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第5章《特殊平行四边形》单元测试·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可．
【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形，
选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意；
选项C中是矩形，
选项D中没有四边都相等的四边形．
故选：B．
2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，对选项逐一进行判断即可．
【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等，
故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意，
故选：A．
3．若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解二次方程得到两个根，取正根作为边长，计算周长．
【详解】解：∵可因式分解为，
∴或．
∵正方形的边长必须为正数，
∴取．
∴周长为．
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）．
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
【答案】C
【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键．
根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意；
选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意；
选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意．
故选：．
5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴．
故选：B．
7．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形中位线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键．
设的中点分别为，连接，可证为的中位线，得到，，，再由勾股定理即可得到，同理可得即可求解．
【详解】解：设的中点分别为，连接，
在矩形中，O是对角线的中点，
为的中位线，即，
，，
又，
，
又为中点，，
，
，
同理可得，
，
．
故选：A．
8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长.
【详解】： 连接，

∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边，
∴， ，
∴四边形为正方形，
∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵为等边三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴有最小值为，
故选： B．
9．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.
先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答．
【详解】解：过点E分别作，，如图所示：
∵四边形是正方形，正方形的边长为8，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵的两直角边分别交于点M，N，
∴
∴
∵，，
∴
∴
则重叠部分四边形的面积为，
∴，
即重叠部分四边形的面积为，
故选：D．
10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到函数，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
由点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，即，即可求解．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，
根据点的对称性，，则为最小，
故，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（负值已舍去），
故选：B．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案．
【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：或．
故答案为∶ 或
12．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且，，
∴，
∴，
在中，由等积法得：，
∴，
故答案为：．
13．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．
本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求．
【详解】解：如图，展开矩形，则，
∵矩形对边平行相等，
∴
∴．
故答案为：10．
15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
【答案】3s或6s或9s
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；
根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程．
【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时，
点Q的运动轨迹为．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴．
若，则四边形PQCD是矩形．
设运动时间为ts．由题意，得．
分三种情况讨论：
①当时，，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
解得；
③当时，，
∴，
解得．
综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则结论①正确；先求出，再过点作于点，利用勾股定理可得的长，然后根据即可得结论②正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再利用三角形的面积公式可得结论③正确；先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用的面积求出的长，由此即可得结论④错误．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，则结论①正确；
∵在中，，
∴，
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，则结论②正确；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，则结论③正确；
如图，连接，，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，
∴此时有，
∴，
∴的最小值为，则结论④错误；
综上，结论正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长．
【答案】．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
∵的周长为9，
∴，
∴，
∴．
18．（8分）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，利用证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．（8分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键．
由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证．
【详解】证明：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，E为的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
20．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据菱形的性质，结合，四边形是平行四边形，结合，即可证明平行四边形是矩形．
（2）由（1）可知，结合，可得四边形是平行四边形，，再根据矩形的性质可得．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是矩形，
．
21．（8分）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________；
【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形．
（1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论；
（2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论．
【详解】解：（1），
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
（2），理由如下：
如图2，在上截取，连接．
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，，
∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
22．（10分）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．
(1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理
＝ ＋ ；＝ ＋ ；
＝ ＋ ；＝ ＋ ；
所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ；
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，．
①与的位置关系是 ，给出证明；
②若，，则线段的长是 ．
【答案】(1)，，
(2)①，证明见解析；②
【分析】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据垂美四边形和勾股定理解答即可；
（2）①如图，连接，根据垂美四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质进行证明即可；②结合①的结论计算即可．
【详解】（1）解： ，
理由：∵，
∴，
由勾股定理得，
，，
∴，
，
；
故答案为：，，
（2）①，证明如下：
如图2，连接，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是垂美四边形，
②由①得，，
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，
∴．
故答案为：
23．（10分）如图，矩形中，．

(1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
(2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长．
【答案】(1)①；②的面积
(2)的长为或
【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∵将沿直线翻折，得到，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴；
②如图所示，延长交的延长线于点G，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿直线翻折，得到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
设中边上的高为h，则，
∴，
∴的面积；
（2）当点E、、D三点共线时，分两种情况：
①当E在的延长线上时，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当E在线段上时，

由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（12分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下 定义：若图形W上存在点M和点Q，使得，且，则称点P为图形W的“等直点”．
(1)如图1，点A的坐标为，点B的坐标为，
①点， 是线段的“等直点”；
②若直线上存在线段的“等直点”，求k的取值范围；
(2)如图2，边长为2的正方形的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行．记线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”所构成的图形为G．若直线上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a，则直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)①；；②且
(2)
【分析】本题主要围绕“等直点”的定义展开，通过分析点与线段、正方形的位置关系，结合坐标运算和几何图形的性质来求解相关问题．
（1）①需要根据“等直点”定义，逐一判断所给点是否满足条件； ②要先确定线段 “等直点”的区域，再根据直线经过该区域边界点来确定k的取值范围；
（2）则是先确定正方形 “等直点”的区域，再根据直线经过该区域边界点来确定线段长度a的取值范围．
【详解】（1）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
如图，
对于，，
对于，，
∴，
∴，
∴和是线段的“等直点”；
而对于和线段上找不到任何两个点可以使和符合线段的“等直点”的条件，
故答案为：；；
②设点是线段的“等直点”，
如图，，点C坐标为，D坐标为，
根据“等直点”定义可知，点P的横坐标必须在A、B两点横坐标之间，点P到的最大距离为的长度，
∴点P在平面直角坐标系中的位置都在线段外围虚线所围的区域内，但不包含线段，
∴，
∴当直线经过点时，k取最大值，最大值为3，
当直线经过点时，k取最小值，最小值为，
∵，
∴k的取值范围为且；
（2）解：如图，根据（1）②得，所有正方形的“等直点”都在虚线封闭图形区域内，而直线上的所有正方形的“等直点”组成的线段，就是直线在虚线封闭图形内的线段部分，长度为a，
当直线经过点或时，a取得最小值，
此时；
当直线经过点、、、中任意一点时，a取得最大值，
此时，
∴a的取值范围为．
故答案为：中小学教育资源及组卷应用平台
第5章《特殊平行四边形》·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等
3．若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列说法正确的是（ ）．
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
7．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ．
12．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ．
13．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ．
14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形．
16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长．
18．（8分）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：．
19．（8分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形．
20．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
21．（8分）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________；
【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由．
22．（10分）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．
(1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理
＝ ＋ ；＝ ＋ ；
＝ ＋ ；＝ ＋ ；
所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ；
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，．
①与的位置关系是 ，给出证明；
②若，，则线段的长是 ．
23．（10分）如图，矩形中，．

(1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
(2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长．
24．（12分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下 定义：若图形W上存在点M和点Q，使得，且，则称点P为图形W的“等直点”．
(1)如图1，点A的坐标为，点B的坐标为，
①点， 是线段的“等直点”；
②若直线上存在线段的“等直点”，求k的取值范围；
(2)如图2，边长为2的正方形的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行．记线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”所构成的图形为G．若直线上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a，则直接写出a的取值范围是 ．

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