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第5章《分式》单元测试·基础卷
建议用时：120分钟，满分：120分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式定义，是解题的关键．根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，选项C的分母中含有字母x和y，因此是分式．
【详解】解：A．分母为5，不含字母，不是分式，故A不符合题意；
B．分母为3，不含字母，不是分式，故B不符合题意；
C．分母为，含有字母x和y，是分式，故C符合题意；
D．无分母，是整式，不是分式，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式．
通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式．
【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式；
、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式；
、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式；
、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式；
故选：．
3．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母得，
解得，
当时，分母，
∴方程的解为．
故选：A．
4．化简的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．将除法运算转化为乘法运算，并利用平方差公式分解分母，然后约分简化表达式．
【详解】解：
，
，
．
故选：B．
5．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变，逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：A. 分子分母同时加上1，不符合分式性质，不合题意；
B. 分子分母同时乘以3，符合分式性质，符合题意；
C. 分子分母同时减2，不符合分式性质，不合题意；
D. 分子乘以a，分母乘以b，不满足分式的基本性质（分子分母同乘以一个非零的数），不合题意．
故选：B
6．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的倍
【答案】A
【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
将x和y同时扩大为原来的3倍后代入分式，化简后与原分式比较．
【详解】解∶∵原分式为，
将x和y分别替换为和，
∴新分式为==，
而原分式为，
∴新分式是原分式的3倍，
∴分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
7．小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用总时间构造等量关系．
设已经读完的部分每天读页，则未读部分每天读页，根据读已读部分和未读部分的总时间等于14天，列出方程即可．
【详解】解：设已经读完的部分每天读页，
根据题意，得，
即，
故选：D．
8．如果，那么的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查分式的化简求值，由给定条件出发，两边乘以得到，然后整体代入化简即可．
【详解】解：∵，且，，
∴两边同乘，得，
∴，
故选：A．
9．若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．2或3 D．0或2
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及增根是解题的关键．有增根，即化为整式方程后解出的根会造成原方程分母为零．先解分式方程，再确定分母为零的值，再代入整式方程即可求出．
【详解】解：原方程：，
两边乘得：，
解得：，
原方程分母为零时， 或 .
当增根 时，代入 得：，解得，
当增根 时，代入 得：，解得，
故选C．
10．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程的解求参数，理解题意，掌握解分式方程是关键．
解分式方程得到，由题意为负整数且 ，故 为10的负约数，且为整数，逐一验证即可．
【详解】解：，
两边乘公分母 得：，
化简得：，
即 ，
∴，
∵为负整数，且，，
∴，即，
又为10的约数，且为负，
∴可能为：，
当时，，，符合；
当时，，非整数，不符合；
当时，，，符合；
当时，，非整数，不符合.
∴整数有和共2个，
故选：B．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件．
根据分式有意义的条件（分母不为零），即可得的取值范围．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
12．已知，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简计算，利用已知条件 代入分式，然后化简求值即可．
【详解】解：由 ，代入分式 得
故答案为：．
13．小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了列分式方程．设小王每分钟做道题，则小张每分钟做道题；根据相同时间内做题量，利用时间相等列出方程．
【详解】解：设小王每分钟做道题，则小张每分钟做道题．
依题意，小王做60道题所需时间为分钟，小张做40道题所需时间为分钟．
∵时间相同，
∴，
故答案为：．
14．若，则是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算、分式的基本性质，掌握分式加减运算的运算方法是解题关键．
首先，将原式进行整理移项，接着进行分式合并同类项，最后，根据分式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴．
故答案为：．
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，由得出，将变形为是解题的关键．由已知条件得出，然后代入所求表达式的分子和分母进行化简即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
16．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查求使分式值为整数时未知数的整数值．
首先将原分式化简为，然后将其表示为整数与分式的和形式，根据值为整数的条件，确定需为1的约数，并排除分母为零的情况．
【详解】解：
，
∵分式的值为整数，
∴的值为整数，
∴的值为整数，
∵为整数，
∴为整数，
要使的值为整数，则为分子1的约数，
∴或，
解得或 ，
当 时原分式分母为零，无意义，
∴舍去，
当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数，
验证：当 时，，为整数，满足题意，
∴整数的值为．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（9分）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
（1）同分母分式，分母不变，分子相加减，化简即可；
（2）先通分，再合并同类项，化简即可；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减，化简即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
（3）（3）
18．（8分）解分式方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)分式方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．解分式方程步骤：先去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验根得出分式方程的解．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：两边同时乘以，去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验是原方程的解，
∴原分式方程的解为．
（2）解：两边同时乘以，去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】
，2
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算的法则进行计算，再代入进行计算即可得；掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．（7分）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，根据等量关系：快速换轨车更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，
根据题意，得，
解得：．
经检验是所列方程的解，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨．
21．（8分）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)丰收2号
(2)
【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
（1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高；
（2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可．
【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是
“丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是
，
，，，
∴
∴，
∵，
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．
22．（10分）若互不相等的实数a，b，c满足，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值，由题设条件移项通分可得，，，将三式相乘即可求解．
【详解】解：∵，，
两式相加得，
化简得，
∴①，
②，
③，
①×②×③，得，
∵a，b，c是三个互不相等的实数，
∴，
解得
23．（10分）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是．
(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？
(2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？
【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元
(2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个
【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可；
（2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则主控芯片单价为（元）
答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；
（2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，根据题意得，
解得：，
则制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，
答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个．
24．（12分）阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知，所以，即．
所以．故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
(1)已知，求的值．
(2)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了新的解题方法—“倒数法”，正确理解题意是解题关键．
（1）首先利用“倒数法”可得，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案；
（2）首先利用“倒数法”可得，，，易知，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由知，
所以，即，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章《分式》单元测试·基础卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果（ ）
A． B． C． D．
5．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的倍
7．小雅同学在学校阅览室借了一本昆虫记，共页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的时，发现每天要多读页才能在借期内读完，问：已经读完的部分她每天读多少页？如果设已经读完的部分每天读页，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果，那么的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A．0 B．2 C．2或3 D．0或2
10．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
12．已知，那么 ．
13．小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程 ．
14．若，则是 ．
15．已知，则 ．
16．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（9分）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（8分）解分式方程：
(1)
(2)．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（7分）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？
21．（8分）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
22．（10分）若互不相等的实数a，b，c满足，，求的值．
23．（10分）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是．
(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？
(2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？
24．（12分）阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由知，所以，即．
所以．故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
(1)已知，求的值．
(2)已知，，，求的值．

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