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专题12 综合与实践新题型（6大题型）
综合实践题是中考数学的创新热点，侧重考查学生的阅读理解、动手操作、建模应用与综合探究能力，贴合全国中考考情，覆盖 5 大核心题型，适配初中数学教学与备考需求，题型灵活且贴合实际应用，是区分学生综合能力的关键模块。
题型一： 数学文化题
【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
1.抓文化信息：快速定位题干中的古代数学典籍、名题、数学家相关背景，圈出数量、图形、条件等关键数学信息。 2. 转数学模型：把古文、文化场景转化为方程（组）、勾股定理、面积公式、数列规律等已学模型。 3.按常规解题：用对应知识点列式、计算、验证，确保结果符合题意与实际背景。
1．（2025辽宁锦州一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？若设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设有人，辆车，分别分析两种乘车情况，建立方程组即可解答．
【详解】解：设有人，辆车，根据题意得：
．
故选：A
2．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故选：C．
3．（2023湖南娄底中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
4．（202江苏盐城中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
【答案】15
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．
解得：
故答案为15．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第二项的系数为3，那么的展开式中第三项的系数为______．
【答案】10
【分析】本题主要考查了整式的规律、根据图形中的规律得到的第三项系数为成为解题的关键．
先根据图形中的规律得到的第三项系数为，然后令并代入计算即可．
【详解】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
……
的第三项系数为；
当时，有．
所以第三项系数为10．
故答案为：10．
题型二： 跨学科融合题
【例题2】（2025安徽阜阳二模）如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称，三角形的内角和定理，由反射可知，，再结合三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意：，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
1.拆学科场景：剥离物理公式、生活情境、科技原理等非数学信息，提取长度、时间、速度、角度、数据等数学量。 2. 建关联等式：将跨学科关系转化为函数、比例、不等式、统计、几何计算等数学关系。 3. 依规则求解：按数学步骤规范解答，注意单位、范围、实际意义，答案要贴合跨学科场景。
1．（2025安徽淮南三模）一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得，再根据平行的性质可得，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
2．（2023山东烟台二模）甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据图中的函数关系，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据图像，可得甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，故①正确；
当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，故②错误；
当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，故③正确；
当温度为时，甲、乙的溶解度相同，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据图象得到信息，学会看图是解题的关键．
3．（2025河南驻马店一模）如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．（单位：），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数（单位：V）换算为人的质量（单位：）．已知随着变化的关系图象如图2所示，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法正确的是（ ）
A．在一定范围内，越大，越小
B．当时，踏板上人的质量为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】B
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，
由可得，越小，越大，原说法错误，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，
∴，解得：，
原说法正确，符合题意；
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，不符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，
由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，
，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．物体自由下落的高度h（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为_______．
【答案】4
【分析】本题考查了利用算术平方根求值的知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
把代入即可求解．
【详解】解：把代入得：，
解得（舍负），
故答案为：4．
5．（2025湖南怀化一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式：
第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是_______．
【答案】
【分析】本题考查了数字的规律，根据相邻分子式间的差值求得增加规律是解题关键．
根据C和H随序数的增长规律计算求值即可．
【详解】解：观察可知，序数每增长1，C增加6，H增加2，所以可得第n个分子式为
故第8个分子式为
故答案为∶．
题型三：新定义问题
【例题3】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以．
故选：A
1.吃透定义：逐字研读题干新定义，明确定义的核心内涵、适用条件与限制范围，不遗漏关键细节； 2.转化应用：将新定义与已学数学知识（方程、几何性质、统计方法）结合，把陌生问题转化为熟悉的数学模型； 3.验证结论：解题后对照新定义，确认答案符合定义要求，避免偏离定义核心。
1．当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______．
【答案】或或
【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为；
②角是β，则，
∴
∴“希望角”度数为；
③角既不是α也不是β，
则，
∴
解得，
∴“希望角”度数为；
综上所述，“希望角”度数为或或
故答案为：或或
2．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，．若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数（n为正整数），则_____，_____．
