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广东省深圳市龙华实验学校教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次月考数学试卷
1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
乒乓球直径范围是：.
∴只要乒乓球的直径在和之间都合格，
∴处于该范围之外，不符合标准.
故答案为：A．
【分析】根据题目情境求出乒乓球直径范围是：，再逐项判断即可得答案.
2．下列几何体中，从正上方观察得到的平面图形是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A：从正上方观察得到的平面图形是三角形，故Ａ正确.
B：从正上方观察得到的平面图形是圆，故Ｂ错误.
C：从正上方观察得到的平面图形是圆，故Ｃ错误.
D：从正上方观察得到的平面图形是正方形，故Ｄ错误.
故答案为：A ．
【分析】根据几何体的特征，得到它们从上面观察到的平面图形为，A选项图形从正上方观察得到的平面图形是三角形，B选项从正上方观察得到的平面图形是圆，C选项从正上方观察得到的平面图形是圆，D选项从正上方观察得到的平面图形是正方形即可得答案.
3．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设红球的个数为个，则总的求有个，由题意得：
，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴红球的个数为1个．
故答案为：A．
【分析】设红球的个数为个，则总的求有个，根据题目情境列方程，解出即可得答案.
4．如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为（　　）米．
A．20 B．15 C．12 D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
设过点的水平线于交于点，由题意知四边形是矩形，
∴米，，
在中，
在中，，
，解得（米）．
故答案为：Ｂ.
【分析】设过点的水平线于交于点，根据题目情境得等于米，相等，根据勾股定理得等于，等于，等于，等于，即可列方程，解出即可得答案.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项计算为，，，即可得答案.
6．如图，已知，且平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
平分，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，结合平行，都等于，角平分线定义，结合条件平分，得都等于，再根据平行得等于即可得答案.
7．为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵原计划每日安装台，实际每日安装台，总任务3600台，
∴原计划时间为天，实际时间为天，
∵ 提前10天完成，
∴．
故答案为：B．
【分析】 设原计划每日安装台充电桩 ，则实际每日安装台，根据题目情境即可列方程得答案.
8．如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
四边形为正方形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
，，
即平分，
，
，
设，，
，
点 M 是边的中点，
，
，即，
，
即，
整理得，
，
，
，
解得，
．
故答案为：D．
【分析】
延长交于点，连接，利用正方形性质，折叠的性质证明，推出，，结合等腰三角形性质得到，设，，结合勾股定理推出，，进而得到，再利用等面积法求出，即可解答．
9．已知关于x的方程的解是，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴，解得：，
故答案为：1.
【分析】根据关于x的方程的解是，列方程，解出即可得答案.
10．在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段，
则
点的对应点的坐标为，
故答案为：
【分析】根据点的平移即可求出答案.
11．化简：的结果为　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】根据同分母相加减，分母不变，分子相加减计算即可.
12．若反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和，则　 　．
【答案】625
【知识点】二元一次方程的解；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵点和都在反比例函数的图象上，
∴，即，解得：，，
又∵点和都在一次函数的图象上，
∴，解得，则，
∴．
【分析】根据点和都在反比例函数的图象上得，解出，，再根据点和都在一次函数的图象上，列出方程组解出即可得，最后计算所求代数式的值即可．
13．如图，已知矩形，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转α（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为　 　 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，
连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以O为圆心，以为半径的圆上运动，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴线段的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接，根据矩形性质得相等，根据中点性质得相等，根据中位线得，进一步根据勾股定理得，根据条件证明相似，即可得等于，即可得，进一步根据勾股定理得线段的最大值为．
14．计算：；
【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】把根据有理数的乘方，立方根，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解即可得答案.
15．解不等式组：．
【答案】解：，解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”得到公共部分即可．
16．一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生________人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是________元，中位数是________元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
【答案】（1）解：60，
根据题意得：（人），
∴的人数：（人），
将条形统计图补充完整如图：
（2）10；15.
