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广东省深圳市宝安区富源学校2025-2026学年九年级（下)调研数学试卷（3月份)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的相反数是（　　）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的概念：和为0的两个数互为相反数，所以的相反数为.求一个数的相反数就是在这个数前面加上负号.
故选D.
【分析】根据互为相反数的两个数和为0，即可得到答案.
2．下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵2x与2y不是同类项，不能进行合并，∴A不符合题意；
B、∵3x2 x2＝2x2，故该项不正确，∴B不符合题意；
C、∵3xy 2xy＝xy，故该项正确，∴C符合题意；
D、∵2x＋4x＝6x，故该项不正确，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项的计算方法及步骤逐项分析判断即可.
3．我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图 1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，伞圈 D在伞柄AP上， AE=AF=DE=DF=30cm；如图 2，伞完全收拢时，伞圈 D滑动到 D'的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度 DD'可表示为（　　)
A．60-30sin65° B．60-30cos65°
C．60-60sin65° D．60-60cos65°
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接EF交AD于点M
∵AE=AF=DE=DF=30
∴四边形AEDF是菱形
∴
∵∠BAC=130°
∴∠EAM=65°
在Rt△AEM中，
∴
∴AM=30cos65°
∴AD=2AM=60cos65°
由题意可得：AD'=AE+D'E=60
∴在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度 DD'可表示为DD'=AD'-AD= 60-60cos65°
故答案为：D
【分析】连接EF交AD于点M，根据菱形判定定理可得四边形AEDF是菱形，则，根据角之间的关系可得∠EAM=65°，再根据余弦定义即可求出答案.
4． 2024年前三季度，郑州市的地区生产总值（GDP)达到了 10702.7亿元.数据“10702.7亿”用科学记数法表示为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：10702.7亿=1070270000000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
5．如图，直角三角板 ABC的顶点 B落在⊙O上，边 AB，BC分别与⊙O相交于点 D， E，连结 OD， OE.若∠ABC=60°，则∠DOE的度数为（　　)
A．120° B．118° C．108° D．100°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=60°
∴∠DOE=2∠ABC=120°
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
6．如图，直线 AB、CD被直线 EF所截，已知 AB∥CD， ∠1=55°，则∠2的度数为（　　)
A．35° B．45° C．55° D．125°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图
∵∠1=55°
∴∠3=∠1=55°
∵AB∥CD
∴∠2=∠3=55°
故答案为：C
【分析】根据对顶角相等可得∠3=∠1=55°，再根据直线平行性质即可求出答案.
7．某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了 4800元，竹叶青酒花费了 3600元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵 20元.设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意可列方程为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每瓶汾酒的价格为 x元，
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．如图，正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别在边 AB， CD上， ∠EFD=60°.将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上，连结 EC' ，则 EC'的长是（　　)
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，∠A=90°
∴∠EFD=∠BEF=60°
∵将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°
∴∠AB'E=90°-∠AEB'=30°
∴B'E=2AE
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x
∴2(3-x)=x
解得：x=2
由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3
∴
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB∥CD，∠A=90°，则∠EFD=∠BEF=60°，根据折叠性质可得∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，再根据补角可得∠AEB'，再根据直角三角形两锐角互补可得∠AB'E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E=2AE，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x，由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3，再根据勾股定理即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．已知关于x的方程的解是，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴，解得：，
故答案为：1.
【分析】根据关于x的方程的解是，列方程，解出即可得答案.
10．一个箱子装有除颜色外都相同的 3个白球，3个黄球，1个红球，现添加同种型号的 2个球，使得从中随机抽取 1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都相同，那么添加的球是　 　球.
【答案】红
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从中随机抽取 1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都相同
∴三种颜色的球的个数都相等
∴添加的球是红球
故答案为：红
【分析】根据概率的意义进行判断即可求出答案.
11．如图，正比例函数 y=kx与反比例函数 的图象交于 A，B两点.若 AC∥x轴，BC∥y轴，则 S△ABC=　 　.
【答案】10
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A
∵正比例函数 y=kx与反比例函数 的图象交于 A，B两点
∴B
∵BC∥y轴，AC∥x轴
∴C
∴
故答案为：10
【分析】设点A，根据反比例函数，正比例函数的对称性可得B，根据点的坐标可得C，再根据三角形面积即可求出答案.