【答案】 2
【分析】本题为新定义问题，理解题目中规定进行计算，进而找出规律是解题关键．根据题目中规定法则可以分别求出，，，，，…，进而可以得出数列从第二项开始以4、2、1这3个数为周期循环，再根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
…
∴数列从第二项开始以4、2、1这3个数为周期循环，
∵，
∴
故答案为：2；4726
3．（2024·江苏扬州·一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；
(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【答案】(1)②，7；
(2)
(3)a=2或a=-2．
【分析】（1）分别求出两个函数的函数值范围即可得解；
（2）先求出函数值的范围，再由已知得到关于a，b的等式，即可得到解答；
（3）把原函数配方，再根据已知得到关于a的方程，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴有上界函数为②，其上确界为7，
故答案为②，7；
（2）解：由已知可得，
∴，
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
∴a=2或a=-2．
【点睛】本题考查新定义下的函数探究，在理解所给定义的前提下综合运用各类型函数的性质是解题关键．
4．（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线”
定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”．
若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”．
(1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由．
(2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值．
(3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2．
①求的值；
②若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值．
【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析；
(2)；
(3)①；②的最大值为．
【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值．
（1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”；
（2）根据定义列方程，即可求解参数；
（3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求；
② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值．
【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下：
先将抛物线配方：，
顶点坐标为，顶点到直线的距离为：，
联立抛物线与直线的方程：，
解得，，截距为，
截距的一半为，而顶点到直线的距离为，，
因此不具有“等距截线性质”；
（2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”：
配方得：
顶点坐标为，顶点到直线的距离为：
联立抛物线与直线的方程：，
设两根为，由韦达定理，，，
截距为：，
根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半：
令 （因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则，
代入得：，
解得（舍去），故；
（3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为：
① 配方得：
顶点坐标为，顶点到直线的距离为，
根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或，
又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义），
故；
② 由①得抛物线为，关于直线对称，
设，则，
抛物线，
抛物线的最低点即顶点为，
在上方，在下方，
，解得，
的长度为：，
，即的最大值为．
题型四： 阅读理解型问题（材料）
【例题4】（2026·广西南宁·一模）我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题．
(1)填空：已知，，则______．
(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______．
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值．
小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．
图3
③在②的结论下，
或9，
若，求的值．
【答案】(1)19
(2)①4，5，12；②或9；③
【分析】（1）由可知，，代入已知条件，从而求得的值；
（2）①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12；
②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值；
③先求出，运用将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，
∴，
即；
（2）解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，
根据每个圆圈上的三个数字之和相等，
可得：，
解得：，
∴两个空白“□”中，从左到右依次应填4，5，
每个圆圈上的三个数字之和为：；
②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y，
∵每个圆圈上的三个数字之和为S，
∴，
∴得：，
即，
即，
∵所有填入的数字之和为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，S为整数，
∴或9；
③∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由②得或9，
当时，，
∴；
当时，
∴，
则是方程的两个根，
∵，
∴此情况不存在，舍去；
∴．
1.快速读题：先通读材料，提取关键信息（公式、规律、约束条件），忽略无关内容； 2.精准定位：根据题目问题，回归材料找对应知识点，明确解题所需的条件与方法； 3.规范解题：结合材料给出的规律、公式，结合已学知识，分步求解，确保步骤清晰、逻辑连贯。
1．（2023·山西·一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，
∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　
【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图2中，作交于，
则有，
∴，
∴，则，变形得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设，则．
∵，∴……
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设是已知线段，过点B作且使；
②连接，在上截取；
③在上截取；
则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　．
【答案】(1)黄金分割数为
