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【决战期中·50道解答题专练】浙教版数学七年级下册期中复习测试卷
1．先化简，再求值： ，其中 .
2．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接与交于点H，已知，，若，，求的度数．
3．若，且.
（1）求的值.
（2）求的值.
4．如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB、CD的位置关系如何？并说明理由．
5．2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目(50米跑或1分钟跳绳)．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九(1)班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根(其中a>15)，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与(1)中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
6．如图，已知 ，试说明 ．
7．如图，已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.试说明：
（1）AD∥GE.
（2）∠3=∠G.
8．如图，BE平分交CD的延长线于E，．
（1）请说明的理由；
（2）若AF平分交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
9．如图，已知，且，试说明.
10．先化简，再求值：，其中．
11．规定 表示 ， 表示 ，试计算 的结果.
12．阅读例题的解答过程，并解答（1）、（2）.
例：用简便方法计算195×205.
解：
①
②
.
（1）例题求解过程中，第②步变形依据是　 　；
（2）用简便方法计算：.
13． 已知：如图，于点于点
（1）求的度数；
（2）求证：
14．如图，直线DE交∠ABC的边BA于点F。如果内错角∠1与∠2相等，那么同位角∠1与∠4相等，同旁内角∠1与∠3互补。请说明理由。
15． 如图所示， 将边长为 的正方形 沿 方向平移 ， 求 与 的长．
16．小明与同学一起参加某市举行的青少年网络安全教育活动，如图是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参加网络安全教育活动的男生和女生的人数.
17．已知a2+2a-2=0，求代数式(a-1)(a+1)+2(a-3)的值．
18．一个长5微米，宽4微米，高3微米的长方体微机零件的体积是多少立方厘米？（1微米= 厘米）
19．计算：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3（a+b）（a﹣b）
20．某工厂去年的总产值比总支出多90万元，今年比去年的总产值增加10%，总支出节约20%．如果今年的总产值比总支出多120万，那么去年的总产值和总支出分别是多少万元？
21．如图，DB∥FG∥EC，点A在FG上，∠ABD=60°，∠GAC=∠ACE=36°，AP平分∠BAC．求∠PAG的度数．
22．如图，平分，点是上一点，交于点．
（1）求证；
（2）若，求的度数．
23．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是∠ACB的角平分线.求证：∠EDF=∠BDF.
24．某种液体每升含有1012个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌，现在若要将3L这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？
若10滴这种杀菌剂为10-3L，要用多少升？
25．已知A=x﹣y+1，B=x+y+1，C=（x+y）（x﹣y）+2x，两同学对x、y分别取了不同的值，求出的A、B、C的值不同，但A×B﹣C的值却总是一样的．因此两同学得出结论：无论x、y取何值，A×B﹣C的值都不发生变化．你认为这个结论正确吗？请你说明理由．
26．A地至B地的航线长9750km，－架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机无风时的平均速度与风速．
27．已知，，求和xy的值．
28．（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，请你写出，，之间的等量关系：________；
（2）已知实数，满足，，根据（1）中的等量关系求的值．
29．如图，，，，求的度数．
30．某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：(21x4y3-+7x2y2)÷(-7x2y)=+5xy-y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？
31．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE//BC，∠ADE=48°，∠C=62°，求∠ABE的度数.
32．如图，AD∥BC，∠DAC=127°，∠ACF=15°，∠EFC=142°.
（1）试说明：EF∥AD.
（2）连结 CE，若 CE平分∠BCF，求∠FEC的度数.
33．列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
种类 单价
红黑双色中性笔 10元/支
黑色笔芯 6元/盒
红色笔芯 8元/盒
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．
（1）小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
（2）小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
34． 为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 时，按一级单价收费； 超过 时，超过部分按二级单价收费.五月份张华家用水 缴费37.6元； 李明家用水 缴费47.2元. 那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少
35．海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元．请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？
36．如图，某居民小区有一长方形区域，居民想在长方形区城内修筑同样寬的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为多少平方米？
37．（1） 已知 ， 求 的值．
（2）已知 ， 求代数式 的值．
38．口袋里有若干个大小相同的红球和黄球，从中任摸出1个球，摸到黄球得2分，摸到红球得3分，某人摸到x个黄球，y个红球，共得12分，试列出关于x、y的方程，并写出这个方程中所有符合题意的解．
39．解方程组 ．
40．如图所示，已知∠A=∠F，∠C=∠D，把下面的空填写完整.
