度数为 ，
根据题意可得 ，
解得 ．
所以每个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ．
答：这个多边形的边数为9．
【解析】【分析】根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大 ，构造方程求出外角度数，最后利用外角和 可求边数．
19．图，ABCD的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：ABCD是矩形；
（2）求点到线段的距离．
【答案】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=BD，OA=OC=AC，
∴BD=AC，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵ ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°-60°=30°，
∴DB=2AB=8，
∴AD===4，
设点A到线段BD的距离为h，
∵S△ABD=BD h=AB AD，
∴×8h=×4×4，
∴h=2，
即点A到线段BD的距离为2．
【解析】【分析】（1）先证出OB=OD=BD，OA=OC=AC，可得BD=AC，再结合四边形ABCD是平行四边形，即可证出 ABCD是矩形；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质可得DB=2AB=8，利用勾股定理可得AD===4，设点A到线段BD的距离为h，利用三角形的面积公式可得×8h=×4×4，求出h=2，可得点A到线段BD的距离为2．
20．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，O是对角线AC的中点，E是BC边上一点，连结EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且（OE=OF。
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形。
（2）若 求 的度数。
【答案】（1）证明：∵点O是对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(SAS)，
∴∠OAF=∠OCE，
∴ AD∥BC，
又∵AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解： 由 (1) 得： 四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=63°，
∴∠GEC =∠B+∠G=63°+42°= 105°
【解析】【分析】(1)证△AOF≌△COE(SAS)，得∠OAF=∠OCE， 则AD∥BC， 再由AD= BC， 即可得出四边形ABCD是平行四边形；
(2)由平行四边形的性质得∠B=∠D =63°， 再由三角形的外角性质即可求解.
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，求∠ACD的度数．
【答案】解：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，
∴
在△ACD中，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC=4，再求出 △ACD是直角三角形， 最后求解即可。
22．如图，某厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．已知AB=8m，求DE+DF的长．
【答案】解：D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE=AC，DF=AB，
∴DE+DF=（AC+AB）=AB=8（m）．
【解析】【分析】由三角形中位线定理得到：DE=AC，DF=AB，可得到DE+DF= （AC+AB）=AB，继而求得答案．
23．如图，地块的周长为56m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，DE＝8m，点F，G分别在边EB，CD上，且AE＋FB＝GC．
（1）求证：四边形DEFG为矩形．
（2）若AE＝FB，GC＝2DG，求种植花卉区域四边形DEFG的面积．
【答案】（1）证明：在中，DC∥AB，DC＝AB，
∵AE＋FB＝GC，
∴DC－GC＝AB－AE－FB，即DG＝EF．
∵DC∥AB，
∴DG∥EF，
∴四边形DEFG为平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴为矩形．
（2）解：设AE＝FB＝x，则GC＝2x，EF＝DG＝x，AD＝28－3x，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得（28－3x）2＝x2＋82，
化简，得x2－21x＋90＝0，解得x＝6，或x＝15（舍去）
∴种植花卉区域四边形DEFG的面积＝8x＝48m2．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得：DC∥AB，DC＝AB，由题意可得DG=EF，于是根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DEFG为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形DEFG是矩形；
（2）设AE＝FB＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据矩形的面积等于长×宽可求解.
24．如图所示，在△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。
【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，
因为AB=AC= 20，BC=32，所以BE=CE= BC= 16．
所以AE2=AC2-CE2=202-162=12，所以AE=12．
设DE=x，则BD=16-x，CD=16+x．
在Rt△ADE中，因为AD2=AE2+DE2 ，所以AD2= 122 +x2①；
在Rt△ADC中，因为AD2=CD2- AC2，
所以AD2=(16+x)2- 202②．
①②联立，得122+x2=(16+x)2-202 ，解得x=9，
所以BD=16-9=7．
【解析】【分析】先求出BE=CE=16，再求出AE=12，最后利用勾股定理求解即可。
25．计算：+﹣2sin60°+|tan60°﹣2|
【答案】解：原式=+2﹣2×+2﹣
=4+﹣2．
【解析】【分析】根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=+2﹣2×+2﹣，然后合并即可．
26．如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形是矩形，并说明理由；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：添加条件：，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形。
（2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴在中，，
∴在中，，
∵，
∴是菱形，
∴。
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，只需添加条件使得，根据矩形的判定定理，即可证明；
（2）根据（1）中，可得，当时，四边形是矩形，得到，根据平行四边形的性质，，代入数据，求出AO的值，在中，根据勾股定理：，代入数据求出BD的值，根据，易证是菱形，根据菱形的性质：，代入数据即可求解。
（1）解：添加条件：，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形．
（2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴在中，，
∴在中，，
∵，
∴是菱形，
∴．
27．已知2【答案】解：∵2原式= |2-m|- |m-3| =m-2+m- 3=2m-5．
【解析】【分析】根据条件得出 2- m<0，m- 3<0，再根据完全平方式开方，去绝对值，进行整式的加减混合运算，即得结果.
