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【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 23~24题
一、原题23
1．已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求a的值；
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之
间．若直线 之间的距离为 16 ，求 的最大值．
【答案】（1）解：把代入到函数解析式中得：
解得：
（2）解：
抛物线的对称轴为直线
设点B的坐标为，则C点坐标为
是中点
即，
解得：
（3）解：
当时，函数值有最小值
显然当函数值时，有最大值
即直线为，直线为
解得，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）先把二次函数的一般转化为顶点式可得对称轴为直线，由于A、B、C三点的纵坐标相同，则B、C两点关直线对称，此时设点B的横坐标为x，则C的横坐标为（6-x），由于点B是线段AC的中点，则AB=BC，即可得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，则纵坐标t可求；
（3）由于抛物线的顶点坐标为，即当有最大值时，这两条平行线中的一条必然过顶点，则由直线间的距离为16可得另一条直线为，此时由点的坐标特征可得直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，即此时、，则的最大值可求.
二、变式1基础
2．已知抛物线 (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2.
（1）若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系.
（2）在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由.
（3）点 在抛物线上，若a>c-2>0，当 时，求证：
【答案】（1）解：依题意得
两式相减，得b=2a.
（2）解：两个.理由如下：
由(1)知，b=2a，c=2-3a，∴y=ax2+2ax+2-3a.
联立y=2，得
解得
∴抛物线与直线 y=2有两个交点.
（3）解：∵a>c-2>0，a+b+c=2，
∴a>-a-b+2-2，
即2a>-b，
∵a>0，
即
∴点 M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线对称轴的右侧.
∵a>0，
∴在抛物线的右侧，二次函数 y 随x的增大而增大，
∴当 时，y1>y2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把点(-3，2)代入，然后两式相减解答即可；
（2）把b=2a，c=2-3a代入解析式，令y=2，即可得到然后解方程求出x的值解答即可；
（3）根据题意得到2a>-b，即可得到对称轴根据二次函数的增减性证明即可.
3．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
4． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且
（1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。
（3）若对于 都有 求m的取值范围。
【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0，
解得 m=1或m=-3(舍)，
∴，
令y=0，则，
解得x=-1或x=3，
该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标；
（2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可；
（3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可．
三、变式2巩固
5．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（-1，2）.
（1）求二次函数的表达式.
（2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC=2AB，求m的值.
（3）已知M（n-1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，得解得
∴二次函数的表达式为
（2）由(1)知二次函数图象的对称轴为直线x=1，
设点B的坐标为(s，m)，
当点A在点B的右侧时，如图，
由AC=2AB，则点C的坐标为(-2s，m)，
由对称性可得：代入二次函数求得m=-3.
当点A在点B的左侧时，如图，由AC=2AB，则点C的坐标为(2s，m)，
由对称性可得：代入二次函数求得
综上所述，m的值为-3或
（3）把y=2代入得+2x+5，解得x=-1或x=3，
此时抛物线上纵坐标为2的两点间的距离为3-(-1)=4，
∵M(n-1，2)，N(n+4，2)，
∴MN=n+4-(n-1)=5.
∵线段MN与抛物线只有一个交点，
∴-1≤n+4<3或-1∴当线段MN与抛物线只有一个交点时，n的取值范围为-5≤n<-1或0【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式为x=1，设点B的坐标为(s，m)，然后分为点A在点B的右侧或点A在点B的左侧，结合AC=2AB得到点C的坐标，建立关于s的方程求出s的值，再计算m的值即可；
（3）求出抛物线与x轴交点的坐标，然后求出MN的值，根据题可得-1≤n+4<3或-16．已知抛物线（m为常数）、经过点（5，0）。
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（B在C左侧），且BC=2AB，求n的值；
（3）设p<3【答案】（1）解：将点代入得，
，
解得，
∴；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）知，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
①当时，结合对称轴为直线，无法满足；
②当时，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵，
∴，
由对称性得，
联立得，
∴，
把代入，得，
∴；
（3）解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间，
∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称，
∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时，
设最大时，另一条直线的解析式为，
∴，即
∴和为方程的两根，
∴
∴，
解得，
∴，
∴直线，之间的距离为9．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，然后把二次函数的解析式化为顶点式，得到对称轴解答即可；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，当n>5时不能得到，当时，根据题意可得，再根据对称性求出，然后代入代数式求出n的值即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，格据对称性可得和关于对称轴对称，进而根据题意得到，设最大时，另一条直线的解析式为，然后求出h的值解答即可．
7．已知抛物线y=ax2-4ax+12（a为常数，a≠0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），OB=3OA.
①求a的值；
②设m＜2＜n，抛物线的一段y=ax2-4ax+12（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为9，求n-m的最大值.
