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【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 21~22题
一、原题21
1．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
（1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值（结果保留 2 位小数）．
（2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ 比较小，
将 忽略不计，
∴ ，
即 。
得 ，
故 ．
（2）解：8.222=67.5684，
8.192=67.0761，
67.5684＞67.0761，
∴8.192更接近67，
故方法一得出的的近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，设这个近似数的小数部分为t，则t2可以忽略不计，解关于t的一元一次方程即可；
（2）对比方法一，试值法范围不好确定，故精确度不高.
二、变式1基础
2．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 的最小值.
且
∴当x=-3时， 有最小值-4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求证：无论x取何值，二次根式 恒为正数；
（2）若代数式 的最大值为5，求k的值；
（3）已知 是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
【答案】（1）证明： 分
则 恒为正数。
（2）解： 2分
最大值是5
解得：
（3）解：
是完全平方式
解得：
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
3．根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个；
（2）　 　；
（3）316.84的平方根是 　 　；
（4）若 这个数的整数部分为m，则 　 　；
【答案】（1）4
（2）171
（3）±17.8
（4）-1
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，，.
∵介于17.6与17.7之间，
∴.
在与之间的整数有310、311、312、313，共4个.
故答案为：4.
（2）.
故答案为：171.
（3）∵，∴.
故答案为：±17.8.
（4）∵，，且，
∴.
∴的整数部分.
∴.
故答案为：-1.
【分析】需结合表格中x与x2的对应关系，运用平方根定义、算术平方根性质及整数部分确定方法来解题.
4．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此.的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示 的小数部分，并给出了理由：因为：所以的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　.
（2） 若的整数部分是x，小数部分是y，求x-y的值.
【答案】（1）4；
（2）解：∵
，
，
的整数部分x=2，小数部分y=
x=2，y=，
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵
，
的整数部分是4，小数部分是-4.
【分析】（1）先利用“夹逼法”估算出的范围，进而确定出整数部分和小数部分；
（2）先估算的范围，求出整数部分和小数部分x，和y的值，然后把x，y的值代入x﹣y进行计算即可．
三、变式2巩固
5．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的方法试一试：①又∵1000<59319<1000000，
∴能确定 59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9， 又∵，能确定 59319 的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 可得 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683 的立方根是　 　 ．
（2）求110592的立方根．(过程可按题目中的步骤写)
【答案】（1）两；7；27
（2）解：
∴能确定110592的立方根是个两位数.
②19683的个位数是2，
能确定110592的立方根的个位数是8.
③若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
∵1000 <19683<1000000，
∴能确定19683的立方根是个两位数.
②19683的个位数是3，
能确定59319的立方根的个位数是7.
③若划去19683后面的三位683得到数19，
而
则
由此确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27.
故答案为： ①两； ②7； ③27；
【分析】(1)利用题干中的方法分步解答即可；
(2)利用题干中的方法分步解答即可.
6．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是　 　；
（2）的二级近似值是　 　；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
【答案】（1）4
（2）
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
【分析】（1）仿照例题解答即可；
（2） 仿照例题解答即可 ；
（3）设，即可得到，根据题目公式计算即可．
7．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
　 1 x
x
1 1
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
（1）利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值．
（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）解：∵，即，∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题以阅读材料为背景，综合考查无理数的整数部分与小数部分的估算，以及借助几何图形逼近无理数近似值的方法。
（1）通过平方数范围确定无理数所在区间，进而分离出整数部分与小数部分；
（2）利用正方形面积与边长的关系，构造几何模型，通过舍去小数部分的平方项建立方程，得到无理数的近似值，体现了数形结合与逼近思想。
（1）解：∵，即，
∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，
∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
8．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：　 　；
（2）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：，，，
，
则；
令，，
则，，
，
，
则，
即．
【知识点】完全平方公式的几何背景
9．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）填空：的整数部分是　 　，的小数部分是　 　．
（2）若，其中是m为整数，且0＜n＜1，求m﹣n的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵25＜34＜36，
∴，即，
∴，
∴，
∵m是整数，且0＜n＜1，
∴，
∴．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵16＜ 23 ＜25，
∴4＜ ＜5，
∴的整数部分是4；
∵16＜ 19 ＜25，
∴4 ＜ ＜5，
∴的整数部分是4，
∴的小数部分是- 4；
故答案为：4，- 4；
【分析】（1） 根据无理数的估算及题干给出的阅读材料可求得结论；
（2）根据无理数的估算，求得m+n＜4，然后根据m是整数，且0＜n＜1求得m和n，进行得到m﹣n的值．
四、变式3提高
10．小浙、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值.已知 ab=1.
