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期中（第1-3章）达标测试卷（二）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知22纳米米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为黑球
B．从装有10个黑球的不透明袋子中随机摸出一个球恰为白球
C．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出1个球，恰有白球
D．从装有9个黑球和1个白球的不透明袋子中随机摸出2个球，恰有黑球
6．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C． D．
7．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
8．数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．
A． B． C． D．
二、填空题
11．甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”）
12．若，，则________．
13．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______________个．
14．如图，已知在点处看点位于南偏西的方向，在点处看点位于南偏东的方向，则的度数为_______（结果用度表示）.
15．如图，将大正方形分割成两个正方形，和两个长方形，，若大正方形的边长为10，且两个正方形，面积之和为56，则图中阴影部分的面积为______．
16．如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，求：
(1)的值；
(2)求的值．
19．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
20．某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下．
摸球方案：
①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球；
②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回．
获奖规则：
①若取出的是黄球，则获得奖品．
②若取出的是白球，则获得奖品．
(1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ．
(2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等．
21．如图所示，完成下列推理过程：已知：平分，平分，且．求证：．
证明：∵平分（ ）
∴（ ）
又∵平分（ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴（ ）．
∴
22．如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形．
(1)上述操作能验证的等式是______（填字母）；
A．； B．
(2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______；
(3)应用所得的公式计算：．
23．如图，点在直线上，点在直线上，，，平分．
(1)求的度数；
(2)将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，的对应点为，的对应点为，设旋转时间为，当时，求旋转时间的值；
(3)将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当旋转后的与平行时，直接写出旋转时间的值．
《期中（第1-3章）达标测试卷（二）-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C C D B A B C
1．B
【分析】用科学记数法表示较小数时，形式为，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零），据此即可求解．
【详解】解：，因此答案选B．
2．A
【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个，
∴买中“藕粉哪吒”的概率为，
故选：A．
3．D
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，结合图形对各选项进行判断即可．
【详解】解：和 是直线和被直线所截形成的内错角，只有当时，，题目未给出，故A选项错误；
和无直接相等关系，故B选项错误；
和不是同旁内角，无法得出，故C选项错误；
∵， ∴（两直线平行，同位角相等），故D选项正确．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误；
B、，原计算错误；
C、，计算正确；
D、，原计算错误．
5．C
【分析】本题考查随机事件的定义，需依据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对每个选项的事件类型进行判断．
【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，
∴对各选项逐一分析：
A选项：袋子中只有黑球，随机摸出一个球必为黑球，属于必然事件，不符合题意；
B选项：袋子中无白球，不可能摸出白球，属于不可能事件，不符合题意；
C选项：袋子中有黑球和白球，随机摸出1个球，可能是白球也可能是黑球，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意；
D选项：袋子中仅有1个白球，随机摸出2个球时，至少有1个黑球，即“恰有黑球”是一定发生的，属于必然事件，不符合题意；
故选：C
6．D
【分析】根据平方差公式的结构为，特点是两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可．
【详解】解：A、，相同项为，相反项为与，符合要求，可以用平方差公式计算；
B、，相同项为，相反项为与，符合要求，可以用平方差公式计算；
C、，相同项为，相反项为与，符合要求，可以用平方差公式计算；
D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算．
7．B
【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，，
又∵反射角等于入射角即，
∴，
所以这一步推理的依据是等角的余角相等，
故选：．
8．A
【分析】根据两个图形的面积相等，列出等式即可．
【详解】解：图①中长方形的面积为：，
图②中相应图形的面积为：，
因此可以得出相应的公式：．
9．B
【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，角的计算，平行线的性质．先求得，利用平行线的性质求得，再由折叠的性质得，作，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，
