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高三·数学·核心素养·参考答案 选择题 “f(x)单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)
1.C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9.ACD 10.BD11.ABD “存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)填空题 充分不必要条件。故选A.
12.0.2 5.4 13.√21 14.—2 8.由函数可得x=In(y-a)+2,即y=In(x-a)+2,∴y=e2+
提示： a的反函数为y=In(x-a)+2.由点B(x ,y )在曲线y=e 2
1.由题意得，A=(x|(x-1)2>0)=(x|x≠1),B=(x|x3≤1, +a上，可知点B (y ,x )在其反函数y=In(x-a)+2上，∴
x∈Z)=(xllx|≤1,x∈Z)=(xl-1≤x≤1,x∈Z)= dAB=√(x -y )2+(x -y)相当于y=e 2+a上的点
{-1,0,1},∴A∩B=(-1,0}.故选C. A(x ,y)到曲线y=ln(x-a)+2上点B (y ,x )的距离，即
2.由题可得E(X)=1,E(Y)=4×÷=2,D(X)=3,D(Y)=4× dAB=d =√(x -y2)2+(z -y),利用反函数性质可得y
关注《高三答案》 公炭哼获职堂科=ln(x-a)+2关于y=x对称，∴当AB 与y
2×(1-2)=1,∴E()=D(Y),故选D. 二x垂直时，dAB=dAB,取得最小值为2,因此A,B 两点到y=公众号：青禾试卷
3.∵2026·x3=-1,∴x3=1,x∈C,∴x3-1=0,即(x-1)(x2+ x的距离都为1.过点B 作切线平行于直线y=x,斜率为1,由
x==1±√3=-±2 y=In(x-a)+2,得=一a=1,,可得 x=a+1,y=In(a+1x+1)=0,解得x=1或； ,故选D.
-a)+2=2,即 B (a+1,2),点B 到y=x的距离d=
4.依题意，an+1-2=an+2n,令n=1,得az-2=a +2,a =az一
4=2,an+1-aa=2n+2,an-an-1=2n(n≥2),∴aa=a +(az- la+1-2=1,,解得a=1±√2.当a=1-√2时，y=In(x-a)+
a1)+ca-a2)+ +(a -a,)=2+4+ +2n=2+2·n 2=In(x-1+√2)+2与y=x相交，不合题意；当a=1+√2时，
=n(n+1),当n=1时上式也符合，∴an=n(n+1),则a2026= y=In(x-a)+2=In(x-1-√2)+2与y=x不相交，符合题
2026·2027,个位数字为2,故选A. 意，综上，a=1+√2.故选B.
5.设动圆的圆心坐标为(x,y),圆心到直线L :y=2x的距离为 9.当n=1时，a =S=2a,-2,解得a =2.当n≥2时，S-i=2aa-I
d=1-21,,圆心到直线l :y=2x的距离为(a2=251, —2,∴aa=S。-S -1=2a。-2—(2an-1-2),即；a=2,∴数列
又动圆M与L 交于A,B两点，与lz交÷C,D两点，且AB= {an}是以首项为2,公比为2的等比数列，故a,=2”(n∈N').对于
2,CD=4,∴di+1=d+4,即((l-2=1)2+1=(121)2+
4,化简得一号=1,∴圆心M的轨迹为双曲线，故选C. =2”+1,∴(S,+2)是以4为首项，2为公比的等比数列，故C正
6.由题意可得，M(cosz, sinx),N(cos(x一号),sin(x-3)),则 确；对于D:“ a,=2,.b,=IoBg÷a,=一n,65元n+)
=Csinx+sin(x一号)]=(sinx+- sinx- cos)= =1+1 T.=(1-2)+(亡-3)+(3-1)+ +
(一-+)=1-+<1,,故D正确，故选ACD.
