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2026年中考数学专题复习第五期：图形的变化
重点知识回顾
知识点1 图形的折叠
实质 折叠问题的实质是轴对称变换
图示
性质 1.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称； 2.折叠前后的两部分图形全等,对应边、角、线段、周长、面积都分别相等； 3.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
知识点2 图形的平移
要素 平移的方向和平移的距离
性质 1.平移前后,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等； 2.对应点所连线段平行(或在同一条直线上)且相等； 3.平移不改变图形的形状和大小； 4.对应点的距离等于平移的距离
作图 步骤 1.根据题意，确定平移的方向和平移距离； 2.找出原图形的关键点； 3.按平移方向和平移距离，平移各个关键点,得到各关键点的对应点； 4.按原图形，依次连接得到的各关键点的对应点,得到平移后的图形
知识点3 图形的旋转
定义 将一个图形绕一个定点旋转一定角度,得到另一个图形
图示
要素 旋转中心（点O）,旋转角度（α），旋转方向：逆时针旋转α，顺时针旋转360°-α
性质 1.旋转前后的图形全等； 2.对应点到旋转中心的距离相等； 3.三组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等,且等于旋转角； 4.经过旋转得到的两个图形,旋转中心在对应点 所连线段的垂直平分线上
知识点4 图形的位似
概念 两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点,对应边互相平行(或在一条直线上),像这样的两个图形叫做位似图形,其中对应点连线的交点叫做位似中心
性质 1.任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比; 2.对应点的连线或延长线相交于同一点(位 似中心); 3.对应边平行(或在一条直线上)； 4.对应角相等； 5.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心,画出一个与原图形相似比为k的图形,那么位似图形上的对应点与原图形上的点的坐标比等于k或-k
与相似的区别 位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形
易错提示
易错点1:旋转必须明确三个要素：中心、方向、角度.特别是方向，题目若未明确说明，通常涉及分类讨论.
易错点2:在平面直角坐标系中进行变换时，搞错横纵坐标的符号变化或加减规则.牢记口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”（如关于 x 轴对称，x 不变，y 变号）；“平移规律：左减右加，下减上加”.
易错点3:在复杂的图形变换后，计算线段长度或角度时，找错了对应点，导致使用了错误的边或角进行计算.
易错点4:平移、旋转、轴对称属于全等变换，图形的形状和大小（面积、周长、角度）始终保持不变，只有位置发生改变.
原创题练习
1.如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，PA∶PA1=1∶2，若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
第1题图
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
2.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边CB的延长线上，沿BD平移线段AB得到线段ED.已知点F在边AC上，当CF=时，△DEF是以DE为斜边的等腰直角三角形，则线段BD的长是 (　　)
第2题图
A. 1 B. C. 2 D. 2
3.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到FE，FE交边AB于点G，连接AF，则∠FAG的度数为 (　　)
第3题图
A. 30° B. 45° C. 50° D. 55°
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，点E，F分别在AC，AB边上，连接EF，将△ABC沿EF折叠使点A落在AB边上的点D处，且使折叠后的四边形ECBF面积为△DEF面积的2倍，则AE的值为　　　　.
第4题图
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,=，将Rt△ABC绕着点B逆时针旋转得到Rt△EBD，连接CD交AB于点F，连接AE交BD于点G，若F为AB的中点，则 =　　.
第5题图
答案解析
1.C【解析】∵△ABC与△A1B1C1位似，∴△ABC与△A1B1C1相似，∵PA∶PA1=1∶2，∴相似比为1∶2，∵面积比等于相似比的平方，∴=.∵S△ABC=4，∴S△A1B1C1=16.
2.B【解析】∵∠C=90°，∴∠CFD+∠CDF=90°，∵△DEF是以DE为斜边的等腰直角三角形，∴∠DFE=90°，DF=EF，∴∠CFD+∠AFE=90°，∴∠CDF=∠AFE，由平移可知，AB=ED，AB∥ED，∴四边形AEDB是平行四边形，∠ABC=∠EDB，∴∠EAB=∠EDB，∴∠EAB=∠ABC，∴∠EAF=∠EAB+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，在△AEF与△CFD中，，∴△AEF≌△CFD(AAS)，∴AE=CF=，∵四边形AEDB是平行四边形，∴BD=AE=.
3.B【解析】如解图，连接AE.∵E是BC的中点，∴BE=CE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°，∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE.由旋转的性质可知FE=DE，∴AE=DE=FE，∴∠DAE=∠ADE，∠FAE=∠AFE.∵∠DEF+∠DAE+∠ADE+∠FAE+∠AFE=360°，∴2∠DAE+2∠FAE=270°，∴∠FAD=135°，∴∠FAG=∠FAD-∠BAD=135°-90°=45°.
第3题解图
4.2【解析】∵将△ABC沿EF折叠使点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF=S△DEF,∵S四边形ECBF=2S△DEF，∴S△AEF=S△ABC.在△AEF和△ABC中，∵∠C=∠AFE=90°，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴=()2，即()2=，解得AE=2.
【解析】如解图，过点G作GH⊥BE于点H.∵=，设AC=3a，则BC=4a，∴AB=5a，∴cos∠CBF==，∵F为AB的中点，∠ACB=90°，∴CF=AF=BF，∴∠BCD=∠CBF.由旋转的性质知BC=BD，AB=EB=5a，∠ABC=∠EBD，∴==1，∠CBD=∠ABE，∴△CBD∽△ABE，∴∠AEB=∠BAE=∠BCD，∴∠AEB=∠DBE=∠CBF，∴BG=EG.∵GH⊥BE，∴EH=BE=a，∴EG===a，过点B作BM⊥AE于点M，∵AB=BE，∴AE=2EM=2BE·cos∠AEB=2BE·cos∠CBF=8a，∴AG=AE-EG=a，∴=.
第5题解图
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