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青海省西宁市城区2021年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．- 的相反数是（　　）
A． B．- C． D．-
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】根据相反数的定义知：- 的相反数是 .
故答案为：A．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数。根据这个定义可得-的相反数是。
2． 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．四棱柱
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵主视图和左视图均为矩形，
∴该几何体为柱体，
∵俯视图为圆，
∴该几何体为圆柱，
故答案为：C.
【分析】根据主视图和左视图确定该几何体是柱体还是锥体，然后根据俯视图确定答案即可.
3．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数的加法
【解析】【解答】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ．
故答案为：B．
【分析】根据题意给出的规律即可求解。
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、平行四边形是中心对答图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称.
5． 下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．a分式
C．数据6，3，10的中位数是3
D．第七次全国人口普查是全面调查
【答案】D
【知识点】分式的概念；中位数；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、是单项式，单项式是整式，故原命题错误是假命题，不符合题意；
C、数据6，3，10的中位数是6，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别根据平行线性质、分式定义、中位数计算方法及调查方式的知识，判断各命题真假，选出真命题.
6．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米.设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
2019年用水总量为 亿立方米，
2020年用水总量为 亿立方米，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据2018年用水总量×(1-x)2=2020年用水总量就可列出关于x的方程.
7． 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10.
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD， BC⊥OE， 且OF=OD=OE=r，
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴，
∴，
∵∠C=90°，∠OFC=∠OEC=90°，OF=OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE=90°，
∴，
故答案为：C.
【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形OFCE是正方形，得即可求解.
8． 如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图2可知，AB=acm，BC=4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴，即，
解得a=3cm.
即AB的长为3cm.
故答案为：B.
【分析】由图2可知，AB=acm，BC=4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，利用三角形的面积公式即可求解.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9．9的算术平方根是 　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
10．解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求.2020年中国粮食总产量达到657 000 000吨，已成为世界粮食第一大国．将657 000 000用科学记数法表示为　 　．
【答案】6.57×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将657 000 000用科学记数法表示为6.57×108．
故答案为：6.57×108．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
11．十二边形的内角和为 　 　度．
【答案】1800
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意可得：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800.
【分析】利用多边形的内角和公式（n-2）×180°列出算式求解即可.
12． 计算：（2a2）3-6a2 a4＝　 　．
【答案】2a6
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：(2a2)3-6a2·a4
=8a6-6a6
=2a6
故答案为：2a6.
【分析】先根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，再合并同类项即可.
13．从 ，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线 的开口向上的概率是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线 的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为 ；
故答案为： .
【分析】先得出从5个数中任取一个的可能结果数，再找出使抛物线 的开口向上的结果数，然后计算概率即可.
14． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由题意，设半径为r，
则OC=OB=r
∵BE=2，
∴OE=r-2，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴点E是CD的中点，
∵CD=10.
∴
在直角△OCE中，由勾股定理得OC2=CE2+OE2，
即，r2=52+(r-2)2.
解得：
故答案为：.
【分析】设半径为r，则OC=OB=r，得到OE=r-2，由垂径定理得到CE=5，再根据勾股定理，即可求出答案.
15． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设点A到BC的距离是h.
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴BC=2AE=15.
∵D、E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=9.
由勾股定理，得.
则，
解得
故答案为：.
【分析】根据直角三角形的性质求出BC的长，根据三角形中代线定理求出AC的长，根据幻股定理求出AB的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案.
16．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2，-1)，若AB∥y轴，且AB=9，则点B的坐标是　 　.
【答案】(2，8)或(2，-10)
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解： ∵点的坐标是，轴，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为或，
∴点的坐标为或，
故答案为：或．
【分析】本题主要考查点的坐标和坐标与图形的性质，根据题意可得点的纵标为2，横坐标有两个结果 或，故可得出点的坐标．
17． 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM. AD是BC边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值，
∵△ABC是等边三角形，AB=6，N是AB的中点，
∴AC=AB=6，，CN⊥AB，
∴
即BM+MN的最小值为
故答案为：.
