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四川省泸州市第十五中学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列图中不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D中，由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查识别同位角，在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角，结合选项，据此定义逐项分析判断，即可得到答案.
2．在实数，，，，，，，中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：将各数逐一判断：=3 是有理数；- 是无限不循环小数，为无理数；是分数，为有理数；-3 是整数，为有理数；=2，开方开不尽，为无理数；0.101001000100001...... 是无限不循环小数，为无理数；=7 是有理数；0.6 是有限小数，为有理数。因此无理数有 -、、0.101001000100001...... 共 3 个。
故选： B。
【分析】本题主要考查无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，常见类型包括含的数、开方开不尽的根式以及有规律但不循环的无限小数。解题时需先将能化简的根式计算出结果，再根据定义进行判断。
3．下列各点，在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负。
A 项 (3，2) 横正纵正，在第一象限；
B 项 (3，-2) 横正纵负，在第四象限；
C 项 (-3，2) 横负纵正，在第二象限；
D 项 (-3，-2) 横负纵负，在第三象限。
因此位于第四象限的点是 (3，-2)，
故选 ：B。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限 (+，+)、第二象限 (-，+)、第三象限 (-，-)、第四象限 (+，-)。根据各选项坐标的符号对应判断即可。
4．下列各组数中，是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将各组 x， y 的值依次代入方程 2x + 3y = 2 检验：
A 项：2(-1) + 3 4 = -2 + 12 = 102，不成立；
B 项：2 (-1) + 3 6 = -2 + 18 = 16 2，不成立；
C 项：2 1 + 3 0 = 2 + 0 = 2，成立；
D 项：2(-1) + 32 = -2 + 6 = 42，不成立。
故选：C.
【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值即为解。将每组解代入原方程计算，看是否满足等式即可判断。
5．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【分析】本题考查了平行线的性质，依据，，得到，再根据，结合，即可得到答案．
6．若实数a，b满足等式，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由 (2a+4)2 + = 0，
根据非负数的性质：平方项与算术平方根均非负，因此它们必须同时为 0，即
2a + 4 = 0， = 0.
解得 a = -2，b = 4，
故点 P 的坐标为 (-2， 4)。
该点横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
故选： B。
【分析】本题主要考查非负数的性质（偶次方和算术平方根均为非负数）以及平面直角坐标系中点的象限判断。由非负数和为 0 推出各项均为 0，求出 a， b 后根据坐标符号确定所在象限。
7．下列各式正确的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A 项：表示 36 的算术平方根，结果为 6，不是 6，故错误；
B 项：=，故正确；
C 项： == 9，不是 -9，故错误；
D 项：= -3，则= -(-3) = 3，不是 -3，故错误。
故选：B．
【分析】本题主要考查算术平方根与立方根的定义及性质。算术平方根的结果为非负数，= |a|；立方根保持原数符号。根据这些性质逐项化简判断即可。
8．已知点，点，且直线轴，则m的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点，点，且直线轴，
∴m+1=-2，
∴m=-3，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出m+1=-2，再求解即可。
9．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：
【分析】本题以一副三角板叠放为背景，考查了平行线的性质以及角度的和差计算。由 BC EF 得 C = CEF = 45°，已知 DEF = 60°，则 CED =DEF - CEF = 15°。
10．已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；分类讨论
【解析】【解答】解：点 A(0，-4) 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，
设 B(m，0)，则 △AOB 的直角边 AO = 4，BO = |m|。
其面积为 AO BO =4 |m| = 2|m|。
由题意 2|m| = 4，得 |m| = 2，故 m = 2 或 m = -2，
即点 B 的坐标为 (2，0) 或 (-2，0)。
故选： C。
【分析】本题主要考查坐标平面内三角形面积的计算，需注意点 B 在 x 轴上但未限定正半轴或负半轴，因此 B 的横坐标应取绝对值后分两种情况讨论。
11．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：观察大长方形的长：水平方向由一个小长方形的长与两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 25。
观察大长方形的宽：竖直方向由一个小长方形的长与三个小长方形的宽组成，同时也等于两个小长方形的长，因此有 x + 3y = 2x，整理得 x = 3y。
联立得方程组，对应选项 B。
故选：B．
