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安徽阜阳市临泉县三校联考2025-2026学年度第二学期九年级作业辅导练习 数学
一、单选题
1．如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数图象的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最高点
C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大
4．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
6．2026年是马年，生肖马在中国文化中被视为刚健进取、忠诚奉献、自由奔放、活力热情、成功成就的象征．如图，现有三张正面印有不同马图案的不透明卡片甲，乙，丙，卡片除正面图案不同外其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取1张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取1张．则小明两次抽出的卡片图案相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18．则的面积为（ ）
A．64 B．54 C．44 D．34
9．如图，的直径，C，D在上，且，与相交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若点，在y关于x的函数的图象上，则_________．（填“”“”或“”）
12．如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点C处．从C点测得A点的俯角为，测得B点的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为_________m（结果保留根号）．
13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ．
14．四边形是一张矩形纸片，点E在上，将沿折叠，使点A落在矩形的对角线上，连接，若，请探究下列问题：
（1）如图1，当F恰好为的中点时，_________；
（2）如图2，当点C，E，F在同一条直线上时，_________．
三、解答题
15．计算：；
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．
(1)作出关于原点对称的图形；
(2)将绕点C顺时针旋转，得到，画出，并求旋转过程中线段扫过的面积．
17．如图，为的直径，点C在直径上（点C与A，B两点不重合），，点D在上且满足，连接并延长到E点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求半径的长．
18．2026年2月20日，中国选手王心迪在冬奥会自由式滑雪男子空中技巧决赛中获得冠军．如图1，图2分别是王心迪在滑雪训练中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且G，E，D三点共线，若雪杖长为，，，，求此刻运动员头部G到斜坡的高度h．（精确到，参考数据：，，）
19．某校对下午放学时校门口的“堵塞”情况做了一个调查，发现每天下午放学后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（单位：）与放学时间（单位：）之间的函数关系描述．如图，放学后分钟分钟与呈二次函数关系，且在第分钟达到该函数最大值，此后变化大致为反比例函数的图象．“拥挤指数”不低于判定为“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和的值．
(2)小艺认为“拥挤状态”持续的时间会超过分钟，请通过计算说明小艺的说法是否正确．
20．已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
21．“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上．
(1)小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率．
(2)小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率．
22．如图1，在中，为直径，P为上的点，过点P作的垂线交于C，D两点，E为上的点，且，连接交于点F，连接，记．
(1)请用含的代数式表示；
(2)若，求的值；
(3)如图2，连接交于点G，若的半径为5，，求的长．
23．已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B．
(1)若抛物线经过点，点B的坐标为_________；
(2)若点，在抛物线上，且，求m的取值范围；
(3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】解：该几何体的三视图如图所示：
故选C．
2．A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
3．A
【详解】解：∵二次函数为，
∴, , ，
∴，
∴抛物线与轴有两个交点，故A叙述错误，符合题意；
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线有最高点，故B叙述正确，不符合题意；
抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小，故C叙述正确，不符合题意；
当时，随增大而增大，故D叙述正确，不符合题意．
4．B
【详解】解：如图所示：
结合网格特征，在中，，
∴，
故选：B．
5．D
【详解】解：．
6．B
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，小明两次抽出的卡片图案共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽出的卡片图案相同的结果有3种，
所以小明两次抽出的卡片图案相同的概率是．
7．C
【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小，
，
一次函数的图像与轴交于正半轴，
，
，
，
反比例函数在第一、三象限，故A选项正确；
B选项：一次函数的图像是随的增大而增大，
，
一次函数的图像与轴交于正半轴，
，
，
，
反比例函数在第二、四象限，故B选项正确；
C选项：一次函数的图像是随的增大而增大，
，
一次函数的图像与轴交于正半轴，
，
，
，
反比例函数应在第二、四象限，故C选项错误；
D选项：一次函数的图像是随的增大而减小，
，
一次函数的图像与轴交于负半轴，
，
，
，
反比例函数在第二、四象限，故D选项正确；
故选：C．
8．B
【详解】解：∵是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
9．B
【详解】解：如图所示，的交点为，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
10．A
【详解】解：由题意可知，
当点E在边上时，如图所示：
∵，，
∴，
∴
即
∵，菱形的边长为，
∴点E移动到点B时，，，
∴当点E在边上时，，
∴（）
当点E在边上，如图所示：
∴
即（）.
综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数.
故选：A.
11．
【详解】解：∵，
∴当时，；当时，；
∴．
12．/
【详解】解：如图，，，，过点C作于点D ，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
13．40
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
14． 1
【详解】解：（1）由折叠的性质可得，，，，
点F为的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）设，由折叠的性质可得，，，，
点C，E，F在同一条直线上，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在直角中，，
，
解得，（负值舍去），
．
15．
【详解】解：
．
16．(1)见详解
(2)见详解，
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
依题意，，
则线段扫过的面积．
17．(1)见解析
(2)5
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为r，
，
，
，
，
在中，，
，
，（舍去），
∴半径的长为5．
18．
【详解】解：如图，连接，
，，G，E，D三点共线，
，
在中，，，
，
在中，，，
．
，
答：此刻运动员头部G到斜坡的高度约为．
19．(1)，
(2)小艺的说法是正确的，理由见解析
【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为，
把点代入，得，解得，
该二次函数的解析式为，
把点代入，得．
（2）解：小艺的说法是正确的，理由如下：
令，解得，（不合题意，舍去），
令，解得．
，
小艺的说法是正确的．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意得：小明抽取到写有“爱”字卡片的概率为；
（2）解：根据题意，列出表格，如下：
爱 你 老 己
爱 你、爱 老、爱 己、爱
你 爱、你 老、你 己、你
老 爱、老 你、老 己、老
己 爱、己 你、己 老、己
一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种，
所以能凑成“老己”这个词的概率．
22．(1)；
(2)；
(3)或．
【详解】（1）解：，为直径，
，
又，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
，
设，，则，
如图，连接，得，，
在中，，
，
；
（3）解：由（1）得，
，，
，，
又，，
设，则，
，
，，
，
，
，即，
解得：，，
当时，，
当时，，
综上可得：或．
23．(1)；
(2)；
(3)或．
【详解】（1）解：①抛物线过点，
，
，
抛物线解析式为：，
抛物线与y轴交于点A坐标为，
当时，即，
解得：，，
点；
（2）解：点，在抛物线上，
，，
当时，即，
即：，
解得：；
（3）解：抛物线，
抛物线对称轴为，顶点为，
点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
①当抛物线的顶点在线段上时，即：，
解得：；
②当抛物线顶点落在上方时，当时，，
当时，，，对称轴为，
，
抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），
与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
．
解得：，
综上，a的取值范围是或．

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