(2)能，道理见解析
(3)
【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可．
（2）设，根据勾股定理求出，再证明即可．
（3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可．
【详解】（1）设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即黄金分割数为．
（2）能，道理如下：
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C是线段的黄金分割点．
（3）如图，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
(1)如图1，试判断点E是否是四边形的边AB上的相似点，并说明理由．
(2)如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形的边AB上的强相似点．
(3)如图3，将矩形沿着CM折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
【答案】(1)点E是四边形的边AB上的相似点，理由见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）要证明点E是四边形的边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明所以问题得解．
（2）以为直径画弧，取该弧与的一个交点即为所求；
（3）由点E是矩形的边上的一个强相似点，得根据相似三角形的对应角相等，可求得利用含30°角的直角三角形性质可得与，边之间的数量关系，从而可求出与边之间的数量关系．
【详解】（1），
，
，
在和中，
∵
∴点E是四边形的边上的相似点．
（2）如图所示：点E是四边形的边上的强相似点，
（3）∵点E是四边形的边上的一个强相似点，
，
，
由折叠可知：
，
，
，
在中，，
∴．
【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．
4．阅读下列材料，并完成相应任务．
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆．19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为．用下面的方法（如图（1））就可以作出已知线段AB的黄金分割点H；
①以线段AB为边作正方形ABCD；
②取AD的中点E，连接EB；
③延长DA到点F，使；
④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．
以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则．
∵点E为AD的中点，∴．
在中，，∴，
∴．……
任务：
(1)补全题中的证明过程．
(2)如图（2），点C为线段AB的黄金分割点（），分别以AC，BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连线BD，BE．求证：．
(3)如图（3），在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设正方形ABCD的边长为1，则．可得．由勾股定理可得，从而得到． 即可求证；
（2）设AC的长为1，可得，从而得到，再由四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，可得，∠A=∠BCD=90°，从而得到， ，即可求证；
（3）证明△AEM∽△ADE，即可求证．
【详解】（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则．
∵点E为AD的中点，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵四边形AFGH为正方形，
∴，
∴，
∴点H是线段AB的黄金分割点．
（2）证明∶设AC的长为1，
∵点C为线段AB的黄金分割点（），
∴，
∴，
∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴，∠A=∠BCD=90°，
∴， ，
∴ ，
∴；
（3）证明：在正五边形ABCDE中，AE=DE=AB，，
∴∠ABE=∠AEB=∠DAE=∠ADE=36°，
∴∠DEM=∠AED-∠AEB=72°，AM=EM，
∴∠DME=72°，
∴∠DME=∠DEM，
∴DM=DE=AE，
设DM=1，
∵∠AEM=∠ADE，∠EAM=∠EAD，
∴△AEM∽△ADE，
∴，即，
解得：或（舍去）．
∴，
即点M是AD的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，正多边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，理解黄金分割点是解题的关键．
题型五： 方案设计型（根据表格背景素材，解决问题）
【例题5】（2026·山西吕梁·一模）威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明：
名称 品牌空调
安装 出风最小角：， 出风最大角：
示意图
技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：）
安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直
根据以上信息，解决下面的问题：
小丽房间内的床长200，高50，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1．参考数据：，，，，，）
【答案】空调安装的最低高度约为
【分析】本题主要考查了直角三角形的三角函数应用．熟练掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义与实际计算，添加辅助线建立直角三角形，是解题的关键．
连接，过点作于点，构造出直角三角形和矩形，结合题意推出，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘之外即可，即点与点重合，在中，根据题意得出，利用得到，进而得到的长度，最后根据即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，则四边形是矩形，
，
，
由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘之外即可，
当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘处时，空调安装的高度最低，
此时，
在中，，
，
，
，
，
答：空调安装的最低高度约为．
1.研读表格素材：提取表格中的数据、约束条件（如数量、范围、限制要求）； 2.明确需求：根据题干要求，确定方案设计的核心（省钱、高效、符合约束）； 3.设计方案：结合表格信息，列举所有可行方案，排除不符合条件的选项； 4. 优化选择：通过计算、比较，筛选最优方案，规范书写解题过程与结论。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度．
活动主题 测量操场看台对面体育馆的高度
测量工具 测角仪，皮尺，计算器等
测量示意图
测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台的长为米，坡度i为，看台最低点A到地面的距离为1米，，，，，； ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为； ③用计算器计算得：，，，．
请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆的高度（结果精确到米）．
【答案】米．
【分析】延长交于点N，设，则，求得，设米，则米，，，根据特殊角的正切列式求解即可．
【详解】解：延长交于点N，
根据题意，得，
