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【真题严选】浙教版2025—2026学年七年级下册期中全真模拟小金卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·柯桥期中）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 米，将这个数用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
2．（2025七下·福田期中）超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·防城港期中）如图，下列条件中，能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·溆浦期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024七下·新邵期中）对于任何整数m，多项式一定能被（　　）
A．3整除 B．4整除 C．5整除 D．m整除
6．（2024七下·怀宁期中）与的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．前式是后式的倍 D．前式是后式的a倍
7．（2024七下·温州期中）小红在解关于x，y的二元一次方程组时得到了正确结果，后来发现“”，“”处被污损了，则“”，“”处的值分别是（　　）
A．1，2 B．3，1 C．0，3 D．2，1
8．（2024七下·杭州期中）如图，线段为上一点，分别以为边作正方形，且这两个正方形的边长互为倒数，则这两个正方形的面积之和为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．11
9．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·义乌期中） 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·余姚期中） 已知x2+4x-5=0 求得3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值为　 　.
12．（2025七下·祁东期中）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　．
13．（2024七下·宁津期中）若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值　 　.
14．（2024七下·苍南期中）2024年4月3日上午7时58分，中国台湾花莲发生7.3级地震，浙江苍南震感强烈.若苍南至花莲直线距离约为，地震波传递速度约为秒，则地震发生时经过　 　秒苍南有震感（用含字母a表示）.
15．（2025七下·宁波期中）如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为　 　
16．（2026七下·期中）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　 　.（商品的利润率）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·宁海期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·牡丹期中）先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
；
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用一个公式表示出来.
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果.
①________；②_______
19．（2024七下·开化期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值.
（2）当速度时该物体的运动时间t.
20．（2024七下·花都期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动．
（1）如图1，　 　；
（2）当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数；
（3）活动小组研究发现，在三角板旋转过程中，与之间始终保持着某种数量关系，请你用等式表示出来：______________________．
21．（2024七下·市南区期中） 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。
例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为　 　
（2）利用(1)得到的结论，解决问题：若a+b+c=12，a2+b2+c2=60，求ab+ac+bc的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE、EG，若两正方形的边长满足a+b=15，ab=35，求阴影部分面积．
22．（2025七下·浙江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
23．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
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【真题严选】浙教版2025—2026学年七年级下册期中全真模拟小金卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·柯桥期中）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 米，将这个数用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】常用科学记数法把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中，这个数字左边第一个非0数字前面0的个数.
2．（2025七下·福田期中）超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷．如图是它抽象出来的平面图形，已知，．若，，则∠3的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，过点E和F分别作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】作，则，根据平行线的性质推出，再由垂直的定义和平行线的性质得到，则．
3．（2024七下·防城港期中）如图，下列条件中，能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A中，∵，∴（内错角相等，两直线平行），故A符合题意；
B中，∵，
∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故B不符合题意；
C中，，不能判定，故C不符合题意；
D中，，不能判定，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要考查了平行线的判定，其中同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
4．（2024七下·溆浦期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：，类卡片的面积为，
需要类卡片的张数为4张．
故选：D．
【分析】先求出 边长为的正方形的面积，利用完全平方公式展开，求根据B类卡片面积，喜庆得需要B类卡片的张数.
5．（2024七下·新邵期中）对于任何整数m，多项式一定能被（　　）
A．3整除 B．4整除 C．5整除 D．m整除
【答案】A
【解析】【解答】解：
．
所以原式能被3整除．
故选：A．
【分析】
由于16是4的平方，可先套用平方差公式；由于所得的因式中有公因式，还需要运用提公因式法继续分解．
6．（2024七下·怀宁期中）与的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．前式是后式的倍 D．前式是后式的a倍
【答案】B
【解析】【解答】解：，，而，因此这两个数互为相反数.
故答案为：B.
【分析】对两个代数式分别去括号，对比发现相加和为0，则表明互为相反数.