小浙： 的值始终等于1.
小江：尽管 的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下：
由 知，当a=b时， 存在最小值2，
（1）试判断小浙的说法是否正确，并说明理由．
（2）在 ab=1的条件下，下列代数式：
n为整数).
(i)值始终保持不变的代数式有： ▲ (填序号)；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ .
(ii)上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大(或最小)值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：(i)①②④；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
故答案为：①②④；.
【分析】（1）把所求分式变形为，然后约分化简解答即可；
（2）（i）把①变形为，约分化简；把②变形为，把两个分式约分，然后相加解答；分别求出和时③的结果解答；④中通分合并，再约分解答；
（ii）吧原式化为；再根据得到当时，有最小值为9，解答即可．
11．在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢 小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则（实际上，）
（1）的整数部分为　 　；　 　（结果保留两位小数）.
（2）小明在采用这种方法估算时，得到与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）.
【答案】（1）8；8.88
（2）解：
，更接近1.4，
，，
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
，
的整数部分为8；
的整数部分为8，且更接近9，则，，
，
；
故答案为：8；8.88；
【分析】（1）根据无理数的估算求出 的整数部分，然后根据题目所给方法估算 的值即可；
（2）先根据无理数的估算得到，再仿照目所给方法进行估算即可.
12．中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为　 　；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为　 　；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为　 　；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
【分析】（1）根据调日法的定义进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义估算出的大小，确定x和y的值，最后带入到代数式中即可求解.
五、原题22
13．如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交 于点 ，与 相切于点 ，连接 ．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：
与⊙O相切
即
（2）解：如图，连接OC.
是等边三角形
同理 也为等边三角形，
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角结合等量代换得，则，由切线的性质知，则两直线平行内错角相等得，即结论得证；
（2）连接OC，由于AB=BC=AC，则是等边三角形，同理可证也是等边三角形，则解可求得AE、AO的值，则可计算，则面积均可求得，由于同底等高，则面积比等于OB与OA的比，进而可求出的面积，即面积可求，再证，由面积比等于相似比可求得的面积，则四边形ODCE面积可求.
六、变式1
14． 如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点．
（1）求证：F为中点；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
为的切线，
又AE为切线，
，
，
在矩形ABCD中，，
，
，
，
、FC为切线，
，
，
为CD中点．
（2）解：、AE为切线
，
设
则，，
在中
，即，
又，，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先得到、CD为的切线，再根据切线长定理即可得到，，根据等边对等角得到，进而得到，即可得到，根据等量代换解答即即可；
（2）设，则，，再在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
15． 如图，点C是⊙E外一点， CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连结AE，且AB=AC，∠C=30°。
（1）求证： AC为⊙E切线；
（2）若AE=1，求BC的长。
【答案】（1）证明：因为AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，
所以∠BAC=120°，
因为EB=EA，
所以∠B=∠EAB=30°，
所以∠EAC=90°即AE⊥AC，
所以AC为⊙E切线；
（2）解：在RtΔAEC中， ∠C=30°，
所以CE=2AE=2，
则CB=CE+BE=2+1=3.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠C=30°，∠B=∠EAB=30°，即可求出∠BAC的度数，即可得到，证明结论即可；
（2）利用30°的直角三角形的性质得到CE=2，然后根据线段的和差解答即可.
