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2026年中考数学总复习第4期：三角形 知识梳理及考题预测
重点知识回顾
知识点1 三角形中的特殊线段及直线
特殊线段/直线 图形 重要结论
高线 AD是△ABC的高线 1.∠ADB=∠ADC=90°; 2.S△ABC=BC·AD.
角平分线 AD是△ABC的角平分线 1.∠BAD=∠DAC=∠BAC; 2.三角形三条角平分线的交点为三角形的内心(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等. 【适用情况】常过角平分线上的点作两条邻边的垂线，构造全等三角形解题.
中线 AD是△ABC的中线 1.BD=DC=BC; 2.S△ABD=S△ADC=S△ABC(中线平分三角形面积).
中位线 DE是△ABC的中位线 1.AD=DB，AE=EC; 2.中位线平行且等于底边的一半，即DE//BC且DE=BC. 【适用情况】当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，进一步利用其证明线段平行或倍分问题，可简单地概括为“已知中点找中位线”;在平行四边形或菱形中边上有中点时，常连接中点与对角线的交点构成中位线.
知识点2 特殊三角形的性质及判定
图形名称 性质
等腰三角形 1.角：∠B=∠C(底角相等); 2.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简写成“三线合一”; 3.是轴对称图形，有一条对称轴.
等边三角形 1.边：三条边相等； 2.角：三个角都是60°; 3.是轴对称图形，有三条对称轴
直角三角形 1.两锐角之和等于90°; 2.斜边上的中线等于斜边的一半； 3.30°角所对的直角边等于斜边的一半，即在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC=AB; 4.勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a +b =c
判定
知识点3 全等三角形的性质、判定及判定思路
性质
1.全等三角形的对应边相等； 2.全等三角形的对应角相等； 3.全等三角形的对应边上的高线、中线、角平分线相等，对应周长、面积相等.
判定
SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等（基本事实）.
SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（基本事实）.
ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（基本事实）.
AAS（角角边） 两角及其一角所对的边对应相等的两个三角形全等（基本事实）.
HL 一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等（基本事实）.
判定思路
已知两对等边 1.找夹角相等→SAS； 2.找直角→HL或SAS； 3.找第三边相等→SSS.
已知一对等边和一对等角 1.边为角的对边→找任意一对等角→AAS； 2.边为角的邻边：①找等角的另一邻边相等→SAS; ②找等边的另一邻角相等→ASA; ③找等边的对角相等→AAS.
已知两对角相等 1.找夹边相等→ASA； 2.找其中一角的对边相等→AAS.
知识点4 相似三角形性质、判定及判定思路
性质
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 2.相似三角形的对应高线的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； 3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
判定
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 2.两角分别相等的两个三角形相似； 3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 4.三边对应成比例的两个三角形相似； 5.两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.
判定思路
有平行线 用平行线的性质，找角相等
有一对角 1.另一对角相等； 2.该角的两边对应成比例.
有两边对应成比例 1.夹角相等； 2.第三边也对应成比例； 3.有一对直角.
直角三角形中 1.一对锐角相等； 2.斜边、直角边对应成比例.
等腰三角形中 1.顶角相等； 2.一对底角相等； 3.底和腰对应成比例
知识点5 常见的相似三角形图形
模型展示 正A字型 斜A字型
模型特点 有共用的一组角∠A，并且有另外一组角相等，形似“字母A”
解题思路 找同侧的一组相等角 找异侧的一组相等角
模型展示 正8字型 斜8字型
模型特点 有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”
解题思路 找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例
一线三等角
模型展示
模型特点 ∠1=∠2=∠3，△APC∽△BDP
解题思路 1.找平角180°； 2.再找内角和180°； 3.结合条件中的等角，得到另一组等角.
手拉手
模型展示
模型特点 1.有公共点(点C)的两对等线段(AC=BC，CE=CD)，两对线段的夹角相等(α)； 2.△BCE≌△ACD，△BCA∽△ECD.
解题思路 1.补拉手线（连接AD，BE）; 2.构造另一个三角形（连接CE，AC）.
知识点6 特殊的锐角三角函数值
示意图
α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
知识点7 锐角三角函数实际应用模型分析
图形示例 总结
图① 图② 背靠背型 图①，作AD⊥BC，构造Rt△ABD和Rt△ACD求解. 图②，作AE⊥BC，DF⊥BC，构造Rt△ABE和Rt△DFC求解.
