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浙教版数学八年级下册第二次月考卷（1~4章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B 、此选项中的剪纸图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C 、此选项中的剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意；
D 、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．有意义的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】据题意得：，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法．
3．如图是六边形ABCDEF，则该图形的对角线的条数是(　　)
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：边形的对角线的条数．
故答案为：B．
【分析】本题考查多边形的对角线.根据：边形对角线的总条数为：（，且为整数），找出图形中多边形的边数，代入数据可求出答案．
4．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定
B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定
C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定
D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定
【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高；
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图结合方差的的定义，进而即可求解。
5．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，原选项计算正确；
B、，原选项计算正确；
C、和不是同类二次根式，不能直接相加，因此原选项计算错误；
D、，原选项计算正确；
故答案为：C．
【分析】本题根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法以及二次根式的乘方，逐个选项进行分析计算，即可得出答案。
6．由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现不同程度的下滑现象，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车去年 10月份售价为23万元，12月份售价为18.63 万元.设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是 (　　)
A．23(1-2x)=18.63 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，
由题意得：，
故选：D．
【分析】由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可．
7．一组数据的众数为，则这组数据的中位数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：一组数据的众数为，
，
这组数据从小到大排列为，
中位数为，
故选：B．
【分析】根据众数定义可得x=6，再根据中位数定义即可求出答案.
8．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中（　　）
A．内角都不小于60° B．锐角都不大于60°
C．内角都小于60° D．锐角都大于60°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中 内角都小于60°.
故答案为：C.
【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立.
9．若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“，”可得a+b、ab的值，根据方程的根的定义可得a2-5a的值，然后整体代换即可求解．
10．如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若 则 　 　.
【答案】2
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴
．
故答案为：2.
【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可．
12．如图，在四边形中，，连接，点E，F分别是的中点，，则　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴；
故答案为：4．
【分析】
先由三角形中位线定理得EF等于AB的一半，再利用勾股定理求出AB即可．
13． 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是　 　．
序号 分组情况 组内离差平方和
① 第一组1个，第二组3个 44
② 第一组2个，第二组2个 28
③ 第一组3个，第二组1个 16.67
【答案】③
【知识点】按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组.
比较表格中三组的组内离差平方和，得，
因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组.
故答案为：③ .
【分析】根据组内离差平方和的意义“最优分组对应组内离差平方和最小”解答即可.
14．如果是一元二次方程的解，则　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得，即a+2b=1，
∴2a+4b+2023
=2（a+2b）+2023
=2×1+2023
=2025.
故答案为：．
【分析】把x=1代入方程得出a+2b=1，再利用整体代入的方法计算即可．
15．如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：四块图形拼成一个正方形如图所示，边长为，
拼成的正方形边长为，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去）．
故答案为：．
【分析】先画出图形，再根据根据剪拼前后两个图形的面积不变列式，进而得出答案．
16．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
【分析】
先由等腰三角形三线合一可得AM垂直BC，再由直角三角形两锐角互余可得 ，由等边对等角结合三角形外角性质可得，设，由平行四边形的性质可得，再利用证明，则，再利用勾股定理求出，则的长可得．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（1）计算：；
（2）从下列①②③中任选一组b，c的值代入方程：，并求解此方程．
①； ②；③．
【答案】解：（1）
；
（2）当选①时，这个方程为，
因式分解得，
即或，
解得，；
当选②时，这个方程为，
因式分解得，
解得；
当选③时，这个方程为，
，
此方程没有实数根．
【知识点】零指数幂；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)本题考察实数的综合运算，涉及算术平方根、有理数乘法和零指数幂的运算规则。首先分别计算各项：是求4的算术平方根，结果为2；按照有理数乘法法则计算，结果为-2；根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1，因此结果为1；最后将三项结果相加，得出最终答案。
(2)本题考察一元二次方程的求解，涉及因式分解法和根的判别式的应用。若选①，将、代入方程得，提取公因式进行因式分解，得到，令每个因式为零，解得、；若选②，代入得，该方程符合完全平方公式，因式分解为，解得两个相等的实数根；若选③，代入得，计算根的判别式，因为判别式小于0，所以该方程没有实数根。
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
（1）请画出关于原点成中心对称的；
（2）请画出将绕原点顺时针旋转后得到的；
（3）在（2）的基础上求出点所经路径的长度．
【答案】（1）解：如图：即为所求作的三角形．
（2）解：如图：即为所求作的三角形．
（3）解：弧的圆心角为，半径为 ，
弧的长度为，
故点所经路径的长度为．
【知识点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（1）根据旋转性质作图即可.
