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浙教版数学八年级下册第二次月考模拟卷（1~4章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1． “垃圾分一分，环境美十分”，下列四种垃圾回收标识为中心对称图形的是(　　).
A． B．
C． D．
2．有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（　　）
A．S甲2>S乙2 B．S甲2＜乙2 C．S甲2=S乙2 D．无法确定
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国。已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆。设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程（　　）
A． B．
C．57.5(1+m)=65.2 D．57.5(1-m)=65.2
7．某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（　　）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
8． 用反证法证明“若aA．a≤b B．a≥b C． D．
9．设是方程的两个实数根，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABCD中， ∠D=5∠CAB，在AC上取点P，使PC=BC，连接BP，过点 P作EF⊥CD交AB， CD分别于点E， F.已知BE=2， AE=x， BP=y，当x， y发生变化时，下列代数式值不变的是(　　)
A．x+y B．x-y C．xy D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．二次根式中，a的取值范围是　 　。
12．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=　 　cm.
13．为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．月份某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择　 　
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
14．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是　 　．
15．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为　 　．
16．如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A(-3，4)， B(-5，1)， C(-1，2).
（1） 画出与△ABC 关于原点对称的△A1B1C1， 写出点A1、B1的坐标
（2） 画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2.
19． 如图，在中，点E，F分别为边AB，AC的中点，延长EF到点G使.
求证：四边形EGCB是平行四边形.
20． 阅读下列材料，并解决相应问题：．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）；
（2）若a是的小数部分，求的值．
21．如图，在中，对角线相交于点分别平分与．
（1）求证：；
（2）猜想与的关系，并证明你的猜想．
22．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔.11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；
（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
23．在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）．
【数据收集】
甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14
乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12
【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表．
表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表
组别 平均数 众数 中位数 方差
甲 13 a 13 1.2
乙 13 13 b 3.4
【问题解答】
（1）填空：请直接写出表格中和的值：____，______；
（2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）；
（3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由．
24．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
3．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过七边形的一个顶点可以画出条对角线，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：观察折线统计图可得，甲的波动情况更大，乙更稳定，
∴ S甲2故答案为：B.
【分析】根据方差越大，越不稳定，数据波动情况越大，方差越小，越温度，数据波动情况越小，据此解答即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算：
A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故，不符合题意；
B、根据二次根式乘法法则，可得，不符合题意；
C、根据二次根式除法法则，可得，不符合题意；
D、与是同类二次根式，合并时系数相加、根式不变，即，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，解题的关键是熟练掌握不同运算的具体规则：同类二次根式才能进行加减运算，合并时保持根式部分不变、系数相加；二次根式乘法遵循（），系数与根式相乘需将系数平方后纳入根号内；除法遵循（）。按照上述规则分别计算四个选项，即可判断对错。
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为m
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设7月至9月的平均增长率为m，根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即，
故答案为：C．
【分析】
根据众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，结合图表即可解答．
8．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：""的反面是""，所以用反证法证明“若α故答案选：C.
【分析】反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理证明这个假设不成立，从而得出原命题成立。本题要证明，那么反证法应先假设其反面。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=
=
=
=
=；
故选：B．
【分析】将代入方程可得，根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中，
如图，在AE上取QE=BE=2，连接PQ，
∵EF⊥CD， AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=BP=y，
∵AE=x，
∴AE-AQ=QE=2，即x-y=2，
∴x， y发生变化时， x-y不变.
故答案为：B .
【分析】设再依次求出 ，由此想到在AE上取QE=BE=2，连接PQ，推出QA=QP=BP=y，进而可利用线段间的和差关系解决问题.
11．【答案】a≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义需满足a 2≥0，即a≥2，
故答案为：a≥2.
【分析】二次根式有意义，根据根号下的数大于0或等于0，即可得到a的取值范围。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学高，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
【分析】本题考查利用平均数和方差作决策．根据方差的统计学意义：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”．再观察表格中的平均数和方差，据此可决策，得到答案．
14．【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
将x=1代入，得，即，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【分析】本题根据条件先将代入方程，化简得到，最后代入所求表达式计算．
15．【答案】-50
【知识点】解二元一次方程组；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，
∴
即
∴b－4=－(2a+4)，8=a+3.
解得：a=5，b=﹣10.
∴ab=5×(－10)=－50.
故答案为：－50.
【分析】根据x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，可得 ，于是可得b－4=－(2a+4)，8=a+3.求出a，b的值，再代入ab求值即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
17．【答案】解：（1）
；
（2）将原方程左边分解因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先利用二次根式的性质和乘法运算分别化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
A1(3，-4)、B1(5，-1)
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）旋转性质作出图形即可.