12．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为　 　（结果保留整数）
【答案】28
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据边之间的关系可得OD，根据垂径定理可得AD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，在正方形 ABCD中，点 O是对角线 BD的中点，点 P在线段 OD上，连接 AP并延长交 CD于点 E，过点 P作 PF⊥AP，交 BC于点 F，连接 AF、EF，AF交 BD于 G.给出下面四个结论：①∠EAF=45°；②BF+DE>EF；③PB-PD<2BF；④FC+EC> PG，上述结论中，正确的是　 　.（只填序号)
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①如图，取AF的中点K，连接PK，BK
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=∠APF=90°，∠ABD=∠CBD=45°
∴AK=KF
∴BK=AK=KF=PK
∴A，B，F，P四点共圆
∵∠PAF=∠PBF=45°
∴∠PAF=∠PFA=45°，①正确
②如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH
∵∠ADE=∠ABH=90°，∠ABC=90°
∴∠ABC+∠ABH=180°
∴C，B，H共线
∵∠EAF=45°
∴∠HAF=∠FAB+∠BAH=∠FAB+∠DAE=45°
∴∠EAF=∠HAF，
在△FAH和△FAE中.
∴△FAH≌△FAE(SAS)
∴FH=EF，
∵FH=BF+BH=BF+DE
∴BF+DE＝EF，②不正确
③如图，连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形
在△PBA和△PCB中
∴△PBA≌△PBC(SAS)
∴PA=PC.
∵PF=PA
∴PF=PC
∵PQ⊥CF
∴FQ=QC.
∵
∴PB-PD=(BQ-FQ)=BF④如图，延长CB至H，使BH=DE，连接AH，取AF的中点K，连接BK，PK，AC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= AD，∠ADE=∠ABC=∠BAD=∠ABH =90°
∵BH=DE
∴△ABH≌△ADE(SAS)
∴∠DAE=∠BAH，AH= AE
∵PF⊥AP
∴∠APF=90°
∵K是AF的中点
∴KA=KB=KF=KP
∴A，B，F，P四点共圆
∴∠AFB=∠APG.
由②得△FAH≌△FAE(SAS)
∴∠AFB=∠AFE
∴∠APG=∠AFE
∵∠PAG=∠FAE
∴△APG∽△AFE
∴
∵△ APF是等腰直角三角形
∴
∴
在△EFC中，FC+EC>FE
∴FC+EC>PG，故④正确.
故答案为：①③④
【分析】①取AF的中点K，连接PK，BK，根据正方形性质可得∠ABF=∠APF=90°，∠ABD=∠CBD=45°，则AK=KF，根据边之间的关系可得A，B，F，P四点共圆，再根据圆周角定理可判断①；②将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，根据角之间的关系可得∠EAF=∠HAF，根据全等三角形判定定理可得△FAH≌△FAE(SAS)，则FH=EF，再根据边之间的关系可判断②；③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，根据全等三角形判定定理可得△PBA≌△PBC(SAS)，则PA=PC，再根据边之间的关系可判断③；④延长CB至H，使BH=DE，连接AH，取AF的中点K，连接BK，PK，AC，根据正方形性质可得AB= AD，∠ADE=∠ABC=∠BAD=∠ABH =90°，再根据全等三角形判定定理可得△ABH≌△ADE(SAS)，则∠DAE=∠BAH，AH= AE，根据根据边之间的关系可得KA=KB=KF=KP，则∠AFB=∠APG，根据全等三角形性质可得∠AFB=∠AFE，再根据相似三角形判定定理及性质，等腰直角三角形性质及边之间的关系即可求出答案.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】去括号法则及应用；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据立方根，去括号，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值： 其中 a=3.
【答案】解：原式
当 a=3时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
16．泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热 IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查.该公司随机采访 20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制)，分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用 x表示，共分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95， D.95≤x≤100) ，下面给出了部分信息：
“星星人”得分是： 82， 86， 87， 88， 89， 90， 91， 92， 93， 93， 93， 94， 94， 94， 94， 95， 96， 97，98.
“拉布布”得分在 C组中的数据是： 91， 92， 94， 94， 94， 94.
“星星人”和“拉布布”得分统计表
IP 平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
“拉布布”得分情况扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布” 请说明理由（一条理由即可)；
（3）据调查，对“拉布布”打分不低于 95分的顾客中有 75%的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到 1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”
【答案】（1）94；94；40
（2）解：消费者更喜欢“拉布布”.
理由如下：∵“星星人”和“拉布布”得分的平均数相同，但“拉布布”得分的中位数高于“星星人”，
∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：1000×40%×75%=300(人)，
答：若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有300人购买“拉布布”。
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） “星星人”得分中94出现的次数最多，
∴众数a＝94，
“拉布布”得分的第10和第11个数据为94、94，.