【分析】本题主要考查根据几何图形抽象出二元一次方程组。解题关键是分别从大长方形的长和宽两个方向找出小长方形长与宽之间的等量关系，注意不同放置方式下边长对应的代数式要准确。
12．如图，将长方形纸片沿着直线折叠后，点A，B分别落在点，的位置上，再沿着线段折叠后，点，分别落在点M，N的位置上，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由长方形 AD BC，得 CFG = BGD = 70。
因为 AEBF，所以 AEG =BGD = 70。
第一次折叠（沿 EF）后， BFE = EFG，且 CFG = 70，
故 GFB = 180 - 70 = 110，
所以EFG = 110 = 55。
第二次折叠（沿 AD）后， MEG =AEG = 70。
由 ADBC 得 GFE = BFE = 55。
因此 FEM =MEG - GFE = 70 - 55 = 15。
故选： B。
【分析】本题主要考查平行线的性质（同位角相等、内错角相等）以及折叠变换中对应角相等的性质。解题时需多次利用平行线传递角度，并结合折叠前后角度不变及平角关系，逐步推导出所求角度。
13．的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．已知方程组，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程组，将 ① + ② 得 (2x - y) + (2y - x) = 3 + 2，即 x + y = 5。
因此 x + y 的值为 5。
故答案为：5．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整体思想。不需求出 x、y 的具体值，直接将两个方程相加，即可直接得到 x + y 的值，简化计算过程。
15．如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为　 　平方米．
【答案】
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：将两条“之”字路通过平移，可以拼接成一条横向和一条纵向的笔直道路，道路宽度均为 3 米。
平移后，耕地部分可视为一个长减少 3 米、宽也减少 3 米的新长方形，
即长为 30 - 3 = 27 米，宽为 20 - 3 = 17 米，
因此耕地面积为 2717 = 459 平方米。
故答案为： 459。
【分析】本题主要考查平移的性质在图形面积计算中的应用。通过将弯曲道路平移为直路，将剩余耕地合并为一个完整矩形，从而简化面积计算。解题关键是理解道路平移后耕地长宽均减少一个道路宽度。
16．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律；数形结合
【解析】【解答】解：观察点的排列顺序：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…
可知点的排列按“回”字形逐层向外，每层的点数为奇数平方。
第 1 个点坐标为 (1，0)，第 9 个点坐标为 (3，0)，第 25 个点坐标为 (5，0)，依此类推，
第 (2n-1)2个点坐标为 (2n-1，0)。
由 452 = 2025，得第 2025 个点坐标为 (45，0)，则第 2026 个点位于该层向右移动一位，坐标为 (46，0)。
故答案为： (46，0)。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标规律。解题关键在于找到每个“回”字形外层的最后一个点（即 x 轴正半轴上的点）的序号为奇数的平方，据此确定第 2025 个点的位置，再递推得到第 2026 个点的坐标。
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根的计算以及二次根式的乘法与分配律。先分别求出、的值，再利用乘法分配律展开，最后合并同类项得出结果。
18．解方程：．
【答案】解：，
，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，根据方程 4x2 - 16 = 0 的特点，采用直接开平方法求解。先将常数项移到右边，再化二次项系数为1，最后开平方得到两个互为相反数的根。解题时注意不要漏掉负根。
19．解方程组：
【答案】解：，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入①得：，
解得，
方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，采用加减消元法求解。先将第二个方程乘以 2，使 x 的系数与第一个方程相同，再通过两式相减消去 x，解出 y 后回代求出 x，从而得到方程组的解。
20．解方程组：．
【答案】解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查利用整体代入法解二元一次方程组。先将第一个方程变形为 x - 2y = 1，再将这个整体代入第二个方程中，从而消去 y 直接求出 x，然后回代求出 y，这种方法避免了传统的代入或加减运算，更为简捷。
21．请填空，完成下面的证明．
如图，已知于点D，于点F，，证明：
证明：，已知，
______，
同位角相等，两直线平行，
______，
已知，
______，
______，
______
【答案】垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等
【知识点】垂线的概念；补角；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：，已知，
垂直的定义，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
（已知），
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等
故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
【分析】本题综合考查垂直的定义、平行线的判定与性质以及补角的性质。解题时先由垂直得到 AD EF，再利用两直线平行同旁内角互补得出 3 + 2 = 180，结合已知 1 +2 = 180推出 1 = 3，进而判定 DGAB，最后由平行线性质证得 CGD =CAB。
22．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由.