解：因为∠A=∠F（已知）
所以DF∥AC（ ▲
）
所以∠D=∠ABD（ ▲
）
又因为∠D=∠C（已知）
所以∠C=∠ABD（ ▲
）
所以
▲ ∥ ▲ （ ▲
）
41．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元.求第一次购进A，B两种茶的价格.
42．某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品.
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45m和30m，求小长方形的长和宽.
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b，小长方形的长和宽分别为x和y.
①直接写出1个小长方形的周长与大长方形的周长之比.
②若作品展览区域(阴影部分)的面积占展厅面积的，试求的值
43． 云南玉溪米线文化节是玉溪各族人民的传统节日，自每年正月初一起，至三月二十二日止，历时天，创世界纪录协会世界上历时最长的节日世界纪录“小锅米线凉米线，各具风味有特色鳞鱼米线辣味汤，五味齐全又一色过桥米线斗大碗，油汤飘香藏典故土鸡米线大小碗，碗中包含玉溪情玉溪米线吃齐全，不枉登陆玉溪城”米线节期间，某店铺购进，两种米线进行销售若购进斤种米线和斤种米线共需花费元，购进斤种米线和斤种米线共需花费元已知该店，两种米线的售价如下表：
种类 售价单位：元斤
种米线
种米线
经过市场调查，该店计划在米线节期间每天售出米线共斤，且每天售出种米线的数量不少于种米线的倍，设该店在米线节期间每天售出种米线斤，米线节期间共计天的总利润为元．
（1）求购进每斤种米线、种米线的价格分别是多少元？
（2）取何值时，总利润最大？并求出最大总利润．
44．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求实数m的值．
45．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解．
46． 是关于x、y、z的方程 的一个解．试求a、b、c的值．
47．是否存在正整数x和y，使得，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.
48．已知关于，的方程组
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
（3）若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
49．如图，直线，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接PA，PB，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）
（1）如图1，当动点落在第①部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）；
（2）如图2，当动点落在第②部分时，探究之间的关系并说明理由；
（3）当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论．
50．两个边长分别为和的正方形如图放置(图1，2，3)，若阴影部分的面积分别记为，．
（1）用含的代数式分别表示．
（2）若，求的值．
（3）若对于任意的正数，都有（m，为常数)，求的值．
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【决战期中·50道解答题专练】浙教版数学七年级下册期中复习测试卷
1．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
，
当 ， 时，
原式
.
【解析】【分析】根据整式的加减法则，先去括号，再合并同类项，将原式化简，最后代值，进行含乘方的有理数混合运算，即得结果.
2．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接与交于点H，已知，，若，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】先通过同位角相等判定，再利用平行线的性质得到，进而证得判定，然后由求得 的度数．
3．若，且.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）解：∵
又，
∴
解得：ab=12
∴ab的值为12.
（2）解：
=
=
=
=61
所以的值为61.
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法可得，再将， 代入求出ab=12即可；
（2）将原式变形为，再将， 代入计算即可.
4．如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB、CD的位置关系如何？并说明理由．
【答案】证明：直线AB、CD的位置关系为：AB∥CD，理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，
∴∠1= ∠ABD，∠2= ∠BDC．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=2×90°=180°，
∴AB∥CD．
【解析】【分析】运用角平分线的定义。结合图形可得同旁内角互补从而得到答案.
5．2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目(50米跑或1分钟跳绳)．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．
（1）某校九(1)班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根(其中a>15)，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与(1)中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【答案】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得，
解得，
答： 足球和跳绳的单价分别为100元，20元；
（2）解：由题意得：80a+15b=1800，
当全买足球时，可买足球的数量为，
∴15＜a＜22.5，
又∵a、b都是自然数，
∴该方程的自然数解为，，
∴有两种购买方案，方案一：购进足球18个，跳绳24根；
方案二：购进足球21个，跳绳8根；
（3）解：方案一的利润为：（100-80）×18+（20-15）×24=480（元）；
方案二的利润为：（100-80）×21+（20-15）×8=460（元）；
∵480＞460，
∴选方案一，购进足球18个，跳绳24根.
