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期中（第1-3章）达标测试卷（二）-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
3．在中，所对的边分别是a、b、c，在下列关系中，不属于直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数的图像经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，等边三角形和等边三角形的顶点重合，且点，，在同一条直线上，已知，，连接，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．6
9．如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________．
12．线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________．
13．如图，在等腰直角中，，一只小蚂蚁从上的点处出发，沿直线爬行到上的点处，然后再沿直线爬行到上的点处．若，，则蚂蚁爬行的总长度为_________．
14．运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______．
15．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______．
16．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）．
三、解答题
17．已知：如图，在中，，，，是边上的高，求的长．
18．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得．
(1)画出，并写出的顶点坐标；
(2)若内部有一点，则平移后点的对应点的坐标为 ．
(3)求的面积．
19．如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥．
(1)天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．
(2)根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）．
20．一次函数和的图象如图所示，且，．
(1)由图可知，不等式的解集是_____；
(2)若不等式的解集是．
求点的坐标；
求的值．
21．2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元．
(1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？
(2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元．
①求总费用W关于a的函数关系式；
②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用．
22．如图，在中，，为直线上一动点（不与点，重合），在的右侧作，使得，，连接．
(1)当在线段上时，易证，判定全等的理由是______．
(2)请判断点在何处时，，并说明理由．
(3)当时，若中最小角为，直接写出的度数．
23．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究．
(1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点．
①若，则______；
②若，则与之间的数量关系是______；
(2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：；
(3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______．
《期中（第1-3章）达标测试卷（二）-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B D D C B C C
1．A
【分析】如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
2．B
【分析】根据不等式基本性质结合举例，逐一判断各选项是否一定成立即可．
【详解】解：对于选项A：当 ， 时，满足 ，但 ，因此A不一定成立；
对选项B：不等式两边同乘以，不等号方向改变，可得，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得 ，因此B一定成立；
对选项C：当时，分式无意义，因此C不一定成立；
对选项D：不等式两边同乘以，不等号方向改变，可得，因此D错误．
3．D
【分析】逐一判断各选项三角形是否为直角三角形，找出不属于直角三角形的选项．
【详解】解：A、，变形得，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，A不符合要求；
B、设，则，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，B不符合要求；
C、，则，而，则，得，是直角三角形，C不符合要求；
D、设，则，解得，则最大角，不是直角三角形，D符合要求．
4．B
【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等．
由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可．
【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，
，，，
四边形的周长．
5．D
【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
，
，
，
在数轴上表示时，向右且用实心点，即选项D符合题意．
6．D
【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示：
根据轴对称的性质可知：，由平移可知：，
∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当取最小值时，的度数为；
故选D．
7．C
【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式组，正确理解不等式整数解的含义是关键．先根据一次函数经过的象限得到m的取值范围，再解不等式组，根据整数解个数得到另一范围，取交集后即可解答．
【详解】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，
解得，
解不等式组，
解第一个不等式得，解第二个不等式得，
不等式组的解集为，
不等式组有且只有4个整数解，
4个整数解为1，2，3，4，
可得，
解得，
结合，
得m的取值范围是，
符合条件的整数m为，，，共3个．
故选：C．
8．B
【分析】过作于，利用等边三角形性质求出，再求出，在中利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出．
【详解】如图，过作于，
∵三角形是等边三角形，，
∴，，
∵三角形是等边三角形，，
∴，
∴，
在中，，
在中， ．
9．C
【分析】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集．求出一次函数与的图象交于点，根据两直线的位置关系即可求出答案．
【详解】解：把代入得到，
解得，
∴一次函数与的图象交于点，
由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴当时，的取值范围是，
故选：C
10．C
【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，运用三角形的外角性质得，故，，又因为，故．
【详解】解：连接，如图所示：
∵折叠
∴
依题意，，
∵，
∴，
同理得，
同理得，
∵，
∴．
11．
【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解．
【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立，原命题结论为，其否定为，
因此第一步应先假设.