因为看台的长为米，坡度i为，
，
设，则，
，
解得，
，
根据题意，易证四边形，四边形都是矩形，
，，
设米，则米，
根据题意，得，
，
，
根据题意，得，
，
根据题意，得，
解得（米），
经检验，，符合题意，
故（米）；
故体育馆的高度为米．
2．（2026年山西省临汾市九年级数学模拟试卷（二））项目化学习
项目背景：水龙头是日常生活中常见的设备，广泛应用于厨房、浴室等场所，主要用于控制水流的开关与调节．它不仅在家庭中起着基础作用，也在工业、医疗等领域有特定用途．综合实践小组的同学围绕“水龙头中的数学”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 水龙头中的数学问题
驱动问题 如何解决水龙头中的数学
活动内容 利用三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，．
数据测量 连接，，，，如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角．
交流展示 ……
请根据上述数据，计算问题
(1)求图2中的长度．
(2)求图3中点到台面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦函数的定义求解即可；
（2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦函数的定义求的长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，
；
（2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，
，
，
，
，
，
根据旋转可得，
在中，，
，
．
点到台面的距离为．
3．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究
题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题：
已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．
淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．
人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高．
参考数据
问题解决
(1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离．
(2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位）
【答案】(1)；
(2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析
【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度；
（2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可．
【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则，
∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：点A到地面的距离约为；
（2）解：当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵小明的身高是，
∴小明的舒适距离，
∵，
∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．
4．（2026·河南周口·二模）新考向某校实践小组开展测量某地下商业街入口玻璃顶高度的活动，记录如下：
活动主题 用自制工具测量物体高度
自制工具 实践小组制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行．测量时，将挂铅锤的细线顶端固定在量角器中心点O处，将三角板斜边紧贴被测物体表面．
实物图和测量示意图
测量说明 如图1是某地下商业街入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架杆撑起的，示意图如图2，经过测量，支架的立柱与水平地面垂直，点A、C、M在同一水平线上，支撑杆，垂足为E．当把自制测角工具的斜边紧贴在斜杆上时，铅锤线在量角器上与刻度线对应的夹角为．
测量数据 米，米，，
备注 ，，，
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求支撑杆顶端D到地面的距离（结果精确到1米）．
【答案】(1)
(2)支撑杆顶端D到地面的距离为8米
【分析】（1）延长刻度线交于点N，将铅锤线延长分别交、于F、P，则，得出，根据量角器的刻度线与等腰直角三角板的斜边平行，得出，则，根据，，得出；
（2）在中，解直角三角形求出，结合，得出，在中，求出．过点作于，过点作于，则四边形是矩形，得米，，进而得，即得，解直角三角形得到的长，即可求出支撑杆的顶端到地面的距离；
【详解】（1）解：延长刻度线交于点N，将铅锤线延长分别交、于F、P，如图，
，
，
∵量角器的刻度线与等腰直角三角板的斜边平行，
，
，
，，
；
（2）解：∵支架的立柱与地面垂直，
是直角三角形，
在中，，，，
，
，
，
，
，
在中，．
如图，过点D作于点H，过点B作于点G，
则四边形是矩形，
∴，，
，
，
在中，，
（米），
∴支撑杆顶端D到地面的距离为8米．
题型六： 实验探究型
【例题6】如图，点是以为直径的半圆上一点，连接，点是上一个动点，连接，作交于点，交半圆于点．已知：，设的长度为，的长度为，的长度为（当点与点重合时，，，当点与点重合时，，）．
小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量变化而变化的规律进行了探究．
下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，请补全表格：
cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
cm 8.00 5.81 4.38 3.35 2.55 1.85 1.21 0.60 0.00
cm 0.00 0.90 2.24 2.67 2.89 2.83 2.34 0.00
上表中______．（精确到0.1）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象（已经画出）；
（3）结合函数图象解决问题：
①当，的长都大于时，长度的取值范围约是______；（精确到0.1）
②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点，，能否在以为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）
【答案】（1）1.6；（2）见解析；（3）①；②见解析，否
【分析】（1）利用测量法可以解决问题；
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）①利用图象法即可解决问题．②利用图象法解决问题．
【详解】解：（1）根据测量可知：，
故答案是：1.6；
（2）的图象如下图所示．
（3）①根据函数图像可知：当，的长都大于时，即且 时，，
故答案是：；
②画函数的图象，如上图，
∵函数，以及直线，不可能交于一点，
∴不存在满足的点，故点，，不可能在以为圆心的同一个圆上．
故答案是：否．
【点睛】本题考查圆综合题，函数图象问题，解题的关键是理解题意，学会利用测量法解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考压轴题．
1.明确探究目的：根据题干要求，确定探究的核心（如图形性质、数据规律、操作可行性）； 2.分步探究：按照 “操作→观察→分析→总结” 的流程，记录关键数据与现象； 3.归纳结论：结合探究过程，总结规律，确保结论贴合实验事实，符合数学逻辑。
