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浙江金华市义乌市春晗学校2025-2026学年九年级下学期第一次学情自测数学试卷
1．实数6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．9 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：6的相反数是-6，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义即可得出答案.
2．中国国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示即为其俯视图，
故答案为：A.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线.
3．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（　　）
A．2668×104 B．2.668×107 C．2.668×108 D．0.2668×108
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2668万=26680000=2.668×107
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，据此解答即可.
4．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1， 又△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为16．
故选：D．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
5．已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数和众数都是3
C．方差为10 D．标准差是
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；标准差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：(1+2+3+3+4+5)÷6=3，因此选项A不符合题意；
出现次数最多的是3，排序后处在第3、4位的数都是3，因此众数和中位数都是3，因此选项B不符合题意，
，，因此C符合题意，D选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差、标准差，再进行判断.
6．《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有x辆车，有y人，下列方程（组）正确的是（　　）
A．2x﹣9＝3（x﹣2） B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x辆车，有y人，
∵两人坐一辆车，则九人需要步行，即总人数为坐车的人加步行的人，
∴y=2x+9
∵若三人坐一辆车，则有两辆空车，即实际用车(x-2)辆，
∴y=3(x-2)，
∴可列方程组
故答案为：C.
【分析】根据“总人数不变”“车辆数不变”两个核心等量关系，用两种方式表示同一个量，从而列出方程组即可判断.
7．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是（　　）
A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，
∴∠AEC=∠D=∠ACB=90°
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+BCD=90°
∴∠A=∠BCD
在△ACE和△CBD中，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，
∴DE=CD-CE=5-2=3(cm).
故答案为：C.
【分析】根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，由此即可解决问题.
8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，在线段AB上取一点C，过C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，连接DE，则线段DE长度的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设点C的坐标为(0sm≤4)，
∴OE=m，，
∴
∵
∴当时，DE最短，线段DE长度的最小值为
故答案为：D.
【分析】设点C的坐标为(0≤m≤4)，则OE=m，，根据勾股定理表示出DE的长度，通过配方可以求出DE的最小值.
10．如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　）
A．AB＝4 B．∠ACB＝90°
C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，
记HE中点为I，
由函数图象可得，当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，如图：
则BI=2×1=2，
由题意得AB⊥HE，
∵CA=CB
∴AB=2BI=4
∴
∴CI=2=BI，
∴此时△CIB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ACB=90°，
故A、B正确，不符合题意；
∴当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，
由题意得：BI=t×1=t，
∵∠B=45°，AB⊥HE，
∴△IJB为等腰直角三角形，
∴IJ=IB=t
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当t=6时运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图：
∴DI=EF=6
∵四边形HEFG是正方形，
∴EF=GF=6，∠F=90°
由题意得：D为BC的中点，
∴DF=3，
∴，
∴△EFD的周长为，故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可.
11．若二次根式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　 　 ．
【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1
则符合要求的x的值可以是2，
故答案为：2(答案不唯一).
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.
12．现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵8张卡片中标数字2的有3张，
∴从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率为
.
故答案为：
.
【分析】找出标有数字2卡片的个数，然后利用概率公式计算即可.
13．在平面直角坐标系中，将点M（﹣2，5）向右平移3个单位长度，得到的对应点M'的坐标为　 　 ．
【答案】(1，5）
【知识点】用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点M(-2，5)向右平移3个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上3，所得对应点M’的坐标为(-2+3，5)，即(1，5).
故答案为：(1，5）.
【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可.
14．在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝　 　 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形AEFD为正方形，四边形ABCD为矩形
∴∠PFC=∠PEA=90°， DF=AE
∵∠CPF=∠APE
∴△PFC∽△PEA
∴
∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，PE=2
∴
∴
故答案为：.
【分析】结合已知条件易证得△PFC∽△PEA，DF=AE，则，根据点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，PE=2，可得，解得PF的值即可.