7．（2024七下·温州期中）小红在解关于x，y的二元一次方程组时得到了正确结果，后来发现“”，“”处被污损了，则“”，“”处的值分别是（　　）
A．1，2 B．3，1 C．0，3 D．2，1
【答案】C
【解析】【解答】解：设“”，“”处的值分别是a，b，
由题意得：
把代入二元一次方程组中得：
，
得：
，
解得：，
把代入②中得：
，
解得：，
∴“”，“”处的值分别是0，3，
故答案为：C．
【分析】设“”，“”处的值分别是a，b，代入二元一次方程组解关于a，b的方程组即可．
8．（2024七下·杭州期中）如图，线段为上一点，分别以为边作正方形，且这两个正方形的边长互为倒数，则这两个正方形的面积之和为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【解析】【解答】解：设，
∵这两个正方形的边长互为倒数
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这两个正方形的面积之和为7.
故答案为：A
【分析】设，利用互为倒数的两数之积为1，可表示出BP的长，由此可表示出AB的长，利用AB=3，可得到关于x的方程，利用完全平方公式变形后求出的值即可．
9．（2023七下·顺义期中）已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：原式
=2a×4b =5×7 =35
故选：A
【分析】 根据同底数幂的乘法法则原式可得，再根据幂的乘方可得，代值计算即可。
10．（2024七下·义乌期中） 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵，
，
∴，①不符合题意；
②∵，，
∴，
∴，
∴故②符合题意；
③∵，
∴当时，，，则，符合题意；
当时，，，则，不合题意，
当时，，，则，符合题意．
综上所述：满足条件x的值有2个，③不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，；
当时，；
∴的值为，④不符合题意；
⑤设两个自然数的平方差，
∵与同奇或同偶，
∴这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个，
∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意；
综上所述：正确的只有1个；
故答案为：A
【分析】①根据平方差公式结合题意即可求解；②先根据同底数幂的除法进行计算，进而运用幂的乘方进行计算，从而等量代换即可求解；③根据题意分类讨论，分别判断这三种情况符不符合题意即可求解；④根据完全平方公式进行计算即可求解；⑤设两个自然数的平方差为，进而结合题意即可得到与同奇或同偶，从而得到这个数为奇数或4的倍数，再结合题意即可得到可以表示成某两个自然数的平方差的个数，从而即可得到不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·余姚期中） 已知x2+4x-5=0 求得3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值为　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：∵x2+4x-5=0，
∴x2+4x=5，
∴3(x-2)2-6(x+1)(x-1)
=3(x2-4x+4)-6(x2-1)
=3x2-12x+12-6x2+6
=-3x2-12x+18
=-3(x2+4x)+18
=-3×5+18
=3，
故答案为：3.
【分析】先求出x2+4x=5，再把所求式子利用乘法公式去括号并合并同类项化简，再利用整体代入法求解即可.
12．（2025七下·祁东期中）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据5头牛、2只羊，值金10两可列方程 ；根据2头牛、5只羊，值金8两可列方程 ，所以可列方程组：
13．（2024七下·宁津期中）若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵，
，可得：，
，
，
【分析】根据新定义运算法则，列出三元一次方程组，然后用加减法及整体思想计算求解．
14．（2024七下·苍南期中）2024年4月3日上午7时58分，中国台湾花莲发生7.3级地震，浙江苍南震感强烈.若苍南至花莲直线距离约为，地震波传递速度约为秒，则地震发生时经过　 　秒苍南有震感（用含字母a表示）.
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，，
则地震发生时经过 秒苍南有震感；
故答案为：.
【分析】根据题意，用路程=时间×速度列式计算即可得出答案.
15．（2025七下·宁波期中）如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∴∠ABF=∠GBF ，
设∠DBE=m， ∠ABF=n，
则∠ABE=m，∠ABD=2m=∠CBG，∠GBF=n=∠AFB，∠BFC=4∠DBE=4m。
∴∠AFC=4m+n，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=4m+n.
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴（2m+n）+4m+（4m+n）=180°，①
∵AB⊥BC，
∴n+n+2m=90°，②
由①、②联立方程组，得：
解得：m=°， n=°。
∴∠ABE=°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=°+90°=°.
故答案为：.
【分析】过点B作BH∥AM(点G在点B的右侧)， 设∠EBD=α， ∠ABF =β， 根据角平分线性质得∠EBA=∠EBD=α，∠ABD=2α，∠FBC=∠FBD=2α+β， 再根据三角形内角和定理及平行线性质求出∠CBH =2α，∠AFB =∠FBH =β， 根据AB⊥BC可得β=45°-α， 进而得到∠AFC=4α+β，证明∠FCB=∠AFC=4α+β， 由三角形内角和定理可得β+5α=90°， 由此得出 的度数，然后根据∠EBC =∠EBA+∠ABC即可得出答案.