【解析】【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，根据购买12个足球的费用+购买10根跳绳的费用=1400及购买10个足球的费用+购买12根跳绳的费用=1240，列出方程组，求解即可；
（2）由购进足球a个和跳绳b根的费用刚好是1800元，列出方程，先由当全买足球时，可买足球的数量求出a的取值范围，进而再结合a、b都是自然数，求出方程在a的取值范围内的自然数解即可；
（3）根据单个商品的利润乘以数量等于总利润分别计算出两个方案的利润，再比大小即可.
6．如图，已知 ，试说明 ．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠C，
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠ABF，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F.
【解析】【分析】先利用AB//CD，得到∠ABF=∠C，再利用等量代换得到∠A=∠ABF，因此AE//CF，最后得到结论。
7．如图，已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.试说明：
（1）AD∥GE.
（2）∠3=∠G.
【答案】（1）证明：∵ AD平分∠BAC，
∴∠2=∠BAD，
∵∠1=∠2 ，
∴∠1=∠BAD，
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）；
（2）证明：∵AD∥EG，
∴∠3=∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠2=∠G（两直线平行，同位角相等）
又∠2=∠BAD，
∴ ∠3=∠G.
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠2=∠BAD，结合∠1=∠2可得∠1=∠BAD，进而根据同位角相等，两直线平行可推出AD∥EG；
（2）由两直线平行，内错角相等、同位角相等，得∠3=∠BAD，∠2=∠G，结合∠2=∠BAD，由等量代换可得∠3=∠G.
8．如图，BE平分交CD的延长线于E，．
（1）请说明的理由；
（2）若AF平分交DC的延长线于F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BE平分，
，
∴，
∴，
（2），理由如下：∵，
∴，
∴，
∵AF平分，
，
，
∴，
∴，
【解析】【分析】（1）由BE平分，得到，进而求得，结合内错角相等，两直线平行，即可证得；
（2）由，得到，根据平行线的性质，得到，再由AF平分，求得，即可证得．
（1）∵BE平分
，
，
∴，
∴，
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵AF平分，
，
，
∴，
∴，
9．如图，已知，且，试说明.
【答案】证明：∵∠EFB+∠ADC=180°，
∴∠EFD+∠ADF=180°，
∴EF∥AD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DG∥AB.
【解析】【分析】对图形进行角标注，根据∠EFB+∠ADC=180°可得∠EFD+∠ADF=180°，推出EF∥AD，根据平行线的性质可得∠1=∠3，结合∠1=∠2可得∠2=∠3，然后根据平行线的判定定理进行解答.
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式＝a2﹣6ab+9b2﹣a2+b2+4ab﹣2b2
＝a2﹣a2+9b2+b2﹣2b2+4ab﹣6ab
＝8b2﹣2ab，
当时，
原式
．
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项式法则进行化简，再把a，b的值代入计算即可.
11．规定 表示 ， 表示 ，试计算 的结果.
【答案】解：原式=
=
=-x（100-x2）
=
【解析】【分析】根据规定列整式算式，根据整式的混合运算法则计算即可得答案.
12．阅读例题的解答过程，并解答（1）、（2）.
例：用简便方法计算195×205.
解：
①
②
.
（1）例题求解过程中，第②步变形依据是　 　；
（2）用简便方法计算：.
【答案】（1）平方差公式
（2）解：.
【解析】【解答】解：（1）符合完全平方公式。
故答案为：完全平方公式.
【分析】（1）根据题意根据完全平方公式的运用，即可得出答案；
（2）根据题意先将9×11转化为100-1，101则可以转化为100+1，然后再依据完全平方公式进行计算即可。
13． 已知：如图，于点于点
（1）求的度数；
（2）求证：
【答案】（1）解：
；
（2）证明：
.
【解析】【分析】（1）根据同一平面内，两条直线与同一条直线垂直，则这两条直线互相垂直，求得BD∥EF，由二直线平行，同位角相等求出∠EFG的度数，进而根据角的和差求出∠GFC的度数 ；
（2）根据BD∥EF和等量转化求得∠1=∠CBD，由内错角相等，两直线平行推出GF∥BC，由同位角相等，两直线平行推出MD∥GF，从而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得DM∥BC.