16．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
【答案】（1）解：根据题意可得为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：连接交于点，连接，如图：
∵与相切，
∴，
在平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故点在的垂直平分线上，
又∵，
∴是的垂直平分线．
∴，
在和中，
，
∴，
即，
故阴影部分的面积即为扇形的面积，
扇形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可．
七、变式2
17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，连结AD.
（1）求证：∠BAD=∠CAD.
（2）若半圆O的半径为5，AE=6，求BD的长.
【答案】（1）证明：如图，连结OD，
∵BC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODC=90°.
∵∠B=90°，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠ODA=∠BAD.
∵OA=OD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴∠BAD=∠CAD
（2）解：如图，过点O作OF⊥AE于点F，
∵半圆O的半径为5，AE=6，
∵∠OFB=∠B=∠ODB=90°，
∴四边形ODBF为矩形，
∴BD=OF=4
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，利用圆的切线性质得到再结合 推出 进而得到 A，最后根据等腰三角形的性质得到 从而证明结论；
（2）过点O作 于点F，利用垂径定理求出AF的长，再根据勾股定理求出OF长，利用矩形的判定和性质解答即可.
18．如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 且过半径OD 的中点G，E 为 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.
（1）求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.
（2）当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.
【答案】（1）解：如图1，连结OA，AD.
∵AG⊥CD，G为OD的中点，
∴AO=AD.
又∵AO=DO，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60°.
∵CD⊥AB，
∵∠E=∠ADC=60°.
（2）解：如图2，作△AGC 的外接圆O'，连结O'G.
∵∠AGC=90°，
∴AC 为⊙O'的直径.
∵∠AFC=90°，
∴点 F 在⊙O'上.
∴当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，点 F 的运动轨迹为劣弧GC，
∴所求图形为弓形 CGF.
由答图1知，
∴∠O'CG=30°，∠CO'G=120°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，AD，根据垂直平分线的性质得到AO=AD，即可得到△AOD是等边三角形，然后根据正弦的定义求出AG长，即可根据垂径定理求出AB长解答即可再根据圆周角定理的推论得到∠E=∠ADC=60°，求出余弦值即可；
（2）作△AGC 的外接圆O'，连结O'G，根据90°的圆周角所对的弦是直径得到AC 为⊙O'的直径，即可得到点 F 在⊙O'上，然后求出∠ACG=30°，根据解直角三角形求出CO'和CG长，然后根据解答即可.
19．如图，是以AB为直径的圆，点在上，CD切于点于点，连结BC．
（1）求证：．
（2）若．
①求BC的长度．
②如图，点在半径AO上，连结CP并延长交于点，且，连结QB，求证：．
【答案】（1）证明：连结CO.
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴CO//BD，
∴∠OCB=∠CBD.
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=∠CBD。
（2）解：①连结AC.
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵AB=10，BD=，
∴BC=8.
②连结CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠CMA=∠QNO=90°．
又∵∠CPM=∠QPN，
∴△CPM∽△QPN，
∴（设CM=6x，QN=5x）．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴sin∠CAM=，
∴∠CAM=∠QON，
∴CA//QH.
∵AC⊥CB，QH过圆心O，
∴QH⊥CB且QH平分CB，
∴QB=QC．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】本题主要考查切线的性质、平行线的判定与性质、等边对等角、相似三角形的判定及性质、 垂径定理等知识。
（1）利用“同位角相等、两直线平行”可得出CO//BD，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠OCB=∠CBD，最后根据“等边对等角”即可得出证明结果；
（2）①证明出相似三角形△ABC∽△CBD，得出对应边长等比例，代入即可计算出BC的值；②通过证明出CPM∽△QPN，可以得出对应边长的比，然后根据正弦值得出∠CAM=∠QON，进而得出CA//QH，最后根据垂径定理即可得出证明结果。
八、变式3
20．如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.
（1）求证： ∠BAC=∠ECF.
（2）若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.