1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合与实践
【提出问题】
在综合与实践活动中，同学们发现：可以将一张长方形硬纸片做成一个无盖长方体形盒子．那么，怎样制作的盒子的体积更大
【实践尝试】
小深同学尝试在长为16，宽为12的长方形硬纸片的四个角处，各剪出一个边长相同的小正方形（如图1，阴影部分为小正方形），再沿虚线折叠、拼接，可得到如图2所示的无盖长方体盒子．
观察图形：
①完成下列表格：
小正方形边长 1 2 3 4 …
无盖长方体盒子底面积 140 96 …
②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为_____；
【方案改进】
小圳同学认为小深同学的方法还可以再优化．利用同样的长方形硬纸片，小圳同学采用如图3剪切方法无损耗无重叠的拼接成如图4的无盖长方体盒子，则无盖长方体盒子的体积为_____．
【答案】（1）①，，；②；
（2）．
【分析】本题考查有理数以及整式的实际应用，关键是理解剪去小正方形后长方体的长、宽、高与原长方形及小正方形边长的关系，利用长方形面积公式和长方体体积公式进行计算．
（1）①无盖长方体盒子底面的长为原长方形长减去两个小正方形边长，底面的宽为原长方形宽减去两个小正方形边长，以此根据长方形面积公式进行计算即可；
②根据长方体体积公式进行计算即可；
（2）观察可得3个侧面宽等于12，2个侧面宽等于1个侧面长，以此进行运算即可．
【详解】解：（1）【实践尝试】①当小正方形边长为3时，无盖长方体盒子底面积为：；
当小正方形边长为4时，无盖长方体盒子底面积为：；
当小正方形边长为时，无盖长方体盒子底面积为：；
故答案为：，，；
②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为：；
（2）【方案改进】观察可得无盖长方体盒子的高，即侧面宽为：，
无盖长方体盒子的底面边长，即侧面长为：，
则无盖长方体盒子的体积为：．
故答案为：．
2．（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离．
（参考数据：，，）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
由题意得，，
又∵，
∴，
答：，两岛间的距离为．
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
计算过程：
过点作，则，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴．
答：，两岛间的距离为．
3．小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，在等腰△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，P是AC上的一个动点，AC＝4cm，当△PEF为等腰三角形时，求线段AP的长度．小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PF的长度，得到下表的几组对应值：
AP/cm 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 4 4.5
PE/cm 1.12 0.71 0.50 0.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04
PF/cm 3.04 2.55 2.06 1.58 a 0.71 0.50 0.71 1.12
表格中a的值为 　 　；
(2)将线段AP的长度作为自变量x，PE和PF的长度都是x的函数，分别记为yPE和yPF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPE的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中画出函数yPF的图象；
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△PEF为等腰三角形时，线段AP的长度．（结果保留一位小数）
【答案】(1)1.12
(2)见解析
(3)图见解析，3.2cm或1.1cm或2cm
【分析】（1）根据线段中点的定义得到AE＝CF，∠A＝∠C，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据题意作出函数yPF的图象即可；
（3）根据三角形中位线的性质得到EFAC＝2（cm），根据题意作出作出直线yEF＝2，根据函数图象的交点坐标即可得到结论．
【详解】（1）∵AP＝2时，点P为AC的中点，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AB＝BC，
∴AE＝CF，∠A＝∠C，
∴△APE≌△CPF（SAS），
∴PE＝PF＝1.12，
即a＝1.12，
故答案为：1.12；
（2）函数yPF的图象如图所示；
（3）∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EFAC＝2（cm），
∵△PEF为等腰三角形，
∴PE＝EF或PF＝EF或PE＝PF，
如上图作出直线yEF＝2，
当PE＝EF时，则yEF＝2的图象与yPE的图象交点横坐标为x＝3.2，
当PF＝EF时，则yEF＝2的图象与yPF的图象交点横坐标为x＝1.1，
当PE＝PF时，则yPE的图象与yPF的图象交点横坐标为x＝2，
综上所述：线段AP长度的近似值为3.2cm或1．cm或2cm．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，函数图象等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）①；②；③等边（2）①3②
【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解；
②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得，即可求解；
（2）①由题意知点在以点E为圆心，半径长为2的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大；
②当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）①点在以点E为圆心，的长为半径的圆上；
②根据折叠的性质知：，，，
，
；
③，
∴为等边三角形；
故答案为：①，②，③等边；
（2）①∵，
∴，
故点在以点E为圆心，半径长为2的圆上，
∴的面积要最大，只要以为底的高最长即可，
∴当时，的面积最大，如图：
的面积最大值；
②∵，
∴，
∴，
∵P为的中点，
∴Q为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴，
当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当时，△ABB'的面积最大；②当E、、C三点共线时，取得最小值是解本题的关键．
1．（2024河南中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
2．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
3．（2024四川巴中中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即，
故选：C．
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴设，，则：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得或（不合题意，舍去）；
在中，；
故选A．
5．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
6．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：调整后的滑梯会多占的一段地面．
