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第5章《分式》单元测试·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0．
【详解】解：∵ 分式值为0，
∴ 分子 且分母 .
解 得 .
当 时，分母 ，分式无意义；
当 时，分母 ，分式有意义.
∴ .
故选：C．
2．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解分式方程，方程两边都乘以，得出，求出方程的解，再进行检验即可．能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
即原分式方程的解是．
故选：A．
3．已知（其中，且a，b都不为0），下列与M的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，通过分式的基本性质，判断各选项是否能化简为即可．
【详解】解：∵，
选项 B：，
∴选项 B 与 M 的值相等．
对于选项 A、C、D，均不可化简，与 M 的值不相等，
故选 ：B．
4．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（ ）
A．200件 B．300件 C．400件 D．500件
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解．
【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
因此，人工每小时分拣400件包裹．
故选：C．
5．“十四五”期间，为加快发展智慧农业，我市某农场积极引进新技术，计划采购一批智能播种设备升级种植模式，以助力本地烤烟、蔬菜等特色作物规模化种植，提升耕种效率与产出质量．已知采购1台型播种机的费用比1台型播种机少10万元，用300万元采购型播种机的台数与用450万元采购型播种机的台数相同．设采购型播种机的单价为万元，则所满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列分式方程．
根据题意，B型播种机单价为x万元，则A型单价为万元，根据采购台数相等，建立方程即可．
【详解】解：设B型播种机单价为x万元，
∵A型播种机单价比B型少10万元，
∴A型播种机单价为万元．
∴用300万元采购A型台数为台，用450万元采购B型台数为台，
∵台数相同，
∴．
故选：A．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用、等式的基本性质、分式的代入求值——整体换元思想．掌握完全平方公式的应用及整体换元思想是解题关键．由已知等式变形得到 ，进而求 的平方，再逐步计算 和 即可．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ 等式两边除以 得 ．
∴ ．
又 ∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
7．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C．或15 D．5或
【答案】C
【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况．
【详解】解：原方程为 ，
∵，
∴两边同乘得：，
化简得：，
解得：．
当或时，原方程分母为零，无解．
令：，解得；
令：，解得．
∴或时，原方程无解．
故选：C．
8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可．
【详解】解：根据题意得，
则，
，
故选：D．
9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解等知识点，正确求得分式方程的解是解题的关键．
先将分式方程化为整式方程可求出，再根据解为正数和分母不为零的条件，即可确定a的取值范围．
【详解】解：∵ ，且，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ 解为正数，∴ ，
∴，解得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴且．
故选D．
10．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（ ）
①当时， ；
②；
③第2025项；
④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查代数式的应用，正确根据已知条件列出代数式是解题的关键．
根据操作规则，推导出和的通项公式，然后逐一验证四个结论是否正确即可．
【详解】解：第1项是，
则
，即，
，
依此类推，、，
当时， ，
故①正确；
，
故②正确；
第2025项，
故③正确；
，
若x为整数，且值为整数，
则为6的因数，
即或或或，
由于为奇数，
则或,
解得或或1或，
则x的取值个数有4个，
故④正确，
因此结论中正确的有①②③④，共4个，
故选：A．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查同分母分式的加法运算．先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果．
【详解】解：．
故答案为：1．
12．规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时， ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是理解题意正确计算．先将可得，再进行化简，最后将，代入求值即可．
【详解】解：
将代入得：，
故答案为：．
13．分式的值是，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的整体运算，利用提公因式法进行化简是解题的关键．
首先将分式化简，分子和分母同时提取公因式，得到简化后的表达式，已知该分式值为且，代入求解即可得到的值．
【详解】∵，
∴，
把，代入得：，即，
∴，
故答案为：．
14．已知：，则= ．
【答案】/0.25
【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知条件可得，然后将所求分式变形为，再把代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
15．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，发现没有任何x、y的值符合原方程组，请问其中m的值是 时才导致这一情况．
【答案】
【分析】本题考查了含字母系数的二元一次方程组的解的问题，当二元一次方程组无解时，对应未知数的系数成比例且不等于常数项的比，即未知数的系数成比例但常数项不成比例．
【详解】解：对于方程组
无解的条件是：，
解比例等式：，
化简得：，
，
验证常数项比例：，
满足不等关系，
故当时方程组无解．
故答案为：．
16．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为
【答案】或或
【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键．