【答案】（1）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=2
（2）解：①令y=0， 则y=ax2-4ax+12=0
设该方程的两根为x1，x2(x1∵点A在原点O的左侧，OB=3OA，
∴x2=-3x1，
∵，
∴x1+x2=4， 即x1+(-3x1)=4，
∴x1=-2，x2=6，
把x1=-2代入y=ax2-4ax+12=0，
得a(-2)2-4×(-2)a+12=0，
解得a=-1；
②∵a=-1，
∴该函数表达式为y=-x2+4x+12=-(x-2)2+16
∴该抛物线的顶点坐标为(2，16)，
∵该抛物线的一段y=-x2+4x+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1和l2之间，且m<2如图，上方的平行线不能在顶点(2，16)下方，
∵直线l1和l2之间的距离为9，
∴要使n-m最大，则直线l经过顶点(2，16)，
此时直线l2为y=16-9=7，
∴当y=-(x-2)2+16=7时
解得x1=-1，x2=5，
∴n-m的最大值为5-(-1)=6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)由对称轴公式直接求解即可；
(2)①易得x2=-3x1，再根据对称轴求得，可得x1=-2，x2=6，代入抛物线求解即可；
②易得抛物线的顶点坐标为(2，16)，要使n-m最大，则直线l1经过顶点(2，16)，此时直线l2为y=16-9=7，据此求解即可.
四、变式3提高
8．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）解：a>0或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【分析】
（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）根据题意列不等式，得出，然后利用二次函数的增减性解答即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积；
（3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：抛物线与y轴交点的纵坐标为，
即当时，，代入，
，
把点代入，
解得： ，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线对称轴为直线，
点，点A与点P关于该抛物线的对称轴对称，
，
，
；
（3）解：抛物线对称轴为直线，且开口向上，
时，函数值y先随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
当时，，
由对称性可知当时，，
当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，
；
（4）解：或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(4)抛物线的最低点坐标为，
过点A作垂直于y轴的直线l，则直线l表达式为，
抛物线的最低点到直线l的距离是，
点P到直线l的距离，
抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，
，即，
是该抛物线上一动点，其横坐标为m，
，
或，
解得：或，
函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，
，
或．
故答案为：或.
【分析】(1)用待定系数法求表达式即可；
(2)根据对称性先求P(3，2)，进而求面积；
(3)根据二次函数的增减性确定范围即可；
(4)先求抛物线的最低点到直线 的距离和点P到直线的距离，进而得到方程，解方程即可解决.
10．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为
（2）解：不存在实数m使得，理由如下：
为二次函数图象上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得
（3）解：作轴于点，则，
∵对于二次函数，
∴令，则，
点C的坐标为，
设直线对应函数的解析式为，
由题意，得，
解得，
直线对应函数的解析式为；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）把、两点坐标代入得到函数值、，进而得出的函数解析式，再通过配方为顶点式，得到最大值解答即可；
（3）利用待定系数法求出直线的函数解析式，作轴于点，则，根据等腰直角三角形得到，设点P的坐标为，用点D的坐标为，则含的函数解析式表示出，根据二次函数的额顶点式的到最值解答即可．
五、原题24
11．在菱形中，．
（1）如图 1，求的值．
（2）如图 2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
【答案】（1）解：如图所示，连接AC、BD，设交点为O.
四边形ABCD是菱形
（2）解：①如图所示，连接BD交AC于点O.
四边形ABCD是菱形
②如在 Rt△BOP中，由勾股定理得，
∵PA＝OA+OP＝4+OP，
∴PA﹣PB＝4+OP
，
∵，
∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大，
∴要有最小值，
又∵的值随着OP的值增大而增大，
∴的值随着OP的值增大而增大，
∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值，
∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，
在Rt△POB中，由勾股定理得，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故连接AC、BD，设交点为O，则OA等于AC的一半等于4，由勾股定理可求得OB=3，再解直角三角形OAB即可；
（2） ① 当AC垂直EF时，由于AC垂直BD，则BD平行EF，由折叠的性质和平行线的性质结合等量代换可得，则DE=DB=6，即AE=AD+DE=11；
② 首先利用菱形的性质和轴对称性，将 PA PB 转化为4+OP的表达式，然后通过有理化变形，将问题转化为求的最大值。接着通过分析发现当OP最小时该分式取得最大值，进而找到OP的最小值（即点 B 到直线 AD 的距离），最终代入计算出PA PB的最小值。
六、变式1
12．如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点，CE平分交BD于点，，交AC于点，交BC于点.
（1）求的值．
（2）求证：．
（3）求证：．
【答案】（1）解：四边形ABCD是正方形
答：
（2）证明：四边形ABCD是正方形
（3）证明：如图所示，设DH交CE于点F，连接EH.
平分
四边形ABCD是正方形
、
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由于正方形的每一个内角都是直角，且对角线平分一组对角，因此，则其三角函数可求；
（2）由于正方形的对角线互相垂直平分，结合垂直的概念可利用“AAS”证明指定两个三角形全等；
（3）连接EH，利用（2）的结论结合正方形的性质可先证DC＝DE，再利用“SAS”可证，从而把CH转化到EH上，此时可得到等腰直角三角形EBH，则利用45度角的余弦值得出BH是CH的倍；再利用两角对应相等可证，利用相似比可得出CH是OE的倍，等量代换得BH是OE的2倍.