作，
∴，，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】根据，都与地面l平行，得，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的判定，得到，再根据，即可求解．
【详解】解：，
，
，
要使，则，
，
，
．
11．乙
【分析】本题考查的是概率的意义，理解概率的取值范围与事件发生可能性的对应关系是解题的关键．根据概率的取值意义：概率越接近，事件发生的可能性越大；概率等于则事件必然发生，进而判断出概率为的事件“发生的可能性很大，但不一定发生”．
【详解】解：甲事件发生的概率为，远小于，发生的可能性很小；
乙事件发生的概率为，接近，发生的可能性很大，但概率小于，因此不一定发生；
丙事件发生的概率为，表示一定发生，不符合“不一定发生”的描述．
故答案为：乙．
12．
【分析】利用完全平方公式变形，将所求式子转化为已知条件可表示的形式，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
13．6
【分析】本题考查了根据频率估计概率，利用概率求数量．根据摸到红球的频率得到摸到红球的概率，用总球数乘以摸到红球的概率可得红球数量．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近，
∴摸到红球的概率约为，
∴口袋中红球可能有（个）．
故答案为：6．
14．
【分析】本题考查了方向角,掌握方向角的定义是解题的关键．
利用余角的定义求出，，进而根据计算即可．
【详解】解：如图，
∵在点处看点位于南偏西的方向，
∴，
∵在点处看点位于南偏东的方向，
∴，
．
故答案为：．
15．22
【分析】设正方形的边长为a，的边长为b，根据完全平方公式变形求出，再根据阴影部分的面积为，求出结果即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，的边长为b，则：
，
∴，
阴影部分的面积为：
．
16．65
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可．
【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、乘方运算法则计算，再计算实数的加减法即可．
（2）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除运算法则计算，再计算整式的加减法即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
，
∴原式；
（2）解：．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论；
（2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
由（1）知，
．
20．(1)
(2)新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球；获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品
【分析】本题考查概率公式：
（1）共有9种等可能的结果，取出的是黄球的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）原方案“获得奖品”的概率为，“获得奖品”的概率为，结合题意设计新的摸球方案及获奖规则即可．
【详解】（1）袋中1个黄球，8个白球，从袋中随机摸取一个小球，每次摸球是等可能的，
共有9种等可能的结果，其中该班某位同学取出的是黄球的结果有1种，
即参加该游戏“获得奖品”的结果有1种，
∴该班某位同学参加该游戏概率为
故答案为：．
（2）解：由（1）可知原方案“获得奖品”的概率是，
“获得奖品”的概率为，
取走6个白球后，剩余3个球：1个黄球，2个白球，
新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球．
黄球1个，共3球，
第一次摸到黄球的概率：，第二次摸到黄球的概率也是，
两次都摸到黄球的概率：，
两次不全为黄球的概率：，
获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品．
21．见解析
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可．
【详解】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
又∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
又∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴．
22．(1)B
(2)36
(3)
【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式；
（2）根据平方差公式求出，即可求解；
（3）将式子中的4化为，运用平方差计算即可．
【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为，
因此验证的等式是．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：
．
23．(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线有关计算可求解．
（2）根据旋转时间判断在直线的上方．分三种情况：①1在的左侧，②和都在右侧，直线上方，③在下方，在上方，分别表示出和，根据列出方程，求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当在下方，②当在上方，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解∶∵，，
∴．
∵平分，
∴．
（2）解∶由绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，
∴，
∵，
∴
∵旋转时间，
∴，即，
∴在直线的上方．
①当在的左侧时，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当和都在右侧，直线上方时，
，
，
∵，
∴，
解得．
③当在下方，在上方时，
，
，
∵，
∴，
解得．
∵在下方，在上方，
∴，即，
∴，
∴不合题意，舍去．
∴综上所述，旋转时间的值为或．
（3）解：分两种情况讨论：
①如图，当在下方时，
∵，，
∴，
，
当时，，
∴，
解得．
②如图，当在上方时，
∵，，
∴，
，
当时，，
∴，
解得．
综上所述，当旋转后的与平行时，的值为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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