∴中位数
“拉布布”得分C组所占百分比为：
∴c%=1-10%-20%-30%=40%
∴c=40.
故答案为：94，94，40
【分析】（1）根据众数，中位数的定义可得a，b，求出C所占百分比，再用1减去其他组的百分比可得c.
（2）根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
（3）根据1000乘以不低于 95分的顾客的占比，再乘以75%即可求出答案.
17．某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共 200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过 120套；已知购进 2套乒乓球拍和 1套羽毛球拍需花费 105元，购进 4套乒乓球拍和 3套羽毛球拍需花费 255元.乒乓球拍售价为 50元/套，羽毛球拍售价为 80元/套.
（1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；
（2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大
【答案】（1）解： 设每套乒乓球拍的进价为x元，羽毛球拍的进价为y元
由题意可得：
解得：
答：每套乒乓球拍的进价是30元，羽毛球拍的进价是45元
（2）解： 设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍200-m套，总利润为W
由题意可得：，解得：
∵m取正整数
∴67≤m≤120
总利润W=(50-30)m+(80-45)(200-m)=-15m+7000，
∴当m=67时，利润最大
答：当购进67套乒乓球拍和133套羽毛球拍时，获利最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每套乒乓球拍的进价为x元，羽毛球拍的进价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2） 设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍200-m套，总利润为W，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m的取值范围，再根据总利润=单件利润×总销售量建立关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD， AB=AD，对角线 AC， BD 交于点 O， AC平分∠BAD，过点 C作 CE⊥AB交 AB的延长线于点 E，连接 OE.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）若 OE=4， BD=6，求 CE的长.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠OAB=∠DCA
∵AC平分∠BAD
∴∠OAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC
∴CD=AD=AB
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD=AB
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6
∴OA=OC，，BD⊥AC
∴∠AOB=90°
∵CE⊥AB
∴∠CEA=90°
∴AC=2OE=8
∴
∴
∵菱形ABCD的面积为：
∴
解得：CE=
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠OAB=∠DCA，根据角平分线定义可得∠OAB=∠DAC，则∠DCA=∠DAC，根据等角对等边可得CD=AD=AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得OA=OC，，BD⊥AC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AC，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积建立方程，解方程即可求出答案.
19．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数 的图象上，存在一点 P （-1，1)，则 P为二次函数 图象上的“互反点”.
（1）已知点（0， 0)和（-2， 2)是二次函数 图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式；
（2）判断函数 y=x+6的图象上是否存在“互反点” 如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图 1，设函数 的图象上的“互反点”分别为点 A，B，过点 B作BC⊥x轴，垂足为 C.当△ABC的面积为 5时，求 n的值；
（4）如图 2， Q （m，0)为 x轴上的动点，过 Q作直线 l⊥x轴，若函数 的图象记为 W1，将 W1沿直线 l翻折后的图象记为 W2，当 W1和 W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”时，直接写出 m的取值范围.
【答案】（1）解：∵点（0，0)和（-2，2)是二次函数y=x2+bx+c图象上的“互反点”，将两点的坐标分别代入得
解得：，解得：
∴二次函数的解析式为
（2）解：函数y=x+6的图象上存在“互反点”；理由如下：
设函数y=x+6的图象上的“互反点”为（m，-m)，将(m，-m)代入得：
m+6=-m，
解得：m=-3
∴函数y=x+6的图象上的“互反点”为(-3，3)
（3）解：∵设函数，y=x+n的图象上的“互反点”分别为点A，B
在中，当y=-x时，得
解得：或（不合题意，舍去）
∴A
在y=x+n中，当y=-x时，得：x+n=-x
解得：
∴B
过点B作BC⊥x轴，垂足为C，
∴
∵△ABC的面积为5
∴
解得：或(n<0，不合题意，舍去)
（4）解：m的取值范围为-1【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解得】解：（4）m的取值范围为-1函数y=-x2+2关于直线x=m的对称抛物线解析式为y=-(x-2m)2+2
当x=m时，得：y=-m2+2
∴函数y=-x2+2与直线x=m的交点为（m，m2+2)
当点(m，-m2+2)在直线y=-x上时，代入得：-m2+2=-m
解得：m=-1或m=2
①当m=-1时，W1和W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为(2，-2)，（-1，1)，还有一个在（-1，1)点的左侧W2上
此时要使得（-1，1)点的左侧W2不存在“互反点”，
令-x=-(x-2m)2+2
整理可得：x2-(4m+1)x+4m2-2=0
=(4m+1)2-4(4m2-2)<0
解得：
∴当时，W1和W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为(2，-2)，（-1，1)
②当m=-1时，y=-(x+2)2+2
令-x=-(x+2)2+2，
解得：x=-2或x=-1
∴W1和W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”(2，-2)，(-1，1)，(-2，2)
③当-1④当m＝2时，W2和W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为(2，-2)
⑤当m>2时，W1和W2两部分组成的图象上不存在“互反点”
综上所述，当W1和W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，m的取值范围为-1< m<2或
【分析】（1）根据待定系数法将点（0， 0)和（-2， 2)代入解析式即可求出答案.