7．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x … 0.30 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 …
… 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.27 0.38 …
… 5.60 4.95 3.95 2.96 2.06 1.24 0.57 0.10 …
（1）当时，＝ ．
（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
【答案】（1）3；（2）当x约等于2时，y1=y2；当02时，y1>y2；（3）见解析
【分析】（1）根据圆的直径为6，半径为3可求；
（2）按自变量由小到大的顺序描点并用平滑曲线连接即可得到所画图象，两图象有交点，过此交点作x轴的垂线，垂足表示的数即为自变量x的值，找到此值，即可比较两函数值的大小；
（3）在（2）的基础上，取AC=2，借助于勾股定理、相似三角形等知识，分别计算EC和EB，即可得出结论的正确性．
【详解】解（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3．
故答案为：3
（2）函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数．
∴从图象可以看出：
当时，；
当0当x>2时，．
（3）如图3，连结OD，过点E作于点H．
由（2）的初步判断，当时，，即EC=EB．
不妨取AC=x=2，此时，，．
，
∴在中，
．
设，则，．
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ECO．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
两边平方并整理得，．
解得，（不合题意，舍去）．
∴OH=m=1．
∴HC=OH+OC=1+1=2，．
∴．
又∵HB=OB-OH=3-1=2，
∴．
∴EC=EB．
∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数的图象与函数值的大小比较等知识点，熟知上述的知识点是解题的基础，而通过“实验猜想证明”的探究方法是关键．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为．
【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解．
（1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解；
（2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可；
（3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可．
【详解】解：（1）①由题意知，米，米，
米，
即点到地面的距离是米，
故答案为：；
② 米，点为中点，
米，
，
，
，
，
在中，米，
米，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，
则，
米，
，
，
，
，
在中，米，
，
即，
延长交于点，过作交于，
则（米），，，
为使头部不被淋湿，
所以，
解得，又，
所以；
；
（3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图，
延长交于点，过作交于，
延长交于，过作交于，
则，，，
，
所以在中，，，
在中，，
所以，
在中，，
又，
所以此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为．
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专题12 综合与实践新题型（6大题型）
综合实践题是中考数学的创新热点，侧重考查学生的阅读理解、动手操作、建模应用与综合探究能力，贴合全国中考考情，覆盖 5 大核心题型，适配初中数学教学与备考需求，题型灵活且贴合实际应用，是区分学生综合能力的关键模块。
题型一： 数学文化题
【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
1.抓文化信息：快速定位题干中的古代数学典籍、名题、数学家相关背景，圈出数量、图形、条件等关键数学信息。 2. 转数学模型：把古文、文化场景转化为方程（组）、勾股定理、面积公式、数列规律等已学模型。 3.按常规解题：用对应知识点列式、计算、验证，确保结果符合题意与实际背景。
1．（2025辽宁锦州一模）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，其大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余2辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？若设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023湖南娄底中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（202江苏盐城中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第二项的系数为3，那么的展开式中第三项的系数为______．
题型二： 跨学科融合题
【例题2】（2025安徽阜阳二模）如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
1.拆学科场景：剥离物理公式、生活情境、科技原理等非数学信息，提取长度、时间、速度、角度、数据等数学量。 2. 建关联等式：将跨学科关系转化为函数、比例、不等式、统计、几何计算等数学关系。 3. 依规则求解：按数学步骤规范解答，注意单位、范围、实际意义，答案要贴合跨学科场景。
1．（2025安徽淮南三模）一束光照射到平面镜上的点处后反射到平面镜上的点处，已知入射光线、反射光线与的夹角相等，照射点处的法线（法线与反射面垂直，即），若，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023山东烟台二模）甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
3．（2025河南驻马店一模）如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．（单位：），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数（单位：V）换算为人的质量（单位：）．已知随着变化的关系图象如图2所示，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法正确的是（ ）
A．在一定范围内，越大，越小
B．当时，踏板上人的质量为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是
4．物体自由下落的高度h（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．在一次实验中，一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为_______．
5．（2025湖南怀化一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式：
第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是_______．
题型三：新定义问题
【例题3】新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