28．项目式学习．
下表是某创新小组测量学校旗杆高度的实践活动的相关情况．
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
测量步骤 如图，为旗杆上用来固定旗子的绳子，点D距地面的高度为，用皮尺测量的长度．将绳子拉至的位置，用皮尺测得点B到的距离和到地面的垂直高度 示意图
测量数据 米，米，米
根据以上测量结果，求学校旗杆的高度．
【答案】解：∵米，∴米，
∵米，
∴米，
设，则，，
由题意可得：，
在中，，
即，
解得：，即，
∴旗杆的高度为：米．
【解析】【分析】设绳子 AD 的长度为 x 米，根据题意表示出 AC 的长度，再在 Rt△ABC 中利用勾股定理列出方程，解出 AD 的长度后加上 DE 的高度，得到旗杆 AE 的总高度。
29．如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）试说明CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；
（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．
【答案】（1）证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△BCF和△ECH中，
∵，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH；
（2）∠BCE=45°时，四边形ACDM是平行四边形，理由如下：
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形；
（3）∵四边形ACDM是平行四边形，AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形，
∴AM=AC=，
∵∠A=45°，
∴AC边上的高=1
∴四边形ACDM的面积=1×=．
【解析】【分析】（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）当旋转角∠BCD=45°，推出四边形ACDM是平行四边形；
（3）由（2）可知四边形ACDM是平行四边形，又因为AC=CD，所以四边形ACDM是菱形，利用勾股定理求出边AC上的高，根据菱形的面积公式计算即可．
30．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．
【答案】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．
∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MN∥BD，MN=．
同理：GF∥BD，GF=．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH==3，HM=，
由（1）可知：∠FGH=90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM=90°．
∴GM==5．
【解析】【分析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，从而可证明∠FGH=90°；
（2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可．
31．如图， ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F． 请你找出图中与AF相等的一条线段，并加以证明．（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）
（1）结论：AF=　 　．
（2）证明你的结论。
【答案】（1）CD
（2）证明：在 ABCD中，AB//CD，
∴∠F=∠DCE，
∵ E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵ ∠AEF=∠CED，
∴△AEF≌△DEC（AAS）
∴AF=CD.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，再根据AE=DE，则可证明△AEF≌△DEC，所以可得AF=CD.
32．（1）计算：；
（2）在 中，与相交于点，点为的中点，，求的长．
【答案】（1）解：原式
（2）解：四边形为平行四边形，与相交于点，
，
点为的中点，
为的中位线，
．
【解析】【分析】(1)去括号的同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)由平行四边形的性质得O为AC的中点，结合中位线定理得OE的长.
33．如图， Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧， ，点O是BD的中点，连接AC， AO， OC.
（1）求证：△AOC为等腰三角形
（2） 若∠ADB = 30°， ∠BDC =40°， 求∠AOC的度数：
（3） 若锐角∠ADC =α， 求∠AOC的度数（用α的代数式表示）.
【答案】（1）证明：∵在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点，
∴，
∴AO=CO
∴△AOC为等腰三角形
（2）解：∵在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点，
∴，，
∴∠OAD=∠ADB=30°
∠OCD=∠BDC=40°
∴∠AOB=∠OAD+∠ADB=60°
∠COB=∠OCD+∠BDC=80°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=140°
（3）解：∵在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点
∴，，
∴∠OAD=∠ADB，∠OCD=∠BDC
∴∠AOB=∠OAD+∠ADB=2∠ADB
∠COB=∠OCD+∠BDC=2∠BDC
∵∠ADC=α
∴∠AOC=∠AOB+∠COB
=2∠ADB+2∠BDC
=2(∠ADB+∠BDC)
=2∠ADC
=2α
【解析】【分析】(1)由直角三角形斜边中线可得，，继而等量代换即可证明；
(2)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADB=30°，∠OCD=∠BDC=40°，从而可得∠AOB=60°，∠COB=80°，由此即可得；
(3)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADB，∠OCD=∠BDC，然后根据三角形的外角性质可得∠AOB=2∠ADB，∠COB=2∠BDC，由此即可得.