（2）设函数y=x+6的图象上的“互反点”为（m，-m)，将点坐标代入解析式，解方程即可求出答案.
（3）根据互反点定义建立方程，解方程可得A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，根据两点间距离可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（4）由题意可得函数y=-x2+2关于直线x=m的对称抛物线解析式为y=-(x-2m)2+2，求出函数y=-x2+2与直线x=m的交点为（m，m2+2)，当点(m，-m2+2)在直线y=-x上时，可得m=-1或m=2，分情况讨论，结合互反点的定义，联立方程组，解方程组即可求出答案.
20．兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【初探猜想】如图 1，在正方形 ABCD中，点 E， F分别是 AB、AD上的两点，连接 DE， CF，若DE⊥CF，试判断线段 DE与 CF的大小关系，并说明理由；
（2）【类比探究】如图 2，在矩形 ABCD中，AD=6，CD=3，点 E、F分别是边 AD、BC上一点，点 G、H分别是边 AB、CD上一点，连接 EF， GH，若 EF⊥GH，则 　 　
（3）【知识迁移】如图 3，在四边形 ABCD中， 点 E、F分别在线段 AB、AD上，且 CE⊥BF，连接 AC，若△ABC为等边三角形，求 的值；
（4）【拓展应用】如图 4，在矩形 ABCD中，AB=a，BC=b，点 E， F分别在边 AD， BC上，将四边形 ABFE沿 EF 翻折，点 B 的对应点点 G恰好落在 CD上，点 A 的对应点是点 H，则 aBH+bEF的最小值为　 　.（用 a、b的代数式表示)
【答案】（1）解：DE=CF，理由如下：
设CF，DE相交于点O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠ADC=90°，AD=CD
∴∠ADE+∠AED=90°
∵DE⊥CF
∴∠DOF=90°
∴∠ADE+∠CFD=90°
∴∠CFD=∠AED
∴△ADE≌△DCF(AAS)
∴DE=CF
（2）
（3）解：作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥CV于点W
∴∠V=∠W=90°
∵∠DAB=90°
∴四边形ABWV是矩形
∵CE⊥BF
∴由（2）知：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°，BC=AB
∴∠CBW=30°
∴
∴
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（2）作DZ∥GH，交AB于点Z，作CX∥EF，交AD于点X
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC
∴四边形DHGZ和四边形EFCX是平行四边形
∴DZ=GH，EF=CX
∵EF⊥GH
∴CX⊥DZ
同理（1）可得，∠AZD=∠CXD
∴△ADQ∽△DXC
∴
∴
故答案为：
（4）由题意可得：
连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR
由对称性可得，BG=RG，AG=BH，BG⊥EF
由（2）可得：
∴
当A，G，R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长度
∴BH+BG的最小值为AR的长
∴的最小值为AR的长
∵AB=a，BC=CR=2b，∠ABC=90°
∴
∴的最小值为：
∴ aBH+bEF的最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据正方形性质可得∠A=∠ADC=90°，AD=CD，再根据角之间的关系可得∠CFD=∠AED，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）作DZ∥GH，交AB于点Z，作CX∥EF，交AD于点X，根据矩形性质可得∠A=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形判定定理可得四边形DHGZ和四边形EFCX是平行四边形，则DZ=GH，EF=CX，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥CV于点W，根据矩形判定定理可得四边形ABWV是矩形，由（2）知：，根据等边三角形性质可得∠ABC=60°，BC=AB，则∠CBW=30°，再根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
（4）连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，由对称性可得，BG=RG，AG=BH，BG⊥EF，由（2）可得：，则，当A，G，R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长度，则的最小值为AR的长，结合勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市宝安区富源学校2025-2026学年九年级（下)调研数学试卷（3月份)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的相反数是（　　）
A． B．- C． D．-
2．下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图 1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，伞圈 D在伞柄AP上， AE=AF=DE=DF=30cm；如图 2，伞完全收拢时，伞圈 D滑动到 D'的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度 DD'可表示为（　　)
A．60-30sin65° B．60-30cos65°
C．60-60sin65° D．60-60cos65°
4． 2024年前三季度，郑州市的地区生产总值（GDP)达到了 10702.7亿元.数据“10702.7亿”用科学记数法表示为（　　)
A． B．
C． D．
