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第九章概率初步
3 等可能事件的概率
第1课时 等可能事件的概率
夯基础
1.三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有 ( )
A.12种 B.6种 C.4种 D.3种
2. 2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”.将3枚邮票背面朝上放置桌面(邮票背面完全相同)，从中随机抽取1枚，恰好是“核铸利器”的概率为 ( )
C. D.
3.不透明袋子中装有 13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 .
4.中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“——”(图中虚线)的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“——”上方的概率是 .
5.某文体店购进了20筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品羽毛球，具体情况如下：
混入次品羽毛球个数 0 1 2
筒数 9 m n
(1)用等式写出 m，n所满足的数量关系应为 ;
(2)从20筒羽毛球中任意选取1筒，若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为 ,求m和n的值.
练能力
6.阿嘉和小杨都有5 张分别标示数字1，2，3，4，5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形.今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的概率为何 ( )
A. B. C. D.
7.已知ai≠0(i=1,2,……,2 012)满足 则使一次函数 (i=1,2,……,2012)的图象经过一、二、四象限的a；的概率是 .
第2课时 游戏的公平性
夯基础
1.某口袋中有 10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是 ( )
A.3 B.4 C.1 D.2
2.甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方不公平的是 ( )
A.在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜
B.从标有数字1到100的100张卡片中，随机抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜
C.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于等于3则甲获胜，掷出的点数大于等于4则乙获胜
D.取一副扑克牌(去掉大、小王)，随机从中抽取一张，抽到花色为方片则甲胜，抽到花色为黑桃则乙胜，否则二人平局
3.小明和小华想利用摸球来决定谁先去看电影，他们在袋中装了一个红球和一个白球，这两个球除颜色外完全相同，任意摸出一球，若摸出红球，则小明去看电影，若摸出白球，则小华去看电影，这个游戏对双方公平吗 .
4.不透明的箱子里有 8个除数字号码外其余均相同的小球,分别标有1,2,2,3,3,4,5,5.现随机地从中摸出一个，求：
(1)直接写出摸出标有数字4的小球的概率和摸出标有数字小于4的小球的概率；
(2)小敏和小颖想利用摸球来决定游戏胜负，规则如下：每人随机从这8个球中摸出一个小球，如果号码为奇数小敏赢，如果为偶数则小颖赢，请问这个游戏公平吗 请说明理由.
练能力
5.大双、小双的妈妈托人买到一张著名音乐会的门票，兄弟俩商量后决定用摸球游戏确定谁去.现将分别标有数字1，2，3的三个小球装入 A 袋；分别标有数字4，5的两个小球装入 B袋，小球除数字以外没有其他任何区别，且都已各自搅匀.大双提议：让小双蒙上眼睛分别从两袋中各取出1个小球，若2个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票.
(1)大双提议的游戏方案对双方是否公平 请你先列出所有可能出现的结果，再说明理由；
(2)若大双提议的游戏对双方不公平，请你帮他们设计一种对双方都公平的摸球游戏.
第3课时 转盘游戏
夯基础
1.如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是 ( )
2.转动转盘，指针停在甲区域和乙区域的概率分别为 P(甲)和 P(乙)，则下列关系正确的是 ( )
A. P(甲)>P(乙)
B. P(甲)C. P(甲)=P(乙)
D.无法比较 P(甲)和 P(乙)的大小
3.某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖.如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖(转到公共线位置时重转).若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是 .
4. “六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(转盘被平均分成16份)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品.顾客购买了125元的商品，请你分析计算：
(1)顾客获得童话书的概率是 ；若要让顾客获得童话书的概率变为 ，则还需要将 个扇形涂为黄色；
(2)顾客获得彩笔的概率是多少
颜色 奖品
红色 玩具熊
黄色 童话书
绿色 彩笔
练能力
5.综合与实践
某商场制成了一个如图1所示的转盘(十二等份)游戏，取名为“开心大转盘”.游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则打九折；若指针指向字母“B”，则打八折；若指针指向字母“C”，则不打折.
(1)P(不打折)= ;
(2)小明分两次来商场分别购买了价值200元的商品，两次都参加了该活动，且一共付了360元，请你分析小明这两次获得优惠的情况；
(3)商场为了吸引顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打九折的概率是 ；打八折的概率是 ；不打折的概率是 .(在十二等份扇形中标明字母A，B，C).
第4 课时 几何概率
夯基础
1.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为20 cm 的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ( )
A.0.4 cm B.0.6 cm
C.8cm D.
第1题图
2.如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是( )
A. B. C. D.
3. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到“风车”图案(阴影部分).若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图 2 大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.如图是由边长分别为a和b的两个正方形组合而成，点B，C，G在同一直线上，点D，E，C在同一直线上.已知a+b=10,ab=8,若一只昆虫任意落在此图形上，则昆虫停在阴影部分的概率为
练能力
5.图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷.
(1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是 ；
(2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方格中埋藏着：颗地雷(图中包含数字 2 的黑框区域记为A)，若小明在区域A 内围着数字2 的8个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是 ;
(3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在 A 区域内的小方格上还是应踩在 A 区域外的小方格上 并说明理由.
第1课时等可能事件的概率
1. D 2. B 3.
5.解:(1)m+n=11;
(2)∵从20筒羽毛球中任意选取1筒，若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为
解得m=8,
∴n=20-9-8=3,即m=8,n=3.
6. B
第2 课时 游戏的公平性
1. D 2. A 3.公平
4.解：(1)∵有8个除数字号码外其余均相同的小球,分别标有1,2,2,3,3,4,5,5,
∴摸出标有数字4的小球的概率为 ，摸出标的数字小于4的小球的概率为
(2)这个游戏不公平，理由如下：
∵有8个除数字号码外其余均相同的小球，分别标有1,2,2,3,3,4,5,5,
∴小敏赢的概率为 ，小颖赢的概率为 ∵ ≠ ,∴这个游戏不公平.
5.解：(1)所有可能得结果有：
1×4=4,1×5=5,
2×4=8,2×5=10,
3×4=12,3×5=15,
∵共有6种等可能的结果，积为偶数的有4种情况，积为奇数有2种情况，
∴P(积为偶数) P(积为奇数)
∵ ≠ ,∴因此游戏不公平；
(2)(示例)取球方式不变，和为偶数时大双得到门票，和为奇数时小双得到门票.
第3课时 转盘游戏
1. D 2. B 3.
4.解:(1) ;2;
(2)∵转盘被平均分成16份，绿色区域3份，∴顾客获得彩笔的概率是
5.解:(1)
(2)∵360=200×0.9+200×0.9=200+200×0.8,
∴小明这两次获得优惠的情况为：①两次都打九折；②一次不打折，一次打八折；
(3)∵打九折的概率是 ；打八折的概率是 ；不打折的概率是
∴转盘中字母“A”有6个，字母“B”有1个，字母“C”有5个.
如图2所示.
第4课时 几何概率
1. D 2. D 3. D 4.
5.解:(1) ;(2)
(3)小明的第二步踩在 A 区域内的小方格上，可能踩中地雷的概率是
小明的第二步踩在A 区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是
∴为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在 A 区域外的小方格上.

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