【答案】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于半圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即半圆的半径为；
②如图，作点关于直线的对称点，作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴点在上，
由对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
在中，，，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴的最小值是．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）①连接，根据勾股定理求出AD长，再根据切线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例计求出的值解答即可；
②作点关于直线的对称点，作于点，根据等边对等角和平行线的性质可得，则点在上，可知，当、、三点共线时，取到得最小值．然后解直角三角形求出AH，O'H长，再根据勾股定理求出最小值即可．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD， BD， CD， BD交⊙O于点E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证： ∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，
① 求cos∠BAC的值；
② 若AB =4，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：，
．
，
；
（2）解：①连接，，如图，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
，
为圆的直径，
，
．
，
；
②连接，，延长交于点，如图，
设的半径为，则，
由（2）①知：，
，
由（2）①知：，
，
，，
，
为的中位线，
，
，
，，
，
解得，
，
．
答：的半径为．
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角得到∠ABD=∠ADB，然后根据圆周角定理的推论得到∠ABD=∠ACE，然后根据等量代换证明即可；
（2）①连接，，根据SSS得到△AOB≌△AOC，得到，进而得到，然后根据两角对应相等得到△OBA∽△ECD，再根据相似三角形的对应边成比例求出，再根据余弦的定义解答即可；
②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，，根据三角形的中位线定理得到，再根据勾股定理求出r的值解答即可．
22．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OC，易证∠ACO=∠DAC=∠BAC，即可得证；
(2)先证∠CAO=∠BCE，再根据∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，据此得证；
(3)取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD=8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解.
1 / 1【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 21~22题
一、原题21
1．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
（1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值（结果保留 2 位小数）．
（2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
二、变式1基础
2．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 的最小值.
且
∴当x=-3时， 有最小值-4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求证：无论x取何值，二次根式 恒为正数；
（2）若代数式 的最大值为5，求k的值；
（3）已知 是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
3．根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个；
（2）　 　；
（3）316.84的平方根是 　 　；
（4）若 这个数的整数部分为m，则 　 　；
4．阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此.的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示 的小数部分，并给出了理由：因为：所以的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　.
（2） 若的整数部分是x，小数部分是y，求x-y的值.
三、变式2巩固
5．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的方法试一试：①又∵1000<59319<1000000，
∴能确定 59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9， 又∵，能确定 59319 的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 可得 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683 的立方根是　 　 ．
（2）求110592的立方根．(过程可按题目中的步骤写)
6．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是　 　；
（2）的二级近似值是　 　；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
7．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
　 1 x
x
1 1
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
（1）利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值．
（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
8．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：　 　；
（2）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
9．已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）填空：的整数部分是　 　，的小数部分是　 　．
（2）若，其中是m为整数，且0＜n＜1，求m﹣n的值．
四、变式3提高
10．小浙、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值.已知 ab=1.
小浙： 的值始终等于1.
小江：尽管 的值不能被确定，但能求出最小值.其说理过程如下：
由 知，当a=b时， 存在最小值2，
（1）试判断小浙的说法是否正确，并说明理由．
（2）在 ab=1的条件下，下列代数式：
n为整数).
(i)值始终保持不变的代数式有： ▲ (填序号)；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ .
(ii)上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大(或最小)值；若没有，请说明理由.
11．在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢 小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则（实际上，）
（1）的整数部分为　 　；　 　（结果保留两位小数）.
（2）小明在采用这种方法估算时，得到与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）.
12．中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值.例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3.1404＜π，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数.
（1）现已知，
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为　 　；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为　 　；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为　 　；
（2）的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.
五、原题22
13．如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交 于点 ，与 相切于点 ，连接 ．
（1）求证：．
（2）若，求四边形的面积．
六、变式1
14． 如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点．
（1）求证：F为中点；
（2）求的长．
15． 如图，点C是⊙E外一点， CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连结AE，且AB=AC，∠C=30°。
（1）求证： AC为⊙E切线；
（2）若AE=1，求BC的长。
16．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
七、变式2
17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O为AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，连结AD.