14．如图，直线DE交∠ABC的边BA于点F。如果内错角∠1与∠2相等，那么同位角∠1与∠4相等，同旁内角∠1与∠3互补。请说明理由。
【答案】解：因为∠2与∠4是对顶角，
所以∠2=∠4。
又已知∠1=∠2，所以∠1=∠4。
因为∠2与∠3互为补角，
所以∠2+∠3=180°，
所以∠1+∠3=180°，即∠1与∠3互补。
【解析】【分析】 由对顶角的性质和邻补角的性质可知.
15． 如图所示， 将边长为 的正方形 沿 方向平移 ， 求 与 的长．
【答案】解： 正方形 的边长为 ．
沿 方向平移 ，
【解析】【分析】由平移的性质可得，利用线段的和差即可求得 与 的长．
16．小明与同学一起参加某市举行的青少年网络安全教育活动，如图是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参加网络安全教育活动的男生和女生的人数.
【答案】解：设该班参加网络安全教育活动的男同学有x人，女同学有y人，根据题意列方程组得：
解得：
所以，小明班上参加网络安全教育活动的男生有35人，女生有20人.
【解析】【分析】根据参加活动的男女生共有55人，男生人数是女生人数的1.5倍还多5人，两个相等关系列两个方程，组成方程组，解出此方程组即可.
17．已知a2+2a-2=0，求代数式(a-1)(a+1)+2(a-3)的值．
【答案】解：解：(a-1)(a+1)+2(a-3)
=a2-1+2a-6
=a2+2a-7，
∵a2+2a-2=0，
∴a2+2a=2，
∴当a2+2a=2时，原式=2-7=-5。
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项，然后再代入求解。
18．一个长5微米，宽4微米，高3微米的长方体微机零件的体积是多少立方厘米？（1微米= 厘米）
【答案】解： ， ，
所以依题意得：长方体微机零件的体积是： 立方厘米.
【解析】【分析】先转化单位，然后根据长体的体积公式计算即可.
19．计算：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）﹣3（a+b）（a﹣b）
【答案】解：原式=a2+2ab+b2+2a2+ab﹣2ab﹣b2﹣3a2+3b2=ab+3b2．
【解析】【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
20．某工厂去年的总产值比总支出多90万元，今年比去年的总产值增加10%，总支出节约20%．如果今年的总产值比总支出多120万，那么去年的总产值和总支出分别是多少万元？
【答案】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意，得，
由y=x－90得：1.1x－0.8×（x－90）=120，
0.3x＋72=120，
0.3x=48，
x=160，
y=x－90=70，
∴方程组的解为：；
答：去年的总产值和总支出分别是160万和70万元．
【解析】【分析】设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意列出方程组，再求出x、y的值即可。
21．如图，DB∥FG∥EC，点A在FG上，∠ABD=60°，∠GAC=∠ACE=36°，AP平分∠BAC．求∠PAG的度数．
【答案】解：∵DB∥FG∥EC，
∴∠BAG=∠ABD=60°，∠CAG=∠ACE=36°，
∴∠BAC=∠BAG+∠CAG=96°；
∵AP为∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠CAP=48°，
∴∠PAG=∠CAP﹣∠GAC=12°
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，和角平分线的定义，求出∠PAG的度数．
22．如图，平分，点是上一点，交于点．
（1）求证；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：平分
又
（2）解：且
又平分
又
又是的一个外角
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定即可求解；
（2）根据平行线的性质结合已知条件得到∠BCF的度数，进而根据角平分线的定义结合题意得到，从而结合题意即可得到∠ADE的度数，再根据三角形外角的性质即可求解.
23．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是∠ACB的角平分线.求证：∠EDF=∠BDF.
【答案】证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴CE∥DF，∴∠1=∠2，∠3=∠5.
∵AC∥DE，∴∠2=∠4.
∵∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5.
即∠EDF=∠BDF.
【解析】【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行，再根据平行线的性质证明即可.