13．如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点．
（1）连结，求证：．
（2）若，求半径的长．
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，
则
由菱形可知，又，
∴，则
∴，
∵，
∴，
由菱形对边平行知，，
∴，
∴
（2）解：连接，则，
在与中，，
∴，
解得：（另一解为负值，舍去），
（3）解：分别连接、，
∵，
∴
∴是的直径，，
∵，
∴，
又，
∴，则，
又
∴，
∴，
设，
则，
在与中，，则，
即，，解得（另一根为负值，舍去），
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，菱形的性质得到∠ECG=∠H，根据同角的余角相等得到，利用圆周角定理的推论可得，即可证明结论；
（2）连接，利用垂径定理及勾股定理，列方程求出半径即可；
（3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设GF=1-x，表示AF长，利用余弦函数列方程，求出x的值即可．
14．综合与实践
问题情境】
如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点．
（1）【初步分析】
线段与的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）【深入分析】
如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由：
（3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长．
【答案】（1） 如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长；
（2）结论：四边形为菱形，
理由：∵将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，
∴∠MEG=90°，EG=EM
∵∠BHG=∠BHE=∠MEG=90°，
∴EM∥BF，
∵BE=BF=EG，
∴EM=BF
∴四边形BEMF是平行四边形，
∵EM=BF，
∴四边形BEMF是菱形
（3）解：∵EG⊥BF，点H是EG的中点，
∴BF垂直平分EG，
∴BE=BG，
∵EB=EG，
∴EB=EG=BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠EBG=60°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=3，
在Rt△ABE中，AB=3，
∴
∴
∴
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）结论：EG=BF，EG⊥BF，
理由：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠A=∠C=∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵ 将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段，
∴EG=BE，
∴EG=BF，∠EBG=∠EGB，
∵∠EBG+∠ABE=90°，
∴∠EGB+∠CBF=90°，
∴∠BHG=180°-（∠EGB+∠CBF）=180°-90°=90°，
∴EG⊥BF；
故答案为：EG=BF；EG⊥BF.
【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠A=∠C=∠ABC=90°，利用SAS可得到△ABE≌△CBF，利用全等三角形的性质可推出BE=BF，∠ABE=∠CBF，再利用旋转的性质可证得EG=BF，∠EBG=∠EGB，同时可求出∠BHG=90°，据此可得到EG和BF的位置关系.
（2）利用旋转的性质可推出∠MEG=90°，EG=EM，利用平行线的判定可证得EM∥BF，可推出四边形BEMF是平行四边形，然后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（3）利用已知易证BF垂直平分EG，利用垂直平分线的性质可推出EB=EG=BG，可得到△BEG是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠EBG、∠ABE的度数；在Rt△ABE中，利用解直角三角形求出BE、BG的长，然后根据CG=BG-BC，代入计算求出CG的长.
七、变式2
15．如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H，与AE，CD 分别相交于点G，M，连接HC.
（1）求证：AG=GH.
（2）若AB=3，BE=1，求点 D 到直线BH 的距离.
（3）当点E 在BC 边上(端点除外)运动时，∠BHC 的大小是否变化 为什么
【答案】（1）证明：∵将 沿直线AE折叠，点B落在F处，
B， F关于AE对称，
∵ AH平分.
，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，
∵∠HGA=90°，
∴GA=GH
（2）解：如图1， 连接DH， DF， 交AH于点N，由 (1) 可知AF=AD， ∠FAH=∠DAH，
∴AH⊥DF， FN= DN，
∴DH=HF， ∠FNH =∠DNH=90°，又∵∠GHA=45°，
∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN，
∴∠DHF=90°，
∴DH的长为点D到直线BH的距离，由 (1) 知.
∵∠BAE+∠AEB=∠BAE+∠ABG=90°，
又
由 (1) 知
，
即点D到直线BH的距离为
方法二：连接BD，
由折叠可知.
则
同方法一可知
∴点D到直线BH的距离为
（3）解：
不变.理由如下：
方法一： 连接BD， 如图2，
在Rt△HDF中，
在Rt△BCD中，
∵∠BDF+∠CDF=45°，
∠FDC+∠CDH =45°，
∴∠BDF=∠CDH，
∴△BDF-△CDH，
∴∠CHD=∠BFD，
∵∠DFH =45°，
∴∠BFD =135°=∠CHD，
∵∠BHD =90°，
∴∠BHC=∠CHD﹣∠BHD=135°—90°=45°，
方法二：
∵∠BCD =90°， ∠BHD=90°，
∴点B， C， H， D四点共圆，
∴∠BHC =∠BDC = 45°， 的度数不变
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由折叠的性质得出，B， F关于AE对称，证出 由等腰直角三角形的性质得出答案；
(2)方法一： 连接DH， DF， 交AH于点N， 由(1) 可知. 得出 由勾股定理求出 证明 得出比例线段 可求出AG，BG的长，则可求出答案.方法二：连接BD， 证明得出 ，根据三角形BDM的面积可求出答案.，
(3)方法一：连接BD，由锐角三角函数的定义求出 证明 由相似三角形的性质得出 则可得出答案.方法二：连接BD，证出点B， C， H， D四点共圆，则可得出结论.
