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浙江省舟山市2026年初中毕业生学业水平性考试数学试题（一模）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2． 下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　)。
A． B．
C． D．
3． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
4． 用反证法证明 是无理数”时，应先假设（　　)。
A．是正数 B．是实数 C．是有理数 D．是无理数
5． 如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（　　)。
A．3 B．4 C．5 D．6
6． 如图，在平面直角坐标系中， △OAB的顶点为O（0， 0)， A（4， 3)， B（3， 0)。以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标为（　　)。
A．（-1， - 1) B．
C． D．（-2， - 1)
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车 设共有x辆车，则可列方程为(　　).
A． B．3(x+2)=2x-9 C． D．3(x-2)=2x+9
8． 已知点A （x1， y1)， B （x2， y2)在反比例函数 的图象上。若 则（　　)。
A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1
9． 2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市GDP 与增速，如右图所示。如果以2025年GDP 的增速预测舟山2026年全年GDP 增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（　　)。
A．1. 55×10 B．
C．2. 5×10 D．
10． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
11．分解因式：x2－2x＝　 　 ．
12． 随着科技的飞速发展， AI 人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为　 　。
13．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为　 　cm2。
14． 不等式组 的解集为　 　。
15． 如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD=∠B，若AC=3，AD=2，则 BD=　 　。
16． 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=　 　；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为　 　。
17． 计算：
18． 解方程：
19． 如图，点C是⊙E外一点， CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连结AE，且AB=AC，∠C=30°。
（1）求证： AC为⊙E切线；
（2）若AE=1，求BC的长。
20． 为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备。规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高。误差单位为毫秒（ms)。根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图。
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差 （ms) 频数 对应扇形区域
0≤x<10 5 A
10≤x<20 a B
20≤x<30 14 C
30≤x<40 11 D
40≤x≤50 10 E
机器人动作同步误差数据扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的机器人数是　 　台，统计图表中a=　 　， b=　 　。
（2）这组数据的中位数落在　 　组（填A， B， C， D， E)。
（3）若规定误差小于30（ms)为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数。
21． 在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度。配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时)，单位通常为“分钟/公里”（min/km)，配速数值越高，代表运动速度越慢。小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位： km)之间的关系如图所示。
（1）p是关于s的函数吗 请说明理由。
（2）在s1、s2、s3三个位置中，运动速度最慢的是　 　。
（3）若点A（10，6)，求小海完成10公里健身跑的时间。
22． 中国高速公路网是全球规模最大的公路网络。某地在修建高速公路时需要避开山体，在B点处规划两处绕行方案（该地高速公路的基础造价为每米4万元)：
方案一：设计37°的拐角，即∠CBF=37°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；
方案二：设计14°的拐角，即∠DBF=14°，在 D 点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片地质复杂区域（即 BD为地质复杂区域)，使每米的造价比基础造价增加25%。已知DE和BF之间的距离为60米。
（1）求线段BD、BC、CD的长。
（2）方案一和方案二哪一个造价更便宜 并说明理由。（参考数据：
23． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且
（1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。
（3）若对于 都有 求m的取值范围。
24． 如图1，在菱形ABCD中， E是对角线BD上一点，连结AE，设 将 沿AE 折叠得到 连结DG 并延长交BC于点H。
（1）用含α的代数式表示
（2）求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。
（3）如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：C．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”判断即可．
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断解答即可．
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：先假设 不是无理数即有理数，
故选：B．
故答案为：.
【分析】根据反证法的第一步先假设结论不成立解答即可．
5．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
∴为的中点，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线性质解答即可．
6．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：与的位似比为，点的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：B.
【分析】根据位似比为k的两个图形，则对应点的横、纵坐标乘以k或-k解答即可.
7．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：，
∴列出方程为：，故D正确．
故答案为：D .
【分析】设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据比例系数的符号得到图象位于一、三象限， 一、三象限， 在每个象限内， 随 的增大而减小，据此解答即可.
9．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，亿，
则
即这个数据用科学记数法可以表示约为．
故答案为：A.
【分析】先运算乘法，然后根据科学记数法记数，写为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A .
【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.
11．【答案】x(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】首先找出多项式的公因式x，然后提取公因式法因式分解即：x2－2x＝x(x-2).
故答案是：x(x-2)．
【分析】提取公因式法分解因式．
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种，
∴小赵选择“豆包”的概率为.
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】24π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
故答案为：.
【分析】分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
15．【答案】
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴即：，
∴.
故答案为：.
【分析】利用两组角相等可得，即可根据对应边成比例求出AB长，然后根据线段的和差解答即可.