24．某种液体每升含有1012个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌，现在若要将3L这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？
若10滴这种杀菌剂为10-3L，要用多少升？
【答案】解：根据题意知，要用这种杀菌剂3×1012÷109=3×103（滴）
需要3×103÷10×10-3=0.3（L）
【解析】【分析】根据题意先列式，再利用同底数幂相除的法则，进行计算，再算乘法运算.
25．已知A=x﹣y+1，B=x+y+1，C=（x+y）（x﹣y）+2x，两同学对x、y分别取了不同的值，求出的A、B、C的值不同，但A×B﹣C的值却总是一样的．因此两同学得出结论：无论x、y取何值，A×B﹣C的值都不发生变化．你认为这个结论正确吗？请你说明理由．
【答案】解：正确
A×B﹣C=（x﹣y+1）（x+y+1）﹣[（x+y）（x﹣y）+2x]，
=（x+1﹣y）（x+1+y）﹣（x2﹣y2+2x），
=x2+2x+1﹣y2﹣x2+y2﹣2x，
=1；
∴x、y的取值与A×B﹣C的值无关．
【解析】【分析】（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd；化简整式，得到定值，得出x、y的取值与A×B﹣C的值无关．
26．A地至B地的航线长9750km，－架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机无风时的平均速度与风速．
【答案】解：设飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，
由题意，得 ，
解得 ，
答：飞机的平均速度为765千米/时，风速为15千米/时．
【解析】【分析】飞机的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可．
27．已知，，求和xy的值．
【答案】解：∵，，
∴，
①+②，得2x2+2y2=16，
∴，
①-②，得4xy=8，
∴．
【解析】【分析】根据 ， ，可得，再利用加减消元法求出和xy的值即可。
28．（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，请你写出，，之间的等量关系：________；
（2）已知实数，满足，，根据（1）中的等量关系求的值．
【答案】解：（1）；
（2）根据（1）中的计算得到：，
∴，
又∵，，
∴，
∵，是实数，
∴．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
正方形ABCD的边长为，面积为，
正方形EFGH的边长为，面积为，
阴影部分的面积为，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）分别用字母表示正方形ABCD，EFGH的边长，进而根据正方形面积公式分别表示出正方形ABCD，EFGH的面积，由长方形的面积公式表示出阴影部分的面积，进而根据S正方形ABCD=S阴影+S正方形EFGH，即可得出结论；
（2）根据（1）中结论可得，然后整体代入计算后，再开方即可即可得出m-n的值.
29．如图，，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【解析】【分析】根据平行线的性质可得，求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质得出∠BAC+∠AGD=180°，代入即可求解．
30．某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：(21x4y3-+7x2y2)÷(-7x2y)=+5xy-y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？
【答案】解： 商的第一项为（ 21x4y3 ）÷(-7x2y) =-3x2y2，
被除式的第二项为 (-7x2y) · 5xy =-35x3y2，
【解析】【分析】由被除式÷除式=商，分别进行列式再计算即可.
31．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE//BC，∠ADE=48°，∠C=62°，求∠ABE的度数.
【答案】解：∵DE∥BC，∠ADE=48°，
∴∠ABC=∠ADE=48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC =90°，
∵∠C=62°，
∴∠EBC=90°-∠C=28°
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=48°-28°=20°.
【解析】【分析】根据直线平行的性质以及高的性质，计算得到∠EBC的度数，继而求出∠ABE的度数即可。
32．如图，AD∥BC，∠DAC=127°，∠ACF=15°，∠EFC=142°.
（1）试说明：EF∥AD.
（2）连结 CE，若 CE平分∠BCF，求∠FEC的度数.