34．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
【答案】解：设EC为x ，∵△ADE与△AFE对折，
∴EF=DE=8-x，Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，BF2=AF2-AB2，
∴BF=6，∴FC=BC-BF=10-6=4，在Rt△FCE中，EC=x，EF=8-x，FC=4，
∴（8-x）2=x2+42，解得：x=3，即EC=3．
【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC-BF=4，设CE=x，则DE=EF=8-x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到关于x的方程，然后解方程即可.
35．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形对角线的长和矩形的面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4cm，
∴AC=2AO=8cm，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，AC=8cm，
由勾股定理得：AC=BC=4 cm．
∴矩形ABCD面积=AB BC=4×4 =16 （cm2）
【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，推出OA=OB，求出等边三角形AOB，求出OA=OB=AB=4cm，即可得出答案．
36．如图，四边形ABCD是菱形，为对角线AC的中点，点在AB的延长线上，，垂足为，点在AD的延长线上，，垂足为．若，求证：四边形CEHF是菱形.
【答案】证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
又∵为对角线AC的中点，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
即：四边形是菱形
【解析】【分析】先根据菱形的性质得到，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线的性子得到，同理得：，再结合题意根据菱形的判定即可求解。
37． 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点．
（1）如图，连接，于点，图中有 ▲ 对“勾股三角形”；分别是哪几对？
（2）如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接）
【答案】（1）解：图中由对“勾股三角形”，分别是和，和，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∵，即 ，
∴，
根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”；
∵于点，
∴在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得， ，
∴，
根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”；
故答案为： ；
（2）解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在中，，，
由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
设，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵和是一对“勾股三角形”，
∴，
即，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，AD=BC，根据勾股定理可得即可判断出，再根据勾股三角形定义即可求得；同理根据勾股定理分别在Rt△CDH和Rt△CGH，可得，即可求得；
（2）连接DG，根据正方形的性质可得，，根据勾股定理可得BG进而得到AG，再根据勾股定理求得DG，设DE为x，根据矩形的性质可得DF为（5-x），再根据和是一对“勾股三角形”列出方程，即可求得.
38．如图，某公路上A，B两点的正南方有D，C两村庄，现要在公路AB上建一个车站E，使C，D两村到E站的距离相等，已知AB=50km，DA=20km，CB=10km，请你设计出E站的位置，并计算车站E距A点多远
【答案】解：设AE=xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴DE=CE，即DE2=CE2，
由勾股定理，得202+x2=102+(50-x)2，解得x=22，
∴E点应建在距A站22千米处.
【解析】【分析】 设AE=xkm， 则BE=AB-AE=（50-x）km，根据题意 DE=CE ，根据勾股定理DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，从而建立出方程，求解即可得出x的值，从而得出答案。
39．【问题提出】已知：点E，F分别为正方形的边上的点，，如图1，探究图中线段之间的数量关系．
【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长到点G，使，连接．
【解决问题】（1）请你根据王明同学提供的思路探究线段之间的数量关系（直接写出结果）；
（2） 已知，求正方形的面积．
【思维拓展】如图2，中，，，点M，N在边上，．若，求的长．
【答案】解：（1）解：如图1，延长到点G，使，连接，
∵正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：由（1）可知，，
设正方形的边长，则，，
由勾股定理得，，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴正方形的边长是，
∵，
∴正方形的面积为．
（3）解：如图2，过点C作于C，截取，使，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，
∴，
∴的长为．
故答案为：（1）；（2）；（3）.
【解析】【分析】（1）延长到点G，使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算及等量代换求出，利用“SAS”证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）设正方形的边长，则，，利用勾股定理得，，即，再求出x的值，最后求出正方形的面积即可；
（3）过点C作于C，截取，使，连接，先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算及等量代换求出，利用“SAS”证出，可得，再利用勾股定理及等量代换可得，最后求解即可．
40．若菱形的一个角与三角形的一个角重合，且它的对角顶点在这个重合角的对边上，则称这个菱形为这个三角形的“亲密菱形”。如图，在△CFE中，（ 90°，以点C为圆心，以任意长为半径作弧AD，再分别以点A，D为圆心，大于 长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD。
（1）求证：四边形ACDB为△CFE的“亲密菱形”。
（2）求四边形ACDB的面积。
【答案】（1）证明：由已知得AC=CD，AB=DB，由已知尺规作图痕迹得BC是∠FCE的平分线，
∴∠ACB=∠DCB
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB
∴∠ACB=∠ABC
∴AC=AB
又∵AC=CD，AB=DB，
∴AC=CD=DB=BA
∴四边形ACDB是菱形
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△CFE的“亲密菱形”
（2）解：如图，过点A作AG⊥CE于点G，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠FCE=60°
∴∠E=∠FBA=30°
∴CE=2CF，AB=2AF
∵AB=AC，
∴AC=2AF
∵CE=12，
∴CF=6
∴AC=4
在Rt△ACG中，∵∠ACG=60°，
∴∠CAG=30°
∴菱形ACDB的面积为
【解析】【分析】(1)通过证明四边形四条边相等来判定其为菱形，再依据“亲密菱形"的定义进行证明；
(2)过点A作AG⊥CE于点G，利用角度关系和已知边长求出菱形的边长和高，进而求出菱形面积.