【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案.
18． 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据题意，在矩形ABCD中，则AB=CD， BC=AD， ∠A=∠EDG=90°，
∵E为D的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG，
∵CE⊥FG，
∴CG=CF=5，
∴
∴
在直角△BCF中，由勾股定理则，
∴AD=3，
∴
在直角△AEF中，由勾股定理则
故答案为：.
【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出CG=CF=5，然后得到，则BF=4，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出EF的长度.
三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每小题4分，第21、22题每小题4分，第23、24、25题每小题4分，第26、27题每小题4分，第2题12分，共76分解答时将必要的文字说明证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）
19． 计算：.
【答案】解：原式＝4+2-3
＝6-3
＝3
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；绝对值的概念与意义
【解析】【分析】根据乘方运算法则、负整数指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案.
20．解方程：
【答案】解：移项，得，
因式分解，得 ，
于是，得或，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
21．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据平方差公式、完全平方公式及二次根式的性质分别计算，再计算有理数的加减法得出答案.
22．解方程：
【答案】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得：
（x+1）2﹣4=（x+1）（x﹣1），
整理得：2x﹣2=0，
解得：x=1.
检验：当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0，所以x=1是增根，应舍去，∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先找出最简公分母，然后去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可.
23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长．
【答案】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，
∴OB=EC，OC=EB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形OBEC的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形OBEC是平行四边形，再结合∠BOC=90°，即可得到平行四边形OBEC是矩形；
（2）先证明，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得OC的长，最后利用矩形的周长公式可得答案。
24． 如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC＝，OC＝3．
（1）求OB的长和反比例函数的解析式；
（2）将△AOB绕点O旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．
【答案】（1）解：∵轴于点B，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴点A的横坐标为2，
又点A在正比例函数的图象上，
，
，
把A(2，1)代入得，
，
反比例函数的解析式是
（2）（1，-2）或（-1，2）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(2)若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'（1，-2），
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'（-1，2）.
故答案为：（1，-2）或（-1，2）.
【分析】(1)由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
(2)根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案.
25． 某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98 88 90 72 100 78 95 92 100 99
84 92 75 100 85 90 93 93 70 92
78 89 91 83 93 98 88 85 90 100
（1）本次抽样调查的样本容量是　 　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是　 　；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
【答案】（1）30；0.6
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，
∴抽到的两位同学都在九年级的概率为＝，
所有等可能结果为：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数与频率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)本次抽样调查的样本容量是30，样本数据中成绩为"优秀"的频率是18÷30=0.6，
故答案为：30，0.6.
【分析】(1)由样本容量好频率的定义求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，再由概率公式求解即可.
26． 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BC∥DF，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB＝90°，
即∠ADF＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线
（2）解：∵AB＝AC＝12，AF＝15，
∴BF＝AF-AB＝3，
∵∠F＝∠F，∠FBD＝∠FDA＝90°，
∴△FBD∽△FDA，
∴BF：DF＝DF：AF，
∴DF2＝BF×AF＝3×15＝45，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90°，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得∠ABC=∠C，∠ADB=∠C，则∠ABC=∠ADB，然后由平行线的性质得∠CBD=∠FDB，则∠AOB+∠FDB=90°，即∠ADF=90°，即可得出结论；
(2)证△FBD∽△FDA，得：BF：DF＝DF：AF，则DF2=BF·AF，即可求解.