16．（2026七下·期中）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　 　.（商品的利润率）
【答案】
【解析】【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价＋1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1＋30%） 6×3＝27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为（6＋2×27）×（1＋20%）＝72（元）．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1＋30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6＋2×27＝60（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x＋60×20%y＝24%（45x＋60y），
45×0.06x＝60×0.04y，
解得：＝．
故答案为：.
【分析】先求出甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1＋30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6＋2×27＝60（元），再设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，利用“ 甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24% ”列出方程45×30%x＋60×20%y＝24%（45x＋60y），再求出＝即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·宁海期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，同时应注意熟练掌握一些特殊运算的法则，如负整数指数幂、0次幂、绝对值化简、特殊三角函数值、二次根式的乘除及开方等；
（2）整式的混合运算，特别是乘法运算时灵活运用乘法公式可简化计算，另外观察运算的结果，如果有同类项还需要合并同类项．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024七下·牡丹期中）先观察下列各式，再解答后面问题：
；
；
；
；
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用一个公式表示出来.
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果.
①________；②_______
【答案】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：
（3）①；②
【解析】【解答】解：（3）①
；
②
；
故答案为：①；②.
【分析】（1）根据题设中的算式，得到乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律，即可作答；
（2）根据（1）中呈现的规律，列出算式，进行化简，即可得到答案；
（3）根据（2）中的公式，代入数值，进行计算，即可得到答案．
（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：
（3）解：①
；
②
；
故答案为：①；②
19．（2024七下·开化期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值.
（2）当速度时该物体的运动时间t.
【答案】（1）解：由题意得：
∴.
（2）解：由（1）得：
当时，.
【解析】【分析】（1）由题意列出关于和a的二元一次方程组，解此方程组即可求解；
（2）结合（1）得到令即可求出t的值.
20．（2024七下·花都期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动．
（1）如图1，　 　；
（2）当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数；
（3）活动小组研究发现，在三角板旋转过程中，与之间始终保持着某种数量关系，请你用等式表示出来：______________________．
【答案】（1）105
（2）解：三角板的位置如下图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）
【解析】【解答】（1）∵，．
∴．
（3）两三角板没有重合部分时，如（2）图，
∵，，
∴．
当两三角板有重合部分时，如下图，
∵，，
∴，
综上：．
故答案为：．
【分析】（1）利用平角的定义，结合，即可求解；
（2）利用平行的性质，得出，求得的值，再由已知条件，利用平角的定义，结合，即可求得，得到答案．
（3）分两种情况，当两三角板没有重合部分时和当两三角板有重合部分时，利用角的和差关系分别表示出和，然后相减运算，即可得出答案．
21．（2024七下·市南区期中） 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。
例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为　 　
（2）利用(1)得到的结论，解决问题：若a+b+c=12，a2+b2+c2=60，求ab+ac+bc的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE、EG，若两正方形的边长满足a+b=15，ab=35，求阴影部分面积．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：由（1）得： ab+ac+bc =[（a+b+c）2-( a2+b2+c2 )]
=[122-60]=42
（3）解：阴影部分的面积=a2+b2-(a-b)a-b2=(a2+b2+ab)
=[（(a+b）2-ab]
=（152-35）=95
【解析】【解答】解：（1）由图象可得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
【分析】（1）根据大正方形的面积=三个正方形的面积+6个矩形的面积即可得出等式；
（2）利用（1）结论变形，再整体代入即可求解；
（3）阴影部分的面积=正方形ABCD的面积+正方形CEFG的面积-△ADE的面积-△EFG的面积，据此解答即可.
22．（2025七下·浙江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60
（2）解：根据题意得：120x+90y=3000，
∴40x+30y=1000，
∴(120-80)x+(90-60)y=40x+30y=1000
答：该商场可获利1000元
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120-80-10)a+(90×3-60×3-10×2)b=600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【解析】【分析】(1)根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”可得出关于m，n的二元一次方程组，解出即可得出m，n的值；
(2)利用销售总价=销售单价×销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
(3)设该日商场销售a个A款足球，36个B款足球，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论.
23．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
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