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广西百色市县级市2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题
1．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
2．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，A不符合题意；
B、 是三次根式，不是二次根式，B不符合题意；
C、 满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，C符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据最简二次根式的定义，先判断选项是否为二次根式，再检查被开方数是否不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一排除错误选项，选出符合条件的答案。
3．若一元二次方程的常数项是3，则它的二次项系数是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：先将一元二次方程化为一般形式：
移项得：
题目说明常数项是3，因此需将方程变形为常数项为正的形式，方程两边同乘：
此时，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：A。
【分析】先将原方程整理为一般形式，再根据题目中 “常数项为 3” 的要求调整方程符号；最后从调整后的方程中直接读取二次项的系数。
4．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形的面积等于其边长的平方，因此图中每个正方形的数值或字母 S，都对应着直角三角形某条边的平方。结合勾股定理分析：
A、根据勾股定理，若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，A不符合题意；
B、根据勾股定理，若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为4，则另一条直角边对应的面积，B符合题意；
C、若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，C不符合题意；
D、若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为，则另一条直角边对应的面积，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，核心是利用“直角三角形中，以斜边为边长的正方形面积等于两直角边对应正方形面积之和”，对每个选项的面积关系进行验证判断。
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、二次根式加减运算中，只有同类二次根式（被开方数相同）才能合并。与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接相加，故A错误；
B、根据二次根式的性质，可得，算术平方根的结果是非负数，故B错误；
C、根据二次根式乘法法则，可得，故C正确；
D、已是最简二次根式，无法化简为，故D错误；
故答案为：C。
【分析】根据二次根式的相关运算法则与性质，对每个选项分别进行验证：先判断加减运算中是否为同类二次根式、再利用二次根式的性质判断算术平方根的结果、接着依据乘法法则判断乘积运算、最后检查分式形式的二次根式是否可化简，从而选出运算正确的选项。
6．若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知一元二次方程的两个根为 、，我们可以利用根与系数的关系（韦达定理）来构造方程：
对于一元二次方程的一般形式 ，两根满足：
两根和：，因此 ，即 ；
两根积：，因此 ；
代入一般形式，得到方程：，
故答案为：C。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先计算两根的和与积，再结合方程系数与根的关系确定方程的系数，从而构造出符合条件的方程。
7．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，传播总次数由三部分构成：
小方自己转发的1次；第一轮转发中，发给个好友，共次；
第二轮转发中，每个好友再转发给个互不相同的人，共次；
因此可列方程：
故答案为：B。
【分析】明确总次数由“初始1次+第一轮次+第二轮次”三部分组成；根据两轮传播的特点，梳理清楚每一轮的转发次数，再结合总次数列出一元二次方程。
8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：当铅笔在笔筒内竖直放置时，长度最短，等于笔筒的内壁高，即 ；
当铅笔斜放并两端分别接触笔筒上下底面的对角顶点时，长度最长，由勾股定理得：
因此，铅笔在笔筒内部的长度取值范围是 ，
故答案为：A。
【分析】通过分析铅笔竖直放置时的最小长度和斜放时的最大长度（利用勾股定理计算），确定铅笔在笔筒内长度的取值范围。
9．已知为方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知 是方程 的根，将 代入方程得：
移项可得：
对代数式 进行变形，提取公因数3：
将 整体代入：
因此，代数式的值为 ，
故答案为：B。
【分析】利用一元二次方程根的定义，先由方程得到的值，再通过整体代入的方法，将其代入待求代数式中，快速计算出结果。
10．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：过点C作
由题意得：
∴
∴
即：木马上升的高度为1米
故答案为：A
【分析】过点C作，利用勾股定理求出AF的长，然后求出BF的长.
11．关于的一元二次方程有两个实数根，若其中一个根为1，则这两根之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为，可得：
解得。
再计算两根之和：
因此，两根之和为，
故答案为：D。
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先由已知根和两根之积求出另一个根，再计算两根之和。
12．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：首先，利用二次根式性质，对函数进行化简：
当时：
当时：
当时：，因此，代入得
因此，当从到时：
对应；
对应；
到共个数，每个都对应。
总和为：，
故答案为：D。
【分析】先根据的取值范围，利用化简函数表达式，分段求出不同对应的值，再将所有值相加得到总和。
13．比较大小：　 　3（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，通过比较 8 与 9 的大小，间接判断出。
14．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为　 　．
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
为一元二次方程，
，
有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限，先确定，再计算一元二次方程的判别式，结合得出，从而判断方程有两个不相等的实数根。
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=2，AE=3，则正方形ODCE的边长等于　 　.