（3）根据弧长公式即可求出答案.
（1）解：如图：即为所求作的三角形．
（2）解：如图：即为所求作的三角形．
（3）弧的圆心角为，半径为 ，
弧的长度为，
故点所经路径的长度为．
19．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m）
（2）解：购买地砖需要花费＝
＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)利用长方形的周长公式表示出长方形ABCD的周长，再通过二次根式的性质进行化简.
(2)利用割补法计算出通道的面积，再计算出地砖面积.
20．如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE并延长，与 DC的延长线交于 F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD， ∠D=60°， AD=8，求 ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE的延长线与DC的延长线交于F，
∴AB∥FC，
∴∠BAE=∠CFE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
（2）解： ∵四边形ABFC和四边形ABCD都是
平行四边形，
∴FC=AB=DC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴FD=AD=8，
∴AB+BC+DC+AD=4+8+4+8=24，
∴ ABCD的周长为24.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由点E是BC边的中点，得BE=CE，由平行四边形的性质得 则 而 可根据“AAS”证明 得AB=FC，即可得到结论.
(2)由平行四边形的性质得 FC=AB=DC， 由∠ 推导出 则FD=AD=8， 所以BC=AD=8， 求得 的周长即可.
21．如图所示，在 ABCD中，过BD 的中点O任意作一条直线l，分别交AD，BC于点 E，F.
（1）OE与OF 相等吗 试说明理由；
（2）若直线 l分别交 BA 和 DC 的延长线于点 M，N，则 OM 与 ON 相等吗 试说明理由；
（3）由（1）（2）你发现了什么 用语言表述出来.
【答案】（1）解：OE=OF.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴OB=OD，AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF.
在△ODE和△OBF中，∵
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴OE=OF
（2）解：OM=ON.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBM=∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∵
∴△OBM≌△ODN(ASA)，
∴OM=ON
（3）解：过平行四边形对角线中点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边(或其延长线)相交，所得每组对边的交点到对角线中点的距离相等
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1) 根据平行四边形的性质，根据ASA证明△ODE≌△OBF，即可得到结论；
(2) 根据平行四边形的性质，利用ASA得到△OBM≌△ODN，即可证明结论；
(3)结合(1)(2)的结论，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
22． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．
（1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．
（2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为，根据“1月份的销售量3月份销售量”列方程求出x的值解答即可；
（2）设售价降低元，根据“总利润单件利润销售量”列方程求出y的值解答即可．
23．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88.
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　，b=　 　，c=　 　，m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
【答案】（1）84；72；83；30
（2）八
（3）解：由题意可得：
(人)
∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：（1）样本中七年级D组人数为：20×10%=2（人)，C组人数为：20×25%=5(人)
把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84，
故中位数
八年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，84，
故中位数
排在第5个数是72，故下四分位数b=72
m=30
故答案为：84，72，83，30；
（2）因为两个年级的平均数相同，但八年级的方差比七年级小，成绩更稳定，
所以选八年级更合适
故答案为：八
【分析】（1）根据中位数，下四分位数的定义可得a，b，c值，再根据1减去其他组的占比可得m值.
（2）根据方差的意义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应的占比即可求出答案.
24．如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接．
（1）求证：平分．
（2）如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积．
（3）如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点．
【答案】（1）证明：如图1所示
由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）解：如图所示，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）解：如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；平行四边形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知，则，由于平行四边形的对边平行，则，等量代换即可；
（2）过C作，因为，则，，由平行四边形的性质知，结合（1）中的结论得，即，由等腰三角形三线合一得，可利用勾股定理求出，则；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，，利用等面积法可得，则，又因为垂直于同一条直线的两条直线平行，则，则四边形是平行四边形，故结论成立．
（1）由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）如图，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
1 / 1浙教版数学八年级下册第二次月考卷（1~4章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．有意义的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是六边形ABCDEF，则该图形的对角线的条数是(　　)
A．6 B．9 C．12 D．18
4．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定
B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定
C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定
D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定
5．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现不同程度的下滑现象，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车去年 10月份售价为23万元，12月份售价为18.63 万元.设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是 (　　)
A．23(1-2x)=18.63 B．
C． D．
7．一组数据的众数为，则这组数据的中位数为（　　）
A． B． C． D．
8．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中（　　）
A．内角都不小于60° B．锐角都不大于60°
C．内角都小于60° D．锐角都大于60°
9．若a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若 则 　 　.