图① 图② 图③ 母子型 图①，图②，作CD⊥AB，构造Rt△ACD和Rt△BCD求解. 图③，作CE⊥AB，构造Rt△ACE和Rt△ADB求解.
图① 图② 拥抱型 图①，分别解Rt△ABC和Rt△BCD求解. 图②，作AG⊥DE，构造Rt △AGD和矩形ABEG，分别解三个直角三角形求解.
知识点8 平行四边形的性质及判定
性质
边 两组对边分别平行且相等，如AB∥CD，AB=CD
角 两组对角分别相等，邻角互补，如∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BCD=180°
对角线 两条对角线互相平分，如OA=OC，OB=OD
对称性 是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点
周长 C=2（a+b）
面积 S=ah
判定
边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点9 矩形、菱形、正方形的性质及判定
性质 判定
矩形 1.对边平行且相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线互相平分且相等 1.有一个角是90°的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形
菱形 1.对边平行且四条边都相等； 2.对角线互相垂直且平分； 3.每条对角线平分一组对角 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.四条边都相等的四边形是菱形
正方形 1.对边平行且四条边都相等； 2.四个角都是直角; 3.对角线互相垂直平分且 相等； 4.每条对角线平分一组对角 1.一个角是直角的菱形是正方形； 2.一组邻边相等的矩形是正方形； 3.对角线垂直平分且相等的四边形是正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
知识点10 圆周角定理及其推论
1.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
知识点11 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形对角互补,如图,∠A+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°.
2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角,如图,∠DCE=∠A.
知识点12 切线的性质及判定
1.切线的性质
数量关系:圆心到切线的距离等于半径；
位置关系:切线垂直于过切点的半径.
2.切线的判定
直线与圆有公共点，连半径，证垂直；
直线与圆无公共点，作垂线，证半径.
3.切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相
等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
如图，过⊙O外一点P可以引两条切线PA、PB，则PA=PB，PO平分∠APB.
易错点/方法梳理/解题技巧
易错点1:三角形中线的性质以及拓展知识点：边的等分点与面积，很多同学不知道怎么处理，通用做法是列方程(组)解决.
易错点2:三角形高线分类讨论，总是忽略三角形外部的高线.
易错点3:三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任意两边”，它也是求最短距离的方法之一
易错点4:三角形的内角和，三角形的分类及三角形内外角的性质，特别关注外角性质中的推论，三角形的外角一定大于与它“不相邻”的任何一个内角.
易错点5:全等三角形的判定：要注意“边边角”相等的两个三角形不一定全等，整理时要能举出反例.
易错点6:等腰三角形存在性的分类讨论，要想不漏解，用“两圆一线”能解决.
易错点7:直角三角形存在性的分类讨论，用“两线一圆”能解决.
易错点8:直角三角形的判定方法：除了定义和勾股定理逆定理，还可以用矩形的性质，直径所对的圆周角是直角(90°)等用来证明直角.
易错点9:三角函数的定义中对应线段的比经常出错，要注意对应字母书写正确.
易错点10:四边形的表示，顶点字母有顺序性，不能随意乱写；反之，给定的四边形要按字母顺序画.
易错点11:平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；而矩形、菱形、正方形既是中心对称图形也是轴对称图形.
易错点12:平行四边形注意与三角形面积求法的区分，平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系.
易错点13:平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，体现转化思想.
易错点14:正方形中含45°角，这个模型要熟练掌握很多几何部分的难题都是它的变式.
易错点15:弦所对的圆周角有两种情况，两条平行弦之间的距离也要考虑两种情况.
易错点16:垂径定理是圆中求线段长的重要定理，垂直于弦的直径也可以是满足条件的半径、弦心距.
易错点17:切线的判定方法有两种:已知半径证垂直、已知垂直证半径，后一种证法是没有切点的，不能一上来就连圆心，硬说是半径.
易错点18:“图中无圆，心中有圆”，关于隐圆问题，
要注意挖掘题中一些可以构造辅助圆的条件.
原创题练习
1.游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱.如图，横板AB绕其中点E上下转动，立柱EF与地面垂直，若EF＝50cm，则一端的坐板离地的最大距离BC为(　　)
第1题图
A.25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm
2.如图，是由3个正五边形组成的图形，则∠1的度数为
第2题图
A.72° B.60° C.36° D.24°
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，若∠BOE=30°，BO=2，则AO的长为(　　)
第3题图
A.2 B.2 C.4 D.4
4.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠ACB=60°，BD是△ABC的中线，DE⊥BC，垂足为E，则BD的长为(　　)
第4题图
A. B.2 C.2 D.
5.如图，四边形ABCD为矩形，E是BC边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为点F，若∠BAE＝15°，AB=3，则EF的长为（ ）
第5题图
A.3 B.3 C.4 D.6-3
6.问题情境：在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀，避免部分区域光线不足的问题.综合与实践小组想知道会议室灯带的长度，于是他们利用已有工具：平面镜和测角仪，按照如下方式进行了测量.