3sinx-4cosx= sin(x-),由 yo=-4可得 sin(x- 10.对于A,直线AF与C E是平行直 G
吾)=-—,∵x∈[,],∴x一吾∈[号，457,∵ sin(x- 线，故A错误；对于B,如图，过B , Ay FC D
首发微信公众号 《高 C三点确定的平面与正方体相交 B
公众号：青禾试卷
6)<0. .cos(z一吾)=- =sinx=sin[(x-吾)+ 形成的截面为等腰梯形B CEF,F E
为A D 的中点(平行则四点共面), A. JD
晋J=sin(x-)cs吾+cos(x一)cin-=-,,故选B. ∴等腰梯形B CEF的周长为3√2+ B ℃
7.充分性分析：∵h>0,∴x+h>x,∵f(x)单调递减，∴f(x+h) 2√5,B正确.对于C.∵C E+CE2=2+12+22+12=10≠
十h)“f(x)单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h) A,坐标原点，AB,AD,AA,所在直线分 D C
取h=√2,当x∈Q时，x+h女Q,则f(x+h)=1,f(x)=0, 0),E(0,2,1),设外接球的球心为 Ai. Dy
f(h)=1,此时f(x+h)=1<0+1=f(x)+f(h);当x∈Q时， (x,y,z),则(x-2)2+(y-2)2+(z BL4x ℃
则f(x+h)≤1,f(x)=1,f(h)=1,此时f(x+h)≤1<1+1= -2)2=(x-2)2+(y-0)2+(z-
f(x)+f(h);故存在h=√2>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)
《高三·数学·核心素养》 第5页(共4页)
2)2,(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2=(x-2)2+(y-2)2+(x ∴f(x)=sin|x|+|cosx|-|sin|x|-|cosz||是偶函数，∴只
-O)2,(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2=(z-0)2+(y—2)2+(z 需要研究x≥0部分，即f(x)=sinx+|cosx|-Isinx-
-1)2,求得x=5,y=1,z=1,∴R2=(5-2)2+(1-2)2+ lcosx||,由于f(x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|-
sin(x+2π)-| cos(x+2π)|1=sinx+1cosxl-Isinx-
(1-2)2=46,s=4πR2=41,故D正确，故选BD. |cosx|l=f(x),∴当x≥0时，f(x)=sinx+|cosx|-|sinx
一|co-sz||是一个周期为2π的函数，则只需要研究一个周期x11.对于A,由2+y=2. z - y ,可得2x2=2|x|(√3- ∈[0,2π]的最小值，以下分类讨论：则当o≤x≤4时，f(x)=1),∴x2=|x|(√3-1),即|xl2=|x|(√3-1),解得|x|=0或 sinx+ cosx-|sinx— cosx|=sinx+cosx+ sinx- cosx=|x|=√3-1,∴x=0或x=√3-1或x=1-√3,∴曲线C与 2sinx,此时最小值为f(0)=0,当4≤x≤时，f(x)= sinx直线y=x有3个公共点，故 A 正确；对于 B,由 +cosz—|sinx-cosx|=sinx+cosx-sinx+cosx=2cosx,此+y=2√51a -21y',可得2√3|z|-21yI=5,则有1yl 时最小值为f()=0,则当≤x≤3时，f(x)=sinx-关注《高三答案》 公众号获取全科=√3x1-2,,平方得y2=3x2-5√3|zl+4,代入x2+y2= cosx—[sinx+cosr|=sinx-cosx-sinx-cosx=-2cosx,此公众号：青禾试卷 时最小值为f()=0,当3≤x≤32时，f(x)=sinx—cosx5,得4x2-5√3xl+2=5,即16|xl2-20√3|x|+5=0,∵ —Isinx+cosxl=sinx-cosx+sinx+cosx=2sinx,此时最小△=400×3-4×16×5=880>0,2063=5.3>0,5>0,: 值为f(32)=-2,当32π≤x≤2π时，f(x)=sinx+cosx-关于|x|的方程16|xl2-20√3|x|+5=0有两个不同的正 Isinx-cosz|=sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx,此时最小值根，从而得x有四个不同的解，∴曲线C与圆x2+y2=5有4 为f(32)=-2,,综上最小值为-2.个公共点，故B正确；对于C,x2+y2=2√3|xl-21yl台 解答题15.(1)∵椭圆C.+方-1的短轴长为2,如图所示： 可得2b=2,∴b=1,(2分)又∵椭圆C的右顶点为抛物线y2=4√2x的焦点(√2,0),曲线C所围成的图形的面积为四个全 yA ∴a=√2,(4分)等弓形OAB的面积之和，设弓形 B ∴c=14OAB的面积为S ,∵AB所在圆的圆 x ∴椭圆C的方程为+2=1.