12．如图，在四边形中，，连接，点E，F分别是的中点，，则　 　．
13． 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是　 　．
序号 分组情况 组内离差平方和
① 第一组1个，第二组3个 44
② 第一组2个，第二组2个 28
③ 第一组3个，第二组1个 16.67
14．如果是一元二次方程的解，则　 　．
15．如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于　 　．
16．如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为　 　．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17．（1）计算：；
（2）从下列①②③中任选一组b，c的值代入方程：，并求解此方程．
①； ②；③．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图：
（1）请画出关于原点成中心对称的；
（2）请画出将绕原点顺时针旋转后得到的；
（3）在（2）的基础上求出点所经路径的长度．
19．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
20．如图，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连结AE并延长，与 DC的延长线交于 F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD， ∠D=60°， AD=8，求 ABCD的周长.
21．如图所示，在 ABCD中，过BD 的中点O任意作一条直线l，分别交AD，BC于点 E，F.
（1）OE与OF 相等吗 试说明理由；
（2）若直线 l分别交 BA 和 DC 的延长线于点 M，N，则 OM 与 ON 相等吗 试说明理由；
（3）由（1）（2）你发现了什么 用语言表述出来.
22． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．
（1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．
（2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
23．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88.
八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a c
方差 278.9 134.7
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=　 　，b=　 　，c=　 　，m=　 　；
（2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选　 　年级更合适（填“七”或“八”）；
（3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
24．如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接．
（1）求证：平分．
（2）如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积．
（3）如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B 、此选项中的剪纸图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C 、此选项中的剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意；
D 、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】据题意得：，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法．
3．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：边形的对角线的条数．
故答案为：B．
【分析】本题考查多边形的对角线.根据：边形对角线的总条数为：（，且为整数），找出图形中多边形的边数，代入数据可求出答案．
4．【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高；
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图结合方差的的定义，进而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，原选项计算正确；
B、，原选项计算正确；
C、和不是同类二次根式，不能直接相加，因此原选项计算错误；
D、，原选项计算正确；
故答案为：C．
【分析】本题根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法以及二次根式的乘方，逐个选项进行分析计算，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，
由题意得：，
故选：D．
【分析】由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可．
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：一组数据的众数为，
，
这组数据从小到大排列为，
中位数为，
故选：B．
【分析】根据众数定义可得x=6，再根据中位数定义即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中 内角都小于60°.
故答案为：C.
【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“，”可得a+b、ab的值，根据方程的根的定义可得a2-5a的值，然后整体代换即可求解．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
11．【答案】2
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴
．
故答案为：2.
【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可．
12．【答案】4
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴；
故答案为：4．
【分析】
先由三角形中位线定理得EF等于AB的一半，再利用勾股定理求出AB即可．
13．【答案】③
【知识点】按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组.
比较表格中三组的组内离差平方和，得，
因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组.
故答案为：③ .
【分析】根据组内离差平方和的意义“最优分组对应组内离差平方和最小”解答即可.
14．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得，即a+2b=1，
∴2a+4b+2023
=2（a+2b）+2023
=2×1+2023
=2025.