15．如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为　 　 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形
∴直线OP的解析式为：y=x，
解方程组得，，
∵点P在第一象限，
∴P(2，2)；
∴A(2，0)，
∵OP//AQ
∴设直线AQ的解析式为：y=x+b，
把A(2，0)代入得
2+b=0，
解得，b=-2，
∴直线AQ的解析式为：y=x-2，
解方程组得得，，
∵点Q在第一象限，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】若△OAP是等腰直角三角形，那么∠POA=45°，即直线OP：y=x，联立双曲线解析式可求得P(2，2)，即A(2，0)，然后结合直线OP的斜率求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得出B点的坐标.
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一点D，连接CD，则AD+BD的最小值是 　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM，
∵CD=6， CM=4， CA=9，
∴CD2=CM·CA，
∴
∵∠DCM=∠ACD
∴△DCM~△ACD
∴
∴
∴
∵DM+BD≥BM
在Rt△CBM中，∠MCB=90°， CM=4， BC=12，
∴，
∴
∴的最小值为
故答案为：.
【分析】在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM，利用相似三角形的性质证明，推出，利用勾股定理求出BM即可求得答案.
17．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算.
18．解方程：．
【答案】解：方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入得，
∴原方程的解为：．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将分式方程转化为含x的整式方程，按照一元一次方程的解题方法计算即可，最后将求出x的值代入原方程进行检验.
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，△AOB的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为（﹣2，3）和（﹣3，1）．
（1）在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点B'，并写出点B'的坐标．
（2）在所给的网格图中画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1．
【答案】（1）解：如图
∴B'（3，﹣1）；
（2）解：如图，△A1OB1即为所求．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标解答即可；
(2)找到△AOB绕点O顺时针旋转90°后的坐标即可画出△A1OB1.
20．为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 ▲ 人，并补全条形图；
（2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数；
（3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
【答案】（1）解：20
（2）解：500×(52%+16%)=340(人).
故学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数有340人.
（3）解：学期末比学期初有提高．
由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，
∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)在学期初调查数据条形图中，B组人数是50-9-15-6=20(人).
补全数据条形图如下：
故答案为：20.
【分析】(1)先由总人数减去已知小组的人数可得B组人数，再补全图形即可；
(2)由总人数乘学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数的百分比即可得到答案；
(3)根据表格信息，结合平均数、中位数、众数的定义进行分析即可.
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，AC＝BC，连接CD交AB于点E，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）若DF＝4，，求AB的长．
【答案】（1）证明：连接BC、OC、OD，
则OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴△COE中，∠CEA=180°-∠COE-∠OCD=90°-∠OCD，
∵DF是⊙O的切线
∴OD⊥DF
∴∠FDE=∠ODF-∠ODC=90°-∠ODC，
∴∠CEA=∠FDE
∵∠CEA=∠FED
∴∠FDE=∠FED，
∴DF=EF
（2）解：作DH⊥AF交AF于点H，连接DA、DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OHD=∠DHB=∠ADB=∠ODF=90°，
∴∠BDH=90°-∠ADH=∠BAD=∠BCD，
∴
∴DH=2BH，AH=2DH=4BH，
设BH=2m，则DH=4m，AH=8m，
∴AB=AH+BH=10m
∴，OH=OB-BH=3m，
∵DF=4，
∴
∴AB=2OD=6
【知识点】切线的性质；对顶角及其性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)连接BC、OC、OD，由圆的性质得OC=OD，由等边对等角可得∠OCD=∠ODC，结合三线合一可得OC⊥AB，再由DF是⊙O的切线可证∠CEA=∠FDE，由对顶角相等得∠CEA=∠FED后即可证∠FDE=∠FED，最后根据等角对等边即可得证；
(2)作DH⊥AF交AF于点H，连接DA、DB，则∠OHD=∠DHB=∠ADB=∠ODF=90°，可证∠BDH=∠BAD=∠BCD， 由，可得DH=2BH，AH=2DH=4BH，设BH=2m，则DH=4m，AH=8m，求得AB、OD、OH后，最后由，求出OD后即可得到AB的长.