16．【答案】6；
【知识点】列二次函数关系式；直角三角形全等的判定-HL；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
②连接，过作三边的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的定义得到是的内心，即可得到，然后根据HL得到，即可求出AN的值，进而求出，再根据，求出，再在中根据勾股定理得到，解答即可．
17．【答案】解：原式=2026-2-1
=2023
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】运算立方根以、零次幂和绝对值，然后加减解答即可．
18．【答案】解：两边同时乘(x-2)，得1+2(x-2)=3，
去括号，得1+2x-4=3，
解得： x=3，
检验：把x=3代入x-2≠0，
∴方程的解为x=3.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】先两边同时乘以(x-2)去分母，然后解整式方程求出x的值，然后检验解答即可.
19．【答案】（1）证明：因为AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，
所以∠BAC=120°，
因为EB=EA，
所以∠B=∠EAB=30°，
所以∠EAC=90°即AE⊥AC，
所以AC为⊙E切线；
（2）解：在RtΔAEC中， ∠C=30°，
所以CE=2AE=2，
则CB=CE+BE=2+1=3.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠C=30°，∠B=∠EAB=30°，即可求出∠BAC的度数，即可得到，证明结论即可；
（2）利用30°的直角三角形的性质得到CE=2，然后根据线段的和差解答即可.
20．【答案】（1）50；10；22
（2）C
（3）解：10%+20%+28%=58%
200×58%=116 (台)
答：估计200台同款机器人中合格的有116台。
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
故答案为：50；10；22；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
故答案为：C；
【分析】（1）根据同步误差为0≤x<10的台数除以占比求出抽取的人数，运用抽取人数乘以同步误差为10≤x<20可得b的值解答即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据总的机器人数量乘以规定误差小于30的占比解答即可．
21．【答案】（1）解：p是关于s的函数。
因为对于s的每一个确定的值，p都有唯一确定的值与之对应。
（2）s2
（3）解：10×6=60 (分钟)
答：小海完成10公里健身跑的时间为60分钟。
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（2）解：∵
∴运动速度最慢的是；
故答案为：；
【分析】（1）根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量中有两个变量x，y，给x一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断即可；
（2）根据题意中配速越高运动速度越慢判断即可；
（3）根据配速乘以路程等于时间解答即可.
22．【答案】（1）解：如图：作CK⊥BF，垂足为K
因为CK⊥AK， DG⊥AK，所以CK∥DG，又因为CD∥KG，所以四边形CKGD为平行四边形，因为∠CKG=90°，所以四边形CKGD 为矩形，所以CK=DG=60(m)
所以
所以
所以
所以CD=KG=BG-BK=160(m)
（2）解：方案一造价： 4×(BC+CD)=1040 (万元)
方案二造价： 4×1.25×BD=1250 (万元)
因为1040<1250
答：方案一的造价更便宜。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点，即可得到为矩形，进而可得，根据正弦、正切的定义分别求出、、、，然后根据线段的和差解答即可；
（2）根据题意求出方案一和方案二的造价，然后比较解答即可．
23．【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0，
解得 m=1或m=-3(舍)，
∴，
令y=0，则，
解得x=-1或x=3，
该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标；
（2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可；
（3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可．
24．【答案】（1）解：因为菱形ABCD，
所以∠DAB=∠C=60°，
因为折叠，
所以∠GAE=∠BAE=α，
所以∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2α，
（2）证明：①因为AD=AG，
所以
因为AD=AB，
所以△ABD为正三角形，
所以∠BDH=∠ADH-∠ADB=α=∠EAB
②因为AD∥BC ，
所以∠ABC=180°-∠DAB=120°，
所以
又因为△ABD为正三角形，
所以AB=DB，
所以△ABE≌△DBH ，
所以BH=BE。
（3）解：如图，连结EH，延长EG交CD于 K，作KM⊥DB于M。
由(2)得BH=BE ， ∠EBH=60°，
所以△BEH为正三角形，
所以EH=BE=GE ，
因为∠BHE=∠C=60°，
所以EH∥CD，
所以△DGK∽△HGE，
所以
设 EH=GE=x ，则 DK=KG=2x ，KE=KG+GE=3x 。
在 Rt△DMK 中，可得
所以
所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，利用折叠的性质可，然后根据角的和差解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，然后得△ABD为正三角形，再根据角的和差解答即可；
②根据菱形的性质可得，根据AAS得到，根据对应边相等证明结论；
（3）连接，延长交于，作于，得到△BEH为正三角形，即可得到，根据平行线可得，根据对应边成比例设，根据角的性质得求出DM和KM的值，进而根据勾股定理求出，即可得到DM长，求出比值解答即可．
1 / 1浙江省舟山市2026年初中毕业生学业水平性考试数学试题（一模）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故选：C．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可．
2． 下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”判断即可．
3． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断解答即可．
4． 用反证法证明 是无理数”时，应先假设（　　)。
A．是正数 B．是实数 C．是有理数 D．是无理数
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：先假设 不是无理数即有理数，
故选：B．
故答案为：.