41．如图，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下．
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
宽度相等，即，且，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
，
，
由可得四边形是菱形，
，
在中，，
即，
．
【解析】【分析】(1)先根据两个矩形纸条的对边平行，得出四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，因为等宽，再证明，推出即可得出结论.
(2)由 四边形的面积为， 列出方程，求出CD=4，根据菱形的性质，得出AD=4，又因为AR=2，得出即可求出的度数．
42．图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？
【答案】解：⑴将前面、右面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
⑵将前面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
⑶将左面、上面展开至一个平面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；
所以最短路径长为 cm．
【解析】【分析】分三种情况，把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
43．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：．（提示；运用面积等量关系）
【答案】证明：由题意可知，
∴，
整理得：，
∴
【解析】【分析】由题意可得S正方形ABCD=（a+b）2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=
ab，根据S正方形ABCD=（a+b）2=S正方形EFGH=c2，+4S△BEF，即可求解.
44．如图，在四边形中，，．
（1）______度；（用含，的代数式表示）
（2）若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
，
．
．
平分，平分，
，．
．
，
．
．
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）由四边形内角和为即可解答．
（2）由平角的定义得出，由（1）可得出，可得出，由角平分线的定义可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，，即可得出，则，解答即可.
（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
（2），理由如下：
，
．
．
平分，平分，
，．
．
，
．
．
45．正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE，AC和BE相交于点F，连接DF.求 ∠AFD的度数.
【答案】解：∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，∴∠BCE=150°，
∵四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
在△CBF和△CDF中，CF=CF，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
∴∠CDF=∠CBE=15°，
又∵∠DCF=45°，且∠AFD为△CDF的外角，
∴∠AFD=∠DCF+∠CDF=15°+45°=60° .
【解析】【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠CDF，∠DCF的度数，再根据外角的性质即可求得答案.
46． 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠ACB=45°，AC＞AB，E，F为对角线AC上的两点(点E与A、C、F都不重合)，AE=CF，EM⊥BC于点M，FN⊥AD于点N，连结EN，FM．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）四边形EMFN能否成为矩形？四边形EMFN能否成为菱形？请直接写出答案．
（3）连结MN，作点C关于MN的对称点C'，若点C'落在边AB上，求AE的长.
【答案】（1）证明：)∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∵EM⊥BC，FN⊥AD
∴EM||FN
∴∠AFN=∠CFM
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
又∵AD||BC
∴∠FAN=∠MCE
在△ANF和△CME中
∵△ANF≌△CME
∴EM=NF
∴EMFN为平行四边形
（2）解：不能为矩形也不能为菱形
若EMFN为矩形，则∠ENF=90°，而∠ANF=90°，明显矛盾.
若EMFN为菱形，则ME=MF，而由∠ACB=45°得∠MEC=45°，∠MFE=45°，∠EMC=90°，明显矛盾.
（3）解：第一步：作AG⊥BC于点G，设CG=m，则AG=m，BG=7-m，由勾股定理得52=m2+(7-m)2，得m=4或3(舍)，故AC=4√2.
第二步：如图，连接OC'，MC'，
易知OC=OA=OC'，故AC'C=90，由等面积法知CC'=，连接CC'交MN于点H，BC'=，MH=，而CH=，故CM=，故CE=，于是AE=AC-CE=4√2-=
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质证明全等三角形，可得一组对边平行且相等，可得平行四边形；
(2)可假设法推导出矛盾；
(3)根据作出的图，找到隐含的直角三角形ACC'，根据等面积法得CC'，再根据勾股定理得BC'的长度，由对称的性质知CH的长度，根据中位线定理知MH的长，从而得到CM的长，求出CE的长即可得到AE的长.