5．如图，直角三角板 ABC的顶点 B落在⊙O上，边 AB，BC分别与⊙O相交于点 D， E，连结 OD， OE.若∠ABC=60°，则∠DOE的度数为（　　)
A．120° B．118° C．108° D．100°
6．如图，直线 AB、CD被直线 EF所截，已知 AB∥CD， ∠1=55°，则∠2的度数为（　　)
A．35° B．45° C．55° D．125°
7．某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了 4800元，竹叶青酒花费了 3600元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵 20元.设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意可列方程为（　　)
A． B．
C． D．
8．如图，正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别在边 AB， CD上， ∠EFD=60°.将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上，连结 EC' ，则 EC'的长是（　　)
A．4 B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．已知关于x的方程的解是，则的值为　 　．
10．一个箱子装有除颜色外都相同的 3个白球，3个黄球，1个红球，现添加同种型号的 2个球，使得从中随机抽取 1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都相同，那么添加的球是　 　球.
11．如图，正比例函数 y=kx与反比例函数 的图象交于 A，B两点.若 AC∥x轴，BC∥y轴，则 S△ABC=　 　.
12．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为　 　（结果保留整数）
13．如图，在正方形 ABCD中，点 O是对角线 BD的中点，点 P在线段 OD上，连接 AP并延长交 CD于点 E，过点 P作 PF⊥AP，交 BC于点 F，连接 AF、EF，AF交 BD于 G.给出下面四个结论：①∠EAF=45°；②BF+DE>EF；③PB-PD<2BF；④FC+EC> PG，上述结论中，正确的是　 　.（只填序号)
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．计算：
15．先化简，再求值： 其中 a=3.
16．泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热 IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查.该公司随机采访 20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制)，分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用 x表示，共分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95， D.95≤x≤100) ，下面给出了部分信息：
“星星人”得分是： 82， 86， 87， 88， 89， 90， 91， 92， 93， 93， 93， 94， 94， 94， 94， 95， 96， 97，98.
“拉布布”得分在 C组中的数据是： 91， 92， 94， 94， 94， 94.
“星星人”和“拉布布”得分统计表
IP 平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
“拉布布”得分情况扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布” 请说明理由（一条理由即可)；
（3）据调查，对“拉布布”打分不低于 95分的顾客中有 75%的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到 1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”
17．某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共 200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过 120套；已知购进 2套乒乓球拍和 1套羽毛球拍需花费 105元，购进 4套乒乓球拍和 3套羽毛球拍需花费 255元.乒乓球拍售价为 50元/套，羽毛球拍售价为 80元/套.
（1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；
（2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大
18．如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD， AB=AD，对角线 AC， BD 交于点 O， AC平分∠BAD，过点 C作 CE⊥AB交 AB的延长线于点 E，连接 OE.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）若 OE=4， BD=6，求 CE的长.
19．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数 的图象上，存在一点 P （-1，1)，则 P为二次函数 图象上的“互反点”.
（1）已知点（0， 0)和（-2， 2)是二次函数 图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式；
（2）判断函数 y=x+6的图象上是否存在“互反点” 如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图 1，设函数 的图象上的“互反点”分别为点 A，B，过点 B作BC⊥x轴，垂足为 C.当△ABC的面积为 5时，求 n的值；
（4）如图 2， Q （m，0)为 x轴上的动点，过 Q作直线 l⊥x轴，若函数 的图象记为 W1，将 W1沿直线 l翻折后的图象记为 W2，当 W1和 W2两部分组成的图象上恰有 2个“互反点”时，直接写出 m的取值范围.