22．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
（1）图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形ABCD组成，且，圆心是倒锁按钮点F，若的弓形高EG＝2cm，CD＝8cm，请求出此时图③中圆心F到AB的距离．
（2）图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达K处，把手绕锁芯O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时∠NOS＝20°．将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ，过点Q作QM⊥PR于点M．若所在圆的半径ON＝10cm，请求出此时MN的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【答案】（1）解：连接AF，延长FH交于点T，设⊙F的半径为rcm，
由题意可知，FT⊥AB
∴∠AHF=90°，，
∵，
∴弓形高TH=EG=2cm，AB=CD=8cm，
∴， FH=FT-TH=(r-2)cm，
在Rt△AFH中，AF2=FH2+AH2，
∴r2=(r-2)2+42，
解得r=5，
∴FH=r-2=3cm
即圆心F到AB的距离为3cm.
（2）解：延长QM，KO交于点W，
由题意可知，OK//PR，∠OSN=90°，
在Rt△OSN中，
∴OS=ON·cos∠NOS=10×cos20°≈9.40cm，
∵将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ，
∴OQ=ON=10cm，∠QON=90°
∴∠QOW=180°-∠QON-∠NOS=70°，
∵QM⊥PR， OK//PR，
∴∠W=∠NMQ=90°，
∴∠OQW=90°-∠QOW=20°
在Rt△OQW中，
∴OW=OQ·sin∠OQW=10×sin20°≈3.42cm，
∵∠OSN=∠NMW=∠W=90°，
∴四边形NSWM是矩形，
∴MN=WS=OW+OS=3.42+9.40=12.82≈12.8cm.
即MN的长度约为12.8cm.
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；垂径定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接AF，延长FH交于点T，设⊙F的半径为rcm，由可得TH=EG，AB=CD；根据垂径定理可得，在Rt△AFH中，利用勾股定理构造方程并解出x的值，进而计算出FH的长；
(2)延长QM，KO交于点W，易证明四边形NSWM是矩形，则MN=WS=OW+OS，在Rt△OSN和Rt△OQW中，利用三角函数计算出OS和OW即可.
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+n．
（1）若n＝m2﹣1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）若n＝m2+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中m﹣2＜x1＜m+1，x2＝1﹣2m．
①若y1的最小值是﹣2，求函数的表达式；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵n=m2-1，
∴y=x2-2mx+m2-1
令y=0， x2-2mx+m2-1=0，
Δ=(-2m)2-4(m2-1)=4>0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点
（2）解：①若n=m2+m，则y=x2-2mx+m2+m，
∴对称轴为直线x=m，
∵m-2∴当x=m时，y1=m=-2
∴函数的表达式为y=x2+4x+2.
②∵对于x1，x2，都有y1又∵图象开口向上，(m-2，y)关于对称轴的对称点为(m+2，y)，
∴1-2m≤m-2或1-2m≥m+2，
∴或m≥1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)求得Δ=(-2m)2-4(m2-1)=4>0，即可得到结论；
(2)①求得抛物线的对称轴为直线x=m，结合m-2②由题意可知1-2m≤m-2或1-2m≥m+2，解得即可.
24．如图
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．求证：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F．若CE＝2DE，求FG的长；
（3）保持（2）中AB，AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A＝120°，如图③所示．E是CD边上一点且满足CE＝2DE，点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出DG DF的值．
【答案】（1）证明：延长BE交DF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）
∴∠CBE=∠CDF，BE=DF，
∵∠BEC=∠DEH，∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠DEH+∠CDF+∠DHE=180°
∴∠BCE=∠DHE=90°，
∴BE⊥DF；
（2）解：如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，CE=2DE，延长BE交DF于点H.