先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值．
【详解】原式=
=
=
=
=，
设 （为整数），则，
整理得：，
∴，
令（为整数且），则，
由于为整数，需为整数，故为的因数：，，
代入求：
时，；
时，；
时，；
时，（舍去，因分母为零）；
时，（舍去，因分母为零）；
时，（舍去，因分母为零）
综上，的所有取值为：，，，
故答案为：，，．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键．
四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．（8分）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
解：；
(2)
解：．
【分析】本题考查了分式方程的解法．掌握分式方程解法的一般步骤是解题关键．解分式方程的一般步骤为：①找最简公分母，②去分母，③去括号，④移项、合并同类项，⑤系数化为1，⑥检验根的情况，即可解出对应方程的根．
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是；
（2）解：去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将x的值代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．（8分）某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天．
(1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）．
(2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？
【答案】(1)，
(2)甲单独完成需5天，乙单独完成需10天
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键；
（1）根据工作效率工作总量工作时间列代数式即可；
（2）根据甲、乙两人合作天后，剩下的工作由乙单独来做，用天即可完成．列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：甲单独完成这项工作需要天，工作效率为，
乙单独完成这项工作所需天数为天，工作效率为，
故答案为：，；
（2）解：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴乙单独完成这项工作需要天，
答：甲、乙单独完成这项工作各需天和天．
21．（8分）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键．
（1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论；
（2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．
【详解】（1）证明：设，则，，…，，
…，
，
；
（2）解：设，则，，，
所以．
22．（10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
(1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元/件，同时乙种商品单价下调了元/件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值___________．
【答案】(1)商场购进的甲种商品进价每件是40元，则购进的乙种商品进价每件是48元
(2)①3；②4480元
【分析】此题考查分式方程的应用，整式乘法的应用等知识，读懂题意，正确列方程和代数式是解题的关键．
（1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）①两种商品共花费5460 元，据此列方程并解方程即可；
②设购入件甲种商品，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，进一步求出答案即可．
【详解】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意可得，，
解得：，
经检验是分式方程的解且符合题意；
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是40元，则购进的乙种商品进价每件是48元；
（2）解：①根据题意可得，，
解得：，
答：的值为3；
②设购入件甲种商品，
根据题意可得，总费用，
∵总费用与无关，
，
解得：，
∴总费用，
故答案为：4480元．
23．（10分）若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）．
(1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（ ）
A．　B．　C．　D．
(2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值．
(3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值．
【答案】(1)D
(2)2
(3)1
【分析】本题考查“诚意”方程（组）的定义、解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握二元一次方程组及分式方程的解法，正确理解“诚意”方程（组）的定义是解题的关键．
（1）分别解各方程（组），判断解是否为整数；
（2）解方程组得，根据x为整数，则是10和15的正公约数，且，据此解答即可；
（3）将代入分式方程，解得，由于为正整数，方程是“诚意”方程，则是63的正约数，且， 满足的63的正约数有有7，9，21，63，据此解答即可．
【详解】（1）解：选项A、方程的解为，是整数，
选项B、方程组解为，是整数，
选项C、方程解为，是整数，
选项D、方程的解为，不是整数，
则选项D不是“诚意”方程，
故选：D；
（2）解：根据题意得 ，
解得，
由于方程组为“诚意”方程组，是正整数，
则是10和15的正公约数，且，
∴，
当，即时，方程组的解为，
因此，正整数的值为2；
（3）解：将代入方程得
，
解得，
由于为正整数，方程是“诚意”方程，
则是63的正约数，且，
63的正约数有1，3，7，9，21，63，
满足的有7，9，21，63，
当，即时，，且分母、；
当，即时，，分母，故舍去；
当，即时，，且分母、；
当，即时，，且分母、，
因此，的最小值为1．
24．（12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
【答案】(1)，；
(2)这的水不能倒完，理由见解析；
(3)经过次操作之后能达到．
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）解：∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．
第5章《分式》单元测试·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0．
【详解】解：∵ 分式值为0，
∴ 分子 且分母 .
解 得 .
当 时，分母 ，分式无意义；
当 时，分母 ，分式有意义.
∴ .