【答案】解：BD与CF平行
证明：∵∠1=∠2，
∴DA∥BF( 内错角相等，两直线平行 )
∴∠D=∠DBF（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=∠D
∴∠DBF=∠3（等量代换）
∴BD∥CF （内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题以三点共线及角相等为背景，考查了平行线的判定与性质的综合应用。由 1 = 2 得 AD BF（内错角相等），进而 D =DBF（两直线平行内错角相等）；结合 3 = D 得 DBF = 3，根据内错角相等证得 BD CF。
23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【答案】（1）解：根据题意，可得，
解得；
（2）解：由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】本题以“看错系数”为背景，考查二元一次方程组的解与系数之间的关系。
（1）根据小鑫看错①中的 a，其解仍满足②；小童看错②中的 b，其解仍满足①。由此分别代入得到关于 a、b 的方程组，求出正确值。
（2）将求出的 a、b 代回原方程组，用加减消元法求解即可。
（1）根据题意，可得
，解得；
（2）由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
24．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，为坐标平面内另一点．
（1）将三角形进行平移，使点，，的对应点分别为，，，画出平移后的三角形；
（2）的坐标为________，的坐标为________；
（3）顺次连接、、、四个点围成的四边形，则这个四边形的面积为________．
【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求
（2），
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
（3）解：四边形为
故答案为：．
【分析】本题综合考查图形的平移变换、坐标系中点的坐标表示以及不规则四边形面积的割补法计算。
（1）通过点 A(-4，1) 与 A'(-1，3) 确定平移向量为 (+3，+2)，再将 B、C 按相同方向平移得到对应点并连线；
（2）直接由平移后图形写出坐标；
（3）将四边形补成矩形减去多个直角三角形面积，或采用分割法求和。
（1）解：如图所示，三角形即为所求
（2）解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
（3）解：四边形为
故答案为：．
25．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
　 进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 30 40
雪容融 50 65
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题以冬奥会吉祥物购销为背景，综合考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程整数解问题。
（1）根据总个数与总进价两个等量关系列方程组求解；
（2）先由售价和进价计算总利润，再设再次购进两种吉祥物的数量，根据总利润恰好用完且每种至少一个列出二元一次方程，求出所有正整数解。
（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
26．综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
1 / 1四川省泸州市第十五中学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列图中不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在实数，，，，，，，中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列各点，在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组数中，是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为(　　)
A． B． C． D．
6．若实数a，b满足等式，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列各式正确的为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点，点，且直线轴，则m的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
9．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（　　）
A． B． C． D．
12．如图，将长方形纸片沿着直线折叠后，点A，B分别落在点，的位置上，再沿着线段折叠后，点，分别落在点M，N的位置上，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．的平方根是 　 　．
14．已知方程组，则的值为　 　．
15．如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为　 　平方米．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为　 　．
17．计算：．
18．解方程：．
19．解方程组：
20．解方程组：．
21．请填空，完成下面的证明．
如图，已知于点D，于点F，，证明：
证明：，已知，
______，
同位角相等，两直线平行，
______，
已知，
______，
______，
______
22．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由.