(5分)心为D(√3,-1),半径为2,OA= D(3,1)2√3,在△ADO中，,cos∠ADO=42×2×2=-2,∠ADO∈ 离心率为 =云=方=2.(6分)(2)由题意知1的斜率不为0,F(1,0), yA(0,π),∴∠ADo=3∴扇形ADO的面积s'=去×22×2 (7分)-43,Sano-2×2√3×1-√3,∴S-3-√3,∴曲线C所 故设l的方程为x=my+1,P(x, oy ),Q(x ,y ).围成的图形的面积为4S.=15-4√3,故C错误；对于D,当 由+y-1,得(m2+2)y2+2my-1=0,P与A(2√3,0)或(-2√3,0)重合时，PQ众号公众号：青禾试《卷高三标答√(±2√32+22=4,故D正确，故选ABD. △=8m2+8>0.,x+x=2+2=m2+2(9分)12.设销售额的第80百分位数为m,由已知1×(0.16+a+0.26 ∵PF=-2QF,依题意知，y >0,y <0,+a+0.12+0.06)=1,解得a=0.2,又1×(0.16+0.2+ ∴y =-2y ,m<0,(10分)0.26)=0.62<0.8,1×(0.16+0.2+0.26+0.2)=0.82>0.8,∴m∈(4.5,5.5),且1×(0.16+0.2+0.26)+(m-4.5)×0.2=0.8,解得m=5.4. 则
13.依题意，leI=le I=1,e·e2=cos60°=云，a=e +2e ,b=
2e -e ,∴2a-b=-e +5ez,∴(2a-b)2=(一e +5ez)2=1 解得m2=号，m=-,(12分)
+25-10×÷=21,∴|2a-b|=√21. ∴直线l的方程为x=-y+1,
14.由于f(-x)=sinl-x|+|cos(-x)|-Isin|-x|-lcos(-x)||
=sin|x|+|cosz|-|sin|x|-|coszll=f(x),且定义域为R, 即y=-2+2.(13分)
《高三·数学·核心素养》 第6页(共4页)
16.(1)根据正弦定理得，sinPBAP=sin2ABP' 由点B与点D到平面a的距离为,
si∠ABP=PA×ai/BAP_2×章-÷.(2分) 得 ,则2a1一十
∵∠ABP<2 ∠ABP=6∴∠PBC=3.(4分)
根据正弦定理得sin2PCB=sin∠PBC' 由顶点P,B,C,D均在平面a同侧，取x=1,y=1,得z=√6,n=(1,1.√6),(13分)
im/∠Bce-PB×2 Pac-一5(分) 因此cos(m;n>=mn=-2.2√-1+√ ,(14分)
(2)设AB=BC=a,微信搜《高三标答公众号》获取全科 平面PCD与平面a夹角的余弦值为4.(15分)
在△APB中，根据余弦定理，
PA2=PB2+AB2-2PB×AB×cos∠ABP 18.(1)已知f(x)=zlnx(x>0),对其求导可得f(x)=lnx+1,(1分)
关注《高三答案》
得4=1+a2—2a×cos∠ABP, 公众号苓取食科0,解得=二.(2分)
公众号：青禾试卷
化简得cos∠ABP=a2-3.(8分) 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：
在△CPB中，根据余弦定理， x (0,二) 1e 一，+∞)
PC2=PB2+CB2-2PB×CB×cos∠CBP 一 0 +
得2=1+a2-2a×cos∠CBP, f(x)
f(x) 极小值
化简得，cos∠CBP=21,(9分) (4分)
f(1)=0,f(e)=e,结合f(x)的草图可得不等式0i.sin∠CBP=√1-co2ZCBP=√1-(1) (2)由题意可知g(x)的定义域为(0,+∞),
=×4a22a(10分) 且g'(x)=lnx-1.
则当x∈(0,e)时，g'(x)<0;当x∈(e,+∞)时，g'(x)>0.
∵cos∠ABP=cos(-∠CBP)=sin∠CBP, 故g(x)在区间(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递
22-3=×4a2-2ca2-1,(11分) 增.(7分)
∵a<0,∴g(x)=g(e)=-e+a<0.(8分)
化简得a -6a2+5=0,解得a2=5或a2=1.(12分) 当x∈(0,e2)时，xlnx-2x≤0,a<0,故g(x)<0;(9分)
又 PA+PB=3>AB=a,PA-PB=1e2时，g(e2-")=(2-a)e2 -2e2 +a=-a(e2-
∴a=√5.(14分) -1)>0.(10分)
-29.(15分) ∵g(x)在(e2,+∞)上单调递增，∴△ABC中AC边上的高 ∴当a<0时，f(x)有且仅有一个零点.(11分)
17.(1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,且四边形
(3)证明：由
ABCD为正方形，则直线AB,AD,AP两两垂直， (z )-I(x )=j(z),
以点A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立 得2haz z;1hnx=Inzo+1,
空间直角坐标系，(2分)
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0, P 则Inz=x Ina2-z;Inzi-1.