20．兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【初探猜想】如图 1，在正方形 ABCD中，点 E， F分别是 AB、AD上的两点，连接 DE， CF，若DE⊥CF，试判断线段 DE与 CF的大小关系，并说明理由；
（2）【类比探究】如图 2，在矩形 ABCD中，AD=6，CD=3，点 E、F分别是边 AD、BC上一点，点 G、H分别是边 AB、CD上一点，连接 EF， GH，若 EF⊥GH，则 　 　
（3）【知识迁移】如图 3，在四边形 ABCD中， 点 E、F分别在线段 AB、AD上，且 CE⊥BF，连接 AC，若△ABC为等边三角形，求 的值；
（4）【拓展应用】如图 4，在矩形 ABCD中，AB=a，BC=b，点 E， F分别在边 AD， BC上，将四边形 ABFE沿 EF 翻折，点 B 的对应点点 G恰好落在 CD上，点 A 的对应点是点 H，则 aBH+bEF的最小值为　 　.（用 a、b的代数式表示)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的概念：和为0的两个数互为相反数，所以的相反数为.求一个数的相反数就是在这个数前面加上负号.
故选D.
【分析】根据互为相反数的两个数和为0，即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵2x与2y不是同类项，不能进行合并，∴A不符合题意；
B、∵3x2 x2＝2x2，故该项不正确，∴B不符合题意；
C、∵3xy 2xy＝xy，故该项正确，∴C符合题意；
D、∵2x＋4x＝6x，故该项不正确，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用合并同类项的计算方法及步骤逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接EF交AD于点M
∵AE=AF=DE=DF=30
∴四边形AEDF是菱形
∴
∵∠BAC=130°
∴∠EAM=65°
在Rt△AEM中，
∴
∴AM=30cos65°
∴AD=2AM=60cos65°
由题意可得：AD'=AE+D'E=60
∴在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度 DD'可表示为DD'=AD'-AD= 60-60cos65°
故答案为：D
【分析】连接EF交AD于点M，根据菱形判定定理可得四边形AEDF是菱形，则，根据角之间的关系可得∠EAM=65°，再根据余弦定义即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：10702.7亿=1070270000000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=60°
∴∠DOE=2∠ABC=120°
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图
∵∠1=55°
∴∠3=∠1=55°
∵AB∥CD
∴∠2=∠3=55°
故答案为：C
【分析】根据对顶角相等可得∠3=∠1=55°，再根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每瓶汾酒的价格为 x元，
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设每瓶汾酒的价格为 x元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，∠A=90°
∴∠EFD=∠BEF=60°
∵将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°
∴∠AB'E=90°-∠AEB'=30°
∴B'E=2AE
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x
∴2(3-x)=x
解得：x=2
由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3
∴
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB∥CD，∠A=90°，则∠EFD=∠BEF=60°，根据折叠性质可得∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，再根据补角可得∠AEB'，再根据直角三角形两锐角互补可得∠AB'E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E=2AE，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x，由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】1
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴，解得：，
故答案为：1.
【分析】根据关于x的方程的解是，列方程，解出即可得答案.
10．【答案】红
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从中随机抽取 1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都相同
∴三种颜色的球的个数都相等
∴添加的球是红球
故答案为：红
【分析】根据概率的意义进行判断即可求出答案.
11．【答案】10
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A
∵正比例函数 y=kx与反比例函数 的图象交于 A，B两点
∴B
∵BC∥y轴，AC∥x轴
∴C
∴
故答案为：10
【分析】设点A，根据反比例函数，正比例函数的对称性可得B，根据点的坐标可得C，再根据三角形面积即可求出答案.
12．【答案】28
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据边之间的关系可得OD，根据垂径定理可得AD，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①如图，取AF的中点K，连接PK，BK
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形
∴∠ABF=∠APF=90°，∠ABD=∠CBD=45°
∴AK=KF
∴BK=AK=KF=PK
∴A，B，F，P四点共圆
∵∠PAF=∠PBF=45°
∴∠PAF=∠PFA=45°，①正确
②如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH
∵∠ADE=∠ABH=90°，∠ABC=90°
∴∠ABC+∠ABH=180°
∴C，B，H共线
∵∠EAF=45°
∴∠HAF=∠FAB+∠BAH=∠FAB+∠DAE=45°
∴∠EAF=∠HAF，
在△FAH和△FAE中.
∴△FAH≌△FAE(SAS)
∴FH=EF，
∵FH=BF+BH=BF+DE
∴BF+DE＝EF，②不正确
③如图，连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形
在△PBA和△PCB中
∴△PBA≌△PBC(SAS)
∴PA=PC.
∵PF=PA
∴PF=PC
∵PQ⊥CF
∴FQ=QC.