23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
24．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，为坐标平面内另一点．
（1）将三角形进行平移，使点，，的对应点分别为，，，画出平移后的三角形；
（2）的坐标为________，的坐标为________；
（3）顺次连接、、、四个点围成的四边形，则这个四边形的面积为________．
25．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
　 进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 30 40
雪容融 50 65
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
26．综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D中，由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查识别同位角，在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角，结合选项，据此定义逐项分析判断，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：将各数逐一判断：=3 是有理数；- 是无限不循环小数，为无理数；是分数，为有理数；-3 是整数，为有理数；=2，开方开不尽，为无理数；0.101001000100001...... 是无限不循环小数，为无理数；=7 是有理数；0.6 是有限小数，为有理数。因此无理数有 -、、0.101001000100001...... 共 3 个。
故选： B。
【分析】本题主要考查无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，常见类型包括含的数、开方开不尽的根式以及有规律但不循环的无限小数。解题时需先将能化简的根式计算出结果，再根据定义进行判断。
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负。
A 项 (3，2) 横正纵正，在第一象限；
B 项 (3，-2) 横正纵负，在第四象限；
C 项 (-3，2) 横负纵正，在第二象限；
D 项 (-3，-2) 横负纵负，在第三象限。
因此位于第四象限的点是 (3，-2)，
故选 ：B。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限 (+，+)、第二象限 (-，+)、第三象限 (-，-)、第四象限 (+，-)。根据各选项坐标的符号对应判断即可。
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将各组 x， y 的值依次代入方程 2x + 3y = 2 检验：
A 项：2(-1) + 3 4 = -2 + 12 = 102，不成立；
B 项：2 (-1) + 3 6 = -2 + 18 = 16 2，不成立；
C 项：2 1 + 3 0 = 2 + 0 = 2，成立；
D 项：2(-1) + 32 = -2 + 6 = 42，不成立。
故选：C.
【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值即为解。将每组解代入原方程计算，看是否满足等式即可判断。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【分析】本题考查了平行线的性质，依据，，得到，再根据，结合，即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由 (2a+4)2 + = 0，
根据非负数的性质：平方项与算术平方根均非负，因此它们必须同时为 0，即
2a + 4 = 0， = 0.
解得 a = -2，b = 4，
故点 P 的坐标为 (-2， 4)。
该点横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
故选： B。
【分析】本题主要考查非负数的性质（偶次方和算术平方根均为非负数）以及平面直角坐标系中点的象限判断。由非负数和为 0 推出各项均为 0，求出 a， b 后根据坐标符号确定所在象限。
7．【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A 项：表示 36 的算术平方根，结果为 6，不是 6，故错误；
B 项：=，故正确；
C 项： == 9，不是 -9，故错误；
D 项：= -3，则= -(-3) = 3，不是 -3，故错误。
故选：B．
【分析】本题主要考查算术平方根与立方根的定义及性质。算术平方根的结果为非负数，= |a|；立方根保持原数符号。根据这些性质逐项化简判断即可。
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点，点，且直线轴，
∴m+1=-2，
∴m=-3，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出m+1=-2，再求解即可。
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：
【分析】本题以一副三角板叠放为背景，考查了平行线的性质以及角度的和差计算。由 BC EF 得 C = CEF = 45°，已知 DEF = 60°，则 CED =DEF - CEF = 15°。
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；分类讨论
【解析】【解答】解：点 A(0，-4) 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，
设 B(m，0)，则 △AOB 的直角边 AO = 4，BO = |m|。
其面积为 AO BO =4 |m| = 2|m|。
由题意 2|m| = 4，得 |m| = 2，故 m = 2 或 m = -2，
即点 B 的坐标为 (2，0) 或 (-2，0)。
故选： C。
【分析】本题主要考查坐标平面内三角形面积的计算，需注意点 B 在 x 轴上但未限定正半轴或负半轴，因此 B 的横坐标应取绝对值后分两种情况讨论。
11．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：观察大长方形的长：水平方向由一个小长方形的长与两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 25。
观察大长方形的宽：竖直方向由一个小长方形的长与三个小长方形的宽组成，同时也等于两个小长方形的长，因此有 x + 3y = 2x，整理得 x = 3y。
联立得方程组，对应选项 B。
故选：B．
【分析】本题主要考查根据几何图形抽象出二元一次方程组。解题关键是分别从大长方形的长和宽两个方向找出小长方形长与宽之间的等量关系，注意不同放置方式下边长对应的代数式要准确。