∴CD=AB=3，AD=BC=4，DE=1，CE=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
，
∵△BED沿BE折叠得△BEG，
∴BE垂直平分DG，即DH=HG，BH⊥DF，
∴∠DHE=90°=∠BCE，
∵∠BEC=∠DEH，
∴△BCE∽△DHE
∴，∠CDF=∠CBE，
∴
解得
∴
∵
在Rt△DCF中，，CD=3，
∴
由勾股定理得：
∴
（3）解：DG DF的值为2或3．
理由如下：
由(2)得DE=1，CE=2，BC=CD=3
情况1：∠BGF=60°，则∠DGE=120°，
如图，过点E作EP⊥BC交BC延长线于P，延长BG交AD延长线于N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴∠BCD=∠A=120°， AD//BC，BC=AD=4，
∴∠ECP=60°，
∵EP⊥BC，
∴∠CEP=90°-60°=30°
在Rt△CEP中，，
∴BP=BC+CP=5，
在直角三角形BEP中，由勾股定理得：
，
∵∠BCD=∠DGE=120°，∠BEC=∠DEG
∴△BCE∽△DGE，
∴
∴
解得，
∴
∵AD//BC，
∴△NDE∽△BCE
∴
∴，，
∴
∵AD//BC，
∴△NDG∽△BFG，
∴
∴
解得(经检验，是分式方程的解，且符合题意)
∴，
∴
情况2：当∠BGD=60°时，如图，
∵∠BGD=60°，∠BCD=120°
∴∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°，
∵∠EDG=∠FDC，
∴△DGE∽△DCF
∴
∴DG·DF=DC·DE=3×1=3，
综上所述，DG·DF的值为2或3.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用正方形性质，通过SAS证明△BCE≌△DCF，得到BE=DF；再通过角的等量代换，证明BE与DF的夹角为90°，从而证得BE⊥DF；
(2)先由折叠性质得BE垂直平分DG，再证明△BCE∽△DHE，利用相似比求出DH、DG的长度；接着在Rt△DCF中，利用正切函数求出CF的长，最后用勾股定理算出DF，进而求得FG的长度；
(3)分两种情况讨论：当∠BGF=60°时，过E作EP⊥BC于P，延长BG交AD延长线于N，先求BE的长，证明△BCE∽△DGE得EG、DG的长，证明△NDE∽△BCE，进而得BG、GN，再证明△NDG∽△BFG得GF，最后计算DG·DF；当∠BGD=60°时，证明△DGE∽△DCF，结合相似性质求出DG、DF，进而计算DG·DF.
1 / 1浙江金华市义乌市春晗学校2025-2026学年九年级下学期第一次学情自测数学试卷
1．实数6的相反数是（　　）
A．﹣6 B．9 C． D．
2．中国国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（　　）
A．2668×104 B．2.668×107 C．2.668×108 D．0.2668×108
4．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．16
5．已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，错误的是（　　）
A．平均数是3 B．中位数和众数都是3
C．方差为10 D．标准差是
6．《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有x辆车，有y人，下列方程（组）正确的是（　　）
A．2x﹣9＝3（x﹣2） B．
C． D．
7．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是（　　）
A．8cm B．4cm C．3cm D．2cm
8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；（3）过点M'画射线CM'交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC D．AD+DC＝BC
9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，在线段AB上取一点C，过C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，连接DE，则线段DE长度的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA＝CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（　　）
A．AB＝4 B．∠ACB＝90°
C．当0≤t≤2时，y D．△EFD的周长为9+5
11．若二次根式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　 　 ．
12．现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是　 　．
13．在平面直角坐标系中，将点M（﹣2，5）向右平移3个单位长度，得到的对应点M'的坐标为　 　 ．
14．在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝　 　 ．
15．如图，△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为　 　 ．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一点D，连接CD，则AD+BD的最小值是 　 　 ．
17．计算：．
18．解方程：．
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，△AOB的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为（﹣2，3）和（﹣3，1）．
（1）在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点B'，并写出点B'的坐标．
（2）在所给的网格图中画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1．
20．为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是 ▲ 人，并补全条形图；
（2）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数；
（3）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，AC＝BC，连接CD交AB于点E，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）若DF＝4，，求AB的长．
22．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
（1）图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形ABCD组成，且，圆心是倒锁按钮点F，若的弓形高EG＝2cm，CD＝8cm，请求出此时图③中圆心F到AB的距离．
（2）图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达K处，把手绕锁芯O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时∠NOS＝20°．将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ，过点Q作QM⊥PR于点M．若所在圆的半径ON＝10cm，请求出此时MN的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+n．
（1）若n＝m2﹣1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）若n＝m2+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中m﹣2＜x1＜m+1，x2＝1﹣2m．
①若y1的最小值是﹣2，求函数的表达式；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
24．如图
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．求证：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F．若CE＝2DE，求FG的长；
（3）保持（2）中AB，AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A＝120°，如图③所示．E是CD边上一点且满足CE＝2DE，点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出DG DF的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：6的相反数是-6，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示即为其俯视图，
故答案为：A.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2668万=26680000=2.668×107
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1， 又△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为16．
故选：D．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；标准差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：(1+2+3+3+4+5)÷6=3，因此选项A不符合题意；
出现次数最多的是3，排序后处在第3、4位的数都是3，因此众数和中位数都是3，因此选项B不符合题意，
，，因此C符合题意，D选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差、标准差，再进行判断.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x辆车，有y人，
∵两人坐一辆车，则九人需要步行，即总人数为坐车的人加步行的人，
∴y=2x+9
∵若三人坐一辆车，则有两辆空车，即实际用车(x-2)辆，
∴y=3(x-2)，
∴可列方程组
故答案为：C.
