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第四章《因式分解》单元测试·拔尖卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意；
B、，是整式的乘法运算，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，是因式分解，故选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）已知，，那么代数式的值为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．70
【答案】D
【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
3．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期末）已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用、因式分解，设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为．根据题意，两数的乘积能被9整除，由此推导出的性质，进而确定整数的值．
【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为．
原数和新数的乘积为：
∵能被9整除，且能被9整除，
∴也能被9整除，
∴能被3整数，
又∵这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，
∴，
因此，整数为3，
故选：A．
4．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，因式分解的应用；设两个连续偶数为，，再利用因式分解可判断①，设两个连续奇数为，，再利用因式分解可判断②，设个位数为的整数为，再进一步可判断③．
【详解】解：设两个连续偶数为，，
则，
∵n为整数， 所以中的是正奇数，
∴是4的倍数，
故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数． 故①不符合题意；
设两个连续奇数为，，
则，
∵n为整数， 所以中的是正奇数，
∴是8的倍数，
故两个连续奇数数的平方差一定是8的倍数． 故②符合题意；
设个位数为的整数为，
∴，
∴任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数，故③符合题意；
故选：C．
5．（3分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数，，满足，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值．
【详解】解：，，
，
整理得：，
，
，
，，
解得：，，
，
．
故选：A．
6．（3分）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键．
提取公因式后，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：
原式
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；
故选：D．
7．（3分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【答案】D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，
本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
8．（3分）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，
∴当时，；
当时，，
∴的最大值为76，
故选：C．
【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．
9．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ）
A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板
C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可．
【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形；
B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形；
C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形；
D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形；
故选D．
10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（ ）
A．121 B．210 C．335 D．505
【答案】B
【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可．
【详解】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ．
【答案】3
【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为，，，根据题意得，即，再根据这两个正方形的面积之差是得，利用平方差公式求解即可．
【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，，
根据题意，得，
∴，
∵这两个正方形的面积之差是，
∴，
∴，
∴，
∴，
即这两个正方形的边长相差，
故答案为：3．
12．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，且，则
【答案】
【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴；
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可
【详解】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差，
∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律，
，
∴，
∴，
∴，
∴在这个数中，“神秘数”的个数是
故答案为：．
15．（3分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ．
【答案】84
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解．
【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7
，，
，，
，
故答案为：．
16．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解；
（2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（6分）简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（8分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：
，这种方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法因式分解：；
(2)已知、、是三边的长，且满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等边三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键．
（1）利用分组分解法进行因式分解即可；
（2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴，
∴是等边三角形．
20．（8分）（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：________；
(2)因式分解：；
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识．
（1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可；
（2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可；
（3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
；
（3）解：
令，
则原式，
，
，
原式．
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个正整数的平方．
21．（10分）（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考：
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题．
(1)用配方法因式分解：；
(2)求的最小值；
(3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值．
【答案】(1)
(2)8
(3)最小值是；
【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题．
（1）按照示例①解答即可；
（2）按照示例②解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答；
（3）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
因为是非负数，
所以，
所以的最小值是 8 ．
（3）解：∵，
∴，
代入得：
因为是非负数，
所以，
所以当时，取得最小值，最小值是 ．
此时．
22．（10分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得．
(1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ．
(2)小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解，根据例题的方法求解是解题的关键；
（1）根据例题的方法可得有一个因式是，进而设，展开，即可求解．
（2）同（1）的方法求解，即可．
【详解】（1）解：∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
故答案为：，．
（2）解：分解因式的结果为，理由如下，
∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
∴分解因式的结果为
23．（12分）若定义一种运算：，
如：．
(1)计算：．
(2)将（1）计算所得的多项式分解因式；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据已知运算法则计算即可；
（2）综合提公因式法和公式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ．
24．（12分）（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C．
(1)用含，代数式表示，，；
(2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示)
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查代数式，完全平方公式因式分解的运用，作差法比较大小，
（1）记产品原价为1，根据题意分别表示，，；
（2）根据（1）的结论可得，进而计算，根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：记产品原价记为单位1，
，，，
（2）解：∵，，
∴
，
又，均为正数，
，
∴最高价与最低价之间的价差是中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《因式分解》单元测试·拔尖卷
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知，，那么代数式的值为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．70
3．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期末）已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
4．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（3分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数，，满足，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（3分）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
7．（3分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
8．（3分）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
9．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ）
A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板
C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板
10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（ ）
A．121 B．210 C．335 D．505
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ．
12．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，且，则
13．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是 ．
14．（3分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ．
15．（3分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ．
16．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)．
18．（6分）简便计算：
(1)
(2)
19．（8分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：
，这种方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法因式分解：；
(2)已知、、是三边的长，且满足，试判断的形状．
20．（8分）（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：________；
(2)因式分解：；
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
21．（10分）（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考：
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题．
(1)用配方法因式分解：；
(2)求的最小值；
(3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值．
22．（10分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得．
(1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ．
(2)小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．
23．（12分）若定义一种运算：，
如：．
(1)计算：．
(2)将（1）计算所得的多项式分解因式；
24．（12分）（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C．
(1)用含，代数式表示，，；
(2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示)

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