（1）求证：∠BAD=∠CAD.
（2）若半圆O的半径为5，AE=6，求BD的长.
18．如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 且过半径OD 的中点G，E 为 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.
（1）求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.
（2）当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.
19．如图，是以AB为直径的圆，点在上，CD切于点于点，连结BC．
（1）求证：．
（2）若．
①求BC的长度．
②如图，点在半径AO上，连结CP并延长交于点，且，连结QB，求证：．
八、变式3
20．如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.
（1）求证： ∠BAC=∠ECF.
（2）若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD， BD， CD， BD交⊙O于点E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证： ∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，
① 求cos∠BAC的值；
② 若AB =4，求⊙O的半径.
22．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ 比较小，
将 忽略不计，
∴ ，
即 。
得 ，
故 ．
（2）解：8.222=67.5684，
8.192=67.0761，
67.5684＞67.0761，
∴8.192更接近67，
故方法一得出的的近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，设这个近似数的小数部分为t，则t2可以忽略不计，解关于t的一元一次方程即可；
（2）对比方法一，试值法范围不好确定，故精确度不高.
2．【答案】（1）证明： 分
则 恒为正数。
（2）解： 2分
最大值是5
解得：
（3）解：
是完全平方式
解得：
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
3．【答案】（1）4
（2）171
（3）±17.8
（4）-1
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，，.
∵介于17.6与17.7之间，
∴.
在与之间的整数有310、311、312、313，共4个.
故答案为：4.
（2）.
故答案为：171.
（3）∵，∴.
故答案为：±17.8.
（4）∵，，且，
∴.
∴的整数部分.
∴.
故答案为：-1.
【分析】需结合表格中x与x2的对应关系，运用平方根定义、算术平方根性质及整数部分确定方法来解题.
4．【答案】（1）4；
（2）解：∵
，
，
的整数部分x=2，小数部分y=
x=2，y=，
【知识点】无理数的估值；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵
，
的整数部分是4，小数部分是-4.
【分析】（1）先利用“夹逼法”估算出的范围，进而确定出整数部分和小数部分；
（2）先估算的范围，求出整数部分和小数部分x，和y的值，然后把x，y的值代入x﹣y进行计算即可．
5．【答案】（1）两；7；27
（2）解：
∴能确定110592的立方根是个两位数.
②19683的个位数是2，
能确定110592的立方根的个位数是8.
③若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
∵1000 <19683<1000000，
∴能确定19683的立方根是个两位数.
②19683的个位数是3，
能确定59319的立方根的个位数是7.
③若划去19683后面的三位683得到数19，
而
则
由此确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27.
故答案为： ①两； ②7； ③27；
【分析】(1)利用题干中的方法分步解答即可；
(2)利用题干中的方法分步解答即可.
6．【答案】（1）4
（2）
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
【分析】（1）仿照例题解答即可；
（2） 仿照例题解答即可 ；
（3）设，即可得到，根据题目公式计算即可．
7．【答案】（1）解：∵，即，∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题以阅读材料为背景，综合考查无理数的整数部分与小数部分的估算，以及借助几何图形逼近无理数近似值的方法。
（1）通过平方数范围确定无理数所在区间，进而分离出整数部分与小数部分；
（2）利用正方形面积与边长的关系，构造几何模型，通过舍去小数部分的平方项建立方程，得到无理数的近似值，体现了数形结合与逼近思想。
（1）解：∵，即，
∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，
∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
8．【答案】（1）解：
（2）解：，，，
，
则；
令，，
则，，
，
，
则，
即．
【知识点】完全平方公式的几何背景
9．【答案】（1）4；
（2）解：∵25＜34＜36，
∴，即，
∴，
∴，
∵m是整数，且0＜n＜1，
∴，
∴．
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵16＜ 23 ＜25，
∴4＜ ＜5，
∴的整数部分是4；
∵16＜ 19 ＜25，
∴4 ＜ ＜5，
∴的整数部分是4，
∴的小数部分是- 4；
故答案为：4，- 4；
【分析】（1） 根据无理数的估算及题干给出的阅读材料可求得结论；
（2）根据无理数的估算，求得m+n＜4，然后根据m是整数，且0＜n＜1求得m和n，进行得到m﹣n的值．
10．【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：(i)①②④；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
故答案为：①②④；.