19．【答案】证明：∵ E， F分别为AB， AC的中点，
∴ EF是 的中位线，
∴， ，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴ 四边形 EGCB 是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
本题考查三角形中位线定理和平行四边形的判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题关键.
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：， ；再根据中点的定义，结合EF=FG可知：，等量代换得：EG=BC，结合EG∥BC，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形EGCB是平行四边形，由此可证得结论.
20．【答案】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【分析】（1）用题目所给的方法分母有理化解答即可；
（2）根据无理数的估算得到的值，然后代入分式，利用分母有理化解答即可．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴
（2）解：，，证明如下：
由（1）可得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，从而得到，进而结合角平分线的定义即可得证结论；
（2）由（1）可得，从而得，然后根据平行四边形性质得到，进而证明，于是得到.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴；
（2）解：与平行且相等．
证明如下：
由（1）知，
∴，
∵对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与平行且相等．
22．【答案】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，由题意得：，
解得：，
个，
∴第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个。
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴A款头盔的单价上涨了10元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依据条件“ 购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个 ”，此时得出第一批购入A款头盔的数量为个；然后结合条件“ A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元 ”，则购买A种头盔20（4x+300）元，B种头盔45x元，而“ 共用去资金43500元 ”，此时即可列出方程，求解x之后再进一步计算即可得出答案；
（2）结合（1）的计算结果以及条件“ 若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个 ”，得出当A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，此时得出A款头盔的总价为（20+y）（1500-50y）元；然后“ B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加 ”，得出B款头盔的总价为元；最后“ 费的总资金比第一批增加了9000元 ”，即总花费为9000+43500元，此时即可列出方程，求解y后去正数即可。
（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
23．【答案】（1）13，13
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
【知识点】中位数；方差；众数；箱线图
【解析】【解答】解：（1）甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，可得a的值；根据中位数的定义：将一组数据从小到大排列后，数据有偶数个，取中间两个数的平均数，可得b=13，解答即可；
（2）根据箱线图和乙组数据特征分析，然后画出图形，解答即可；
（3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论．
（1）解：甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
24．【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
1 / 1浙教版数学八年级下册第二次月考模拟卷（1~4章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1． “垃圾分一分，环境美十分”，下列四种垃圾回收标识为中心对称图形的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
3．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过七边形的一个顶点可以画出条对角线，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数）分析求解即可.
4．如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（　　）
A．S甲2>S乙2 B．S甲2＜乙2 C．S甲2=S乙2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：观察折线统计图可得，甲的波动情况更大，乙更稳定，
∴ S甲2故答案为：B.
【分析】根据方差越大，越不稳定，数据波动情况越大，方差越小，越温度，数据波动情况越小，据此解答即可.
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算：
A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故，不符合题意；
B、根据二次根式乘法法则，可得，不符合题意；
C、根据二次根式除法法则，可得，不符合题意；
D、与是同类二次根式，合并时系数相加、根式不变，即，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，解题的关键是熟练掌握不同运算的具体规则：同类二次根式才能进行加减运算，合并时保持根式部分不变、系数相加；二次根式乘法遵循（），系数与根式相乘需将系数平方后纳入根号内；除法遵循（）。按照上述规则分别计算四个选项，即可判断对错。
6．根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国。已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆。设7月至9月的平均增长率为m，则可列方程（　　）
A． B．
C．57.5(1+m)=65.2 D．57.5(1-m)=65.2
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设7月至9月的平均增长率为m
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设7月至9月的平均增长率为m，根据题意建立方程即可求出答案.
7．某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（　　）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即，
故答案为：C．
【分析】
根据众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，结合图表即可解答．
8． 用反证法证明“若aA．a≤b B．a≥b C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：""的反面是""，所以用反证法证明“若α故答案选：C.
【分析】反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理证明这个假设不成立，从而得出原命题成立。本题要证明，那么反证法应先假设其反面。
9．设是方程的两个实数根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=
=
=
=
=；
故选：B．
【分析】将代入方程可得，根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
10．如图，在 ABCD中， ∠D=5∠CAB，在AC上取点P，使PC=BC，连接BP，过点 P作EF⊥CD交AB， CD分别于点E， F.已知BE=2， AE=x， BP=y，当x， y发生变化时，下列代数式值不变的是(　　)
A．x+y B．x-y C．xy D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设 则
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 中，
如图，在AE上取QE=BE=2，连接PQ，
∵EF⊥CD， AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴EF是QB的垂直平分线，
∴PQ=PB，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=BP=y，
∵AE=x，
∴AE-AQ=QE=2，即x-y=2，
∴x， y发生变化时， x-y不变.