27． 城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：
型号 载客量（人/辆） 租金单价（元/辆）
A 16 900
B 22 1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
【答案】（1）解：y＝900x+1200（10-x）＝-300x+12000，
∴y＝-300x+12000；
（2）解：根据题意，得-300x+12000≤11800，
解得：x≥，
∵x应为正整数，
∴x≥1，
∴A型客车至少需租1辆
（3）解： 根据题意，得 ，
解得，
结合（2）的条件，，
∵x应为正整数，
∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种，
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案一：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案一：A型客车租3辆，B型客车租7辆；
∵y＝-300x+12000，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据租车总费用=每辆A型号客车的租金单价×租车辆数+每辆B型号客车的租金单价×租车辆数，即可得出y与x之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x≤10可求出x的取值范围；
(2)由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案；
(3)由题意得出16x+22(10-x)≥200，求出x的取值范围，分析得出即可.
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(-2，0)，抛物线经过A，B，C三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO=∠DAO，求证：OB=OD.
（3）在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大 若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令y=0，则解得x=6，
令x=0，则y=3，∴A(6，0)，B(0，3).
设抛物线的解析式为
把A，B，C三点的坐标代入解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，
∴∠BOA=∠DOA=90°，
在△BOA和△DOA中
∴△BOA≌△DOA(ASA)，
∴OB=OD.
（3）解：存在.理由如下：
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴点E的横坐标是2，即EM=2.
∵B(0，3)，∴OB=OD=3，∴BD=6.
∵A(6，0)，∴OA=6，
设点P的坐标为连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作BH2⊥PN于点H2，
0抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当t=3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，
∴四边形BEAP面积的最大值为
∴当点P的坐标是(3，)时，四边形BEAP的面积可取得最大值，最大值为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由直线求得A，B两点坐标，再由待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)证明出 即可；
(3)根据 面积最大时，四边形BEAP的面积最大，先设点P的坐标为 表示出 即可得出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值.
1 / 1青海省西宁市城区2021年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．- 的相反数是（　　）
A． B．- C． D．-
2． 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．四棱柱
3．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（　　）
A． B． C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．菱形
5． 下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．a分式
C．数据6，3，10的中位数是3
D．第七次全国人口普查是全面调查
6．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米.设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7． 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8． 如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（　　）
A．cm B．3cm C．4cm D．6cm
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9．9的算术平方根是 　 　．
10．解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求.2020年中国粮食总产量达到657 000 000吨，已成为世界粮食第一大国．将657 000 000用科学记数法表示为　 　．
11．十二边形的内角和为 　 　度．
12． 计算：（2a2）3-6a2 a4＝　 　．
13．从 ，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线 的开口向上的概率是　 　.
14． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 　．
15． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE，若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 　 　．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2，-1)，若AB∥y轴，且AB=9，则点B的坐标是　 　.
17． 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 　 　．
18． 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝　 　．
三、解答题（本大题共10小题，第19、20题每小题4分，第21、22题每小题4分，第23、24、25题每小题4分，第26、27题每小题4分，第2题12分，共76分解答时将必要的文字说明证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）
19． 计算：.
20．解方程：
21．计算：．
22．解方程：
23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长．
24． 如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC＝，OC＝3．
（1）求OB的长和反比例函数的解析式；
（2）将△AOB绕点O旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．
25． 某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当x≥90时为优秀，75≤x＜90时为良好，60≤x＜75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如表：
98 88 90 72 100 78 95 92 100 99
84 92 75 100 85 90 93 93 70 92
78 89 91 83 93 98 88 85 90 100
（1）本次抽样调查的样本容量是　 　，样本数据中成绩为“优秀”的频率是　 　；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．
26． 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知AC＝12，AF＝15，求DF的长．
27． 城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如表：
型号 载客量（人/辆） 租金单价（元/辆）
A 16 900
B 22 1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(-2，0)，抛物线经过A，B，C三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO=∠DAO，求证：OB=OD.
（3）在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大 若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】根据相反数的定义知：- 的相反数是 .
故答案为：A．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数。根据这个定义可得-的相反数是。
2．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵主视图和左视图均为矩形，
∴该几何体为柱体，
∵俯视图为圆，
∴该几何体为圆柱，
故答案为：C.