【答案】（1）证明：∵ AD∥BC ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴；
（2）解：∵CF平分∠BCF
∴
∵
∴
答：∠FEC的度数19°．
【解析】【分析】（1）先根据二直线平行，同旁内角互补得到∠ACB的度数，进而根据角的和差得出∠FCB的度数，再根据∠EFC=142°，即可得到∠EFC+∠FCB=180°，由同旁内角互补，两直线平行即可得到EF∥BC，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥AD；
（2）先根据CE平分∠BCF，可得∠BCE=19°，再根据二直线平行，内错角相等，即可得到∠FEC=19°．
33．列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
种类 单价
红黑双色中性笔 10元/支
黑色笔芯 6元/盒
红色笔芯 8元/盒
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售．小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元．
（1）小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
（2）小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
【答案】（1）解：促销后：黑笔芯：元/盒，红笔芯：，
设黑笔芯x盒，红笔芯y盒，
由②得③代入①，，，代入①中得，
∴，，故
答：黑笔芯2盒，红笔芯8盒；
（2）解：（元），（元）．
答：共节约22元．
【解析】【分析】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，
（1）根据促销方案，先计算出黑笔芯，红笔芯促销后的价格，再设黑笔芯盒，红笔芯盒，根据题意可列出方程组，解方程组可求出答案.
（2）根据 小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支 ，黑笔芯2盒，红笔芯8盒，结合表格先计算出降价前所需的总费用，再减去优惠后的价格可求出答案．
34． 为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 时，按一级单价收费； 超过 时，超过部分按二级单价收费.五月份张华家用水 缴费37.6元； 李明家用水 缴费47.2元. 那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少
【答案】解： 设一级水价为x元/立方米，二级水价为y元/立方米，由题意可得：
，解得：
∴一级水价为2.6元/立方米，二级水价为3.2元/立方米
【解析】【分析】设一级水价为x元/立方米，二级水价为y元/立方米，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
35．海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元．请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？
【答案】解：设李叔叔购买“无核荔枝”x千克，购买“鸡蛋芒果”y千克，
由题意，得： ，
解得： ．
答：李叔叔购买“无核荔枝”12千克，购买“鸡蛋芒果”18千克
【解析】【分析】由“两种水果共30千克”可得方程“x+y=30”，由“共花了708元”可得方程“ 26 x + 22 y = 708 ”，解方程组可得结果李叔叔购买“无核荔枝”12千克，购买“鸡蛋芒果”18千克。
36．如图，某居民小区有一长方形区域，居民想在长方形区城内修筑同样寬的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为多少平方米？
【答案】解：如图，
将小路平移后的绿化部分宽为（20-2）m，长为（32-2）m，面积为（20-2）×（32 -2） =18×30=540（m2）.
答：绿化的面积为540m2.
【解析】【分析】 平移后可得道路的长和宽，再利用矩形的面积公式进行计算即可．
37．（1） 已知 ， 求 的值．
（2）已知 ， 求代数式 的值．
【答案】（1）解：，
两式相减， 得 ．
（2）解：，
， 即 ，
， 即 ，
【解析】【分析】（1）由完全平方公式可知与分别展开后唯一的一对不同项是2ab与-2ab，因此考虑前者减后者，得出4ab的值，也就得出ab的值；
（2）由条件先计算出a-b的值，然后计算 ，将a-b的值代入计算即可.
38．口袋里有若干个大小相同的红球和黄球，从中任摸出1个球，摸到黄球得2分，摸到红球得3分，某人摸到x个黄球，y个红球，共得12分，试列出关于x、y的方程，并写出这个方程中所有符合题意的解．
【答案】解：依题意得到方程：2x+3y=12，
符合题意的解：x=0，y=4；x=3，y=2；x=6，y=0．
【解析】【分析】根据某人摸到x个红球，y个白球，共得12分，列出方程，然后求出合适的x、y的值．
39．解方程组 ．
【答案】①×12，得
，
②去括号，得 ．
③ ，
③＋④×5，得④．
， ．
把 代入④，得
．
所以这个方程组的解是
【解析】【分析】利用换元法将（x-y）和（x+y）当作整体，再利用加减消元法求解即可。
40．如图所示，已知∠A=∠F，∠C=∠D，把下面的空填写完整.
解：因为∠A=∠F（已知）
所以DF∥AC（ ▲
）
所以∠D=∠ABD（ ▲
）
又因为∠D=∠C（已知）
所以∠C=∠ABD（ ▲
）
所以
▲ ∥ ▲ （ ▲
）
【答案】解：因为∠A=∠F（已知）
所以DF∥AC（内错角相等，两直线平行）
所以∠D=∠ABD（两直线平行，内错角相等）
又因为∠D=∠C（已知）
所以∠C=∠ABD（等量代换）
所以BD∥EC（同位角相等，两直线平行）
【解析】【分析】由∠A=∠F，根据平行线的判定得DF∥AC，再根据平行线的性质有∠D=∠ABD，而∠D=∠C，则∠C=∠ABD，根据平行线的判定得到BD∥EC.