【分析】根据反证法的第一步先假设结论不成立解答即可．
5． 如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（　　)。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
∴为的中点，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线性质解答即可．
6． 如图，在平面直角坐标系中， △OAB的顶点为O（0， 0)， A（4， 3)， B（3， 0)。以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标为（　　)。
A．（-1， - 1) B．
C． D．（-2， - 1)
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：与的位似比为，点的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：B.
【分析】根据位似比为k的两个图形，则对应点的横、纵坐标乘以k或-k解答即可.
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车 设共有x辆车，则可列方程为(　　).
A． B．3(x+2)=2x-9 C． D．3(x-2)=2x+9
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：，
∴列出方程为：，故D正确．
故答案为：D .
【分析】设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
8． 已知点A （x1， y1)， B （x2， y2)在反比例函数 的图象上。若 则（　　)。
A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．0＜y1＜y2 D．0＜y2＜y1
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】先根据比例系数的符号得到图象位于一、三象限， 一、三象限， 在每个象限内， 随 的增大而减小，据此解答即可.
9． 2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市GDP 与增速，如右图所示。如果以2025年GDP 的增速预测舟山2026年全年GDP 增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（　　)。
A．1. 55×10 B．
C．2. 5×10 D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，亿，
则
即这个数据用科学记数法可以表示约为．
故答案为：A.
【分析】先运算乘法，然后根据科学记数法记数，写为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1解答即可．
10． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A .
【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.
11．分解因式：x2－2x＝　 　 ．
【答案】x(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】首先找出多项式的公因式x，然后提取公因式法因式分解即：x2－2x＝x(x-2).
故答案是：x(x-2)．
【分析】提取公因式法分解因式．
12． 随着科技的飞速发展， AI 人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为　 　。
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种，
∴小赵选择“豆包”的概率为.
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
13．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为　 　cm2。
【答案】24π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
14． 不等式组 的解集为　 　。
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
故答案为：.
【分析】分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
15． 如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD=∠B，若AC=3，AD=2，则 BD=　 　。
【答案】
【知识点】母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴即：，
∴.
故答案为：.
【分析】利用两组角相等可得，即可根据对应边成比例求出AB长，然后根据线段的和差解答即可.
16． 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=　 　；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为　 　。
【答案】6；
【知识点】列二次函数关系式；直角三角形全等的判定-HL；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
②连接，过作三边的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的定义得到是的内心，即可得到，然后根据HL得到，即可求出AN的值，进而求出，再根据，求出，再在中根据勾股定理得到，解答即可．
17． 计算：
【答案】解：原式=2026-2-1
=2023
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】运算立方根以、零次幂和绝对值，然后加减解答即可．
18． 解方程：
【答案】解：两边同时乘(x-2)，得1+2(x-2)=3，
去括号，得1+2x-4=3，
解得： x=3，
检验：把x=3代入x-2≠0，
∴方程的解为x=3.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】先两边同时乘以(x-2)去分母，然后解整式方程求出x的值，然后检验解答即可.
19． 如图，点C是⊙E外一点， CE的延长线交⊙E于点B，点A在圆上，连结AE，且AB=AC，∠C=30°。
（1）求证： AC为⊙E切线；
（2）若AE=1，求BC的长。
【答案】（1）证明：因为AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，
所以∠BAC=120°，
因为EB=EA，
所以∠B=∠EAB=30°，
所以∠EAC=90°即AE⊥AC，
所以AC为⊙E切线；
（2）解：在RtΔAEC中， ∠C=30°，
所以CE=2AE=2，
则CB=CE+BE=2+1=3.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠C=30°，∠B=∠EAB=30°，即可求出∠BAC的度数，即可得到，证明结论即可；
（2）利用30°的直角三角形的性质得到CE=2，然后根据线段的和差解答即可.