【分析】根据主视图和左视图确定该几何体是柱体还是锥体，然后根据俯视图确定答案即可.
3．【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数的加法
【解析】【解答】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ．
故答案为：B．
【分析】根据题意给出的规律即可求解。
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、平行四边形是中心对答图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称.
5．【答案】D
【知识点】分式的概念；中位数；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、是单项式，单项式是整式，故原命题错误是假命题，不符合题意；
C、数据6，3，10的中位数是6，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、第七次全国人口普查是全面调查，正确，是真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别根据平行线性质、分式定义、中位数计算方法及调查方式的知识，判断各命题真假，选出真命题.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
2019年用水总量为 亿立方米，
2020年用水总量为 亿立方米，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据2018年用水总量×(1-x)2=2020年用水总量就可列出关于x的方程.
7．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10.
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD， BC⊥OE， 且OF=OD=OE=r，
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴，
∴，
∵∠C=90°，∠OFC=∠OEC=90°，OF=OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE=90°，
∴，
故答案为：C.
【分析】连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形OFCE是正方形，得即可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图2可知，AB=acm，BC=4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴，即，
解得a=3cm.
即AB的长为3cm.
故答案为：B.
【分析】由图2可知，AB=acm，BC=4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，利用三角形的面积公式即可求解.
9．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
10．【答案】6.57×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将657 000 000用科学记数法表示为6.57×108．
故答案为：6.57×108．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
11．【答案】1800
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意可得：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800.
【分析】利用多边形的内角和公式（n-2）×180°列出算式求解即可.
12．【答案】2a6
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：(2a2)3-6a2·a4
=8a6-6a6
=2a6
故答案为：2a6.
【分析】先根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，再合并同类项即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线 的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为 ；
故答案为： .
【分析】先得出从5个数中任取一个的可能结果数，再找出使抛物线 的开口向上的结果数，然后计算概率即可.
14．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由题意，设半径为r，
则OC=OB=r
∵BE=2，
∴OE=r-2，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴点E是CD的中点，
∵CD=10.
∴
在直角△OCE中，由勾股定理得OC2=CE2+OE2，
即，r2=52+(r-2)2.
解得：
故答案为：.
【分析】设半径为r，则OC=OB=r，得到OE=r-2，由垂径定理得到CE=5，再根据勾股定理，即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设点A到BC的距离是h.
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴BC=2AE=15.
∵D、E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=9.
由勾股定理，得.
则，
解得
故答案为：.
【分析】根据直角三角形的性质求出BC的长，根据三角形中代线定理求出AC的长，根据幻股定理求出AB的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案.
16．【答案】(2，8)或(2，-10)
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解： ∵点的坐标是，轴，且，
∴点的横坐标为，纵坐标为或，
∴点的坐标为或，
故答案为：或．
【分析】本题主要考查点的坐标和坐标与图形的性质，根据题意可得点的纵标为2，横坐标有两个结果 或，故可得出点的坐标．
17．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM. AD是BC边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值，
∵△ABC是等边三角形，AB=6，N是AB的中点，
∴AC=AB=6，，CN⊥AB，
∴
即BM+MN的最小值为
故答案为：.
【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据题意，在矩形ABCD中，则AB=CD， BC=AD， ∠A=∠EDG=90°，
∵E为D的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG，
∵CE⊥FG，
∴CG=CF=5，
∴
∴
在直角△BCF中，由勾股定理则，
∴AD=3，
∴
在直角△AEF中，由勾股定理则
故答案为：.
【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出CG=CF=5，然后得到，则BF=4，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出EF的长度.
19．【答案】解：原式＝4+2-3
＝6-3
＝3
【知识点】负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；绝对值的概念与意义
【解析】【分析】根据乘方运算法则、负整数指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案.
20．【答案】解：移项，得，
因式分解，得 ，
于是，得或，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。
21．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据平方差公式、完全平方公式及二次根式的性质分别计算，再计算有理数的加减法得出答案.