【分析】（1）把所求分式变形为，然后约分化简解答即可；
（2）（i）把①变形为，约分化简；把②变形为，把两个分式约分，然后相加解答；分别求出和时③的结果解答；④中通分合并，再约分解答；
（ii）吧原式化为；再根据得到当时，有最小值为9，解答即可．
11．【答案】（1）8；8.88
（2）解：
，更接近1.4，
，，
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
，
的整数部分为8；
的整数部分为8，且更接近9，则，，
，
；
故答案为：8；8.88；
【分析】（1）根据无理数的估算求出 的整数部分，然后根据题目所给方法估算 的值即可；
（2）先根据无理数的估算得到，再仿照目所给方法进行估算即可.
12．【答案】（1）；；
（2）x=2，y=-2，∴x+2y=-2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1） 已知 ，
∴使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
∵
∴使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为：
故答案为：.
（2）∵
∴在2和3之间，
∴
∴
【分析】（1）根据调日法的定义进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义估算出的大小，确定x和y的值，最后带入到代数式中即可求解.
13．【答案】（1）证明：
与⊙O相切
即
（2）解：如图，连接OC.
是等边三角形
同理 也为等边三角形，
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角结合等量代换得，则，由切线的性质知，则两直线平行内错角相等得，即结论得证；
（2）连接OC，由于AB=BC=AC，则是等边三角形，同理可证也是等边三角形，则解可求得AE、AO的值，则可计算，则面积均可求得，由于同底等高，则面积比等于OB与OA的比，进而可求出的面积，即面积可求，再证，由面积比等于相似比可求得的面积，则四边形ODCE面积可求.
14．【答案】（1）证明：∵，
为的切线，
又AE为切线，
，
，
在矩形ABCD中，，
，
，
，
、FC为切线，
，
，
为CD中点．
（2）解：、AE为切线
，
设
则，，
在中
，即，
又，，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先得到、CD为的切线，再根据切线长定理即可得到，，根据等边对等角得到，进而得到，即可得到，根据等量代换解答即即可；
（2）设，则，，再在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
15．【答案】（1）证明：因为AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，
所以∠BAC=120°，
因为EB=EA，
所以∠B=∠EAB=30°，
所以∠EAC=90°即AE⊥AC，
所以AC为⊙E切线；
（2）解：在RtΔAEC中， ∠C=30°，
所以CE=2AE=2，
则CB=CE+BE=2+1=3.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠C=30°，∠B=∠EAB=30°，即可求出∠BAC的度数，即可得到，证明结论即可；
（2）利用30°的直角三角形的性质得到CE=2，然后根据线段的和差解答即可.
16．【答案】（1）解：根据题意可得为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：连接交于点，连接，如图：
∵与相切，
∴，
在平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故点在的垂直平分线上，
又∵，
∴是的垂直平分线．
∴，
在和中，
，
∴，
即，
故阴影部分的面积即为扇形的面积，
扇形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可．
17．【答案】（1）证明：如图，连结OD，
∵BC与半圆O相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODC=90°.
∵∠B=90°，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠ODA=∠BAD.
∵OA=OD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴∠BAD=∠CAD
（2）解：如图，过点O作OF⊥AE于点F，
∵半圆O的半径为5，AE=6，
∵∠OFB=∠B=∠ODB=90°，
∴四边形ODBF为矩形，
∴BD=OF=4
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，利用圆的切线性质得到再结合 推出 进而得到 A，最后根据等腰三角形的性质得到 从而证明结论；
（2）过点O作 于点F，利用垂径定理求出AF的长，再根据勾股定理求出OF长，利用矩形的判定和性质解答即可.