12．【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由长方形 AD BC，得 CFG = BGD = 70。
因为 AEBF，所以 AEG =BGD = 70。
第一次折叠（沿 EF）后， BFE = EFG，且 CFG = 70，
故 GFB = 180 - 70 = 110，
所以EFG = 110 = 55。
第二次折叠（沿 AD）后， MEG =AEG = 70。
由 ADBC 得 GFE = BFE = 55。
因此 FEM =MEG - GFE = 70 - 55 = 15。
故选： B。
【分析】本题主要考查平行线的性质（同位角相等、内错角相等）以及折叠变换中对应角相等的性质。解题时需多次利用平行线传递角度，并结合折叠前后角度不变及平角关系，逐步推导出所求角度。
13．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程组，将 ① + ② 得 (2x - y) + (2y - x) = 3 + 2，即 x + y = 5。
因此 x + y 的值为 5。
故答案为：5．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整体思想。不需求出 x、y 的具体值，直接将两个方程相加，即可直接得到 x + y 的值，简化计算过程。
15．【答案】
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：将两条“之”字路通过平移，可以拼接成一条横向和一条纵向的笔直道路，道路宽度均为 3 米。
平移后，耕地部分可视为一个长减少 3 米、宽也减少 3 米的新长方形，
即长为 30 - 3 = 27 米，宽为 20 - 3 = 17 米，
因此耕地面积为 2717 = 459 平方米。
故答案为： 459。
【分析】本题主要考查平移的性质在图形面积计算中的应用。通过将弯曲道路平移为直路，将剩余耕地合并为一个完整矩形，从而简化面积计算。解题关键是理解道路平移后耕地长宽均减少一个道路宽度。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律；数形结合
【解析】【解答】解：观察点的排列顺序：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…
可知点的排列按“回”字形逐层向外，每层的点数为奇数平方。
第 1 个点坐标为 (1，0)，第 9 个点坐标为 (3，0)，第 25 个点坐标为 (5，0)，依此类推，
第 (2n-1)2个点坐标为 (2n-1，0)。
由 452 = 2025，得第 2025 个点坐标为 (45，0)，则第 2026 个点位于该层向右移动一位，坐标为 (46，0)。
故答案为： (46，0)。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标规律。解题关键在于找到每个“回”字形外层的最后一个点（即 x 轴正半轴上的点）的序号为奇数的平方，据此确定第 2025 个点的位置，再递推得到第 2026 个点的坐标。
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根的计算以及二次根式的乘法与分配律。先分别求出、的值，再利用乘法分配律展开，最后合并同类项得出结果。
18．【答案】解：，
，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，根据方程 4x2 - 16 = 0 的特点，采用直接开平方法求解。先将常数项移到右边，再化二次项系数为1，最后开平方得到两个互为相反数的根。解题时注意不要漏掉负根。
19．【答案】解：，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入①得：，
解得，
方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，采用加减消元法求解。先将第二个方程乘以 2，使 x 的系数与第一个方程相同，再通过两式相减消去 x，解出 y 后回代求出 x，从而得到方程组的解。
20．【答案】解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查利用整体代入法解二元一次方程组。先将第一个方程变形为 x - 2y = 1，再将这个整体代入第二个方程中，从而消去 y 直接求出 x，然后回代求出 y，这种方法避免了传统的代入或加减运算，更为简捷。
21．【答案】垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等
【知识点】垂线的概念；补角；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：，已知，
垂直的定义，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
（已知），
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等
故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
【分析】本题综合考查垂直的定义、平行线的判定与性质以及补角的性质。解题时先由垂直得到 AD EF，再利用两直线平行同旁内角互补得出 3 + 2 = 180，结合已知 1 +2 = 180推出 1 = 3，进而判定 DGAB，最后由平行线性质证得 CGD =CAB。
22．【答案】解：BD与CF平行
证明：∵∠1=∠2，
∴DA∥BF( 内错角相等，两直线平行 )
∴∠D=∠DBF（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=∠D
∴∠DBF=∠3（等量代换）
∴BD∥CF （内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题以三点共线及角相等为背景，考查了平行线的判定与性质的综合应用。由 1 = 2 得 AD BF（内错角相等），进而 D =DBF（两直线平行内错角相等）；结合 3 = D 得 DBF = 3，根据内错角相等证得 BD CF。
23．【答案】（1）解：根据题意，可得，
解得；
（2）解：由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】本题以“看错系数”为背景，考查二元一次方程组的解与系数之间的关系。
（1）根据小鑫看错①中的 a，其解仍满足②；小童看错②中的 b，其解仍满足①。由此分别代入得到关于 a、b 的方程组，求出正确值。
（2）将求出的 a、b 代回原方程组，用加减消元法求解即可。
（1）根据题意，可得
，解得；
（2）由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
24．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求
（2），
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
（3）解：四边形为
故答案为：．
【分析】本题综合考查图形的平移变换、坐标系中点的坐标表示以及不规则四边形面积的割补法计算。