故答案为：B .
【分析】设再依次求出 ，由此想到在AE上取QE=BE=2，连接PQ，推出QA=QP=BP=y，进而可利用线段间的和差关系解决问题.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．二次根式中，a的取值范围是　 　。
【答案】a≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义需满足a 2≥0，即a≥2，
故答案为：a≥2.
【分析】二次根式有意义，根据根号下的数大于0或等于0，即可得到a的取值范围。
12．如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
13．为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．月份某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择　 　
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学高，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
【分析】本题考查利用平均数和方差作决策．根据方差的统计学意义：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”．再观察表格中的平均数和方差，据此可决策，得到答案．
14．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是　 　．
【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
将x=1代入，得，即，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【分析】本题根据条件先将代入方程，化简得到，最后代入所求表达式计算．
15．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为　 　．
【答案】-50
【知识点】解二元一次方程组；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，
∴
即
∴b－4=－(2a+4)，8=a+3.
解得：a=5，b=﹣10.
∴ab=5×(－10)=－50.
故答案为：－50.
【分析】根据x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，可得 ，于是可得b－4=－(2a+4)，8=a+3.求出a，b的值，再代入ab求值即可.
16．如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
；
（2）将原方程左边分解因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先利用二次根式的性质和乘法运算分别化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A(-3，4)， B(-5，1)， C(-1，2).
（1） 画出与△ABC 关于原点对称的△A1B1C1， 写出点A1、B1的坐标
（2） 画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
A1(3，-4)、B1(5，-1)
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）旋转性质作出图形即可.
19． 如图，在中，点E，F分别为边AB，AC的中点，延长EF到点G使.
求证：四边形EGCB是平行四边形.
【答案】证明：∵ E， F分别为AB， AC的中点，
∴ EF是 的中位线，
∴， ，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴ 四边形 EGCB 是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
本题考查三角形中位线定理和平行四边形的判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题关键.
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：， ；再根据中点的定义，结合EF=FG可知：，等量代换得：EG=BC，结合EG∥BC，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形EGCB是平行四边形，由此可证得结论.
20． 阅读下列材料，并解决相应问题：．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）；
（2）若a是的小数部分，求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【分析】（1）用题目所给的方法分母有理化解答即可；
（2）根据无理数的估算得到的值，然后代入分式，利用分母有理化解答即可．
21．如图，在中，对角线相交于点分别平分与．
（1）求证：；
（2）猜想与的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴
（2）解：，，证明如下：
由（1）可得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，从而得到，进而结合角平分线的定义即可得证结论；
（2）由（1）可得，从而得，然后根据平行四边形性质得到，进而证明，于是得到.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴；
（2）解：与平行且相等．
证明如下：
由（1）知，
∴，
∵对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与平行且相等．
22．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔.11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；
（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
【答案】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，由题意得：，
解得：，
个，
∴第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个。
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴A款头盔的单价上涨了10元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依据条件“ 购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个 ”，此时得出第一批购入A款头盔的数量为个；然后结合条件“ A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元 ”，则购买A种头盔20（4x+300）元，B种头盔45x元，而“ 共用去资金43500元 ”，此时即可列出方程，求解x之后再进一步计算即可得出答案；
（2）结合（1）的计算结果以及条件“ 若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个 ”，得出当A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，此时得出A款头盔的总价为（20+y）（1500-50y）元；然后“ B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加 ”，得出B款头盔的总价为元；最后“ 费的总资金比第一批增加了9000元 ”，即总花费为9000+43500元，此时即可列出方程，求解y后去正数即可。
（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
23．在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）．
【数据收集】
甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14
乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12
【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表．
表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表
组别 平均数 众数 中位数 方差
甲 13 a 13 1.2
乙 13 13 b 3.4
【问题解答】
（1）填空：请直接写出表格中和的值：____，______；
（2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）；
（3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由．
【答案】（1）13，13
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
【知识点】中位数；方差；众数；箱线图
【解析】【解答】解：（1）甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，可得a的值；根据中位数的定义：将一组数据从小到大排列后，数据有偶数个，取中间两个数的平均数，可得b=13，解答即可；
（2）根据箱线图和乙组数据特征分析，然后画出图形，解答即可；
（3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论．
（1）解：甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
24．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
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