【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形ODCE的边长为x，则CD=CE=x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF=AE，BF=BD，
∴AB=2+3=5，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3+x）2+（2+x）2=52，
∴x=1，
∴正方形ODCE的边长等于1，
故答案为1．
【分析】先设正方形边长为x，利用全等三角形性质得到AB的长度，再根据勾股定理列出关于x的方程，求解得到正方形的边长。
16．如图，长方体中，长，宽，高，现在有一只蚂蚁从点出发，先后经过面，面和面爬到点那么这只蚂蚁爬行的路线的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：将长方形的盒子沿面，面和面展开，如图
∵长，宽，高，
∴AD=5+3+5=13dm，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
故答案为：
【分析】将长方体沿蚂蚁经过的三个面展开为平面图形，把空间中折线最短路径问题转化为平面内线段最短问题，再利用勾股定理计算展开后直角三角形的斜边长度，即为爬行路线的最小值。
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1) 先按二次根式的乘除法则计算与，再化简，最后合并同类二次根式；
(2) 先分别计算完全平方、负整数指数幂和绝对值，再进行加减运算并合并同类二次根式。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
解得；
（2）解：
解得．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1) 利用直接开平方法，将方程变形为，再开方得到，移项后求解；
(2) 对二次三项式因式分解，将方程转化为，再分别求解两个一元一次方程。
（1）解：
解得；
（2）解：
解得．
19．【阅读理解】已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间的距离公式为．同时，当两点在同一条直线上，所在直线平行于轴或垂直于轴时，两点间的距离公式可化简成或．
【方法运用】
（1）若已知两点，，试求A，B两点间的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为，点N的纵坐标为3，试求M，N两点间的距离；
【拓展运用】
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由．
【答案】解：（1）点，，
，
即A，B两点间的距离为；
（2）点M，N在平行于y轴的同一条直线上，
，
即M，N两点间的距离为7；
（3）能，为等腰直角三角形．
理由如下：点，，，
，，，
，
又，，
，
为等腰直角三角形．
【知识点】二次根式的性质与化简；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1) 直接套用平面内两点间的距离公式，代入两点坐标计算 A、B 间的距离；
(2) 利用平行于 y 轴的两点间距离公式，通过纵坐标差的绝对值求出 M、N 间的距离；
(3) 先分别用距离公式计算三角形三边长度，再根据边的关系判定其为等腰三角形，最后通过勾股定理逆定理证明其为直角三角形，从而确定形状。
20．小军在求等边三角形的面积时，发现图中未出现直角．老师提示小军可以构造直角三角形．
（1）请根据老师的提示，续写解答过程：
如图1，已知等边的边长为4，求的面积．解：过点作于点，．．．
（2）如图2，在中，，，，请类比（1）中的解题方法，求的面积．
【答案】（1）解：续写解答过程如下：
由题意可得，
∵于点，
∴，
在Rt中，由勾股定理得
，
∴．
（2）解法一：如图2，过点作交的延长线于点，
设，则．
∵，
∴在Rt和Rt中，
，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴．
解法二：如图2，过点作于点，
设，则．
在和中，
，，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1) 先利用等边三角形 “三线合一” 的性质，过顶点作底边的高，将底边平分；再在直角三角形中，结合勾股定理求出高的长度；最后代入三角形面积公式，计算出等边三角形的面积。
(2) 先过三角形的一个顶点作对边（或其延长线）的高，构造出两个直角三角形；再利用勾股定理，通过两个直角三角形中高的平方相等建立方程，求出高的长度；最后根据三角形面积公式，计算出该三角形的面积。
（1）解：续写解答过程如下：
由题意可得，
∵于点，
∴，
在Rt中，由勾股定理得
，
∴．
（2）解法一：如图2，过点作交的延长线于点，
设，则．
∵，
∴在Rt和Rt中，
，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴．
解法二：如图2，过点作于点，
设，则．
在和中，
，，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴．
21．某市政府响应国家卫健委提出的实施体重管理年的号召，准备采购若干套健身器材免费提供给社区居民使用，经考查，某公司有两种型号的健身器材可供选择．
（1）该公司2023年每套型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2025年每套售价为1.6万元，求每套型健身器材售价的年平均下降率；
（2）2025年市政府经过招标，决定年内采购并安装该公司两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过108万元．采购合同规定：每套型健身器材售价为1.6万元，每套型健身器材售价为万元．则型健身器材至少需购买多少套？
【答案】（1）解：依题意得，
解得（不合题意，舍去）.
答：每套型健身器材售价的年平均下降率为.