41．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元.求第一次购进A，B两种茶的价格.
【答案】解：设第一次购进时A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据题意得，
整理得
解得
答： A种茶每盒100元，B种茶 每盒150元.
【解析】【分析】设A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据第一次共花费6000元，第二次共花费5100元列方程组进行求解.
42．某校举办“迎亚运”学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品.
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45m和30m，求小长方形的长和宽.
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b，小长方形的长和宽分别为x和y.
①直接写出1个小长方形的周长与大长方形的周长之比.
②若作品展览区域(阴影部分)的面积占展厅面积的，试求的值
【答案】（1）解：设小长方形的长和宽分别为x米、y米，依题意列方程组得：‘
解得：
答：小长方形的长和宽分别为20米、5米.
（2）解：①由题意，得
∴3（x+y）=a+b.
∴.
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比为
②∵作品展览区（阴影部分）面积占展厅面积的，
∴
∴
∴（2x+y）（x+2y）=9xy，
化简，得（x-y）2=0，
∴x-y=0，∴x=y，
∴
【解析】【分析】（1）设小长方形的长和宽分别为x米、y米，由图可以得到：2x+y=45，x+2y=30，组成方程组，解出即可.（2）① 由图可得：2x+y=a，x+2y=b， 把这两个方程相加，化简，即可得到，即为所求. ②由已知 作品展览区域(阴影部分)的面积占展厅面积的，可得再由ab=（2x+y）（x+2y），可得：化简可求得x=y，进而求出的值.
43． 云南玉溪米线文化节是玉溪各族人民的传统节日，自每年正月初一起，至三月二十二日止，历时天，创世界纪录协会世界上历时最长的节日世界纪录“小锅米线凉米线，各具风味有特色鳞鱼米线辣味汤，五味齐全又一色过桥米线斗大碗，油汤飘香藏典故土鸡米线大小碗，碗中包含玉溪情玉溪米线吃齐全，不枉登陆玉溪城”米线节期间，某店铺购进，两种米线进行销售若购进斤种米线和斤种米线共需花费元，购进斤种米线和斤种米线共需花费元已知该店，两种米线的售价如下表：
种类 售价单位：元斤
种米线
种米线
经过市场调查，该店计划在米线节期间每天售出米线共斤，且每天售出种米线的数量不少于种米线的倍，设该店在米线节期间每天售出种米线斤，米线节期间共计天的总利润为元．
（1）求购进每斤种米线、种米线的价格分别是多少元？
（2）取何值时，总利润最大？并求出最大总利润．
【答案】（1）解：设购进每斤种米线的价格是元，每斤种米线的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进每斤种米线的价格是元，每斤种米线的价格是元；
（2）解：该店计划在米线节期间每天售出米线共斤，且每天售出种米线斤，
每天售出种米线斤．
根据题意得：，
解得：，
米线节期间共计天的总利润为元，
，即，
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值为．
答：为时，总利润最大，最大总利润为元．
【解析】【分析】（1）首先设每斤A种米线的价格是a元，每斤B种米线的价格是b元 ，由购进1斤A种米线和2斤B种米线共需花费4元，购进3斤A种米线和4斤B种米线共需花费9元，列出二元一次方程组求解即可。
（2）由每天售出米线共200斤，且每天售出A种米线的数量不少于B种米线的3倍 ，列出不等式，确定A种米线的范围，由A、B两种米线的售价和（1）中求出的进价求出A、B两种米线每斤的利润，由总利润等于每种米线的数量乘以每斤的利润列出关于y与x的函数关系式，由一次函数的增减性以及x的取值范围来确定最大利润。
44．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求实数m的值．
【答案】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，
，
③，
①-③得，
②-③×3得，
，
解得．
【解析】【分析】先用方程①和③求出y的值，然后用②和③加减消元法消去x，得到y和m的关系式，将y的值代入这个关系式即可求出m的值；
解二元一次方程组的基本步骤（加减消元法）：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；②若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解.