1.吃透定义：逐字研读题干新定义，明确定义的核心内涵、适用条件与限制范围，不遗漏关键细节； 2.转化应用：将新定义与已学数学知识（方程、几何性质、统计方法）结合，把陌生问题转化为熟悉的数学模型； 3.验证结论：解题后对照新定义，确认答案符合定义要求，避免偏离定义核心。
1．当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______．
2．（23-24七年级上·浙江衢州·月考）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，．若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数（n为正整数），则_____，_____．
3．（2024·江苏扬州·一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；
(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
4．（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线”
定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”．
若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”．
(1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由．
(2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值．
(3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2．
①求的值；
②若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值．
题型四： 阅读理解型问题（材料）
【例题4】（2026·广西南宁·一模）我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题．
(1)填空：已知，，则______．
(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______．
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值．
小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．
图3
③在②的结论下，
或9，
若，求的值．
1.快速读题：先通读材料，提取关键信息（公式、规律、约束条件），忽略无关内容； 2.精准定位：根据题目问题，回归材料找对应知识点，明确解题所需的条件与方法； 3.规范解题：结合材料给出的规律、公式，结合已学知识，分步求解，确保步骤清晰、逻辑连贯。
1．（2023·山西·一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，
∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指：　　；
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　
2．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设，则．
∵，∴……
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设是已知线段，过点B作且使；
②连接，在上截取；
③在上截取；
则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　．
3．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
(1)如图1，试判断点E是否是四边形的边AB上的相似点，并说明理由．
(2)如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形的边AB上的强相似点．
(3)如图3，将矩形沿着CM折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
4．阅读下列材料，并完成相应任务．
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆．19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为．用下面的方法（如图（1））就可以作出已知线段AB的黄金分割点H；
①以线段AB为边作正方形ABCD；
②取AD的中点E，连接EB；
③延长DA到点F，使；
④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．
以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则．
∵点E为AD的中点，∴．
在中，，∴，
∴．……
任务：
(1)补全题中的证明过程．
(2)如图（2），点C为线段AB的黄金分割点（），分别以AC，BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连线BD，BE．求证：．
(3)如图（3），在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．求证：点M是AD的黄金分割点．
题型五： 方案设计型（根据表格背景素材，解决问题）
【例题5】（2026·山西吕梁·一模）威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度，如下是某空调挂机的安装说明：
名称 品牌空调
安装 出风最小角：， 出风最大角：
示意图
技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：）
安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直
根据以上信息，解决下面的问题：
小丽房间内的床长200，高50，靠墙摆放，为了让空调风不直接吹到床上，求空调安装的最低高度．（结果精确到1．参考数据：，，，，，）
1.研读表格素材：提取表格中的数据、约束条件（如数量、范围、限制要求）； 2.明确需求：根据题干要求，确定方案设计的核心（省钱、高效、符合约束）； 3.设计方案：结合表格信息，列举所有可行方案，排除不符合条件的选项； 4. 优化选择：通过计算、比较，筛选最优方案，规范书写解题过程与结论。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）西安滨河学校九年级某班七组同学利用课后服务时间进行综合实践活动，在操场看台上测量对面体育馆的高度．
活动主题 测量操场看台对面体育馆的高度
测量工具 测角仪，皮尺，计算器等
测量示意图
测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台的长为米，坡度i为，看台最低点A到地面的距离为1米，，，，，； ②用测角仪在看台最低点A处测得体育馆顶部D点的仰角为，在看台顶部点B处测得体育馆顶部D点的仰角为； ③用计算器计算得：，，，．
请你根据测量结果，帮助七组同学求出体育馆的高度（结果精确到米）．
2．（2026年山西省临汾市九年级数学模拟试卷（二））项目化学习
项目背景：水龙头是日常生活中常见的设备，广泛应用于厨房、浴室等场所，主要用于控制水流的开关与调节．它不仅在家庭中起着基础作用，也在工业、医疗等领域有特定用途．综合实践小组的同学围绕“水龙头中的数学”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 水龙头中的数学问题
驱动问题 如何解决水龙头中的数学
活动内容 利用三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，，，三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点上下旋转，且，．