【分析】根据“总人数不变”“车辆数不变”两个核心等量关系，用两种方式表示同一个量，从而列出方程组即可判断.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，
∴∠AEC=∠D=∠ACB=90°
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+BCD=90°
∴∠A=∠BCD
在△ACE和△CBD中，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，
∴DE=CD-CE=5-2=3(cm).
故答案为：C.
【分析】根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，由此即可解决问题.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图可知
故选项A， B， C正确.
故答案为： D.
【分析】根据作图得到然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设点C的坐标为(0sm≤4)，
∴OE=m，，
∴
∵
∴当时，DE最短，线段DE长度的最小值为
故答案为：D.
【分析】设点C的坐标为(0≤m≤4)，则OE=m，，根据勾股定理表示出DE的长度，通过配方可以求出DE的最小值.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，
记HE中点为I，
由函数图象可得，当t=2时，y=2，此时点C落在HE上，如图：
则BI=2×1=2，
由题意得AB⊥HE，
∵CA=CB
∴AB=2BI=4
∴
∴CI=2=BI，
∴此时△CIB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ACB=90°，
故A、B正确，不符合题意；
∴当0≤t≤2时，重叠部分记为△IJB，
由题意得：BI=t×1=t，
∵∠B=45°，AB⊥HE，
∴△IJB为等腰直角三角形，
∴IJ=IB=t
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当t=6时运动停止，那么△ABC的顶点B从点I运动到点D用时6s，如图：
∴DI=EF=6
∵四边形HEFG是正方形，
∴EF=GF=6，∠F=90°
由题意得：D为BC的中点，
∴DF=3，
∴，
∴△EFD的周长为，故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由△ABC的运动可知，等腰△ABC与正方形EFGH重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰△ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为△ABC，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可.
11．【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1
则符合要求的x的值可以是2，
故答案为：2(答案不唯一).
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵8张卡片中标数字2的有3张，
∴从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率为
.
故答案为：
.
【分析】找出标有数字2卡片的个数，然后利用概率公式计算即可.
13．【答案】(1，5）
【知识点】用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点M(-2，5)向右平移3个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上3，所得对应点M’的坐标为(-2+3，5)，即(1，5).
故答案为：(1，5）.
【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形AEFD为正方形，四边形ABCD为矩形
∴∠PFC=∠PEA=90°， DF=AE
∵∠CPF=∠APE
∴△PFC∽△PEA
∴
∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，PE=2
∴
∴
故答案为：.
【分析】结合已知条件易证得△PFC∽△PEA，DF=AE，则，根据点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，PE=2，可得，解得PF的值即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形
∴直线OP的解析式为：y=x，
解方程组得，，
∵点P在第一象限，
∴P(2，2)；
∴A(2，0)，
∵OP//AQ
∴设直线AQ的解析式为：y=x+b，
把A(2，0)代入得
2+b=0，
解得，b=-2，
∴直线AQ的解析式为：y=x-2，
解方程组得得，，
∵点Q在第一象限，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】若△OAP是等腰直角三角形，那么∠POA=45°，即直线OP：y=x，联立双曲线解析式可求得P(2，2)，即A(2，0)，然后结合直线OP的斜率求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得出B点的坐标.
16．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM，
∵CD=6， CM=4， CA=9，
∴CD2=CM·CA，
∴
∵∠DCM=∠ACD
∴△DCM~△ACD
∴
∴
∴
∵DM+BD≥BM
在Rt△CBM中，∠MCB=90°， CM=4， BC=12，
∴，
∴
∴的最小值为
故答案为：.
