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安徽省六安市霍邱县2025—2026学年度九年级第一次模拟考试数学试卷
一、单选题
1．在，0，，2这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
6．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限
C．图象过点 D．当时，
7．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（ ）
书籍数量/本 2 3 4 5 6
人数/名 3 4 5 6 2
A．分享的书籍数量的众数是6本
B．分享的书籍数量的平均数是3本
C．分享的书籍数量的中位数是4本
D．分享的书籍数量的方差是2.5
8．如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
10．已知二次函数，当时，则下列说法正确的是(　　)
A．当时，有最小值
B．当时，有最大值
C．当时，无最小值
D．当时，有最大值
二、填空题
11．不等式的解集为__________．
12．因式分解：__________．
13．如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是__________．
14．如图，的直角顶点在第四象限，顶点、分别落在反比例函数图象的两支上，且轴于点，轴于点，分别与轴，轴相交于点和．已知点的坐标为．请探究以下问题：
（1）__________；
（2）当的面积和四边形的面积相等时，点的坐标为__________．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)请画出与关于x轴对称的．
(2)绕O点逆时针旋转后得到，请画出，求线段在旋转过程扫过的面积．
17．观察下面三行数组：
第一行：1 4 9 16 25…
第二行：0 3 8 15 24…
第三行：2 6 12 20 30…
根据规律，解答以下问题：
(1)第一行第7个数是__________；
(2)第二行第个数是__________（用含的式子表示）；
(3)第三行第个数与第二行第个数的差为2027，求的值．
18．俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，求每天“遗忘”的百分比．（参考数据：）
19．请根据以下素材，完成探究任务．
素材一 如图（1），一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1个档案盒向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在左边的档案盒上．
素材二 其示意图如图（2），经测量知书架内侧长度，，档案盒高度． （参考数据：，，）
任务一：计算右边档案盒的顶点到它所靠的档案盒的距离；
(1)求的长（结果保留整数）；
任务二：求出每个档案盒的厚度
(2)求的长（结果保留整数）；
20．如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
21．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
A．决策类人工智能 B．人工智能机器人
C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能
项目 选择人数 频率
A．决策类人工智能 8 a
B．人工智能机器人 b 0.25
C．语音类人工智能 28 c
D．视觉类人工智能 24 0.3
(1)填空：______，______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________；
(2)若该中学共有800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有_______人；
(3)已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率．
22．如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
23．已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1．
(1)求的值；
(2)设点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求的值；
②若，求的最小值．
参考答案
1．C
【详解】解：∵，
∴，
∴四个数中，最小的数为，
故选：C．
2．D
【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，A选项错误；
B、积的乘方等于每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，，B选项错误；
C、根据完全平方公式，C选项错误；
D、根据二次根式的性质，D选项正确．
3．A
【详解】解：将数据用科学记数法表示为，
故选：A．
4．B
【详解】解：根据题意可得俯视图是：．
5．C
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：C．
6．D
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，
当时，，当时，，
∴图象过点不过点，当时，，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选D．
7．C
【详解】解：总人数为，总书籍数量为：，
众数：书籍数量为5本的人数最多，为6人，∴众数为5本，A错误；
平均数：本，∴平均数为4本，B错误；
中位数：20个数据从小到大排列，中位数为第10、第11个数据的平均数，前个数据不超过3本，接下来5个数据为4本，即第8~12个数据均为4本，∴第10、11个数据都是4，中位数为本，C正确；
方差：
，
∴方差为，D错误．
8．B
【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵恰好垂直于边，
∴．
9．C
【详解】解：取斜边中点，
∵是等腰直角三角形，
则，且，
设，则，
在中，由勾股定理：，
则，
即：，
故．
10．B
【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝=，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，
此时b-a=2,
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
11．
【详解】解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为，得．
12．
【详解】解：．
13．15
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
14． 3
【详解】解：（1）把代入中得，；
（2）设，
∵轴于点，轴于点，点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
15．3
【详解】解：原式．
16．(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，根据题意可得：，首尾连接即可，即为所求；
（2）如图，由旋转的性质得出对应点，然后顺次连接，即为所求；
∵，
∴
答：线段在旋转过程中扫过的图形是扇形，面积是．
17．(1)49
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，，，，…
∴第一行第n个数为，
∴第一行第7个数是；
（2）解：∵，，，，…
∴第二行第个数是；
（3）解：∵，，，，…
∴第三行第个数是；
∵第三行第个数与第二行第个数的差为2027，
∴，
整理得，
∴．
18．约为
【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，
由题意得：，
解得：，（大于，舍去）．
，
答：每天“遗忘”的百分比约为．
19．(1)约为21cm
(2)
【详解】（1）在中，，，
，
答：的长约为；
（2）由题意得：，
，
，
，
设每一个档案盒的厚度为，
在Rt中，，
，
，解得：，
即每一个档案盒的厚度．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接交于点，
，
，
，
是的切线，
，
为的直径，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
由，可设，则，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
21．(1)；；
(2)200
(3)
【详解】（1）解：调查的学生人数为（人），
∴，，
C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角，
故答案为：；；；
（2）解：（人）
故答案为：；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种，
∴这两位同学选的项目一样的概率为．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵正方形中，，，绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
在和中
∴
∴
（2）过作于，过作于，过作于，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，，
设正方形边长为，
∵，
∴，，
∴，，
∴
由（1）得
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
，
∴
∴．
23．(1)
(2)①或；②2
【详解】（1）解：二次函数，
顶点为，即顶点横坐标为1，
二次函数的顶点横坐标为，
即对称轴为直线，
，
解得；
（2）解：①由（1）知，
抛物线解析式为，
当时，则，
，
，
，
，
点在抛物线上，
，
整理得，
解得或；
②，
，
在抛物线，
，
点在抛物线上，
，
，
，
∵，
∴当时，为最小值．

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