（1）通过点 A(-4，1) 与 A'(-1，3) 确定平移向量为 (+3，+2)，再将 B、C 按相同方向平移得到对应点并连线；
（2）直接由平移后图形写出坐标；
（3）将四边形补成矩形减去多个直角三角形面积，或采用分割法求和。
（1）解：如图所示，三角形即为所求
（2）解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
（3）解：四边形为
故答案为：．
25．【答案】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题以冬奥会吉祥物购销为背景，综合考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程整数解问题。
（1）根据总个数与总进价两个等量关系列方程组求解；
（2）先由售价和进价计算总利润，再设再次购进两种吉祥物的数量，根据总利润恰好用完且每种至少一个列出二元一次方程，求出所有正整数解。
（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
26．【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
1 / 1四川省泸州市第十五中学校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
1．下列图中不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在实数，，，，，，，中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列各点，在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组数中，是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为(　　)
A． B． C． D．
6．若实数a，b满足等式，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列各式正确的为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点，点，且直线轴，则m的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
9．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，点B在x轴上，与坐标轴所围成的三角形面积为4，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（　　）
A． B． C． D．
12．如图，将长方形纸片沿着直线折叠后，点A，B分别落在点，的位置上，再沿着线段折叠后，点，分别落在点M，N的位置上，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．的平方根是 　 　．
14．已知方程组，则的值为　 　．
15．如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为　 　平方米．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为　 　．
17．计算：．
18．解方程：．
19．解方程组：
20．解方程组：．
21．请填空，完成下面的证明．
如图，已知于点D，于点F，，证明：
证明：，已知，
______，
同位角相等，两直线平行，
______，
已知，
______，
______，
______
22．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由.
23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
24．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，为坐标平面内另一点．
（1）将三角形进行平移，使点，，的对应点分别为，，，画出平移后的三角形；
（2）的坐标为________，的坐标为________；
（3）顺次连接、、、四个点围成的四边形，则这个四边形的面积为________．
25．某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
　 进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 30 40
雪容融 50 65
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
26．综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C中，由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D中，由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查识别同位角，在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角，结合选项，据此定义逐项分析判断，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：将各数逐一判断：=3 是有理数；- 是无限不循环小数，为无理数；是分数，为有理数；-3 是整数，为有理数；=2，开方开不尽，为无理数；0.101001000100001...... 是无限不循环小数，为无理数；=7 是有理数；0.6 是有限小数，为有理数。因此无理数有 -、、0.101001000100001...... 共 3 个。
故选： B。
【分析】本题主要考查无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，常见类型包括含的数、开方开不尽的根式以及有规律但不循环的无限小数。解题时需先将能化简的根式计算出结果，再根据定义进行判断。
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负。
A 项 (3，2) 横正纵正，在第一象限；
B 项 (3，-2) 横正纵负，在第四象限；
C 项 (-3，2) 横负纵正，在第二象限；
D 项 (-3，-2) 横负纵负，在第三象限。
因此位于第四象限的点是 (3，-2)，
故选 ：B。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限 (+，+)、第二象限 (-，+)、第三象限 (-，-)、第四象限 (+，-)。根据各选项坐标的符号对应判断即可。
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将各组 x， y 的值依次代入方程 2x + 3y = 2 检验：
A 项：2(-1) + 3 4 = -2 + 12 = 102，不成立；
B 项：2 (-1) + 3 6 = -2 + 18 = 16 2，不成立；
C 项：2 1 + 3 0 = 2 + 0 = 2，成立；
D 项：2(-1) + 32 = -2 + 6 = 42，不成立。
故选：C.