16．如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF.
（1）求∠EBF的度数.
（2）将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2，连结EF，作FP垂直BE于点P，连结AP.
①求证：；
②记，，求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：根据题意可得
（2）解：①如图，连接BD，
∵FP⊥BE，
∴∠BPF=90°，
∵∠EBF=45°，
∴△BPF为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=45°=∠EBF，
∴BD=AB，∠ABE=∠DBF=45°-∠EBD，
∴=，
∴△ABP∽△DBF，
∴，
∴DF=AP；
②如图，过F作 于点M，
由(1)知
设BF=1，则FM=x，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
即y=2x.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由折叠易得 再利用角的和差可知
(2)①连接BD， 易证 从而得证；
②过F作于点M，易得 所以 进而设参、解直角三角形即可得解.
17．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应．
（1）如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：；
（2）如图，若点刚好落在的中点处，求的值；
（3）如图，若点为的中点，求的最小值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
由折叠性质得：，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠C=∠A=60°，AD∥BC，
∴△BCD是等边三角形，
又A'是BC的中点，
∴A'D⊥BC，
∴，
∵AD∥BC，A'D⊥BC，
∴A'D⊥AD，
由折叠性质可知：，设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
同理：，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，，
由折叠性质可知：点为对角线交点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴ 点在以E为圆心，为半径的圆上，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∴．
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（）连接DB，由折叠性质得∠ADF=∠HDF=45°，∠A=∠A'=60°，由三角形内角和定理得出∠AFD=∠A'FD=75°，由平角定义得出，再由菱形对边平行得，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=120°，由三角形的内角和定理推出∠BFG=∠BGF=30°，由菱形的每条对角线平分一组对角得∠ABD=∠CBD=60°，由等腰三角形的三线合一得出DB垂直平分GF，进而根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得结论；
（）连接，，过作交延长线于点，过作于点，由菱形性质及等边三角形的判定定理易得△BCD是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得A'D⊥BC，从而用∠C的正弦函数求出A'D的长，由折叠性质得，设，则，在中，由勾股定理建立方程求出x的值，可得AE的长，同理可求出BF的长，进而求出AF的长；在Rt△AME中，利用∠A的正弦函数求出ME，利用∠A的余弦函数求出AM，由线段和差算出MF，在由勾股定理算出EF，此题得解；
（）连接，，由为的中点，则，因而有点在以E为圆心，为半径的圆上，又四边形是菱形，则，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，故有，当三点共线时，最小，从而求解即可.
八、变式3
18．综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　，k的值为　 　；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
（3）类比探究
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.
【答案】（1）45°；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴△AFB∽△AEO，
（3）的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO=BO，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
的值与α无关
（4）同理可证，
∵BE=OE+OB，
即
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵正方形，
∴，，
∴旋转角为，，
故答案为：；；
【分析】（1）利用正方形的性质和旋转的性质解答即可；
（2）根据题意可得得，进而可得，，然后得到，进而根据对应边成比例得到，即可得到结论；
（3）同理可得，即可得到，根据菱形的性质，根据垂直平分线求得，再根据余弦的定义解答即可；
（4）同理可得，，然后根据线段的和差解答即可．
19．在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接，与的位置关系是_______________；与的位置关系是_____________；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，，若，则的长为_____________．
【答案】（1）；
（2）解：延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）或
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
【分析】（1）延长交于点，利用折叠的性质，可推出垂直平分，利用线段垂直平分线的性质可证得AH=BH，由此可证得三角形的中位线定理得到，即可得出结论；
（2）延长交于点，连接，菱形的性质推出为等边三角形，三线合一得到，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，，设，则：，勾股定理求出的长，等角的余角相等，得到，进而得到，求出的长，三角形的中位线求出的长，即可得出结果；
（3）分情况讨论：①当点在上时：由（1）可知：，，，，同时可证得，利用菱形的性质可推出，，∠ABC=∠BFE，设，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出CE的长；②当点在得延长线上时：设，可表示出AF、AE的长，易证，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；过点作，可求出BK、AK的长，然后利用勾股定理求出EK的，然后求出CE的长；综上所述，可得到CE的长.
（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
20．已知菱形ABCD的面积为
（1）如图1，求菱形ABCD的边长.
（2）如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
的最大值为 ▲ .
【答案】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）②作，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴当最小时，的值最大，
作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
取的中点，连接，则，，
∴当三点共线时，的值最小，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）过点作于点，根据∠ABC的余弦值设，即可得到，根据勾股定理求出AH长，再根据菱形的面积公式求出a的值解答即可；
（2）①根据菱形的性质和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可．
1 / 1【浙江卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第 23~24题
一、原题23
1．已知抛物线（为常数）经过点．
（1）求a的值；
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求的值．
（3）设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之
间．若直线 之间的距离为 16 ，求 的最大值．
二、变式1基础
2．已知抛物线 (a，b，c是常数，且a≠0)，a+b+c=2.
（1）若抛物线过点(-3，2)，求a，b之间的关系.
（2）在(1)的条件下，判断抛物线与直线y=2的交点个数，并说明理由.
