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江苏省南京市2026年中考数学专项押题训练：相似
一、选择题
1．如果，那么下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若则OA：AD=（　　）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5
3．如图，如果AD∥BE∥CF，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中，假命题的是（　　）
A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
B．各边对应成比例的两个多边形相似
C．反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形
D．已知二次函数y=x2-1，当x＜0时，y随x的增大而减小
5．如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1：2，则P（-2，1）的对应点Q的坐标是（　　）
A．（-2，4） B．（4，-2） C．（-4，2） D．（2，-4）
6．如图，菱形ABCD中，∠D=60°，点E在边CD上，BE交AC于点F，若∠BEC=45°，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段AB的黄金分割点（BC>AC)， 若AB =2， 则BC的长为（　　)
A． B． C． D．无法确定
8．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①；②的度数不变；③；④．
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则的值为　 　．
12． 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　 　．
13． 如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为　 　．
14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，若AB=3，DE=4.5，则它们的位似比为　 　”.
15．如图，直线y=-x-2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y=（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB=1：4，则k的值为　 　．
16．如图，正方形ABCD中，点是边AD的中点．连接BE，在BE上找一点，连接AF，将AF绕点顺时针旋转到AG.AG，BD延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时，=　 　．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）.以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'.
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是　 　.
18．如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N.
（1）求证：
（2）若CD=6，AD=8，求DN的长.
19．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．
20．如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒．
（1）　 　；
（2）求的长；（用含t的代数式表示）
（3）取的中点Q，连结、，当点M在边上，且时，求的长．
21．【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．
（1）请证明“射影定理”中的结论②．
（2）【结论运用】
如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接．
①求证：．
②若，求的长．
22．如图
（1）【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为　 　；
（2）【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则　 　；
（3）【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点．
求的值；
若，请求出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】80
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】-6
16．【答案】
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）（2a，2b）
18．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为
19．【答案】解：（1）连接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半径为4．
20．【答案】（1）6
（2）解：如图，过点B作交于点D，
，，，，
，
，
∵点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动，
∴点从点出发运动到点的时间，到达点用时，
∵，
，
当时，，
当时，；
（3）解：如图，此时，
当时，，
，
，
，解得，
此时．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①证明：，是的中点，
，
，，
由射影定理得：，
，
，
；
②解：，，，
，
是的中点，
，
由①得：，
，
；
（）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示）
解：
22．【答案】（1）CF=BE
（2）
（3）解：∵，，
，，，
，
，
，
，
设，，，，
由勾股定理：，，
相似比，
；
，，，
，，
在中，
，
由得，
又，
，
，
即，
解得，，
答：的长为．
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