（2）解：设型健身器材需购买套，则购买型健身器材套，
，
解得．
答：型健身器材至少需购买50套．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设年平均下降率为x，根据连续两年降价的售价关系列出一元二次方程，求解并舍去不合理解，得到下降率；
(2) 设购买 B 型器材m套，则购买 A 型器材(80 m)套，根据总经费不超过 108 万元列一元一次不等式，求解得到m的最小值。
（1）解：依题意得，
解得（不合题意，舍去）.
答：每套型健身器材售价的年平均下降率为.
（2）解：设型健身器材需购买套，则购买型健身器材套，
，
解得．
答：型健身器材至少需购买50套．
22．【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒．
【尝试运用】
（1）求的长；
（2）求斜边上的高；
【拓展运用】
（3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值．
【答案】解：（1）在中，，，，
∴，
（2）设边上的高为h，
则，
∴，
∴，即斜边上的高为；
（3）①当点P在上时，点P的运动长度为，
∴，
故答案为：；
②若点P在的角平分线上时，过点P作，
如图：
∵平分，，，
∴，
由①知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1) 在中，直接运用勾股定理，代入和的长度，计算出的边长；
(2) 利用三角形面积的两种不同表示方法（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等式，求解得到斜边上的高；
(3) ① 先表示出点运动的路程，再结合的长度，用表示出；
② 过点作的垂线，利用角平分线的性质证明，再通过全等三角形得到，最后在中运用勾股定理列方程，求解的值。
23．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
（2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
【分析】（1）以车棚宽度 为基础，结合栅栏总长和两个1m出口的条件，通过“总长减去三条有效宽度的长度”，用含 的代数式表示出车棚长度 ，即 。
（2）先根据（1）中长与宽的表达式，结合车棚面积为 列出一元二次方程 ，求解得到两个解后，再根据“宽不超过7m、长不超过60m”的实际限制条件，筛选出符合题意的解，最终确定车棚的长和宽。
（3）假设能围成面积为 的车棚，同样根据（1）的表达式列出方程 ，整理后利用一元二次方程根的判别式 判断方程是否有实数根；因判别式小于0，方程无实数解，故无法围成该面积的车棚。
（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
1 / 1广西百色市县级市2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题
1．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
2．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若一元二次方程的常数项是3，则它的二次项系数是（　　）
A． B．2 C． D．3
4．下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　）
A． B． C． D．
7．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知为方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A． B． C．2 D．5
10．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米
11．关于的一元二次方程有两个实数根，若其中一个根为1，则这两根之和为（　　）
A． B． C． D．
12．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
13．比较大小：　 　3（填“”“”或“”）
14．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为　 　．
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=2，AE=3，则正方形ODCE的边长等于　 　.
16．如图，长方体中，长，宽，高，现在有一只蚂蚁从点出发，先后经过面，面和面爬到点那么这只蚂蚁爬行的路线的最小值为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．【阅读理解】已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间的距离公式为．同时，当两点在同一条直线上，所在直线平行于轴或垂直于轴时，两点间的距离公式可化简成或．
【方法运用】
（1）若已知两点，，试求A，B两点间的距离；
（2）已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为，点N的纵坐标为3，试求M，N两点间的距离；
【拓展运用】
（3）已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由．
20．小军在求等边三角形的面积时，发现图中未出现直角．老师提示小军可以构造直角三角形．
（1）请根据老师的提示，续写解答过程：
如图1，已知等边的边长为4，求的面积．解：过点作于点，．．．
（2）如图2，在中，，，，请类比（1）中的解题方法，求的面积．
21．某市政府响应国家卫健委提出的实施体重管理年的号召，准备采购若干套健身器材免费提供给社区居民使用，经考查，某公司有两种型号的健身器材可供选择．
（1）该公司2023年每套型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2025年每套售价为1.6万元，求每套型健身器材售价的年平均下降率；
（2）2025年市政府经过招标，决定年内采购并安装该公司两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过108万元．采购合同规定：每套型健身器材售价为1.6万元，每套型健身器材售价为万元．则型健身器材至少需购买多少套？
22．【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒．
【尝试运用】
（1）求的长；
（2）求斜边上的高；
【拓展运用】
（3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值．