（3）解：根据题意得：（人），
∴捐款20元及以上的学生估计有345人．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：（人），
故答案为：60.
（2）解：根据题意得：捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10元；15元.
【分析】（1）根据用D组捐款20元的人数除以所占的百分数即可得抽查的学生数，再用抽查人数减去其他几组人数得C组的人数，补充完整条形统计图即可.
（2）根据众数和中位数的定义即可得众数为10元，中位数为15元.
（3）根据总人数乘捐款20元及以上的学生人数百分数即可得捐款20元及以上的学生估计有345人．
（1）解：（人），
的人数：（人），
将条形统计图补充完整如图：
故答案为：60；
（2）解：根据题意得：捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10元，15元；
（3）解：（人），
答：捐款20元及以上的学生估计有345人．
17．为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进、两种瓶装饮品共箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱）
（1）若该超市花了元进货，求购进、两种饮料各多少箱？
（2）设购进种饮料箱（），箱饮料全部卖完可获利润元，求与的函数关系式，并求购进种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设购进种饮料箱，种饮料箱，
由题意得：，
解得：，
答：购进种饮料箱，种饮料箱；
（2）解：由题意得：，
，
随的增大而减小，
又，
当时，有最大值，最大值为元，
答：当购进种饮料箱时，可获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购进种饮料箱，种饮料箱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
(2)根据两种饮料的单件利润和进货的数量，可得，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购进种饮料箱，种饮料箱，
由题意得：，
解得：，
答：购进种饮料箱，种饮料箱；
（2）解：由题意得：，
，
随的增大而减小，
又，
当时，有最大值，最大值为元，
答：当购进种饮料箱时，可获得最大利润，最大利润是元．
18．如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．
（1）求点到直线的距离．
（2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．
①当直线与优弧相切时，的值为______．
②当时，求阴影部分面积．
（3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．
【答案】（1）解：如图，
连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴点到直线的距离为.
（2）解：①或.
②如图，
连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积为：
.
∴ 阴影部分面积为.
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）①解：如图，
当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得.
如图，
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得.
综上，当直线与优弧相切时，的值为或.
（3）解：如图，
延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
∴当点与点重合时，取得最大值，此时的最大值为．
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等于，相等，即可判断
为等边三角形，即可得的长度和的度数，根据切线的性质得到垂直，即可得等于，根据角得和差即可得等于，根据角对的直角边是斜边的一半即可得点到直线的距离为.
（2）①当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，，根据直线，得，即可得，根据从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，得，同理可得当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，可得，综上，当直线与优弧相切时，的值为或.
②连接，过点作于点，设l交于点，根据得等于，进一步判断四边形为矩形，求出等于，进一步根据勾股定理得，即可得，即可根据扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积．
（3）延长交于点，过点作于点，过点作于点，可判断四边形为矩形，进一步求出，可得，再求出，可得，进一步推理得即可得当点与点重合时，取得最大值，此时的最大值为．
（1）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得；
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得；
综上，当直线与优弧相切时，的值为或；
②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积；
（3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
当点与点重合时，取得最大值，
此时的最大值为．
19．甲、乙两地相距a千米，现在甲、乙两地之间建一仓储站丙（甲、乙、丙三地在同一条直线上），丙与甲的距离为x千米．已知从甲到丙的运货费用为20元/千米，从乙到丙的运货费用为15元/千米，两地到丙的总运货费用为1000元．
（1）用含x的代数式表示a；
（2）从甲到丙改进运输工具，使得运货费用降低2元/千米，从乙到丙运货费用保持不变，两地到丙的总运货费用减少40元，求甲乙两地的距离；
（3）在（2）的条件下，若从乙到丙也更换运输工具，使乙到丙的运货费用与这两地距离的平方成正比，当丙在甲、乙两地中点时，两地到丙的运货费用相等，则当甲、丙距离为多少时，两地到丙的总运货费用最少？
【答案】（1）解：根据甲到丙的运费+乙到丙的运费可得：，
整理得：，
两边同时除以5：，
∴.