故答案为：．
【分析】把x=1代入方程得出a+2b=1，再利用整体代入的方法计算即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：四块图形拼成一个正方形如图所示，边长为，
拼成的正方形边长为，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去）．
故答案为：．
【分析】先画出图形，再根据根据剪拼前后两个图形的面积不变列式，进而得出答案．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，M是的中点，
设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，或 (舍去），
∴．
故答案为：2
【分析】
先由等腰三角形三线合一可得AM垂直BC，再由直角三角形两锐角互余可得 ，由等边对等角结合三角形外角性质可得，设，由平行四边形的性质可得，再利用证明，则，再利用勾股定理求出，则的长可得．
17．【答案】解：（1）
；
（2）当选①时，这个方程为，
因式分解得，
即或，
解得，；
当选②时，这个方程为，
因式分解得，
解得；
当选③时，这个方程为，
，
此方程没有实数根．
【知识点】零指数幂；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)本题考察实数的综合运算，涉及算术平方根、有理数乘法和零指数幂的运算规则。首先分别计算各项：是求4的算术平方根，结果为2；按照有理数乘法法则计算，结果为-2；根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1，因此结果为1；最后将三项结果相加，得出最终答案。
(2)本题考察一元二次方程的求解，涉及因式分解法和根的判别式的应用。若选①，将、代入方程得，提取公因式进行因式分解，得到，令每个因式为零，解得、；若选②，代入得，该方程符合完全平方公式，因式分解为，解得两个相等的实数根；若选③，代入得，计算根的判别式，因为判别式小于0，所以该方程没有实数根。
18．【答案】（1）解：如图：即为所求作的三角形．
（2）解：如图：即为所求作的三角形．
（3）解：弧的圆心角为，半径为 ，
弧的长度为，
故点所经路径的长度为．
【知识点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（1）根据旋转性质作图即可.
（3）根据弧长公式即可求出答案.
（1）解：如图：即为所求作的三角形．
（2）解：如图：即为所求作的三角形．
（3）弧的圆心角为，半径为 ，
弧的长度为，
故点所经路径的长度为．
19．【答案】（1）解：长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m）
（2）解：购买地砖需要花费＝
＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)利用长方形的周长公式表示出长方形ABCD的周长，再通过二次根式的性质进行化简.
(2)利用割补法计算出通道的面积，再计算出地砖面积.
20．【答案】（1）证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE的延长线与DC的延长线交于F，
∴AB∥FC，
∴∠BAE=∠CFE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=FC，
∴四边形ABFC是平行四边形.
（2）解： ∵四边形ABFC和四边形ABCD都是
平行四边形，
∴FC=AB=DC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴FD=AD=8，
∴AB+BC+DC+AD=4+8+4+8=24，
∴ ABCD的周长为24.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由点E是BC边的中点，得BE=CE，由平行四边形的性质得 则 而 可根据“AAS”证明 得AB=FC，即可得到结论.
(2)由平行四边形的性质得 FC=AB=DC， 由∠ 推导出 则FD=AD=8， 所以BC=AD=8， 求得 的周长即可.
21．【答案】（1）解：OE=OF.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴OB=OD，AD∥BC，∴∠ODE=∠OBF.
在△ODE和△OBF中，∵
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴OE=OF
（2）解：OM=ON.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBM=∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∵
∴△OBM≌△ODN(ASA)，
∴OM=ON
（3）解：过平行四边形对角线中点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边(或其延长线)相交，所得每组对边的交点到对角线中点的距离相等
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1) 根据平行四边形的性质，根据ASA证明△ODE≌△OBF，即可得到结论；
(2) 根据平行四边形的性质，利用ASA得到△OBM≌△ODN，即可证明结论；
(3)结合(1)(2)的结论，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
22．【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为，根据“1月份的销售量3月份销售量”列方程求出x的值解答即可；
（2）设售价降低元，根据“总利润单件利润销售量”列方程求出y的值解答即可．
23．【答案】（1）84；72；83；30
（2）八
（3）解：由题意可得：
(人)
∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有293人
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：（1）样本中七年级D组人数为：20×10%=2（人)，C组人数为：20×25%=5(人)
把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84，
故中位数
八年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，84，
故中位数
排在第5个数是72，故下四分位数b=72
m=30
故答案为：84，72，83，30；
（2）因为两个年级的平均数相同，但八年级的方差比七年级小，成绩更稳定，
所以选八年级更合适
故答案为：八
【分析】（1）根据中位数，下四分位数的定义可得a，b，c值，再根据1减去其他组的占比可得m值.
（2）根据方差的意义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应的占比即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：如图1所示
由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）解：如图所示，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）解：如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；平行四边形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知，则，由于平行四边形的对边平行，则，等量代换即可；
（2）过C作，因为，则，，由平行四边形的性质知，结合（1）中的结论得，即，由等腰三角形三线合一得，可利用勾股定理求出，则；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，，利用等面积法可得，则，又因为垂直于同一条直线的两条直线平行，则，则四边形是平行四边形，故结论成立．
（1）由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）如图，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
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