20． 为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备。规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高。误差单位为毫秒（ms)。根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图。
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差 （ms) 频数 对应扇形区域
0≤x<10 5 A
10≤x<20 a B
20≤x<30 14 C
30≤x<40 11 D
40≤x≤50 10 E
机器人动作同步误差数据扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的机器人数是　 　台，统计图表中a=　 　， b=　 　。
（2）这组数据的中位数落在　 　组（填A， B， C， D， E)。
（3）若规定误差小于30（ms)为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数。
【答案】（1）50；10；22
（2）C
（3）解：10%+20%+28%=58%
200×58%=116 (台)
答：估计200台同款机器人中合格的有116台。
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
故答案为：50；10；22；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
故答案为：C；
【分析】（1）根据同步误差为0≤x<10的台数除以占比求出抽取的人数，运用抽取人数乘以同步误差为10≤x<20可得b的值解答即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据总的机器人数量乘以规定误差小于30的占比解答即可．
21． 在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度。配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时)，单位通常为“分钟/公里”（min/km)，配速数值越高，代表运动速度越慢。小海参加了一场10公里的健身跑活动，他的配速p与已完成路程s（单位： km)之间的关系如图所示。
（1）p是关于s的函数吗 请说明理由。
（2）在s1、s2、s3三个位置中，运动速度最慢的是　 　。
（3）若点A（10，6)，求小海完成10公里健身跑的时间。
【答案】（1）解：p是关于s的函数。
因为对于s的每一个确定的值，p都有唯一确定的值与之对应。
（2）s2
（3）解：10×6=60 (分钟)
答：小海完成10公里健身跑的时间为60分钟。
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（2）解：∵
∴运动速度最慢的是；
故答案为：；
【分析】（1）根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量中有两个变量x，y，给x一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断即可；
（2）根据题意中配速越高运动速度越慢判断即可；
（3）根据配速乘以路程等于时间解答即可.
22． 中国高速公路网是全球规模最大的公路网络。某地在修建高速公路时需要避开山体，在B点处规划两处绕行方案（该地高速公路的基础造价为每米4万元)：
方案一：设计37°的拐角，即∠CBF=37°，在C点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即CE∥BF；
方案二：设计14°的拐角，即∠DBF=14°，在 D 点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线BD会经过一片地质复杂区域（即 BD为地质复杂区域)，使每米的造价比基础造价增加25%。已知DE和BF之间的距离为60米。
（1）求线段BD、BC、CD的长。
（2）方案一和方案二哪一个造价更便宜 并说明理由。（参考数据：
【答案】（1）解：如图：作CK⊥BF，垂足为K
因为CK⊥AK， DG⊥AK，所以CK∥DG，又因为CD∥KG，所以四边形CKGD为平行四边形，因为∠CKG=90°，所以四边形CKGD 为矩形，所以CK=DG=60(m)
所以
所以
所以
所以CD=KG=BG-BK=160(m)
（2）解：方案一造价： 4×(BC+CD)=1040 (万元)
方案二造价： 4×1.25×BD=1250 (万元)
因为1040<1250
答：方案一的造价更便宜。
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点，即可得到为矩形，进而可得，根据正弦、正切的定义分别求出、、、，然后根据线段的和差解答即可；
（2）根据题意求出方案一和方案二的造价，然后比较解答即可．
23． 已知抛物线 O为坐标原点， 为该抛物线上的两点，且
（1）已知点A（-1，0)，求该抛物线与x轴的另一交点坐标。
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA，求m的值。
（3）若对于 都有 求m的取值范围。
【答案】（1）解：把A(-1，0)代入 得：-(-1-m)2+4=0，
解得 m=1或m=-3(舍)，
∴，
令y=0，则，
解得x=-1或x=3，
该抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式求出m的值，然后令，求出x的值即可得到与x轴的交点坐标；
（2）由题意可得，，即可得到，然后代入解析式求出m的值解答即可；
（3）由题可得，在直线左侧，根据题意得到，列不等式计算即可．
24． 如图1，在菱形ABCD中， E是对角线BD上一点，连结AE，设 将 沿AE 折叠得到 连结DG 并延长交BC于点H。
（1）用含α的代数式表示
（2）求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。
（3）如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。
【答案】（1）解：因为菱形ABCD，
所以∠DAB=∠C=60°，
因为折叠，
所以∠GAE=∠BAE=α，
所以∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2α，
（2）证明：①因为AD=AG，
所以
因为AD=AB，
所以△ABD为正三角形，
所以∠BDH=∠ADH-∠ADB=α=∠EAB
②因为AD∥BC ，
所以∠ABC=180°-∠DAB=120°，
所以
又因为△ABD为正三角形，
所以AB=DB，
所以△ABE≌△DBH ，
所以BH=BE。
（3）解：如图，连结EH，延长EG交CD于 K，作KM⊥DB于M。
由(2)得BH=BE ， ∠EBH=60°，
所以△BEH为正三角形，
所以EH=BE=GE ，
因为∠BHE=∠C=60°，
所以EH∥CD，
所以△DGK∽△HGE，
所以
设 EH=GE=x ，则 DK=KG=2x ，KE=KG+GE=3x 。
在 Rt△DMK 中，可得
所以
所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，利用折叠的性质可，然后根据角的和差解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，然后得△ABD为正三角形，再根据角的和差解答即可；
②根据菱形的性质可得，根据AAS得到，根据对应边相等证明结论；
（3）连接，延长交于，作于，得到△BEH为正三角形，即可得到，根据平行线可得，根据对应边成比例设，根据角的性质得求出DM和KM的值，进而根据勾股定理求出，即可得到DM长，求出比值解答即可．
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