∵
∴PB-PD=(BQ-FQ)=BF④如图，延长CB至H，使BH=DE，连接AH，取AF的中点K，连接BK，PK，AC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= AD，∠ADE=∠ABC=∠BAD=∠ABH =90°
∵BH=DE
∴△ABH≌△ADE(SAS)
∴∠DAE=∠BAH，AH= AE
∵PF⊥AP
∴∠APF=90°
∵K是AF的中点
∴KA=KB=KF=KP
∴A，B，F，P四点共圆
∴∠AFB=∠APG.
由②得△FAH≌△FAE(SAS)
∴∠AFB=∠AFE
∴∠APG=∠AFE
∵∠PAG=∠FAE
∴△APG∽△AFE
∴
∵△ APF是等腰直角三角形
∴
∴
在△EFC中，FC+EC>FE
∴FC+EC>PG，故④正确.
故答案为：①③④
【分析】①取AF的中点K，连接PK，BK，根据正方形性质可得∠ABF=∠APF=90°，∠ABD=∠CBD=45°，则AK=KF，根据边之间的关系可得A，B，F，P四点共圆，再根据圆周角定理可判断①；②将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，根据角之间的关系可得∠EAF=∠HAF，根据全等三角形判定定理可得△FAH≌△FAE(SAS)，则FH=EF，再根据边之间的关系可判断②；③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，根据全等三角形判定定理可得△PBA≌△PBC(SAS)，则PA=PC，再根据边之间的关系可判断③；④延长CB至H，使BH=DE，连接AH，取AF的中点K，连接BK，PK，AC，根据正方形性质可得AB= AD，∠ADE=∠ABC=∠BAD=∠ABH =90°，再根据全等三角形判定定理可得△ABH≌△ADE(SAS)，则∠DAE=∠BAH，AH= AE，根据根据边之间的关系可得KA=KB=KF=KP，则∠AFB=∠APG，根据全等三角形性质可得∠AFB=∠AFE，再根据相似三角形判定定理及性质，等腰直角三角形性质及边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：原式
【知识点】去括号法则及应用；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据立方根，去括号，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
当 a=3时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）94；94；40
（2）解：消费者更喜欢“拉布布”.
理由如下：∵“星星人”和“拉布布”得分的平均数相同，但“拉布布”得分的中位数高于“星星人”，
∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：1000×40%×75%=300(人)，
答：若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有300人购买“拉布布”。
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） “星星人”得分中94出现的次数最多，
∴众数a＝94，
“拉布布”得分的第10和第11个数据为94、94，.
∴中位数
“拉布布”得分C组所占百分比为：
∴c%=1-10%-20%-30%=40%
∴c=40.
故答案为：94，94，40
【分析】（1）根据众数，中位数的定义可得a，b，求出C所占百分比，再用1减去其他组的百分比可得c.
（2）根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
（3）根据1000乘以不低于 95分的顾客的占比，再乘以75%即可求出答案.
17．【答案】（1）解： 设每套乒乓球拍的进价为x元，羽毛球拍的进价为y元
由题意可得：
解得：
答：每套乒乓球拍的进价是30元，羽毛球拍的进价是45元
（2）解： 设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍200-m套，总利润为W
由题意可得：，解得：
∵m取正整数
∴67≤m≤120
总利润W=(50-30)m+(80-45)(200-m)=-15m+7000，
∴当m=67时，利润最大
答：当购进67套乒乓球拍和133套羽毛球拍时，获利最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每套乒乓球拍的进价为x元，羽毛球拍的进价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2） 设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍200-m套，总利润为W，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m的取值范围，再根据总利润=单件利润×总销售量建立关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠OAB=∠DCA
∵AC平分∠BAD
∴∠OAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC
∴CD=AD=AB
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD=AB
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6
∴OA=OC，，BD⊥AC
∴∠AOB=90°
∵CE⊥AB
∴∠CEA=90°
∴AC=2OE=8
∴
∴
∵菱形ABCD的面积为：
∴
解得：CE=
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠OAB=∠DCA，根据角平分线定义可得∠OAB=∠DAC，则∠DCA=∠DAC，根据等角对等边可得CD=AD=AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得OA=OC，，BD⊥AC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AC，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵点（0，0)和（-2，2)是二次函数y=x2+bx+c图象上的“互反点”，将两点的坐标分别代入得
解得：，解得：
∴二次函数的解析式为
（2）解：函数y=x+6的图象上存在“互反点”；理由如下：