23．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
（2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，A不符合题意；
B、 是三次根式，不是二次根式，B不符合题意；
C、 满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，C符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据最简二次根式的定义，先判断选项是否为二次根式，再检查被开方数是否不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一排除错误选项，选出符合条件的答案。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：先将一元二次方程化为一般形式：
移项得：
题目说明常数项是3，因此需将方程变形为常数项为正的形式，方程两边同乘：
此时，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：A。
【分析】先将原方程整理为一般形式，再根据题目中 “常数项为 3” 的要求调整方程符号；最后从调整后的方程中直接读取二次项的系数。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形的面积等于其边长的平方，因此图中每个正方形的数值或字母 S，都对应着直角三角形某条边的平方。结合勾股定理分析：
A、根据勾股定理，若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，A不符合题意；
B、根据勾股定理，若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为4，则另一条直角边对应的面积，B符合题意；
C、若两直角边对应的面积为和，则斜边对应的面积，C不符合题意；
D、若斜边对应的面积为，一条直角边对应的面积为，则另一条直角边对应的面积，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查勾股定理的几何意义，核心是利用“直角三角形中，以斜边为边长的正方形面积等于两直角边对应正方形面积之和”，对每个选项的面积关系进行验证判断。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、二次根式加减运算中，只有同类二次根式（被开方数相同）才能合并。与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接相加，故A错误；
B、根据二次根式的性质，可得，算术平方根的结果是非负数，故B错误；
C、根据二次根式乘法法则，可得，故C正确；
D、已是最简二次根式，无法化简为，故D错误；
故答案为：C。
【分析】根据二次根式的相关运算法则与性质，对每个选项分别进行验证：先判断加减运算中是否为同类二次根式、再利用二次根式的性质判断算术平方根的结果、接着依据乘法法则判断乘积运算、最后检查分式形式的二次根式是否可化简，从而选出运算正确的选项。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知一元二次方程的两个根为 、，我们可以利用根与系数的关系（韦达定理）来构造方程：
对于一元二次方程的一般形式 ，两根满足：
两根和：，因此 ，即 ；
两根积：，因此 ；
代入一般形式，得到方程：，
故答案为：C。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先计算两根的和与积，再结合方程系数与根的关系确定方程的系数，从而构造出符合条件的方程。
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，传播总次数由三部分构成：
小方自己转发的1次；第一轮转发中，发给个好友，共次；
第二轮转发中，每个好友再转发给个互不相同的人，共次；
因此可列方程：
故答案为：B。
【分析】明确总次数由“初始1次+第一轮次+第二轮次”三部分组成；根据两轮传播的特点，梳理清楚每一轮的转发次数，再结合总次数列出一元二次方程。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：当铅笔在笔筒内竖直放置时，长度最短，等于笔筒的内壁高，即 ；
当铅笔斜放并两端分别接触笔筒上下底面的对角顶点时，长度最长，由勾股定理得：
因此，铅笔在笔筒内部的长度取值范围是 ，
故答案为：A。
【分析】通过分析铅笔竖直放置时的最小长度和斜放时的最大长度（利用勾股定理计算），确定铅笔在笔筒内长度的取值范围。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知 是方程 的根，将 代入方程得：
移项可得：
对代数式 进行变形，提取公因数3：
将 整体代入：
因此，代数式的值为 ，
故答案为：B。
【分析】利用一元二次方程根的定义，先由方程得到的值，再通过整体代入的方法，将其代入待求代数式中，快速计算出结果。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：过点C作
由题意得：
∴
∴
即：木马上升的高度为1米
故答案为：A
【分析】过点C作，利用勾股定理求出AF的长，然后求出BF的长.
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为，可得：
解得。
再计算两根之和：
因此，两根之和为，
故答案为：D。
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先由已知根和两根之积求出另一个根，再计算两根之和。
12．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：首先，利用二次根式性质，对函数进行化简：
当时：
当时：
当时：，因此，代入得
因此，当从到时：
对应；
对应；
到共个数，每个都对应。
总和为：，
故答案为：D。
【分析】先根据的取值范围，利用化简函数表达式，分段求出不同对应的值，再将所有值相加得到总和。
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，通过比较 8 与 9 的大小，间接判断出。
14．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
为一元二次方程，
，
有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限，先确定，再计算一元二次方程的判别式，结合得出，从而判断方程有两个不相等的实数根。