【分析】本题主要考查二元一次方程解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值即为解。将每组解代入原方程计算，看是否满足等式即可判断。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【分析】本题考查了平行线的性质，依据，，得到，再根据，结合，即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由 (2a+4)2 + = 0，
根据非负数的性质：平方项与算术平方根均非负，因此它们必须同时为 0，即
2a + 4 = 0， = 0.
解得 a = -2，b = 4，
故点 P 的坐标为 (-2， 4)。
该点横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。
故选： B。
【分析】本题主要考查非负数的性质（偶次方和算术平方根均为非负数）以及平面直角坐标系中点的象限判断。由非负数和为 0 推出各项均为 0，求出 a， b 后根据坐标符号确定所在象限。
7．【答案】B
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A 项：表示 36 的算术平方根，结果为 6，不是 6，故错误；
B 项：=，故正确；
C 项： == 9，不是 -9，故错误；
D 项：= -3，则= -(-3) = 3，不是 -3，故错误。
故选：B．
【分析】本题主要考查算术平方根与立方根的定义及性质。算术平方根的结果为非负数，= |a|；立方根保持原数符号。根据这些性质逐项化简判断即可。
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点，点，且直线轴，
∴m+1=-2，
∴m=-3，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出m+1=-2，再求解即可。
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选：
【分析】本题以一副三角板叠放为背景，考查了平行线的性质以及角度的和差计算。由 BC EF 得 C = CEF = 45°，已知 DEF = 60°，则 CED =DEF - CEF = 15°。
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；分类讨论
【解析】【解答】解：点 A(0，-4) 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，
设 B(m，0)，则 △AOB 的直角边 AO = 4，BO = |m|。
其面积为 AO BO =4 |m| = 2|m|。
由题意 2|m| = 4，得 |m| = 2，故 m = 2 或 m = -2，
即点 B 的坐标为 (2，0) 或 (-2，0)。
故选： C。
【分析】本题主要考查坐标平面内三角形面积的计算，需注意点 B 在 x 轴上但未限定正半轴或负半轴，因此 B 的横坐标应取绝对值后分两种情况讨论。
11．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：观察大长方形的长：水平方向由一个小长方形的长与两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 25。
观察大长方形的宽：竖直方向由一个小长方形的长与三个小长方形的宽组成，同时也等于两个小长方形的长，因此有 x + 3y = 2x，整理得 x = 3y。
联立得方程组，对应选项 B。
故选：B．
【分析】本题主要考查根据几何图形抽象出二元一次方程组。解题关键是分别从大长方形的长和宽两个方向找出小长方形长与宽之间的等量关系，注意不同放置方式下边长对应的代数式要准确。
12．【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由长方形 AD BC，得 CFG = BGD = 70。
因为 AEBF，所以 AEG =BGD = 70。
第一次折叠（沿 EF）后， BFE = EFG，且 CFG = 70，
故 GFB = 180 - 70 = 110，
所以EFG = 110 = 55。
第二次折叠（沿 AD）后， MEG =AEG = 70。
由 ADBC 得 GFE = BFE = 55。
因此 FEM =MEG - GFE = 70 - 55 = 15。
故选： B。
【分析】本题主要考查平行线的性质（同位角相等、内错角相等）以及折叠变换中对应角相等的性质。解题时需多次利用平行线传递角度，并结合折叠前后角度不变及平角关系，逐步推导出所求角度。
13．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
14．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程组，将 ① + ② 得 (2x - y) + (2y - x) = 3 + 2，即 x + y = 5。
因此 x + y 的值为 5。
故答案为：5．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整体思想。不需求出 x、y 的具体值，直接将两个方程相加，即可直接得到 x + y 的值，简化计算过程。
15．【答案】
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：将两条“之”字路通过平移，可以拼接成一条横向和一条纵向的笔直道路，道路宽度均为 3 米。
平移后，耕地部分可视为一个长减少 3 米、宽也减少 3 米的新长方形，
即长为 30 - 3 = 27 米，宽为 20 - 3 = 17 米，
因此耕地面积为 2717 = 459 平方米。
故答案为： 459。
【分析】本题主要考查平移的性质在图形面积计算中的应用。通过将弯曲道路平移为直路，将剩余耕地合并为一个完整矩形，从而简化面积计算。解题关键是理解道路平移后耕地长宽均减少一个道路宽度。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律；数形结合
【解析】【解答】解：观察点的排列顺序：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…