数据测量 连接，，，，如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角．
交流展示 ……
请根据上述数据，计算问题
(1)求图2中的长度．
(2)求图3中点到台面的距离．
3．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究
题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题：
已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．
淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．
人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高．
参考数据
问题解决
(1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离．
(2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位）
4．（2026·河南周口·二模）新考向某校实践小组开展测量某地下商业街入口玻璃顶高度的活动，记录如下：
活动主题 用自制工具测量物体高度
自制工具 实践小组制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行．测量时，将挂铅锤的细线顶端固定在量角器中心点O处，将三角板斜边紧贴被测物体表面．
实物图和测量示意图
测量说明 如图1是某地下商业街入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架杆撑起的，示意图如图2，经过测量，支架的立柱与水平地面垂直，点A、C、M在同一水平线上，支撑杆，垂足为E．当把自制测角工具的斜边紧贴在斜杆上时，铅锤线在量角器上与刻度线对应的夹角为．
测量数据 米，米，，
备注 ，，，
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)求支撑杆顶端D到地面的距离（结果精确到1米）．
题型六： 实验探究型
【例题6】如图，点是以为直径的半圆上一点，连接，点是上一个动点，连接，作交于点，交半圆于点．已知：，设的长度为，的长度为，的长度为（当点与点重合时，，，当点与点重合时，，）．
小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量变化而变化的规律进行了探究．
下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，请补全表格：
cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
cm 8.00 5.81 4.38 3.35 2.55 1.85 1.21 0.60 0.00
cm 0.00 0.90 2.24 2.67 2.89 2.83 2.34 0.00
上表中______．（精确到0.1）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象（已经画出）；
（3）结合函数图象解决问题：
①当，的长都大于时，长度的取值范围约是______；（精确到0.1）
②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点，，能否在以为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）
1.明确探究目的：根据题干要求，确定探究的核心（如图形性质、数据规律、操作可行性）； 2.分步探究：按照 “操作→观察→分析→总结” 的流程，记录关键数据与现象； 3.归纳结论：结合探究过程，总结规律，确保结论贴合实验事实，符合数学逻辑。
1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）综合与实践
【提出问题】
在综合与实践活动中，同学们发现：可以将一张长方形硬纸片做成一个无盖长方体形盒子．那么，怎样制作的盒子的体积更大
【实践尝试】
小深同学尝试在长为16，宽为12的长方形硬纸片的四个角处，各剪出一个边长相同的小正方形（如图1，阴影部分为小正方形），再沿虚线折叠、拼接，可得到如图2所示的无盖长方体盒子．
观察图形：
①完成下列表格：
小正方形边长 1 2 3 4 …
无盖长方体盒子底面积 140 96 …
②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为_____；
【方案改进】
小圳同学认为小深同学的方法还可以再优化．利用同样的长方形硬纸片，小圳同学采用如图3剪切方法无损耗无重叠的拼接成如图4的无盖长方体盒子，则无盖长方体盒子的体积为_____．
2．（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离．
（参考数据：，，）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
3．小亮在学习中遇到这样一个问题：如图1，在等腰△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，P是AC上的一个动点，AC＝4cm，当△PEF为等腰三角形时，求线段AP的长度．小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PF的长度，得到下表的几组对应值：
AP/cm 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 4 4.5
PE/cm 1.12 0.71 0.50 0.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04
PF/cm 3.04 2.55 2.06 1.58 a 0.71 0.50 0.71 1.12
表格中a的值为 　 　；
(2)将线段AP的长度作为自变量x，PE和PF的长度都是x的函数，分别记为yPE和yPF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPE的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中画出函数yPF的图象；
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△PEF为等腰三角形时，线段AP的长度．（结果保留一位小数）
4．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为 ．
1．（2024河南中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
2．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024四川巴中中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
4．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____．
6．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
7．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x … 0.30 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 …
… 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.27 0.38 …
… 5.60 4.95 3.95 2.96 2.06 1.24 0.57 0.10 …
（1）当时，＝ ．
（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由．
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