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内蒙古赤峰市巴林左旗林东第三中学2024-2025学年八年级下学期第一次学情阶段监测数学试题
一、单选题
1．使代数式有意义的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
2．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四组数：①，，1；②5，12，13；③，，；④，，．其中是勾股数的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么
D．如果两个角都是，那么这两个角相等
5．如图，在平行四边形中，、为对角线，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．60
6．如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，连接．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
10．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知点与点之间的距离是________．
12．如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为______cm．

13．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是________．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
16．某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了0.5米到处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．
17．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距50海里．

(1)求两船速度分别是多少？
(2)求客船航行方向．
18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，于点，，．求：和的长．
19．如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点．
(1)那么点对应的数是________．
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数．解决下列问题：
①如图2，在数轴上，点A表示的数是，，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点A右侧），则点表示的数为________．
②图3中画出表示的点M．（保留作图痕迹）
③若的整数部分为，小数部分为，求的值．
20．我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题来解决，那么在研究三角形时，也可把三角形转化为平行四边形的问题来解决．
(1)三角形中位线定理的证明：
已知：如图1，在中，是的中位线，求证：，且．
(2)三角形中位线定理的应用：
①如图2，的中线，相交于点，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：四边形是平行四边形．
（Ⅱ）求证：，．
②如图3，在中，，，、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则EF的最小值是________．
参考答案
1．C
【详解】解：由题意得，
解得：且，
故选：C．
2．D
【详解】解：A、只有当且时，即时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意；
B、只有当时， 才能成立，故选项不一定成立，不符合题意；
C、，只有当时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意；
D、，故选项成立，符合题意，
故选：D．
3．A
【详解】解：①，不是整数，故不是勾股数；
②∵，，，
∴，故是勾股数；
③，，，
∵，，，
∴，
故不是勾股数；
④，，不是整数，故不是勾股数；
其中是勾股数的组为②，只有1组，
故选：A．
4．C
【详解】解：A．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，故A选项不符合题意；
B．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”，是假命题，故B选项不符合题意；
C．“如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，那么”的逆命题是“如果三角形三条边满足，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，故C选项符合题意；
D．“如果两个角都是，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角都是”，是假命题，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．C
【详解】解：如图：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，，，，
∴，
故选：C．
6．C
【详解】解：A、，
，
又，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
，
，
，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，
不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵，
，
又，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．B
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图可知平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8．D
【详解】解：设点的坐标为，
分三种情况：①和为对角线时，
得，
解得：，
点的坐标为；
②和为对角线时，
得，
解得：，
点的坐标为；
③和为对角线时，
得，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是．
故选：D．
9．B
【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B
10．C
【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
观察，发现规律：
，
，
，
，
∴．
当时，，
故选：C．
11．
【详解】如图所示，取点，连接，，
∵，，
∴，，
∴在中，．
故答案是：．
12．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
13．
【详解】解：由题意有以下路线
路线一，如图1，
路线二，如图2，
路线三，如图3，
∵，
∴最短距离为．
故答案为：．
14．3或
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
16．米
【详解】解：由题意可得：米，米，米，
在中，由勾股定理得：（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：，
∴米，
答：宣传牌（）的高度为米．
17．(1)客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时
(2)客船航行的方向为北偏东10°方向
【详解】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依题意得，
．
解得，
∴，，
∴客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）由题可得，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
又∵货船沿南偏东方向航行，
∴客船航行的方向为北偏东方向．
18．，
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)①；②见解析；③
【详解】（1）解：∵圆的直径为1，
∴圆的周长为，
∵向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，
∴点对应的数是，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴由勾股定理可得，
∵，，，
∴由勾股定理可得，
∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点，
∴，
∵在数轴上，点A表示的数是，则点表示的数为；
故答案为：；
②在数轴上取点Q，表示的数为1，取点N，表示的数为2，
过点N作轴，且满足，
∴，
在中，，
以点Q为圆心、的长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，
即点M表示，如图：
③∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的整数部分为，
小数部分为，
∴
20．(1)见解析
(2)①（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；②
【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接，
∵、分别是、的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，且；
（2）解：①（Ⅰ）证明：∵的中线，相交于点，
∴，，
∴是的中位线，
∴，．
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（Ⅱ）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，．
②如图，连接，过点作于，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴当点与点重合时，有最小值为，
∴的最小值为．

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