（3）点 在抛物线上，若a>c-2>0，当 时，求证：
3．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
4． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且
（1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。
（3）若对于 都有 求m的取值范围。
三、变式2巩固
5．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（-1，2）.
（1）求二次函数的表达式.
（2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC=2AB，求m的值.
（3）已知M（n-1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围.
6．已知抛物线（m为常数）、经过点（5，0）。
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（B在C左侧），且BC=2AB，求n的值；
（3）设p<37．已知抛物线y=ax2-4ax+12（a为常数，a≠0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），OB=3OA.
①求a的值；
②设m＜2＜n，抛物线的一段y=ax2-4ax+12（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为9，求n-m的最大值.
四、变式3提高
8．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积；
（3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围；
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值．
10．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值．
五、原题24
11．在菱形中，．
（1）如图 1，求的值．
（2）如图 2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
六、变式1
12．如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点，CE平分交BD于点，，交AC于点，交BC于点.
（1）求的值．
（2）求证：．
（3）求证：．
13．如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点．
（1）连结，求证：．
（2）若，求半径的长．
（3）若，求的值．
14．综合与实践
问题情境】
如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点．
（1）【初步分析】
线段与的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）【深入分析】
如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由：
（3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长．
七、变式2
15．如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H，与AE，CD 分别相交于点G，M，连接HC.
（1）求证：AG=GH.
（2）若AB=3，BE=1，求点 D 到直线BH 的距离.
（3）当点E 在BC 边上(端点除外)运动时，∠BHC 的大小是否变化 为什么
16．如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF.
（1）求∠EBF的度数.
（2）将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2，连结EF，作FP垂直BE于点P，连结AP.
①求证：；
②记，，求y关于x的函数表达式.
17．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应．
（1）如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：；
（2）如图，若点刚好落在的中点处，求的值；
（3）如图，若点为的中点，求的最小值．
八、变式3
18．综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　，k的值为　 　；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
（3）类比探究
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.
19．在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接，与的位置关系是_______________；与的位置关系是_____________；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，，若，则的长为_____________．
20．已知菱形ABCD的面积为
（1）如图1，求菱形ABCD的边长.
（2）如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
的最大值为 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把代入到函数解析式中得：
解得：
（2）解：
抛物线的对称轴为直线
设点B的坐标为，则C点坐标为
是中点
即，
解得：
（3）解：
当时，函数值有最小值
显然当函数值时，有最大值
即直线为，直线为
解得，
的最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）先把二次函数的一般转化为顶点式可得对称轴为直线，由于A、B、C三点的纵坐标相同，则B、C两点关直线对称，此时设点B的横坐标为x，则C的横坐标为（6-x），由于点B是线段AC的中点，则AB=BC，即可得到关于x的一元一次方程，解方程求出x，则纵坐标t可求；
（3）由于抛物线的顶点坐标为，即当有最大值时，这两条平行线中的一条必然过顶点，则由直线间的距离为16可得另一条直线为，此时由点的坐标特征可得直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，即此时、，则的最大值可求.
2．【答案】（1）解：依题意得
两式相减，得b=2a.
（2）解：两个.理由如下：
由(1)知，b=2a，c=2-3a，∴y=ax2+2ax+2-3a.
联立y=2，得
解得
∴抛物线与直线 y=2有两个交点.
（3）解：∵a>c-2>0，a+b+c=2，
∴a>-a-b+2-2，
即2a>-b，
∵a>0，
即
∴点 M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线对称轴的右侧.
∵a>0，
∴在抛物线的右侧，二次函数 y 随x的增大而增大，
∴当 时，y1>y2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把点(-3，2)代入，然后两式相减解答即可；
（2）把b=2a，c=2-3a代入解析式，令y=2，即可得到然后解方程求出x的值解答即可；
（3）根据题意得到2a>-b，即可得到对称轴根据二次函数的增减性证明即可.
3．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
4．【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0，
解得 m=1或m=-3(舍)，
∴，
令y=0，则，
解得x=-1或x=3，
该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标；
（2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可；
（3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可．
5．【答案】（1）解：由题意，得解得
∴二次函数的表达式为
（2）由(1)知二次函数图象的对称轴为直线x=1，
设点B的坐标为(s，m)，
当点A在点B的右侧时，如图，
由AC=2AB，则点C的坐标为(-2s，m)，
由对称性可得：代入二次函数求得m=-3.
当点A在点B的左侧时，如图，由AC=2AB，则点C的坐标为(2s，m)，
由对称性可得：代入二次函数求得
综上所述，m的值为-3或
（3）把y=2代入得+2x+5，解得x=-1或x=3，
此时抛物线上纵坐标为2的两点间的距离为3-(-1)=4，
∵M(n-1，2)，N(n+4，2)，
∴MN=n+4-(n-1)=5.
