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2026年内蒙古赤峰市松山区中考数学模拟测试（一）
一、单选题
1．2026的相反数是（ ）
A． B．2026 C． D．
2．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是：（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是：（ ）
A． B． C． D．
5．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
6．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是：（ ）
A．调查某种西红柿的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的耗电情况
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《飞驰人生》的情况
7．如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
二、填空题
9．不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______．
10．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小为______．
11．赤峰市某景区2023年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为：______．
12．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________．
三、解答题
13．计算及代数式求值：
(1)计算：；
(2)，求代数式的值．
14．为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．
八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 83
众数 84
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）．
(3)该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
15．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
16．如图，在中，，点在上，以为半径的与相交于点，交于点，过点作的直径，连接，若．
(1)求证：与相切于点；
(2)若，，求的长．
17．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，
(1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标．
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值．
(3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值
18．综合与探究
问题情境：在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)猜想求解：如图1，若，，求的度数；
(2)拓展延伸：如图2，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：
(3)如图3，在（2）的条件下，点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明；
参考答案
1．A
【详解】解：的相反数是．
2．C
【详解】解：因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意；
因为图D是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意．
3．D
【详解】解：选项A：，错误，在右侧，；
选项B：，错误，是正数，；
选项C：，错误，，因此；
选项D：，正确；
·是到原点的距离，
，
．
故选：D．
4．B
【详解】解：选项：与不是同类项，不能合并，错误；
选项：，正确；
选项：，错误；
选项：，错误．
5．D
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴函数图象上的点满足，
∵，，，，
∴反比例函数的图象一定经过的点是．
6．D
【详解】解：选项A中调查西红柿甜度具有破坏性，调查范围大，适合抽样调查；
选项B中调查品牌新能源汽车耗电情况，调查范围大，测试具有损耗性，适合抽样调查；
选项C中调查某市垃圾分类情况，调查范围广，适合抽样调查；
选项D中调查全班观看电影的情况，范围小，个体数量少，适合全面调查．
7．C
【详解】解：∵菱形，，
∴，
∵折叠，
∴垂直平分，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
8．D
【详解】解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
9．
【详解】解：袋中总球数为，红球有个,
因此摸出红球的概率为
故答案为：．
10．
【详解】解：连接,．
由作图可知：，，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
．
11．
【详解】由题意可得：，
，
，
或（不符合题意，舍去），
平均增长率为．
12．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
13．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，即，
∴．
14．(1)，，
(2)七年级学生的法治知识竞赛成绩较好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人
【详解】（1）解：七年级、组的人数为：，
把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84，
故中位数，
八年级20名学生的竞赛成绩的众数，
，即，
故答案为：，，；
（2）解：七年级学生的法治知识竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级，
所以七年级学生的法治知识竞赛成绩较好；
（3）解：（人）；
答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人．
15．(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元；
(2)该公司最少需花费元．
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，
则，
解得：，
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元；
（2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，
则，
解得：，
设该公司需花费元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为，
即该公司最少需花费元．
16．(1)见解析
(2)的长是
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在上，
与相切于点；
（2），
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的长是．
17．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是
(2)
(3)面积的最大值为3．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
如图，当点A、C、M在同一条直线上时，可取得最小值，为的长，
即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，
对于，
当时，，
∴点，
∵，点，
∴，
∴周长的最小值为：；
（3）解：设，则，
∵，，
∴，，
，
∴，
，即，
解得：，
如图，过点P作，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，面积的最大值为3．
18．(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
【详解】（1）解：，，
是等边三角形，
，
由旋转得，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，，
，
由旋转知，，
，
即，
，
，
，，
，
，
．
，
，
，
，
，；
（3）解：，理由如下：
连接，
点是的中点，，
，
，
，
，即．
点是的中点，，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
即，
．

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