【分析】在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM，利用相似三角形的性质证明，推出，利用勾股定理求出BM即可求得答案.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算.
18．【答案】解：方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入得，
∴原方程的解为：．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将分式方程转化为含x的整式方程，按照一元一次方程的解题方法计算即可，最后将求出x的值代入原方程进行检验.
19．【答案】（1）解：如图
∴B'（3，﹣1）；
（2）解：如图，△A1OB1即为所求．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标解答即可；
(2)找到△AOB绕点O顺时针旋转90°后的坐标即可画出△A1OB1.
20．【答案】（1）解：20
（2）解：500×(52%+16%)=340(人).
故学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数有340人.
（3）解：学期末比学期初有提高．
由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，
∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)在学期初调查数据条形图中，B组人数是50-9-15-6=20(人).
补全数据条形图如下：
故答案为：20.
【分析】(1)先由总人数减去已知小组的人数可得B组人数，再补全图形即可；
(2)由总人数乘学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数的百分比即可得到答案；
(3)根据表格信息，结合平均数、中位数、众数的定义进行分析即可.
21．【答案】（1）证明：连接BC、OC、OD，
则OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴△COE中，∠CEA=180°-∠COE-∠OCD=90°-∠OCD，
∵DF是⊙O的切线
∴OD⊥DF
∴∠FDE=∠ODF-∠ODC=90°-∠ODC，
∴∠CEA=∠FDE
∵∠CEA=∠FED
∴∠FDE=∠FED，
∴DF=EF
（2）解：作DH⊥AF交AF于点H，连接DA、DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OHD=∠DHB=∠ADB=∠ODF=90°，
∴∠BDH=90°-∠ADH=∠BAD=∠BCD，
∴
∴DH=2BH，AH=2DH=4BH，
设BH=2m，则DH=4m，AH=8m，
∴AB=AH+BH=10m
∴，OH=OB-BH=3m，
∵DF=4，
∴
∴AB=2OD=6
【知识点】切线的性质；对顶角及其性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)连接BC、OC、OD，由圆的性质得OC=OD，由等边对等角可得∠OCD=∠ODC，结合三线合一可得OC⊥AB，再由DF是⊙O的切线可证∠CEA=∠FDE，由对顶角相等得∠CEA=∠FED后即可证∠FDE=∠FED，最后根据等角对等边即可得证；
(2)作DH⊥AF交AF于点H，连接DA、DB，则∠OHD=∠DHB=∠ADB=∠ODF=90°，可证∠BDH=∠BAD=∠BCD， 由，可得DH=2BH，AH=2DH=4BH，设BH=2m，则DH=4m，AH=8m，求得AB、OD、OH后，最后由，求出OD后即可得到AB的长.
22．【答案】（1）解：连接AF，延长FH交于点T，设⊙F的半径为rcm，
由题意可知，FT⊥AB
∴∠AHF=90°，，
∵，
∴弓形高TH=EG=2cm，AB=CD=8cm，
∴， FH=FT-TH=(r-2)cm，
在Rt△AFH中，AF2=FH2+AH2，
∴r2=(r-2)2+42，
解得r=5，
∴FH=r-2=3cm
即圆心F到AB的距离为3cm.
（2）解：延长QM，KO交于点W，
由题意可知，OK//PR，∠OSN=90°，
在Rt△OSN中，
∴OS=ON·cos∠NOS=10×cos20°≈9.40cm，
∵将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ，
∴OQ=ON=10cm，∠QON=90°
∴∠QOW=180°-∠QON-∠NOS=70°，
∵QM⊥PR， OK//PR，
∴∠W=∠NMQ=90°，
∴∠OQW=90°-∠QOW=20°
在Rt△OQW中，
∴OW=OQ·sin∠OQW=10×sin20°≈3.42cm，
∵∠OSN=∠NMW=∠W=90°，
∴四边形NSWM是矩形，
∴MN=WS=OW+OS=3.42+9.40=12.82≈12.8cm.
即MN的长度约为12.8cm.