∵线段MN与抛物线只有一个交点，
∴-1≤n+4<3或-1∴当线段MN与抛物线只有一个交点时，n的取值范围为-5≤n<-1或0【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式为x=1，设点B的坐标为(s，m)，然后分为点A在点B的右侧或点A在点B的左侧，结合AC=2AB得到点C的坐标，建立关于s的方程求出s的值，再计算m的值即可；
（3）求出抛物线与x轴交点的坐标，然后求出MN的值，根据题可得-1≤n+4<3或-16．【答案】（1）解：将点代入得，
，
解得，
∴；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）知，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
①当时，结合对称轴为直线，无法满足；
②当时，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵，
∴，
由对称性得，
联立得，
∴，
把代入，得，
∴；
（3）解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间，
∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称，
∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时，
设最大时，另一条直线的解析式为，
∴，即
∴和为方程的两根，
∴
∴，
解得，
∴，
∴直线，之间的距离为9．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，然后把二次函数的解析式化为顶点式，得到对称轴解答即可；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，当n>5时不能得到，当时，根据题意可得，再根据对称性求出，然后代入代数式求出n的值即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，格据对称性可得和关于对称轴对称，进而根据题意得到，设最大时，另一条直线的解析式为，然后求出h的值解答即可．
7．【答案】（1）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=2
（2）解：①令y=0， 则y=ax2-4ax+12=0
设该方程的两根为x1，x2(x1∵点A在原点O的左侧，OB=3OA，
∴x2=-3x1，
∵，
∴x1+x2=4， 即x1+(-3x1)=4，
∴x1=-2，x2=6，
把x1=-2代入y=ax2-4ax+12=0，
得a(-2)2-4×(-2)a+12=0，
解得a=-1；
②∵a=-1，
∴该函数表达式为y=-x2+4x+12=-(x-2)2+16
∴该抛物线的顶点坐标为(2，16)，
∵该抛物线的一段y=-x2+4x+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1和l2之间，且m<2如图，上方的平行线不能在顶点(2，16)下方，
∵直线l1和l2之间的距离为9，
∴要使n-m最大，则直线l经过顶点(2，16)，
此时直线l2为y=16-9=7，
∴当y=-(x-2)2+16=7时
解得x1=-1，x2=5，
∴n-m的最大值为5-(-1)=6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)由对称轴公式直接求解即可；
(2)①易得x2=-3x1，再根据对称轴求得，可得x1=-2，x2=6，代入抛物线求解即可；
②易得抛物线的顶点坐标为(2，16)，要使n-m最大，则直线l1经过顶点(2，16)，此时直线l2为y=16-9=7，据此求解即可.
8．【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）解：a>0或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【分析】
（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）根据题意列不等式，得出，然后利用二次函数的增减性解答即可．
9．【答案】（1）解：抛物线与y轴交点的纵坐标为，
即当时，，代入，
，
把点代入，
解得： ，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
抛物线对称轴为直线，
点，点A与点P关于该抛物线的对称轴对称，
，
，
；
（3）解：抛物线对称轴为直线，且开口向上，
时，函数值y先随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
当时，，
由对称性可知当时，，
当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，
；
（4）解：或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(4)抛物线的最低点坐标为，
过点A作垂直于y轴的直线l，则直线l表达式为，
抛物线的最低点到直线l的距离是，
点P到直线l的距离，
抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，
，即，
是该抛物线上一动点，其横坐标为m，
，
或，
解得：或，
函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，
，
或．
故答案为：或.
【分析】(1)用待定系数法求表达式即可；
(2)根据对称性先求P(3，2)，进而求面积；
(3)根据二次函数的增减性确定范围即可；
(4)先求抛物线的最低点到直线 的距离和点P到直线的距离，进而得到方程，解方程即可解决.
10．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为
（2）解：不存在实数m使得，理由如下：
为二次函数图象上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得
（3）解：作轴于点，则，
∵对于二次函数，
∴令，则，
点C的坐标为，
设直线对应函数的解析式为，
由题意，得，
解得，
直线对应函数的解析式为；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）把、两点坐标代入得到函数值、，进而得出的函数解析式，再通过配方为顶点式，得到最大值解答即可；
（3）利用待定系数法求出直线的函数解析式，作轴于点，则，根据等腰直角三角形得到，设点P的坐标为，用点D的坐标为，则含的函数解析式表示出，根据二次函数的额顶点式的到最值解答即可．
11．【答案】（1）解：如图所示，连接AC、BD，设交点为O.
四边形ABCD是菱形
（2）解：①如图所示，连接BD交AC于点O.
四边形ABCD是菱形
②如在 Rt△BOP中，由勾股定理得，
∵PA＝OA+OP＝4+OP，
∴PA﹣PB＝4+OP
，
∵，
∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大，
∴要有最小值，
又∵的值随着OP的值增大而增大，
∴的值随着OP的值增大而增大，
∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值，
∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，
在Rt△POB中，由勾股定理得，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为，
∴，
∴．
【知识点】三角形三边关系；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故连接AC、BD，设交点为O，则OA等于AC的一半等于4，由勾股定理可求得OB=3，再解直角三角形OAB即可；
（2） ① 当AC垂直EF时，由于AC垂直BD，则BD平行EF，由折叠的性质和平行线的性质结合等量代换可得，则DE=DB=6，即AE=AD+DE=11；
② 首先利用菱形的性质和轴对称性，将 PA PB 转化为4+OP的表达式，然后通过有理化变形，将问题转化为求的最大值。接着通过分析发现当OP最小时该分式取得最大值，进而找到OP的最小值（即点 B 到直线 AD 的距离），最终代入计算出PA PB的最小值。
12．【答案】（1）解：四边形ABCD是正方形
答：
（2）证明：四边形ABCD是正方形
（3）证明：如图所示，设DH交CE于点F，连接EH.