故选：C．
2．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解分式方程，方程两边都乘以，得出，求出方程的解，再进行检验即可．能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
即原分式方程的解是．
故选：A．
3．已知（其中，且a，b都不为0），下列与M的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，通过分式的基本性质，判断各选项是否能化简为即可．
【详解】解：∵，
选项 B：，
∴选项 B 与 M 的值相等．
对于选项 A、C、D，均不可化简，与 M 的值不相等，
故选 ：B．
4．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（ ）
A．200件 B．300件 C．400件 D．500件
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解．
【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
因此，人工每小时分拣400件包裹．
故选：C．
5．“十四五”期间，为加快发展智慧农业，我市某农场积极引进新技术，计划采购一批智能播种设备升级种植模式，以助力本地烤烟、蔬菜等特色作物规模化种植，提升耕种效率与产出质量．已知采购1台型播种机的费用比1台型播种机少10万元，用300万元采购型播种机的台数与用450万元采购型播种机的台数相同．设采购型播种机的单价为万元，则所满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列分式方程．
根据题意，B型播种机单价为x万元，则A型单价为万元，根据采购台数相等，建立方程即可．
【详解】解：设B型播种机单价为x万元，
∵A型播种机单价比B型少10万元，
∴A型播种机单价为万元．
∴用300万元采购A型台数为台，用450万元采购B型台数为台，
∵台数相同，
∴．
故选：A．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用、等式的基本性质、分式的代入求值——整体换元思想．掌握完全平方公式的应用及整体换元思想是解题关键．由已知等式变形得到 ，进而求 的平方，再逐步计算 和 即可．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ 等式两边除以 得 ．
∴ ．
又 ∵ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
7．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C．或15 D．5或
【答案】C
【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况．
【详解】解：原方程为 ，
∵，
∴两边同乘得：，
化简得：，
解得：．
当或时，原方程分母为零，无解．
令：，解得；
令：，解得．
∴或时，原方程无解．
故选：C．
8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可．
【详解】解：根据题意得，
则，
，
故选：D．
9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解等知识点，正确求得分式方程的解是解题的关键．
先将分式方程化为整式方程可求出，再根据解为正数和分母不为零的条件，即可确定a的取值范围．
【详解】解：∵ ，且，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ 解为正数，∴ ，
∴，解得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴且．
故选D．
10．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（ ）
①当时， ；
②；
③第2025项；
④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查代数式的应用，正确根据已知条件列出代数式是解题的关键．
根据操作规则，推导出和的通项公式，然后逐一验证四个结论是否正确即可．
【详解】解：第1项是，
则
，即，
，
依此类推，、，
当时， ，
故①正确；
，
故②正确；
第2025项，
故③正确；
，
若x为整数，且值为整数，
则为6的因数，
即或或或，
由于为奇数，
则或,
解得或或1或，
则x的取值个数有4个，
故④正确，
因此结论中正确的有①②③④，共4个，
故选：A．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查同分母分式的加法运算．先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果．
【详解】解：．
故答案为：1．
12．规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时， ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是理解题意正确计算．先将可得，再进行化简，最后将，代入求值即可．
【详解】解：
将代入得：，
故答案为：．
13．分式的值是，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的整体运算，利用提公因式法进行化简是解题的关键．
首先将分式化简，分子和分母同时提取公因式，得到简化后的表达式，已知该分式值为且，代入求解即可得到的值．
【详解】∵，
∴，
把，代入得：，即，
∴，
故答案为：．
14．已知：，则= ．
【答案】/0.25
【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知条件可得，然后将所求分式变形为，再把代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
15．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，发现没有任何x、y的值符合原方程组，请问其中m的值是 时才导致这一情况．
【答案】
【分析】本题考查了含字母系数的二元一次方程组的解的问题，当二元一次方程组无解时，对应未知数的系数成比例且不等于常数项的比，即未知数的系数成比例但常数项不成比例．
【详解】解：对于方程组
无解的条件是：，
解比例等式：，
化简得：，
，
验证常数项比例：，
满足不等关系，
故当时方程组无解．
故答案为：．
16．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为
【答案】或或
【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键．
先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值．
【详解】原式=
=
=
=
=，
设 （为整数），则，
整理得：，
∴，
令（为整数且），则，
由于为整数，需为整数，故为的因数：，，
代入求：
时，；
时，；
时，；
时，（舍去，因分母为零）；
时，（舍去，因分母为零）；
时，（舍去，因分母为零）
综上，的所有取值为：，，，
故答案为：，，．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键．
四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．（8分）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
解：；
(2)
解：．
【分析】本题考查了分式方程的解法．掌握分式方程解法的一般步骤是解题关键．解分式方程的一般步骤为：①找最简公分母，②去分母，③去括号，④移项、合并同类项，⑤系数化为1，⑥检验根的情况，即可解出对应方程的根．
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是；
（2）解：去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将x的值代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．（8分）某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天．
(1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）．
(2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？
【答案】(1)，
(2)甲单独完成需5天，乙单独完成需10天
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键；
（1）根据工作效率工作总量工作时间列代数式即可；
（2）根据甲、乙两人合作天后，剩下的工作由乙单独来做，用天即可完成．列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：甲单独完成这项工作需要天，工作效率为，