（2）解：甲到丙费用降低 2 元 / 千米：
元 / 千米
乙到丙仍 15 元 / 千米
改进后总运货费用减少40元：元
，
由（1）知，，
代入，得，解得，．
将代入，
得（千米）．
∴甲乙两地之间的距离为60千米．
（3）解：设乙到丙的运费为（k为比例系数），由（2）知，
当丙地在甲、乙两地中点时，，
此时甲到丙运费＝乙到丙运费：
∴，
解得，，
总运费为，
展开并整理，得，
这是一个二次函数，
∵，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
∴当时，总运费y最小．
∴当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；一元一次方程的实际应用-行程问题；二次函数的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据甲到丙的运费+乙到丙的运费列方程，变形即得a.
（2）根据题目情境得甲到丙费用为18元，进一步得改进后总运货费960元，即可列方程，进一步得，代入数据即可得甲乙两地之间的距离为60千米．
（3）设乙到丙的运费为（k为比例系数），由（2）知，进一步得当丙地在甲、乙两地中点时，等于30，进一步根据甲到丙运费＝乙到丙运费列方程得，即可得，根据二次函数性质即可得∴当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少．
（1）解：（1）根据甲到丙的运费+乙到丙的运费，
可得：，
展开并整理：，
，
两边同时除以5：，
；
（2）解：甲到丙费用降低 2 元 / 千米：元 / 千米
乙到丙仍 15 元 / 千米
改进后总运货费用减少40元：元
，
由（1）知，，
代入，得，
解得，．
将代入，
得（千米）．
故甲乙两地之间的距离为60千米．
（3）解：设乙到丙的运费为（k为比例系数），
由（2）知，
当丙地在甲、乙两地中点时，，
此时甲到丙运费＝乙到丙运费：
∴，
解得，，
总运费为，
展开并整理，得，
这是一个二次函数，
∵，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，总运费y最小．
故当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少．
20．数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
（1）问题解决：
如图1， 将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
（2）拓展延伸：
如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ．
（3）综合探究：
如图3， 是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ．
【答案】（1）解：①全等；线段与线段互相垂直平分；.
②证明：如图，
∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段与线段互相垂直平分．
∵，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）①如图1，
∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段与线段互相垂直平分．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：全等；线段与线段互相垂直平分；.
（2）如图2，
∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，解得，
∴，
∴．
（3）如图3，
当点B与点D重合时，的面积最大，作于H，则，
由题意得：，设，则；
在中，由勾股定理得：，
解得：；由（1）知：，
∴，
∴的面积的最大值为1.3，
的最小值为1，
∴的面积的最小值为，
∴．
【分析】（1）根据翻折变换的性质得相等，相等，相等，即可证明
，再条件证明，即可得线段与线段互相垂直平分，根据相等，相等得相等，即可判断四边形是菱形，根据∴相等，等于，即可得等于，根据平行，即可得等于.
（2）根据四边形是矩形结合翻折的性质可知，根据平行线性质得，即可得，设，即可得，
，根据勾股定理得列方程得， 进一步得 线段的长 .