15．【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形ODCE的边长为x，则CD=CE=x，
∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，
∴AF=AE，BF=BD，
∴AB=2+3=5，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3+x）2+（2+x）2=52，
∴x=1，
∴正方形ODCE的边长等于1，
故答案为1．
【分析】先设正方形边长为x，利用全等三角形性质得到AB的长度，再根据勾股定理列出关于x的方程，求解得到正方形的边长。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；蚂蚁爬行模型
【解析】【解答】解：将长方形的盒子沿面，面和面展开，如图
∵长，宽，高，
∴AD=5+3+5=13dm，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
故答案为：
【分析】将长方体沿蚂蚁经过的三个面展开为平面图形，把空间中折线最短路径问题转化为平面内线段最短问题，再利用勾股定理计算展开后直角三角形的斜边长度，即为爬行路线的最小值。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1) 先按二次根式的乘除法则计算与，再化简，最后合并同类二次根式；
(2) 先分别计算完全平方、负整数指数幂和绝对值，再进行加减运算并合并同类二次根式。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）解：
解得；
（2）解：
解得．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1) 利用直接开平方法，将方程变形为，再开方得到，移项后求解；
(2) 对二次三项式因式分解，将方程转化为，再分别求解两个一元一次方程。
（1）解：
解得；
（2）解：
解得．
19．【答案】解：（1）点，，
，
即A，B两点间的距离为；
（2）点M，N在平行于y轴的同一条直线上，
，
即M，N两点间的距离为7；
（3）能，为等腰直角三角形．
理由如下：点，，，
，，，
，
又，，
，
为等腰直角三角形．
【知识点】二次根式的性质与化简；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1) 直接套用平面内两点间的距离公式，代入两点坐标计算 A、B 间的距离；
(2) 利用平行于 y 轴的两点间距离公式，通过纵坐标差的绝对值求出 M、N 间的距离；
(3) 先分别用距离公式计算三角形三边长度，再根据边的关系判定其为等腰三角形，最后通过勾股定理逆定理证明其为直角三角形，从而确定形状。
20．【答案】（1）解：续写解答过程如下：
由题意可得，
∵于点，
∴，
在Rt中，由勾股定理得
，
∴．
（2）解法一：如图2，过点作交的延长线于点，
设，则．
∵，
∴在Rt和Rt中，
，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴．
解法二：如图2，过点作于点，
设，则．
在和中，
，，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1) 先利用等边三角形 “三线合一” 的性质，过顶点作底边的高，将底边平分；再在直角三角形中，结合勾股定理求出高的长度；最后代入三角形面积公式，计算出等边三角形的面积。
(2) 先过三角形的一个顶点作对边（或其延长线）的高，构造出两个直角三角形；再利用勾股定理，通过两个直角三角形中高的平方相等建立方程，求出高的长度；最后根据三角形面积公式，计算出该三角形的面积。
（1）解：续写解答过程如下：
由题意可得，
∵于点，
∴，
在Rt中，由勾股定理得
，
∴．
（2）解法一：如图2，过点作交的延长线于点，
设，则．
∵，
∴在Rt和Rt中，
，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴．
解法二：如图2，过点作于点，
设，则．
在和中，
，，
∴，
即，
解得，即，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：依题意得，
解得（不合题意，舍去）.
答：每套型健身器材售价的年平均下降率为.
（2）解：设型健身器材需购买套，则购买型健身器材套，
，
解得．
答：型健身器材至少需购买50套．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设年平均下降率为x，根据连续两年降价的售价关系列出一元二次方程，求解并舍去不合理解，得到下降率；
(2) 设购买 B 型器材m套，则购买 A 型器材(80 m)套，根据总经费不超过 108 万元列一元一次不等式，求解得到m的最小值。
（1）解：依题意得，
解得（不合题意，舍去）.
答：每套型健身器材售价的年平均下降率为.
（2）解：设型健身器材需购买套，则购买型健身器材套，
，
解得．
答：型健身器材至少需购买50套．
22．【答案】解：（1）在中，，，，
∴，
（2）设边上的高为h，
则，
∴，
∴，即斜边上的高为；
（3）①当点P在上时，点P的运动长度为，
∴，
故答案为：；
②若点P在的角平分线上时，过点P作，
如图：
∵平分，，，
∴，
由①知：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1) 在中，直接运用勾股定理，代入和的长度，计算出的边长；
(2) 利用三角形面积的两种不同表示方法（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等式，求解得到斜边上的高；
(3) ① 先表示出点运动的路程，再结合的长度，用表示出；
② 过点作的垂线，利用角平分线的性质证明，再通过全等三角形得到，最后在中运用勾股定理列方程，求解的值。
23．【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
【分析】（1）以车棚宽度 为基础，结合栅栏总长和两个1m出口的条件，通过“总长减去三条有效宽度的长度”，用含 的代数式表示出车棚长度 ，即 。
（2）先根据（1）中长与宽的表达式，结合车棚面积为 列出一元二次方程 ，求解得到两个解后，再根据“宽不超过7m、长不超过60m”的实际限制条件，筛选出符合题意的解，最终确定车棚的长和宽。
（3）假设能围成面积为 的车棚，同样根据（1）的表达式列出方程 ，整理后利用一元二次方程根的判别式 判断方程是否有实数根；因判别式小于0，方程无实数解，故无法围成该面积的车棚。
（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
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