乙单独完成这项工作所需天数为天，工作效率为，
故答案为：，；
（2）解：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴乙单独完成这项工作需要天，
答：甲、乙单独完成这项工作各需天和天．
21．（8分）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键．
（1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论；
（2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可．
【详解】（1）证明：设，则，，…，，
…，
，
；
（2）解：设，则，，，
所以．
22．（10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
(1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元/件，同时乙种商品单价下调了元/件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值___________．
【答案】(1)商场购进的甲种商品进价每件是40元，则购进的乙种商品进价每件是48元
(2)①3；②4480元
【分析】此题考查分式方程的应用，整式乘法的应用等知识，读懂题意，正确列方程和代数式是解题的关键．
（1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）①两种商品共花费5460 元，据此列方程并解方程即可；
②设购入件甲种商品，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，进一步求出答案即可．
【详解】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意可得，，
解得：，
经检验是分式方程的解且符合题意；
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是40元，则购进的乙种商品进价每件是48元；
（2）解：①根据题意可得，，
解得：，
答：的值为3；
②设购入件甲种商品，
根据题意可得，总费用，
∵总费用与无关，
，
解得：，
∴总费用，
故答案为：4480元．
23．（10分）若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）．
(1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（ ）
A．　B．　C．　D．
(2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值．
(3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值．
【答案】(1)D
(2)2
(3)1
【分析】本题考查“诚意”方程（组）的定义、解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握二元一次方程组及分式方程的解法，正确理解“诚意”方程（组）的定义是解题的关键．
（1）分别解各方程（组），判断解是否为整数；
（2）解方程组得，根据x为整数，则是10和15的正公约数，且，据此解答即可；
（3）将代入分式方程，解得，由于为正整数，方程是“诚意”方程，则是63的正约数，且， 满足的63的正约数有有7，9，21，63，据此解答即可．
【详解】（1）解：选项A、方程的解为，是整数，
选项B、方程组解为，是整数，
选项C、方程解为，是整数，
选项D、方程的解为，不是整数，
则选项D不是“诚意”方程，
故选：D；
（2）解：根据题意得 ，
解得，
由于方程组为“诚意”方程组，是正整数，
则是10和15的正公约数，且，
∴，
当，即时，方程组的解为，
因此，正整数的值为2；
（3）解：将代入方程得
，
解得，
由于为正整数，方程是“诚意”方程，
则是63的正约数，且，
63的正约数有1，3，7，9，21，63，
满足的有7，9，21，63，
当，即时，，且分母、；
当，即时，，分母，故舍去；
当，即时，，且分母、；
当，即时，，且分母、，
因此，的最小值为1．
24．（12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
【答案】(1)，；
(2)这的水不能倒完，理由见解析；
(3)经过次操作之后能达到．
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）解：∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章《分式》单元测试·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．已知（其中，且a，b都不为0），下列与M的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
4．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（ ）
A．200件 B．300件 C．400件 D．500件
5．“十四五”期间，为加快发展智慧农业，我市某农场积极引进新技术，计划采购一批智能播种设备升级种植模式，以助力本地烤烟、蔬菜等特色作物规模化种植，提升耕种效率与产出质量．已知采购1台型播种机的费用比1台型播种机少10万元，用300万元采购型播种机的台数与用450万元采购型播种机的台数相同．设采购型播种机的单价为万元，则所满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C．或15 D．5或
8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
10．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以x得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以x得到第3项···，以此类推，下面结论中正确的个数为（ ）
①当时， ；
②；
③第2025项；
④若x为整数，且值为整数，则x的取值个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时， ．
13．分式的值是，且，则的值为 ．
14．已知：，则= ．
15．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，发现没有任何x、y的值符合原方程组，请问其中m的值是 时才导致这一情况．
16．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．（8分）解分式方程：
(1)；
(2)．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天．
(1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）．
(2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？
21．（8分）【教材呈现】
a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以．
【类比分析】
（1）若，且…，求证．
【学以致用】
（2）若x，y，z都不为0，且，求的值．
22．（10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2400元，乙种商品共用了2880元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
(1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元/件，同时乙种商品单价下调了元/件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费5460元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲、乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值___________．
23．（10分）若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）．
(1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（ ）
A．　B．　C．　D．
(2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值．
(3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值．
24．（12分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．

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