（3）当点B与点D重合时，的面积最大，作垂直于H，则，根据已知条件得相等，设等于，即可得等于，根据勾股定理得列方程，解得：，根据三角形面积公式得，根据的最小值为1，即可得的面积的最小值为，即可得
（1）解：∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段与线段互相垂直平分．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
（3）如图3，当点B与点D重合时，的面积最大，作于H，则，
由题意得：，设，则；
在中，由勾股定理得：，
解得：；由（1）知：，
∴，
∴的面积的最大值为1.3，
的最小值为1，
∴的面积的最小值为，
∴．
1 / 1广东省深圳市龙华实验学校教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次月考数学试卷
1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列几何体中，从正上方观察得到的平面图形是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为（　　）米．
A．20 B．15 C．12 D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，已知，且平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于x的方程的解是，则的值为　 　．
10．在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为　 　．
11．化简：的结果为　 　．
12．若反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和，则　 　．
13．如图，已知矩形，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转α（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为　 　 ．
14．计算：；
15．解不等式组：．
16．一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生________人，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是________元，中位数是________元；
（3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？
17．为备战春节饮品销售旺季，深圳南山一家社区便利店购进、两种瓶装饮品共箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱）
（1）若该超市花了元进货，求购进、两种饮料各多少箱？
（2）设购进种饮料箱（），箱饮料全部卖完可获利润元，求与的函数关系式，并求购进种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
18．如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．
（1）求点到直线的距离．
（2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．
①当直线与优弧相切时，的值为______．
②当时，求阴影部分面积．
（3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．
19．甲、乙两地相距a千米，现在甲、乙两地之间建一仓储站丙（甲、乙、丙三地在同一条直线上），丙与甲的距离为x千米．已知从甲到丙的运货费用为20元/千米，从乙到丙的运货费用为15元/千米，两地到丙的总运货费用为1000元．
（1）用含x的代数式表示a；
（2）从甲到丙改进运输工具，使得运货费用降低2元/千米，从乙到丙运货费用保持不变，两地到丙的总运货费用减少40元，求甲乙两地的距离；
（3）在（2）的条件下，若从乙到丙也更换运输工具，使乙到丙的运货费用与这两地距离的平方成正比，当丙在甲、乙两地中点时，两地到丙的运货费用相等，则当甲、丙距离为多少时，两地到丙的总运货费用最少？
20．数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
（1）问题解决：
如图1， 将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则：
①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明．
（2）拓展延伸：
如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ．
（3）综合探究：
如图3， 是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
乒乓球直径范围是：.
∴只要乒乓球的直径在和之间都合格，
∴处于该范围之外，不符合标准.
故答案为：A．
【分析】根据题目情境求出乒乓球直径范围是：，再逐项判断即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A：从正上方观察得到的平面图形是三角形，故Ａ正确.
B：从正上方观察得到的平面图形是圆，故Ｂ错误.
C：从正上方观察得到的平面图形是圆，故Ｃ错误.
D：从正上方观察得到的平面图形是正方形，故Ｄ错误.
故答案为：A ．
【分析】根据几何体的特征，得到它们从上面观察到的平面图形为，A选项图形从正上方观察得到的平面图形是三角形，B选项从正上方观察得到的平面图形是圆，C选项从正上方观察得到的平面图形是圆，D选项从正上方观察得到的平面图形是正方形即可得答案.
3．【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设红球的个数为个，则总的求有个，由题意得：
，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴红球的个数为1个．
故答案为：A．
【分析】设红球的个数为个，则总的求有个，根据题目情境列方程，解出即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
设过点的水平线于交于点，由题意知四边形是矩形，
∴米，，
在中，
在中，，
，解得（米）．
故答案为：Ｂ.
【分析】设过点的水平线于交于点，根据题目情境得等于米，相等，根据勾股定理得等于，等于，等于，等于，即可列方程，解出即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项计算为，，，即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
平分，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，结合平行，都等于，角平分线定义，结合条件平分，得都等于，再根据平行得等于即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵原计划每日安装台，实际每日安装台，总任务3600台，
∴原计划时间为天，实际时间为天，
∵ 提前10天完成，
∴．
故答案为：B．
【分析】 设原计划每日安装台充电桩 ，则实际每日安装台，根据题目情境即可列方程得答案.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
四边形为正方形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
，，
即平分，
，
，
设，，
，
点 M 是边的中点，
，
，即，
，
即，
整理得，
，
，
，
解得，
．
故答案为：D．
【分析】
延长交于点，连接，利用正方形性质，折叠的性质证明，推出，，结合等腰三角形性质得到，设，，结合勾股定理推出，，进而得到，再利用等面积法求出，即可解答．
9．【答案】1
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴，解得：，
故答案为：1.