22．【答案】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得：
（x+1）2﹣4=（x+1）（x﹣1），
整理得：2x﹣2=0，
解得：x=1.
检验：当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0，所以x=1是增根，应舍去，∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先找出最简公分母，然后去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可.
23．【答案】（1）证明：∵△BOC≌△CEB，
∴OB=EC，OC=EB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形OBEC的周长．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形OBEC是平行四边形，再结合∠BOC=90°，即可得到平行四边形OBEC是矩形；
（2）先证明，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得OC的长，最后利用矩形的周长公式可得答案。
24．【答案】（1）解：∵轴于点B，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴点A的横坐标为2，
又点A在正比例函数的图象上，
，
，
把A(2，1)代入得，
，
反比例函数的解析式是
（2）（1，-2）或（-1，2）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(2)若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'（1，-2），
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'（-1，2）.
故答案为：（1，-2）或（-1，2）.
【分析】(1)由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
(2)根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案.
25．【答案】（1）30；0.6
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，
∴抽到的两位同学都在九年级的概率为＝，
所有等可能结果为：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数与频率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)本次抽样调查的样本容量是30，样本数据中成绩为"优秀"的频率是18÷30=0.6，
故答案为：30，0.6.
【分析】(1)由样本容量好频率的定义求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两位同学都在九年级的结果有2种，即BA，AB，再由概率公式求解即可.
26．【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
即∠ABC+∠CBD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BC∥DF，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB＝90°，
即∠ADF＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线
（2）解：∵AB＝AC＝12，AF＝15，
∴BF＝AF-AB＝3，
∵∠F＝∠F，∠FBD＝∠FDA＝90°，
∴△FBD∽△FDA，
∴BF：DF＝DF：AF，
∴DF2＝BF×AF＝3×15＝45，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90°，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得∠ABC=∠C，∠ADB=∠C，则∠ABC=∠ADB，然后由平行线的性质得∠CBD=∠FDB，则∠AOB+∠FDB=90°，即∠ADF=90°，即可得出结论；
(2)证△FBD∽△FDA，得：BF：DF＝DF：AF，则DF2=BF·AF，即可求解.
27．【答案】（1）解：y＝900x+1200（10-x）＝-300x+12000，
∴y＝-300x+12000；
（2）解：根据题意，得-300x+12000≤11800，
解得：x≥，
∵x应为正整数，
∴x≥1，
∴A型客车至少需租1辆
（3）解： 根据题意，得 ，
解得，
结合（2）的条件，，
∵x应为正整数，
∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种，
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案一：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案一：A型客车租3辆，B型客车租7辆；
∵y＝-300x+12000，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据租车总费用=每辆A型号客车的租金单价×租车辆数+每辆B型号客车的租金单价×租车辆数，即可得出y与x之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x≤10可求出x的取值范围；
(2)由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案；
(3)由题意得出16x+22(10-x)≥200，求出x的取值范围，分析得出即可.
28．【答案】（1）解：令y=0，则解得x=6，
令x=0，则y=3，∴A(6，0)，B(0，3).
设抛物线的解析式为
把A，B，C三点的坐标代入解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，
∴∠BOA=∠DOA=90°，
在△BOA和△DOA中
∴△BOA≌△DOA(ASA)，
∴OB=OD.
（3）解：存在.理由如下：
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴点E的横坐标是2，即EM=2.
∵B(0，3)，∴OB=OD=3，∴BD=6.
∵A(6，0)，∴OA=6，
设点P的坐标为连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作BH2⊥PN于点H2，
0抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当t=3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，
∴四边形BEAP面积的最大值为
∴当点P的坐标是(3，)时，四边形BEAP的面积可取得最大值，最大值为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由直线求得A，B两点坐标，再由待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)证明出 即可；
(3)根据 面积最大时，四边形BEAP的面积最大，先设点P的坐标为 表示出 即可得出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值.
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