数据测量：如图，将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪在点A处测得天花板边缘O的仰角为60°，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时在点B处测得天花板边缘O的仰角为45°.管理员告诉他们会议室天花板的高度为3 m.
问题解决：请根据以上数据计算灯带CD的长(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73).
第6题图
7.如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，OD⊥AB交AC于点D，过点C作⊙O的切线交OD的延长线于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：CE=DE；
(2)请你从下列条件中选择一个条件　　　　，求AD的长.
①sinF=，CE=6；②OA=8，BF=.
第7题图
答案解析
1.D【解析】由题意可知EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC.∵E为AB的中点，∴EF为△ACB的中位线，∴EF=BC，∴BC=2EF=100（cm）.
2.C【解析】∵五边形是正五边形，∴每个内角的度数为=108°，∴∠1=360°-3×108°=36°
3.B【解析】解法一：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BOE=30°，∴∠AOE=60°，∵OE⊥AB，∴∠BAO=30°，∴AO==2.
解法二：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BOE
=30°，OE⊥AB，∴∠ABO=60°，∴∠OAB=30°，∴AB=
2OB=4，∴在Rt△AOB中，AO===2.
4.C【解析】∵AC=4，BD是△ABC的中线，∴CD=AC=2.
∵DE⊥BC，∴∠ACB=60°，∴在Rt△DEC中，∠EDC=30°，∴CE=1，DE=.又∵BC=6，∴BE=BC-CE=5，∴在Rt△BDE中，BD==2.
5.D【解析】如解图，延长AF，交BC于点H.由折叠的性质可知∠BAE=∠FAE=15°，∠B=∠AFE=90°，BE=EF，∴∠BAH=30°，∴∠AHB＝60°，∴tan∠BAH=tan 30°=，∵AB＝3，∴＝，∴BH=，设BE=EF=x，则EH=
BH-BE=-x，∵sin∠EHF＝sin 60°=，∴＝，∴x=6-3.
第5题解图
6.解：如解图，过点A作AE⊥OD于点E，过点B作BF⊥OD于点F，
则AE=BF=3，
由题意，得∠1=60°，∠2=45°，△OAC与△OBD均为等腰三角形，
∴∠OAE=30°，∠OBF=45°，OC=2CE，OD=2DF，
∴在Rt△AOE中，OE=AE·tan 30°=，
在Rt△OBF中，OF=BF·tan 45°=3，
∴OC=2，OD=6，
∴CD=OD-OC=6-2≈2.5(m).
答：灯带CD的长约为2.5 m.
第7题解图
7.(1)证明：如解图①，连接OC，
∵EF与⊙O相切，
∴∠OCE=90°，
∴∠OCA+∠ECD=90°，
∵EO⊥AF，
∴∠AOD=90°，
∴∠A+∠ADO=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠ADO=∠ECD，
∵∠ADO=∠EDC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE；
第7题解图①
(2)解：选择条件①：
如解图①，连接OC，由(1)知∠OCE=90°，∠EOF=90°，
∴∠F+∠COF=90°，∠EOC+∠COF=90°，
∴∠F=∠EOC，
∵sinF=，
∴sin∠EOC===，
∴OE=10，
∴OA=OC==8，
∵DE=CE=6，
∴OD=OE-DE=10-6=4，
在Rt△AOD中，AD==4.
或选择条件②：
如解图②，连接OC，BC，
由(1)知∠EDC=∠ECD，
∵∠ACF+∠ECD=180°，∠ODC+∠EDC=180°，
∴∠ACF=∠ODC，
∵∠A=∠OCD，
∴△ACF∽△CDO，
∴=，
∵OA=OB=OC=8，BF=，
∴AF=8+8+=,==,=，
化简得AC=AD，①
∵AB为⊙O的直径，OD⊥AB，
∴∠ACB=∠AOD=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△AOD，
∴=，即AC·AD=16×8，②
将①代入②，解得AD=4.
(任选一种作答即可)
第7题解图②
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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