【分析】根据关于x的方程的解是，列方程，解出即可得答案.
10．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：线段平移后，点的对应点的坐标为，
将线段向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段，
则
点的对应点的坐标为，
故答案为：
【分析】根据点的平移即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】根据同分母相加减，分母不变，分子相加减计算即可.
12．【答案】625
【知识点】二元一次方程的解；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵点和都在反比例函数的图象上，
∴，即，解得：，，
又∵点和都在一次函数的图象上，
∴，解得，则，
∴．
【分析】根据点和都在反比例函数的图象上得，解出，，再根据点和都在一次函数的图象上，列出方程组解出即可得，最后计算所求代数式的值即可．
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，
连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以O为圆心，以为半径的圆上运动，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴线段的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接交于点O，连接，过点O作于点T，连接，根据矩形性质得相等，根据中点性质得相等，根据中位线得，进一步根据勾股定理得，根据条件证明相似，即可得等于，即可得，进一步根据勾股定理得线段的最大值为．
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】把根据有理数的乘方，立方根，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解即可得答案.
15．【答案】解：，解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”得到公共部分即可．
16．【答案】（1）解：60，
根据题意得：（人），
∴的人数：（人），
将条形统计图补充完整如图：
（2）10；15.
（3）解：根据题意得：（人），
∴捐款20元及以上的学生估计有345人．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：（人），
故答案为：60.
（2）解：根据题意得：捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10元；15元.
【分析】（1）根据用D组捐款20元的人数除以所占的百分数即可得抽查的学生数，再用抽查人数减去其他几组人数得C组的人数，补充完整条形统计图即可.
（2）根据众数和中位数的定义即可得众数为10元，中位数为15元.
（3）根据总人数乘捐款20元及以上的学生人数百分数即可得捐款20元及以上的学生估计有345人．
（1）解：（人），
的人数：（人），
将条形统计图补充完整如图：
故答案为：60；
（2）解：根据题意得：捐款10元的人数最多，
∴众数为10元，
把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15，
∴中位数为15元，
故答案为：10元，15元；
（3）解：（人），
答：捐款20元及以上的学生估计有345人．
17．【答案】（1）解：设购进种饮料箱，种饮料箱，
由题意得：，
解得：，
答：购进种饮料箱，种饮料箱；
（2）解：由题意得：，
，
随的增大而减小，
又，
当时，有最大值，最大值为元，
答：当购进种饮料箱时，可获得最大利润，最大利润是元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购进种饮料箱，种饮料箱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
(2)根据两种饮料的单件利润和进货的数量，可得，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设购进种饮料箱，种饮料箱，
由题意得：，
解得：，
答：购进种饮料箱，种饮料箱；
（2）解：由题意得：，
，
随的增大而减小，
又，
当时，有最大值，最大值为元，
答：当购进种饮料箱时，可获得最大利润，最大利润是元．
18．【答案】（1）解：如图，
连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴点到直线的距离为.
（2）解：①或.
②如图，
连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积为：
.
∴ 阴影部分面积为.
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）①解：如图，
当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得.
如图，
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得.
综上，当直线与优弧相切时，的值为或.
（3）解：如图，
延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
∴当点与点重合时，取得最大值，此时的最大值为．
【分析】（1）连接，过点作于点，根据等于，相等，即可判断
为等边三角形，即可得的长度和的度数，根据切线的性质得到垂直，即可得等于，根据角得和差即可得等于，根据角对的直角边是斜边的一半即可得点到直线的距离为.
（2）①当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，，根据直线，得，即可得，根据从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，得，同理可得当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，可得，综上，当直线与优弧相切时，的值为或.