2,0),C(2,2,0),P(0,0,2), 首发微信公众公号众：号青禾高试卷三标答》
M(0,1,1),(3分) G 要证D C 2十x AM=(0,1,1), x 即证1
PC=(2,2,-2),(4分) a B 1 2五1x-x,Inx-1.(12分)
因此AM·PC=0×2+1×2+1×(-2)=0, 令=鹞(I>1),即证In2(lnu-(l-1)-zln-1,
即AM⊥PC,(5分)
∴AM⊥PC.(6分) 即证In<一-1.(13分)
(2)由(1)得PD=(0,2,-2),CD=(-2,0,0), 下证(l-1)In21-zlnt+t-1<0(t>1),
设平面PCD的法向量m=(a,b,c),
先证 Inx≤x-1(x>1),
则m· D=-2=-,取c=1,得m=(0,1,1),(9分) 设p(x)=x-1-Inz,a>1,p'(x)=1-1=-1,
设平面a的法向量n=(x,y,z), 当x>1,p'(x)>0
点A∈a,AB=(2,0,0),AD=(0,2,0), ∴p(x)在(1,+∞)上单调递增，
高··素
则p(x)>p(1)=0,∴x-1>Inz.(14分) 这表明P.随n增大而增大，Q随n增大而减小，
令F(x)=(x-1)Inz+1-xlnx+x-1(z>1), ∴有Q.另一方面，由Qn+1-Q.=-P(1-P。)Qn- <-P(1-
则只需证明F(x)<0, P)Q,
又∵Inx≤x-1(x>1),
可得Q+i<[1-P。(1-P。)]Q,即
∴F(x)=1n 2+(x-1)(-本)-Inx=In2 <1-P(1-P。),(15分)
+*(x+1x+1(÷-1)<0,(16分) 一P8(1-P。)]“,
∴F(x)在(1,+∞)上单调递减，则F(x)≤F(1)三辔案》 即Q.<(1-P8)[1-P(1-P )]”-3,(16分)公众号获取全
∵Q=1-P.∴有P.>1-(1-P)[1-P(1-Po)]" 3,
1)Lm2￥1-1×1n1+1-1=0, 公众号：青禾试卷 综上所述，Pa+>P.≥1-(1-P)[1-P(1-Po)]”一3.
即十x 19.(1)设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D,使用治疗方案
M能杀灭致病菌a为事件E,
则P(D=3+(1-3)×1=i2=3,(2分)
∵事件E发生则事件D必发生，
故P(ED)=P(E)=3,(3分)
PEID-B-一号-(5分)
(2)设P(A)表示药物A能治愈疾病S的概率，P(B)表示药
物B能治愈疾病S的概率.
则有P(A)=1-(1-告)(1-10)=0,P(B)=1-(1-
o32=10-(6分)
设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为X ,
先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为X ,
则P(X =3)=P(A),P(X =6)=(1-P(A))×P(B),
P(X =9)=(1-P(A))×(1-P(B)),
∴E(X )=3P(A)+6(1-P(A))×P(B)+9(1-P(A))
×(1-P(B))
=9-6P(A)-3P(B)+3P(A)P(B) 首发微公信众公号众：青号禾K试高卷三标答》
=9-6×30-3×19+3×0×90=3.1818≈3.18.(8
分)
同理得P(X =3)=P(B),P(X =6)=(1-P(B))×
P(A),P(X =9)=(1-P(A))×(1-P(B)).
则有E(X )=3P(B)+6(1-P(B))×P(A)+9(1-
P(A))×(1-P(B))=3.0318≈3.03.(10分)
从而有E(X,)>E(X ),
因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.(11
分)
(3)设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续
3次以上治愈疾病S的概率为Q,
因此有Q=(1-P。)Q.+P 「Q-P(1-P。)Q-7.从而2026 届 高 三 核 心 素 养 测 评
数 学
本测评共150分，时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合A=(x|(x-1)2>0),B=(x|x ≤1,x∈Z),则A∩B=
A.[-1,1] B.(一，注)《高三答案》公人C号互，0) D.(-1,0,1)
2.已知随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，且X～N(1,3),Y～B(4,2),则
A.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y) C.D(X)=E(Y) D.E(X)=D(Y)
3.已知x为复数，下列选项中是方程i2026·r3=-1的根的是
A.cos+i·sin B. cos4+i·sin4
C.cos+i·sin D. cos2+i·sin2
4.已知数列(an)满足a =6,aa+1-2=a。+2n,则azosa的个位数字为
A.2 B.3 C.4 D.6
5.巳知两条直线L :y=2x,l:y=2x,,有一动圆M与l:交于A,B两点，与l 交于C,D两点，且AB
=2,CD=4,则圆心M的轨迹为
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
6.在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角x和角：π一3,z∈[2,32,,它们的终边分
别与单位圆交于点M.N,设线段MN的中点P的纵坐标为y ,若=-,,则点M的纵坐标是
A.一 B.一 c.立 D.