47．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连结FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。（提示：取BD的中点H，连结FH，HE)
（2）如图2，在△ABC中，O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，连结DG，若AB=CD=5，∠OEC=60°，求OE的长度。
【答案】（1）证明：如图1，连结BD，取BD的中点H，连结EH，FH。∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴∠HEF=∠BME，∠HFE=∠CNE。
∵∠BME=∠CNE，∴∠HEF=∠HFE。
∴HE=HF。∴AB=CD
（2）解：如图2，连结BD，取BD的中点H，连结EH，OH。∵E，H，O分别为AD，BD，BC的中点，
∵AB=CD，∴OH=EH。∴∠HOE=∠HEO。
∵∠OEC=60°，
∴∠HEO=∠HOE=∠OEC=60°。
∴△OEH是等边三角形。
∵AB═DC═5，∴OE=OH=
【解析】【分析】(1) 连结BD， 取DB的中点H， 连结EH、FH， 证明出 证出HE=HF，进而证出结论；
(2) 连结BD， 取DB的中点H， 连结EH、OH， 证明出EH=OH，可证明证出 是等边三角形，进而求出 长即可.
48．如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
（1）如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
（2）如图3，当时，连结，若，求的长．
【答案】（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，设与交于点H，先由矩形的性质可知OD是直角三角形ADF斜边AF上的中线，则OD等于AF的一半，又由矩形的对角线互相平分且相等可证明是等边三角形，则，此时为便于计算可设，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，即，再由三角形的内角和定理可得，再利用三角形的外角的性质可得，则由直角三角形两锐角互余结合同角的余角相等可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求解即可．
（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
49．如图，在菱形ABCD中，∠B═60°，M，N分别为线段AB，BC上的两点，且BM═CN，AN，CM相交于点E，连结DE。
（1）求证：△BCM≌△CAN。
（2）求∠AED的度数。
（3）求证：AE+CE=DE。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD
∵∠B=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°
在△BCM和△CAN中 ，
∴△BCM≌△CAN(SAS)
（2）解：∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN
∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°
如图，作DG⊥AN于点 G，DH⊥MC交MC的延长线于点H，
∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°
∴∠GDH=∠ADC=60°
∴∠ADG=∠CDH
在△DGA和△DHC中，
∴△DGA≌△DHC(AAS)
∴DG=DH
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴DE平分∠AEC
∴∠AED=60°
（3）证明：由(2)可知∠GED=60°，
∴在Rt△DEG中，∠EDG=30°
∴DE=2EG
在△DEG和△DEH中，
∴△DEG≌△DEH(AAS)
∴EG=EH
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE，即EA+EC=ED
【解析】【分析】(1)由题意可得△ABC，△ADC都是等边三角形，根据SAS即可证明△BCM≌△CAN；
(2)由△BCM≌△CAN，推出∠BCM=∠CAN，推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°，作DG⊥AN于G，DH⊥MC交MC的延长线于H，由△DGA≌△DHC，推出DG=DH，由DG⊥AN， DH⊥MC， 推出∠DEG=∠DEH，即可得到∠AED的度数；
(3)由(2)可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，由∠EDG=30°，推出DE=2EG，易证△DEG≌△DEH，推出EG=EH，推出EA+EC=EG+AG+EH-CH， 由△DGA≌△DHC，推出GA=CH，推出EA+EC=2EG=DE.
50．如图①，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且∠EAF= 60°．
（1）写出BE，CF，AB之间的数量关系；
（2）如图②，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；
（3）如图③，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE ，DF ，AB三者之间的关系．
【答案】（1）解：如图①，连接AC．在菱形ABCD中，
∵∠BAD= 120° ，∴△ABC，△ACD都为等边三角形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90° ，∠B=60°，∠AFC=90°，∠ACD= 60°，
∴∠BAE= 30°，∠CAF=30°，
BE=AB，CF=AC．
∵AB=AC，∴BE+CF=AB．
（2）BE+DF=AB；
证明：如图②，连接AC ，在菱形ABCD中，
∵∠BAD=120。∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∠ACE= ∠ADF= 60° ，AD=AC．
∵∠EAC+∠CAF= ∠EAF=60° ，∠DAF+∠CAF=∠CAD= 60°，
∴∠CAE=∠DAF．∴△AEC≌△AFD(ASA) ，∴EC=DF，∴BE+DF=BE+EC=BC=AB．
（3）BE-DF=AB；
【解析】【解答】解：（3）结论：理由如下：
连接AC，如下图：
在菱形ABCD中，∵，
∴△ABC，△ACD均为等边三角形，，
∴
∵且
∴
在和中
∴
∴
∴
∴.
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和得到△ABC，△ACD都为等边三角形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，进而得到进而即可求解；
（2）连接AC，根据菱形的性质和得到△ABC，△ACD都为等边三角形，得到：，进而根据角的运算和等量代换即可得到即可利用"ASA"证明得到进而即可求解；
（3）连接AC，根据菱形的性质和得到△ABC，△ACD都为等边三角形，得到：进而根据角的运算和等量代换即可得到即可利用"ASA"证明得到进而即可求解.
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