平分
四边形ABCD是正方形
、
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由于正方形的每一个内角都是直角，且对角线平分一组对角，因此，则其三角函数可求；
（2）由于正方形的对角线互相垂直平分，结合垂直的概念可利用“AAS”证明指定两个三角形全等；
（3）连接EH，利用（2）的结论结合正方形的性质可先证DC＝DE，再利用“SAS”可证，从而把CH转化到EH上，此时可得到等腰直角三角形EBH，则利用45度角的余弦值得出BH是CH的倍；再利用两角对应相等可证，利用相似比可得出CH是OE的倍，等量代换得BH是OE的2倍.
13．【答案】（1）证明：连接，
则
由菱形可知，又，
∴，则
∴，
∵，
∴，
由菱形对边平行知，，
∴，
∴
（2）解：连接，则，
在与中，，
∴，
解得：（另一解为负值，舍去），
（3）解：分别连接、，
∵，
∴
∴是的直径，，
∵，
∴，
又，
∴，则，
又
∴，
∴，
设，
则，
在与中，，则，
即，，解得（另一根为负值，舍去），
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，菱形的性质得到∠ECG=∠H，根据同角的余角相等得到，利用圆周角定理的推论可得，即可证明结论；
（2）连接，利用垂径定理及勾股定理，列方程求出半径即可；
（3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设GF=1-x，表示AF长，利用余弦函数列方程，求出x的值即可．
14．【答案】（1） 如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长；
（2）结论：四边形为菱形，
理由：∵将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，
∴∠MEG=90°，EG=EM
∵∠BHG=∠BHE=∠MEG=90°，
∴EM∥BF，
∵BE=BF=EG，
∴EM=BF
∴四边形BEMF是平行四边形，
∵EM=BF，
∴四边形BEMF是菱形
（3）解：∵EG⊥BF，点H是EG的中点，
∴BF垂直平分EG，
∴BE=BG，
∵EB=EG，
∴EB=EG=BG，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠EBG=60°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=3，
在Rt△ABE中，AB=3，
∴
∴
∴
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）结论：EG=BF，EG⊥BF，
理由：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠A=∠C=∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵ 将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段，
∴EG=BE，
∴EG=BF，∠EBG=∠EGB，
∵∠EBG+∠ABE=90°，
∴∠EGB+∠CBF=90°，
∴∠BHG=180°-（∠EGB+∠CBF）=180°-90°=90°，
∴EG⊥BF；
故答案为：EG=BF；EG⊥BF.
【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠A=∠C=∠ABC=90°，利用SAS可得到△ABE≌△CBF，利用全等三角形的性质可推出BE=BF，∠ABE=∠CBF，再利用旋转的性质可证得EG=BF，∠EBG=∠EGB，同时可求出∠BHG=90°，据此可得到EG和BF的位置关系.
（2）利用旋转的性质可推出∠MEG=90°，EG=EM，利用平行线的判定可证得EM∥BF，可推出四边形BEMF是平行四边形，然后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（3）利用已知易证BF垂直平分EG，利用垂直平分线的性质可推出EB=EG=BG，可得到△BEG是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠EBG、∠ABE的度数；在Rt△ABE中，利用解直角三角形求出BE、BG的长，然后根据CG=BG-BC，代入计算求出CG的长.
15．【答案】（1）证明：∵将 沿直线AE折叠，点B落在F处，
B， F关于AE对称，
∵ AH平分.
，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，
∵∠HGA=90°，
∴GA=GH
（2）解：如图1， 连接DH， DF， 交AH于点N，由 (1) 可知AF=AD， ∠FAH=∠DAH，
∴AH⊥DF， FN= DN，
∴DH=HF， ∠FNH =∠DNH=90°，又∵∠GHA=45°，
∴∠NFH=45°=∠NDH=∠DHN，
∴∠DHF=90°，
∴DH的长为点D到直线BH的距离，由 (1) 知.
∵∠BAE+∠AEB=∠BAE+∠ABG=90°，
又
由 (1) 知
，
即点D到直线BH的距离为
方法二：连接BD，
由折叠可知.