可知点的排列按“回”字形逐层向外，每层的点数为奇数平方。
第 1 个点坐标为 (1，0)，第 9 个点坐标为 (3，0)，第 25 个点坐标为 (5，0)，依此类推，
第 (2n-1)2个点坐标为 (2n-1，0)。
由 452 = 2025，得第 2025 个点坐标为 (45，0)，则第 2026 个点位于该层向右移动一位，坐标为 (46，0)。
故答案为： (46，0)。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标规律。解题关键在于找到每个“回”字形外层的最后一个点（即 x 轴正半轴上的点）的序号为奇数的平方，据此确定第 2025 个点的位置，再递推得到第 2026 个点的坐标。
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根的计算以及二次根式的乘法与分配律。先分别求出、的值，再利用乘法分配律展开，最后合并同类项得出结果。
18．【答案】解：，
，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，根据方程 4x2 - 16 = 0 的特点，采用直接开平方法求解。先将常数项移到右边，再化二次项系数为1，最后开平方得到两个互为相反数的根。解题时注意不要漏掉负根。
19．【答案】解：，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入①得：，
解得，
方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，采用加减消元法求解。先将第二个方程乘以 2，使 x 的系数与第一个方程相同，再通过两式相减消去 x，解出 y 后回代求出 x，从而得到方程组的解。
20．【答案】解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查利用整体代入法解二元一次方程组。先将第一个方程变形为 x - 2y = 1，再将这个整体代入第二个方程中，从而消去 y 直接求出 x，然后回代求出 y，这种方法避免了传统的代入或加减运算，更为简捷。
21．【答案】垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等
【知识点】垂线的概念；补角；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】证明：，已知，
垂直的定义，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
（已知），
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等
故答案为：垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
【分析】本题综合考查垂直的定义、平行线的判定与性质以及补角的性质。解题时先由垂直得到 AD EF，再利用两直线平行同旁内角互补得出 3 + 2 = 180，结合已知 1 +2 = 180推出 1 = 3，进而判定 DGAB，最后由平行线性质证得 CGD =CAB。
22．【答案】解：BD与CF平行
证明：∵∠1=∠2，
∴DA∥BF( 内错角相等，两直线平行 )
∴∠D=∠DBF（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=∠D
∴∠DBF=∠3（等量代换）
∴BD∥CF （内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题以三点共线及角相等为背景，考查了平行线的判定与性质的综合应用。由 1 = 2 得 AD BF（内错角相等），进而 D =DBF（两直线平行内错角相等）；结合 3 = D 得 DBF = 3，根据内错角相等证得 BD CF。
23．【答案】（1）解：根据题意，可得，
解得；
（2）解：由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】本题以“看错系数”为背景，考查二元一次方程组的解与系数之间的关系。
（1）根据小鑫看错①中的 a，其解仍满足②；小童看错②中的 b，其解仍满足①。由此分别代入得到关于 a、b 的方程组，求出正确值。
（2）将求出的 a、b 代回原方程组，用加减消元法求解即可。
（1）根据题意，可得
，解得；
（2）由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
24．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求
（2），
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
（3）解：四边形为
故答案为：．
【分析】本题综合考查图形的平移变换、坐标系中点的坐标表示以及不规则四边形面积的割补法计算。
（1）通过点 A(-4，1) 与 A'(-1，3) 确定平移向量为 (+3，+2)，再将 B、C 按相同方向平移得到对应点并连线；
（2）直接由平移后图形写出坐标；
（3）将四边形补成矩形减去多个直角三角形面积，或采用分割法求和。
（1）解：如图所示，三角形即为所求
（2）解：的坐标为，的坐标为
故答案为：，．
（3）解：四边形为
故答案为：．
25．【答案】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题以冬奥会吉祥物购销为背景，综合考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程整数解问题。
（1）根据总个数与总进价两个等量关系列方程组求解；
（2）先由售价和进价计算总利润，再设再次购进两种吉祥物的数量，根据总利润恰好用完且每种至少一个列出二元一次方程，求出所有正整数解。
（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
26．【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
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