7.已知函数f(x)满足f(x)≥0,则“f(x)单调递减”是“存在h>0,对任意的x∈R,均有f(x+h)<
f(x)+f(h)”的
A.充分不必要条件 首发微信公众号《高 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知点A(x ,y ),B(zg,y ),定义dns=√(x -yz)2+(x -y)2为A,B的“镜像距离”.若点A,
B在曲线y=e2 2+a上，且dn的最小值为2,则实数a的值为
A.1-√2 B.1+√2 C.1-2√2 D.1+2√2
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.设数列(a。I的前n项和为S.,满足S。=2an-2(n∈N").则下列说法中正确的是
A.aa=32
B. S =62
(高三·数学·核心素养1 第1页(共4页)
C.{Sn+2}是等比数列
D.若b=log÷an,数列6,57+前n项和Tn.则T,<1
10.如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E是DD 的中点，则
A.若F是BB 的中点，则直线AF与C E是异面直线 Ay D C
B.由B ,C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为3√2+2√5 B E
C.C E与平面BCE所成角为·2 A. D
B
D.三棱锥C -B CE的外接球的表面积为41π
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C:z2+y2=2√3|x-21y|就是其中之 y4
一，其形状酷似数学符号“∞”(如图),对于此曲线，下列说法正确的是
A.曲线C与直线y=x有3个公共点 可 x
B.曲线C与圆x2+y2=5有4个公共点
C.曲线C所围成的图形的面积为：83-2√3
D.若点P在曲线C上，点Q(0,—2),线段PQ的长度可能为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 个频率/组距
12.直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合 0.26a
作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x(单位：万 0.160.12
元),并绘制成右侧的频率分布直方图，则a=__;x的第80 0.06
01.52.5 3.54.55.56.57.5x0万完)
百分位数为_____.
13.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e ,e2分别是与x轴，y轴 y
正方向同向的单位向量，若向量OP=ze +ye ,则把有序数对(x,y)叫做向量
OP在坐标系xOy中的坐标.在该坐标系下向量a=(1,2),b=(3,-1),则12a
一b|= _______: o“
14.函数f(x)=sin|xl+lcosz|-Isin|z|-1cosz||的最小值为___.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,右顶点为抛物线y1=4√2x的焦点，
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)若直线1过椭圆C的右焦点F且与椭圆C相交于P,Q两点(点P在x轴上方),PF=-2QF(O
为坐标原点),求直线l的方程，
《高三·数学·核心素养1 第2页(共4页)
16.(本小题满分15分)
△ABC中，AB⊥BC,P是△ABC内一点，PA=2PB=√2PC=2.
A
(1)若sin∠BAP=4,求sin∠BCP;
(2)若AB=BC,求△ABC中AC边上的高. P
B C
17.(本小题满分15分)
如图，四棱锥P-ABCD顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α同侧，PA⊥平面ABCD,
四边形ABCD为正方形，AB=PA=2,点M为PD的中点，点B与点D到平面α的距离为2
(1)求证：AM⊥PC; R
(2)求平面PCD与平面α夹角的余弦值. AD C
α B
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《高三·数学·核心素养》第3页(共4页)
18.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=xlnx,
(1)求不等式0(2)已知a<0,求g(x)=f(x)-2x+a的零点个数；
(3)若02十
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19.(本小题满分17分)
流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌a和致病菌β共同引起的，且至少杀灭其中一种
致病菌即可痊愈.微
(1)若有某种治疗方案M,有23的概率能杀灭致病菌a.若这种治疗方案能杀灭致病菌a,则它有
34的概率能杀灭致病菌β.若这种治疗方案不能杀灭致病菌a,则它有14的概率能杀灭致病菌
β.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌a的概率；
(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天(假定
药物使用时，均按疗程服用3天),超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不
见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌a和致病菌β的概
率分别为专、0,,且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌a
和致病菌β的概率均为19·请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短
(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为P。.设针对药物C的n(n≥3)次临床试验中有连续
3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为P,且每次治疗结果相互独立.求证：Pa+1>P.≥1
一(1-P8)[1-P3(1-P。)]-3.
《高三·数学·核心素养》 第4页(共4页)

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