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第5章《特殊平行四边形》单元测试·基础卷
建议用时：120分钟，满分：120分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．边长为的菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形四边相等，周长等于边长的4倍，即可求解．
【详解】解：∵菱形的四边相等，且边长为，
∴周长
故选：D．
2．如图，矩形的顶点，B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解．
【详解】解：矩形的顶点，
，，轴，
B的坐标为．
故选：A．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
4．已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，解题关键是掌握正方形的对角线相等且垂直，且当四边形的对角线互相垂直时面积等于对角线乘积的一半，比较容易解答．
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴正方形的面积，
故选：B．
5．要使变为矩形，可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理．
矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义．
【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意；
选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意；
选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意；
故选D．
6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【答案】B
【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分，
故选：B．
7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．20
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40，
∴，，
∴，
∵点为边的中点，
∴．
故选：B．
8．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分面积为，正方形边长为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的性质以及圆的面积公式．根据中心对称图形的性质可得白色部分的面积等于黑色部分的面积，进而可得圆的面积，根据图形可得，进而可得，然后再根据圆的面积公式，即可求出．
【详解】解：正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
白色部分的面积等于黑色部分的面积，
，
设半径为，
正方形边长为，
，
，
，
，
故选：．
9．如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法：
①四边形是平行四边形：
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正方形的判定解答即可．
【详解】解：∵，，
四边形是平行四边形，故选项①正确；
∵，
平行四边形为矩形，故选项②正确；
又平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，故选项③正确；
又，，
平分，
同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，
故菱形不一定为正方形；故选项④错误；
则其中正确的是①②③ ．
故选：C．
10．如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、翻折变换的性质等知识，利用折叠性质结合三角形三边不等关系确定取最小值的位置，再结合角度关系推导边长是解题的关键．
由菱形的边得，，由高得，进而得，求得，则，由折叠得，由，可知当点落在上时，取得最小值，此时，则，得即可判断．
【详解】
解：如图1，
∵菱形的边，
∴，，
∵高，即，
∴，
∴，，
∴，
∵将四边形沿直线折叠，点的对应点为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当点落在上时，取得最小值，最小值为，
如图2，
点在上，则，
∴，
∴．
故选：D．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半进行解答即可．
【详解】解：∵菱形的对角线，，
∴这个菱形的面积为
故答案为：
12．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是正方形，则，则有，然后通过四边形的面积为即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点分别为边的中点，
∴，
∴四边形的面积为
，
故答案为：．
13．如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
作，根据平行线的性质解题即可．
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立与矩形的性质，掌握利用矩形对边平行且相等的性质，结合坐标系的方向确定点的坐标是解题的关键．
先根据坐标系的建立规则，确定上点的坐标；再结合矩形对边平行且相等的性质，利用的边长，推导点的坐标．
【详解】解：以的中点为坐标原点，边所在直线为轴：
∵，为中点，
∴，
∴点坐标为，点坐标为，
∵矩形中，，且平行于轴，
∴点由点向右平移个单位得到，坐标为．
故答案为：．
15．6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
利用正方形的性质证出，利用全等的性质证出，利用勾股定理求出的长，即可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵是的中点，
∴，
故答案为：．
16．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键．
根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为： ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）

【答案】见解析
【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分．根据正方形的性质，即可解答．
【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形；
如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形；
如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．

18．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，．
【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=，即可；
（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．
19．（8分）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、．
(1)依题意补全图形；
(2)求证四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．
（1）根据题意作；
（2）根据直角三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，再根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）证明：∵为边上中线，
∴，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴为菱形．
20．（8分）如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】由等腰三角形的三线合一性质得出，，，由平行四边形的性质得出，，得出，，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：，为边的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．（8分）如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，延长，交于点．
四边形是正方形，
．
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
．
，
，
．
22．（10分）如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点．
(1)猜想的度数，并说明理由；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，角直角三角形性质，等边三角形的判定与性质等知识点．
（1）连接，根据两次对折得到为等边三角形，即可求解；
（2）在中，由角直角三角形性质以及勾股定理得到，由折叠得，证明，则在中，，设，，再由勾股定理建立方程求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接，由对折矩形可知：
，
，
由第二次折叠可知：，
，
为等边三角形，
，
；
（2）解：在中，，
，
∵矩形，
∴，，，
∵沿着对折，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
在中，，设，
，
，
解得（舍去负值），
即，故．
23．（10分）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点．
(1)当点是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点．
①证明，并求出在（1）条件下求的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①AF；②周长的最小值为12
【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
（1）通过矩形的性质得到，，再根据已知条件求出，即可得证；
（2）根据矩形的性质和折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，计算即可得解；连接，，当点恰好位于对角线上时，最小，根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
点是的中点，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
矩形中，，，
，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
的最小值，
周长的最小值．
24．（12分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）

(1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ；
(2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明．
(3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
【答案】(1)菱形、正方形
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论和勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
（2）解：，理由如下，
如图所示，设与交于点O，
四边形是垂美四边形，
，
，
由勾股定理，得：，，，，
∴，，
；
（3）解：如图，连接，．
，
，
即．
又∵，，
，
，
又，
．
又，
，
，
四边形是垂美四边形．
由（2）可知，
∵，，
由勾股定理，得，，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章《特殊平行四边形》单元测试·基础卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．边长为的菱形的周长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形的顶点，B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．要使变为矩形，可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．20
8．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分面积为，正方形边长为，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法：
①四边形是平行四边形：
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ．
12．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ．
13．如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ．
15．6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．是的中点，若，，则的长为 ．
16．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）

18．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；
(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．
19．（8分）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、．
(1)依题意补全图形；
(2)求证四边形是菱形．
20．（8分）如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形．
21．（8分）如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长．
22．（10分）如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点．
(1)猜想的度数，并说明理由；
(2)若，，求线段的长．
23．（10分）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点．
(1)当点是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点．
①证明，并求出在（1）条件下求的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
24．（12分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）

(1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ；
(2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明．
(3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．

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