12．
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可．
【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴，
∴点的纵坐标与点相同为；
设点的横坐标为，
∴，
∵点在点右侧，，
∴，
解得，
故点的坐标为，
故答案为：．
13．
【分析】过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，进而证得为等腰直角三角形，利用平角的定义和三角形内角和定理证得，结合已知条件利用AAS证明，从而得到，，求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
蚂蚁爬行的总长度为．
14．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得．
15．
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角及三角形内角和，掌握旋转的性质是关键；根据旋转的性质得，，根据等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案．
【详解】解：如图，设交于点，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
16．②④
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次方程的关系等，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
直接利用一次函数的性质对①进行判断；
利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，从而可对②进行判断；
结合函数图象，当时，，所以，从而可对③进行判断；
先把代入中求出，则一次函数的解析式为，接着求出一次函数与轴的交点坐标为，，然后结合函数图象，写出在轴下方且直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限，
，
一次函数经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴上，
，，
，所以①错误；
一次函数与图象的交点坐标为，
时，，
即方程的解是，所以②正确；
当时，，即，
即，所以③错误；
把代入得，
解得，
一次函数的解析式为，
一次函数与轴的交点坐标为，，
当时，，所以④正确．
故答案为：②④．
17．
【分析】本题考查的是直角三角形的性质与勾股定理，灵活运用含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．先在中，利用求出和的长度，再在中用勾股定理求出的长度，进而求出的长．
【详解】解：是边上的高，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
．
18．(1)图见解析，，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据平移规律描出点、、，再连接成三角形即可；
（2）根据平移规律写出点的坐标；
（3）利用割补法计算三角形的面积即可
【详解】（1）解：如图所示：
由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：由平移的规律可知，点平移后得到点；
（3）解：．
19．(1)画图见解析 作法见解析
(2)
【分析】（1）由经过天桥走到的最短路程为，由于是定值，因此只需要考虑使最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移到，此时连接交于，即可得桥的位置；
（2）过点作的垂线，垂足为，则由经过天桥走到的最短路线的长：，在中，运用勾股定理求出的长，即可求出最短路线的长．
【详解】（1）解：作法：①将点竖直向下平移到点，使（长度如题图①），
②连接，与交于点，
③过点作于点，
④连接，．
天桥建在处能使由单位经过天桥走到单位的路程最短，如图①．
（2）解：过点作的垂线，垂足为，如图②．
由（1）得，，，
连接，
，
在和中
，
，
．
在中，，，
，
则，
．
故由单位经过天桥走到单位的最短路线的长为．
【点睛】本题主要考查了平移最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键．
20．(1)；
(2)点的坐标是；的值是．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集；
（）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标；
根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值．
【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是，
故答案为：；
（2）解：∵，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴一次函数，
∵不等式的解集是，
∴点的横坐标是，
当时，，
∴点的坐标是；
∵，
∴，解得，
即的值是．
21．(1)购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元
(2)①；
②共有4种购买方案，购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元
【分析】（1）设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，根据“已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元”，列出方程组求解即可．
（2）①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，根据总费用购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用，解答即可．
②由题意可得，结合，且a为整数，得出，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中，根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，
根据题意，得，
解得：．
答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元．
（2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，
则：，即：；
②由题意可得，
解得：．
又∵，且a为整数，
∴，且a为整数，，故共有4种购买方案，
在中，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当a取最大值9时，W最小．
（万元），
答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元．
22．(1)；
(2)点在的中点时，，理由见解析；
(3)或或
【分析】（1）根据即可证明；
（2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：点在的中点时，，理由如下：
，，
平分，
，
，
平分，
，
，
当点在的中点时，；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
①如图1，当点在线段上时，若，
则；
②如图2，点在的延长线上，；
③如图3，点在的延长线上，此时，；
④如图4，，
综上所述，满足条件的的度数为或或．
23．(1)①②
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）①根据对顶角性质，以及三角形内角和定理分析求解，即可解题；
②由①知，结合，即可推出与之间的数量关系；
（2）结合垂直的性质，对顶角性质，三角形内角和定理推出，进而结合全等三角形判定定理，即可证明；
（3）设，由折叠的性质可知，，结合等腰三角形性质进而推出，，根据为等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别列方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：①，
，
，
若，则；
②
若，则；
（2）证明：，，
，
，
由（1）同理可得，
，
；
（3）解：设，
由折叠的性质可知，，
，，
，，
，
为等腰三角形，
当时，
有，
解得；
当时，
有，
解得；
当时，
有，无解，即该情况不存在；
综上所述，的度数为或．
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