则
同方法一可知
∴点D到直线BH的距离为
（3）解：
不变.理由如下：
方法一： 连接BD， 如图2，
在Rt△HDF中，
在Rt△BCD中，
∵∠BDF+∠CDF=45°，
∠FDC+∠CDH =45°，
∴∠BDF=∠CDH，
∴△BDF-△CDH，
∴∠CHD=∠BFD，
∵∠DFH =45°，
∴∠BFD =135°=∠CHD，
∵∠BHD =90°，
∴∠BHC=∠CHD﹣∠BHD=135°—90°=45°，
方法二：
∵∠BCD =90°， ∠BHD=90°，
∴点B， C， H， D四点共圆，
∴∠BHC =∠BDC = 45°， 的度数不变
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由折叠的性质得出，B， F关于AE对称，证出 由等腰直角三角形的性质得出答案；
(2)方法一： 连接DH， DF， 交AH于点N， 由(1) 可知. 得出 由勾股定理求出 证明 得出比例线段 可求出AG，BG的长，则可求出答案.方法二：连接BD， 证明得出 ，根据三角形BDM的面积可求出答案.，
(3)方法一：连接BD，由锐角三角函数的定义求出 证明 由相似三角形的性质得出 则可得出答案.方法二：连接BD，证出点B， C， H， D四点共圆，则可得出结论.
16．【答案】（1）解：根据题意可得
（2）解：①如图，连接BD，
∵FP⊥BE，
∴∠BPF=90°，
∵∠EBF=45°，
∴△BPF为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=45°=∠EBF，
∴BD=AB，∠ABE=∠DBF=45°-∠EBD，
∴=，
∴△ABP∽△DBF，
∴，
∴DF=AP；
②如图，过F作 于点M，
由(1)知
设BF=1，则FM=x，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
即y=2x.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由折叠易得 再利用角的和差可知
(2)①连接BD， 易证 从而得证；
②过F作于点M，易得 所以 进而设参、解直角三角形即可得解.
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
由折叠性质得：，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠C=∠A=60°，AD∥BC，
∴△BCD是等边三角形，
又A'是BC的中点，
∴A'D⊥BC，
∴，
∵AD∥BC，A'D⊥BC，
∴A'D⊥AD，
由折叠性质可知：，设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
同理：，
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，，
由折叠性质可知：点为对角线交点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴ 点在以E为圆心，为半径的圆上，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∴．
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（）连接DB，由折叠性质得∠ADF=∠HDF=45°，∠A=∠A'=60°，由三角形内角和定理得出∠AFD=∠A'FD=75°，由平角定义得出，再由菱形对边平行得，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=120°，由三角形的内角和定理推出∠BFG=∠BGF=30°，由菱形的每条对角线平分一组对角得∠ABD=∠CBD=60°，由等腰三角形的三线合一得出DB垂直平分GF，进而根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得结论；
（）连接，，过作交延长线于点，过作于点，由菱形性质及等边三角形的判定定理易得△BCD是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得A'D⊥BC，从而用∠C的正弦函数求出A'D的长，由折叠性质得，设，则，在中，由勾股定理建立方程求出x的值，可得AE的长，同理可求出BF的长，进而求出AF的长；在Rt△AME中，利用∠A的正弦函数求出ME，利用∠A的余弦函数求出AM，由线段和差算出MF，在由勾股定理算出EF，此题得解；
（）连接，，由为的中点，则，因而有点在以E为圆心，为半径的圆上，又四边形是菱形，则，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，故有，当三点共线时，最小，从而求解即可.
18．【答案】（1）45°；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴△AFB∽△AEO，
（3）的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO=BO，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
的值与α无关
（4）同理可证，
∵BE=OE+OB，
即
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵正方形，
∴，，
∴旋转角为，，
故答案为：；；
【分析】（1）利用正方形的性质和旋转的性质解答即可；
（2）根据题意可得得，进而可得，，然后得到，进而根据对应边成比例得到，即可得到结论；
（3）同理可得，即可得到，根据菱形的性质，根据垂直平分线求得，再根据余弦的定义解答即可；
（4）同理可得，，然后根据线段的和差解答即可．
19．【答案】（1）；
（2）解：延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）或
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
【分析】（1）延长交于点，利用折叠的性质，可推出垂直平分，利用线段垂直平分线的性质可证得AH=BH，由此可证得三角形的中位线定理得到，即可得出结论；
（2）延长交于点，连接，菱形的性质推出为等边三角形，三线合一得到，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，，设，则：，勾股定理求出的长，等角的余角相等，得到，进而得到，求出的长，三角形的中位线求出的长，即可得出结果；
（3）分情况讨论：①当点在上时：由（1）可知：，，，，同时可证得，利用菱形的性质可推出，，∠ABC=∠BFE，设，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出CE的长；②当点在得延长线上时：设，可表示出AF、AE的长，易证，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；过点作，可求出BK、AK的长，然后利用勾股定理求出EK的，然后求出CE的长；综上所述，可得到CE的长.
（1）解：延长交于点，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）延长交于点，连接，
∵菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
∵为的中点，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在上时：由（1）可知：，，，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在得延长线上时：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，同①，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
在中，，
∴；
综上：或．
20．【答案】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）②作，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴当最小时，的值最大，
作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
取的中点，连接，则，，
∴当三点共线时，的值最小，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）过点作于点，根据∠ABC的余弦值设，即可得到，根据勾股定理求出AH长，再根据菱形的面积公式求出a的值解答即可；
（2）①根据菱形的性质和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可．
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