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质；垂径定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接AF，延长FH交于点T，设⊙F的半径为rcm，由可得TH=EG，AB=CD；根据垂径定理可得，在Rt△AFH中，利用勾股定理构造方程并解出x的值，进而计算出FH的长；
(2)延长QM，KO交于点W，易证明四边形NSWM是矩形，则MN=WS=OW+OS，在Rt△OSN和Rt△OQW中，利用三角函数计算出OS和OW即可.
23．【答案】（1）证明：∵n=m2-1，
∴y=x2-2mx+m2-1
令y=0， x2-2mx+m2-1=0，
Δ=(-2m)2-4(m2-1)=4>0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点
（2）解：①若n=m2+m，则y=x2-2mx+m2+m，
∴对称轴为直线x=m，
∵m-2∴当x=m时，y1=m=-2
∴函数的表达式为y=x2+4x+2.
②∵对于x1，x2，都有y1又∵图象开口向上，(m-2，y)关于对称轴的对称点为(m+2，y)，
∴1-2m≤m-2或1-2m≥m+2，
∴或m≥1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)求得Δ=(-2m)2-4(m2-1)=4>0，即可得到结论；
(2)①求得抛物线的对称轴为直线x=m，结合m-2②由题意可知1-2m≤m-2或1-2m≥m+2，解得即可.
24．【答案】（1）证明：延长BE交DF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）
∴∠CBE=∠CDF，BE=DF，
∵∠BEC=∠DEH，∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠DEH+∠CDF+∠DHE=180°
∴∠BCE=∠DHE=90°，
∴BE⊥DF；
（2）解：如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，CE=2DE，延长BE交DF于点H.
∴CD=AB=3，AD=BC=4，DE=1，CE=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
，
∵△BED沿BE折叠得△BEG，
∴BE垂直平分DG，即DH=HG，BH⊥DF，
∴∠DHE=90°=∠BCE，
∵∠BEC=∠DEH，
∴△BCE∽△DHE
∴，∠CDF=∠CBE，
∴
解得
∴
∵
在Rt△DCF中，，CD=3，
∴
由勾股定理得：
∴
（3）解：DG DF的值为2或3．
理由如下：
由(2)得DE=1，CE=2，BC=CD=3
情况1：∠BGF=60°，则∠DGE=120°，
如图，过点E作EP⊥BC交BC延长线于P，延长BG交AD延长线于N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴∠BCD=∠A=120°， AD//BC，BC=AD=4，
∴∠ECP=60°，
∵EP⊥BC，
∴∠CEP=90°-60°=30°
在Rt△CEP中，，
∴BP=BC+CP=5，
在直角三角形BEP中，由勾股定理得：
，
∵∠BCD=∠DGE=120°，∠BEC=∠DEG
∴△BCE∽△DGE，
∴
∴
解得，
∴
∵AD//BC，
∴△NDE∽△BCE
∴
∴，，
∴
∵AD//BC，
∴△NDG∽△BFG，
∴
∴
解得(经检验，是分式方程的解，且符合题意)
∴，
∴
情况2：当∠BGD=60°时，如图，
∵∠BGD=60°，∠BCD=120°
∴∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°，
∵∠EDG=∠FDC，
∴△DGE∽△DCF
∴
∴DG·DF=DC·DE=3×1=3，
综上所述，DG·DF的值为2或3.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用正方形性质，通过SAS证明△BCE≌△DCF，得到BE=DF；再通过角的等量代换，证明BE与DF的夹角为90°，从而证得BE⊥DF；
(2)先由折叠性质得BE垂直平分DG，再证明△BCE∽△DHE，利用相似比求出DH、DG的长度；接着在Rt△DCF中，利用正切函数求出CF的长，最后用勾股定理算出DF，进而求得FG的长度；
(3)分两种情况讨论：当∠BGF=60°时，过E作EP⊥BC于P，延长BG交AD延长线于N，先求BE的长，证明△BCE∽△DGE得EG、DG的长，证明△NDE∽△BCE，进而得BG、GN，再证明△NDG∽△BFG得GF，最后计算DG·DF；当∠BGD=60°时，证明△DGE∽△DCF，结合相似性质求出DG、DF，进而计算DG·DF.
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