②连接，过点作于点，设l交于点，根据得等于，进一步判断四边形为矩形，求出等于，进一步根据勾股定理得，即可得，即可根据扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积．
（3）延长交于点，过点作于点，过点作于点，可判断四边形为矩形，进一步求出，可得，再求出，可得，进一步推理得即可得当点与点重合时，取得最大值，此时的最大值为．
（1）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得；
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得；
综上，当直线与优弧相切时，的值为或；
②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积；
（3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
当点与点重合时，取得最大值，
此时的最大值为．
19．【答案】（1）解：根据甲到丙的运费+乙到丙的运费可得：，
整理得：，
两边同时除以5：，
∴.
（2）解：甲到丙费用降低 2 元 / 千米：
元 / 千米
乙到丙仍 15 元 / 千米
改进后总运货费用减少40元：元
，
由（1）知，，
代入，得，解得，．
将代入，
得（千米）．
∴甲乙两地之间的距离为60千米．
（3）解：设乙到丙的运费为（k为比例系数），由（2）知，
当丙地在甲、乙两地中点时，，
此时甲到丙运费＝乙到丙运费：
∴，
解得，，
总运费为，
展开并整理，得，
这是一个二次函数，
∵，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
∴当时，总运费y最小．
∴当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；一元一次方程的实际应用-行程问题；二次函数的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据甲到丙的运费+乙到丙的运费列方程，变形即得a.
（2）根据题目情境得甲到丙费用为18元，进一步得改进后总运货费960元，即可列方程，进一步得，代入数据即可得甲乙两地之间的距离为60千米．
（3）设乙到丙的运费为（k为比例系数），由（2）知，进一步得当丙地在甲、乙两地中点时，等于30，进一步根据甲到丙运费＝乙到丙运费列方程得，即可得，根据二次函数性质即可得∴当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少．
（1）解：（1）根据甲到丙的运费+乙到丙的运费，
可得：，
展开并整理：，
，
两边同时除以5：，
；
（2）解：甲到丙费用降低 2 元 / 千米：元 / 千米
乙到丙仍 15 元 / 千米
改进后总运货费用减少40元：元
，
由（1）知，，
代入，得，
解得，．
将代入，
得（千米）．
故甲乙两地之间的距离为60千米．
（3）解：设乙到丙的运费为（k为比例系数），
由（2）知，
当丙地在甲、乙两地中点时，，
此时甲到丙运费＝乙到丙运费：
∴，
解得，，
总运费为，
展开并整理，得，
这是一个二次函数，
∵，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，总运费y最小．
故当甲、丙距离为45千米时，两地到丙的总运货费用最少．
20．【答案】（1）解：①全等；线段与线段互相垂直平分；.
②证明：如图，
∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段与线段互相垂直平分．
∵，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）①如图1，
∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段与线段互相垂直平分．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴.
故答案为：全等；线段与线段互相垂直平分；.
（2）如图2，
∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，解得，
∴，
∴．
（3）如图3，
当点B与点D重合时，的面积最大，作于H，则，
由题意得：，设，则；
在中，由勾股定理得：，
解得：；由（1）知：，
∴，
∴的面积的最大值为1.3，
的最小值为1，
∴的面积的最小值为，
∴．
【分析】（1）根据翻折变换的性质得相等，相等，相等，即可证明
，再条件证明，即可得线段与线段互相垂直平分，根据相等，相等得相等，即可判断四边形是菱形，根据∴相等，等于，即可得等于，根据平行，即可得等于.
（2）根据四边形是矩形结合翻折的性质可知，根据平行线性质得，即可得，设，即可得，
，根据勾股定理得列方程得， 进一步得 线段的长 .
（3）当点B与点D重合时，的面积最大，作垂直于H，则，根据已知条件得相等，设等于，即可得等于，根据勾股定理得列方程，解得：，根据三角形面积公式得，根据的最小值为1，即可得的面积的最小值为，即可得
（1）解：∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段与线段互相垂直平分．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
（3）如图3，当点B与点D重合时，的面积最大，作于H，则，
由题意得：，设，则；
在中，由勾股定理得：，
解得：；由（1）知：，
∴，
∴的面积的最大值为1.3，
的最小值为1，
∴的面积的最小值为，
∴．
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