18．【答案】（1）解：如图1，连结OA，AD.
∵AG⊥CD，G为OD的中点，
∴AO=AD.
又∵AO=DO，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60°.
∵CD⊥AB，
∵∠E=∠ADC=60°.
（2）解：如图2，作△AGC 的外接圆O'，连结O'G.
∵∠AGC=90°，
∴AC 为⊙O'的直径.
∵∠AFC=90°，
∴点 F 在⊙O'上.
∴当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，点 F 的运动轨迹为劣弧GC，
∴所求图形为弓形 CGF.
由答图1知，
∴∠O'CG=30°，∠CO'G=120°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，AD，根据垂直平分线的性质得到AO=AD，即可得到△AOD是等边三角形，然后根据正弦的定义求出AG长，即可根据垂径定理求出AB长解答即可再根据圆周角定理的推论得到∠E=∠ADC=60°，求出余弦值即可；
（2）作△AGC 的外接圆O'，连结O'G，根据90°的圆周角所对的弦是直径得到AC 为⊙O'的直径，即可得到点 F 在⊙O'上，然后求出∠ACG=30°，根据解直角三角形求出CO'和CG长，然后根据解答即可.
19．【答案】（1）证明：连结CO.
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴CO//BD，
∴∠OCB=∠CBD.
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=∠CBD。
（2）解：①连结AC.
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵AB=10，BD=，
∴BC=8.
②连结CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠CMA=∠QNO=90°．
又∵∠CPM=∠QPN，
∴△CPM∽△QPN，
∴（设CM=6x，QN=5x）．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴sin∠CAM=，
∴∠CAM=∠QON，
∴CA//QH.
∵AC⊥CB，QH过圆心O，
∴QH⊥CB且QH平分CB，
∴QB=QC．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】本题主要考查切线的性质、平行线的判定与性质、等边对等角、相似三角形的判定及性质、 垂径定理等知识。
（1）利用“同位角相等、两直线平行”可得出CO//BD，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠OCB=∠CBD，最后根据“等边对等角”即可得出证明结果；
（2）①证明出相似三角形△ABC∽△CBD，得出对应边长等比例，代入即可计算出BC的值；②通过证明出CPM∽△QPN，可以得出对应边长的比，然后根据正弦值得出∠CAM=∠QON，进而得出CA//QH，最后根据垂径定理即可得出证明结果。
20．【答案】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于半圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即半圆的半径为；
②如图，作点关于直线的对称点，作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴点在上，
由对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
在中，，，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴的最小值是．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）①连接，根据勾股定理求出AD长，再根据切线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例计求出的值解答即可；
②作点关于直线的对称点，作于点，根据等边对等角和平行线的性质可得，则点在上，可知，当、、三点共线时，取到得最小值．然后解直角三角形求出AH，O'H长，再根据勾股定理求出最小值即可．
21．【答案】（1）证明：，
．
，
；
（2）解：①连接，，如图，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
，
为圆的直径，
，
．
，
；
②连接，，延长交于点，如图，
设的半径为，则，
由（2）①知：，
，
由（2）①知：，
，
，，
，
为的中位线，
，
，
，，
，
解得，
，
．
答：的半径为．
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角得到∠ABD=∠ADB，然后根据圆周角定理的推论得到∠ABD=∠ACE，然后根据等量代换证明即可；
（2）①连接，，根据SSS得到△AOB≌△AOC，得到，进而得到，然后根据两角对应相等得到△OBA∽△ECD，再根据相似三角形的对应边成比例求出，再根据余弦的定义解答即可；
②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，，根据三角形的中位线定理得到，再根据勾股定理求出r的值解答即可．
22．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OC，易证∠ACO=∠DAC=∠BAC，即可得证；
(2)先证∠CAO=∠BCE，再根据∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，据此得证；
(3)取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD=8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解.
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