设函数y=x+6的图象上的“互反点”为（m，-m)，将(m，-m)代入得：
m+6=-m，
解得：m=-3
∴函数y=x+6的图象上的“互反点”为(-3，3)
（3）解：∵设函数，y=x+n的图象上的“互反点”分别为点A，B
在中，当y=-x时，得
解得：或（不合题意，舍去）
∴A
在y=x+n中，当y=-x时，得：x+n=-x
解得：
∴B
过点B作BC⊥x轴，垂足为C，
∴
∵△ABC的面积为5
∴
解得：或(n<0，不合题意，舍去)
（4）解：m的取值范围为-1【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解得】解：（4）m的取值范围为-1函数y=-x2+2关于直线x=m的对称抛物线解析式为y=-(x-2m)2+2
当x=m时，得：y=-m2+2
∴函数y=-x2+2与直线x=m的交点为（m，m2+2)
当点(m，-m2+2)在直线y=-x上时，代入得：-m2+2=-m
解得：m=-1或m=2
①当m=-1时，W1和W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为(2，-2)，（-1，1)，还有一个在（-1，1)点的左侧W2上
此时要使得（-1，1)点的左侧W2不存在“互反点”，
令-x=-(x-2m)2+2
整理可得：x2-(4m+1)x+4m2-2=0
=(4m+1)2-4(4m2-2)<0
解得：
∴当时，W1和W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为(2，-2)，（-1，1)
②当m=-1时，y=-(x+2)2+2
令-x=-(x+2)2+2，
解得：x=-2或x=-1
∴W1和W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”(2，-2)，(-1，1)，(-2，2)
③当-1④当m＝2时，W2和W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为(2，-2)
⑤当m>2时，W1和W2两部分组成的图象上不存在“互反点”
综上所述，当W1和W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，m的取值范围为-1< m<2或
【分析】（1）根据待定系数法将点（0， 0)和（-2， 2)代入解析式即可求出答案.
（2）设函数y=x+6的图象上的“互反点”为（m，-m)，将点坐标代入解析式，解方程即可求出答案.
（3）根据互反点定义建立方程，解方程可得A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，根据两点间距离可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（4）由题意可得函数y=-x2+2关于直线x=m的对称抛物线解析式为y=-(x-2m)2+2，求出函数y=-x2+2与直线x=m的交点为（m，m2+2)，当点(m，-m2+2)在直线y=-x上时，可得m=-1或m=2，分情况讨论，结合互反点的定义，联立方程组，解方程组即可求出答案.
20．【答案】（1）解：DE=CF，理由如下：
设CF，DE相交于点O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠ADC=90°，AD=CD
∴∠ADE+∠AED=90°
∵DE⊥CF
∴∠DOF=90°
∴∠ADE+∠CFD=90°
∴∠CFD=∠AED
∴△ADE≌△DCF(AAS)
∴DE=CF
（2）
（3）解：作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥CV于点W
∴∠V=∠W=90°
∵∠DAB=90°
∴四边形ABWV是矩形
∵CE⊥BF
∴由（2）知：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°，BC=AB
∴∠CBW=30°
∴
∴
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（2）作DZ∥GH，交AB于点Z，作CX∥EF，交AD于点X
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC
∴四边形DHGZ和四边形EFCX是平行四边形
∴DZ=GH，EF=CX
∵EF⊥GH
∴CX⊥DZ
同理（1）可得，∠AZD=∠CXD
∴△ADQ∽△DXC
∴
∴
故答案为：
（4）由题意可得：
连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR
由对称性可得，BG=RG，AG=BH，BG⊥EF
由（2）可得：
∴
当A，G，R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长度
∴BH+BG的最小值为AR的长
∴的最小值为AR的长
∵AB=a，BC=CR=2b，∠ABC=90°
∴
∴的最小值为：
∴ aBH+bEF的最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据正方形性质可得∠A=∠ADC=90°，AD=CD，再根据角之间的关系可得∠CFD=∠AED，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）作DZ∥GH，交AB于点Z，作CX∥EF，交AD于点X，根据矩形性质可得∠A=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形判定定理可得四边形DHGZ和四边形EFCX是平行四边形，则DZ=GH，EF=CX，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）作CV⊥AD，交AD的延长线于点V，作BW⊥CV于点W，根据矩形判定定理可得四边形ABWV是矩形，由（2）知：，根据等边三角形性质可得∠ABC=60°，BC=AB，则∠CBW=30°，再根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
（4）连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，由对称性可得，BG=RG，AG=BH，BG⊥EF，由（2）可得：，则，当A，G，R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长度，则的最小值为AR的长，结合勾股定理即可求出答案.
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