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期中（第1-3章）达标测试卷（一）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在铁一中陆港中学开学典礼上，一个会跳舞的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．某机器人芯片工艺尺寸为，用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯
C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．两条直线相交，有一个角是直角，则两条直线互相垂直
B．若两对顶角之和为，则两直线互相垂直
C．两直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两直线互相垂直
D．在同一平面上，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
5．若，则的值分别为（ ）
A．1，6 B．3，6 C．5，6 D．，6
6．已知，则的值为（ ）
A．4 B．4或 C．2或 D．10
7．定义一种新运算：（a，b为实数），则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____．
12．已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）．
13．一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，请估计口袋中有_____个红球．
14．如图，在长方形的台球桌面上，与互为余角，，若，则的度数为___________
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________．
16．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，已知直线相交于点O，于点O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上．
(1)事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率；
(3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值．
21．定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式．
例如，若，
则多项式就是双平方多项式．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)判断：多项式是不是双平方多项式．
(2)若多项式是双平方多项式，求整数的值．
(3)已知，，比较，的大小．
22．篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点，求的度数．由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程．
解：过点作平行于，
，，
（______），
（______），
，
，
（两直线平行，内错角相等），
于点，
（______），
，
______（平角的定义）．
23．在数学活动课上，同学们以“一个60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上平移，始终保持与线段（不含端点）有交点且．并把的位置改变，请探究此时与间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，组同学改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值．
《期中（第1-3章）达标测试卷（一）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C B B B C C
1．B
【分析】科学记数法表示绝对值小于1的正数的形式为，其中要求，为负整数，等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含整数位的零）．
【详解】解：∵对于原数，左起第一个非零数字为，其前共有个零，取满足，
∴．
2．C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．明天是晴天，是随机事件，不符合题意；
B．车辆随机到达路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
C．生肖共有12种，因此13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，符合题意；
D．任意买一张电影票座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意．
3．C
【分析】本题考查同类项概念与幂的运算法则，根据对应规则逐一判断选项即可．
【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，A错误；
对于选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，B错误；
对于选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，C正确；
对于选项D，幂的乘方，底数不变，指数相乘，，D错误．
4．C
【分析】本题可根据垂直的定义，对顶角的性质，同一平面内两条直线的位置关系，逐一判断各选项正误，找出错误说法．
【详解】解：∵选项A是垂直的定义，表述正确，不符合题意；
∵对顶角相等，若两对顶角之和为，可得每个对顶角为，即四个角都为，因此两直线互相垂直，选项B表述正确，不符合题意；
∵两直线相交时，对顶角一定相等，因此仅“有两个角相等”无法推出两直线垂直，选项C表述错误，符合题意；
∵在同一平面内，初中阶段默认两条直线不重合，位置关系只有相交和平行两种，因此选项D表述正确，不符合题意．
5．C
【分析】将等式左边展开，再对比对应项的系数即可得到的值．
【详解】解：
，
又，
对比等式两边对应项系数，可得 ．
6．B
【分析】先根据已知条件得到的值，再计算，开方得到的所有可能值，最后代入目标式计算即可．
【详解】解：∵，
展开得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
7．B
【分析】先化简待求式的第一个运算项，再按照新运算规则代入展开，合并同类项即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴
．
8．B
【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可求出的度数．
【详解】解： 平分，，
．
，
．
9．C
【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可．
【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为．
故选：C．
10．C
【分析】利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④．
【详解】解：，
，，故①正确，
平分，平分，
，，
，
，故②正确，
平分，
，
，
，
，故③正确，
无法判断，故④错误．
综上，正确的有①②③共3个．
11．/0.4
【分析】本题考查了列举法求事件的概率．
根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是．
【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况，
其中车票座位靠过道座位有种，
“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是．
故答案为：．
12．
【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可.
【详解】解：，，
，
，
．
13．28
【分析】本题考查用频率估计概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
设红球有个，由题可得摸到白球的概率约为，列方程，求解即可．
【详解】解：设红球有个，则总球数为个，
摸到白球的概率为，解得．
经检验，是该分式方程的解，
∴红球有28个．
故答案为：28．
14．
【分析】先求出，再根据与互为余角即可求出．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵与互为余角，
∴．
15．
【分析】根据，将，，代入进行计算即可；根据，，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：由图可得，，
若，，
则；
由图可得，
若时，
．
16．或
【分析】分为两种情况进行分析，情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可；情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可．
【详解】根据题意可得，，，
情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，如图：
则，，
∵，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得．
情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，如图：
则，，
∵，
∴，
故，
∵，
∴，
∵，
即，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得．
综上，当与平行时，t的值为或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式法则求解即可；
（2）首先计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，
【详解】解：
当，时，
原式．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)随机
(2)
(3)4
【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键．
（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可．
（2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式构造方程求解即可．
【详解】（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件．
故答案为：随机．
（2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张），
所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为．
（3）由题意可知：，解得，
所以m的值为4．
21．(1)是
(2)10
(3)
【分析】本题考查完全平方公式；
（1）利用完全平方公式配方后判断即可；
（2）利用完全平方公式配方得到，再根据双平方多项式列方程求解即可；
（3）先计算，即可比较大小．
【详解】（1）解：
∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式．
（2）解：
，
∵多项式是双平方多项式，
∴，
解得．
（3）解：
∵，，
∴，即，
∴．
22．平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直定义；60
【分析】由平行于同一条直线的两条直线平行得；由两直线平行同旁内角互补得；由垂直定义得，由两直线平行，内错角相等得；由平角定义得．
【详解】解：过点作平行于，
，，
（平行于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
（两直线平行，内错角相等），
于点，
（垂直定义），
，
60（平角的定义）．
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)．
【分析】（1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得的度数；
（2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出；
（3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出
【详解】（1）解：如图1，
∵，，，
∴
∵，
∴；
（2）解：，理由如下，
如图2，过点作，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图：
∵，，
∴，
当时，旋转了，此时与重合，
当时，旋转了，此时与重合，
∴当时，在内部，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
整理得：，
∵等式与的大小无关，
∴，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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