45．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解．
【答案】解：把代入方程得，，∴，
∴甲把看成了；
把代入方程得，，
∴，
∴乙把看成了；
把代入方程得，，
∴，
把代入方程得，，
∴，
∴方程组为，
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴原方程组的正确解为
【解析】【分析】先根据“ 甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为 ”求得a，再根据“ 乙看错了方程组中的，求得方程组的解为 ”求得b．
46． 是关于x、y、z的方程 的一个解．试求a、b、c的值．
【答案】由题意，将x=-1，y=1，z=2代入原方程，得
由于，..
因此必有
即
解得a=3，b=1，c=-1.
【解析】【分析】由平方、绝对值的非负性可得关于方程组：ax+by+2=0，ay+cz 1=0，bz+cx 3=0；再将x、y、z的值代入方程组中可得关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可求得a、b、c的值。
47．是否存在正整数x和y，使得，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：由得
则或或，
可得方程组：
，，
解得：
，，
【解析】【分析】根据x2=y2+2023，变形得：x2-y2=2023，利用平方差公式因式分解得：(x+y)(x-y)=1×2023或7×289或17×119，得出不同的二元一次方程组，解出相关的二元一次方程组的x，y的值即可。
48．已知关于，的方程组
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
（3）若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
把代入，解得
（2）解：，
∴当，时，，
即固定的解为：
（3）解：，
得：，
，
，
为整数，
∴，，，
且为自然数，
∴或或，
或或
【解析】【分析】（1）将与原方程组中的第一个方程联立方程组并求解可得、的值，再代入第二个方程中可得关于的方程并求解即可；
（2）由题意知当时原方程有固定的解，则，进而可得y的值；
（3）把m当作常数解方程组可得x是含m的代数式，再由题意可得满足条件的m的自然数解.
49．如图，直线，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接PA，PB，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）
（1）如图1，当动点落在第①部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）；
（2）如图2，当动点落在第②部分时，探究之间的关系并说明理由；
（3）当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论．
【答案】（1）解法一：如图1；延长BP交直线AC于点．
，
．
，
；
解法二，如图2；过点作，
．
，
，
．
，
；
（2）解：不成立，结论是，
如图3，过作，
，
，
，
；
（3）解：由题意知，分3种情况求解；
（a）如图4，当动点在射线BA的右侧时，结论是：．
证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于，
，
．
又，
．
（b）如图5，当动点在射线BA上，结论是：，或或（任写一个即可）
证明：如图5，
点在射线BA上，
．
，
．
，或或．
（c）如图6，当动点在射线BA的左侧时，结论是．
证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于，
，
．
，
．
【解析】【分析】（1） 如图1，当动点落在第①部分时， 可根据平行线的性质 得出 ；
（2） 如图2，当动点落在第②部分时， 根据平行线的性质可得出；
（3）如图4， 当动点落在第③部分时， 分3种情况求解当动点在射线BA的右侧时，结论是：；如图5，当动点在射线BA上，结论是：，或或；如图6，当动点在射线BA的左侧时，结论是．
50．两个边长分别为和的正方形如图放置(图1，2，3)，若阴影部分的面积分别记为，．
（1）用含的代数式分别表示．
（2）若，求的值．
（3）若对于任意的正数，都有（m，为常数)，求的值．
【答案】（1）解：图1中，阴影部分的边长都是，所以；图2中，阴影的面积；图3中，．
（2）解：当时，
解得，代入，得，
．
（3）解：因为．
对于任意的正数，都有(为常数)，则，
整理得，由于为常数，故由待定系数法得，
，解得．
【解析】【分析】（1）图1中阴影部分小正方形的边长=a-b，图2中阴影的面积=两个正方形的面积和减掉腰为a的空白等腰直角三角形与底为（a+b)高为b的空白直角形角形，图3中的阴影部分的三角形的底为b高为a，所以为S3=12ab .
（2）用完全平方式及运用、求代数式的值，得到，再用提公因式法求出s2.
(3)先根据等式的性质2在等式两边都乘以2，再用完全平方式添项，等式的性质1，得到待定系数，解得．
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