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图形的密铺
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。
A． B． C．
2．下面的图形中，不能单独密铺的是（ ）。
A．梯形 B．正六边形 C．正五边形
3．用形状、大小完全相同的下列图形不能进行密铺的是（ ）。
A．正六边形 B．等腰三角形 C．正五边形
4．下图中的图形，可以单独密铺的有（ ）个。
A．7 B．6 C．5
5．下面的图形，不能单独进行密铺的是（　　）。
A．平行四边形 B．正五边形 C．正六边形
6．下列图形中可以用来单独密铺的有（ ）种。
A．6 B．7 C．8
7．下列平面图形中，不能单独密铺的是（ ）。
A． B． C．
二、填空题
8．图形的密铺。
(1)经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )度。
(2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等，不能单独进行密铺的图形还有( )等。
9．三角形、梯形和正五边形，不能单独密铺的是( )。
10．我们学过的图形中，( )和( )不能单独密铺。
11．写出能可以密铺的两个平面图形( )、( )。
12．能单独进行密铺的图形有( )。（写出两个即可）
13．正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。( )
14．在三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。
15．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。
16．下列哪些图形能单独密铺？( )。（填序号）
17．写出三个能够单独密铺的图形：( )、( )、( )。
三、判断题
18．正五边形不能单独密铺，圆可以单独密铺。( )
19．长方形、正方形、等腰三角形、圆等图形都能单独密铺。( )
20．平行四边形和三角形都不能密铺。( )
21．圆和正五边形都不能单独密铺。( )
22．圆形不能进行密铺。( )
四、解答题
23．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果如图。
（1）通过观察我发现（ ）、（ ）、（ ）能单独密铺，（ ）不能单独密铺。
（2）请从数学的角度解释你的发现：
24．生活中有许多密铺现象，我们来研究一下吧。
发现问题 哪些图形能密铺，哪些图形不能密铺？
我的联想 客厅地板的瓷砖是正方形的，卫生间墙面的瓷砖是长方形的。 用数学的眼光去观察，我的结论是：________________
我的猜想 三角形、四边形、圆形等是不是都能密铺呢？
我的实践 通过观察蜂巢的图片，我知道：________________ 我发现我们玩的拼图游戏就是 ________________
通过上面的拼摆，我发现：____________。 我还发现：________________也能密铺。 通过上面的拼摆，我发现：____________。 我还知道________________也不能密铺。
我来创造
25．如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是多少
26．用硬纸板剪制6个形状、大小完全相同的三角形做实验，看看它们能否密铺，如果这6个三角形各内角的度数分别为45°、60°、75°，用它们拼成一个六边形，你怎样才能做到？
27．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？
《图形的密铺》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C C C B A A
1．B
【分析】平面图形密铺的特点：
①用一种或几种全等图形进行拼接；
②拼接处不留空隙、不重叠；
③连续铺成一片能密铺的图形在一个拼接点处的特点是几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答。
【详解】A．梯形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；
B．正五边形每个内角是180°×3÷5＝108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌；
C．正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以单独进行镶嵌。
故答案为：B
【点睛】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
2．C
【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能整除360°或能被360°整除，这样的多边形能密铺。
【详解】A．梯形的内角和是（4－2）×180°＝360°，360°÷360°＝1，梯形能密铺；
B．正六边形的内角和是（6－2）×180°＝720°，720° 能被360°整除，正六边形能密铺；
C．正五边形的内角和是（5－2）×180°＝540°，540°不能被360°整除，正五边形不能密铺。
故答案为：C
3．C
【分析】任意三角形与任意四边形都可以密铺，除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，正六边形，等腰三角形可以密铺，正五边形不能密铺。
故答案为：C。
【点睛】熟练掌握密铺图形的特点是解答本题的关键。
4．C
【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。
【详解】长方形、梯形和平行四边形的内角和都是360°，三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺。正六边形的每个内角是120°”，能整除360°，可以密铺。五边形的内角和是540°，不能整除360°，不可以密铺。圆形与圆形之间有空隙，不能密铺。图形中可以用来单独密铺的有长方形、梯形、平行四边形、三角形、正六边形共5种。
故答案为：C
5．B
【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；
（2）拼接处不留空隙、不重叠；
（3）连续铺成一片；
能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；长方形、四边形、三角形、正六边形等都具备这一特点，正五边形就不具备这样的特点。
【详解】A．平行四边形内角和是360°，因此，用同一种平行四边形可以单独进行密铺，排除；
B．正五边形每个内角是180°－360°÷5
＝180°－72°
＝108°
不能整除360°，不能单独进行镶嵌，符合题意；
C．正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以单独进行密铺，排除。
故答案为：B
【点睛】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
6．A
【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，据此选择。
【详解】图中可以用来单独密铺的有：四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、三角形、正六边形，共6种。
故答案为：A
7．A
【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。
【详解】A．五边形的内角和是（5－2）×180°＝540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺；
B．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺；
C．四边形的内角和是（4—2 ）×180°＝360°，360°÷360°＝l，平行四边形能密铺。
故答案为：A
【点睛】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能被360°整除。
8．(1)360
(2) 等边三角形 长方形 圆
【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片，能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360度，并使相等的边互相重合。
（1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360度。
（2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：等边三角形：每个内角是60度，因为60°×6＝360°，所以6个等边三角形的内角可以在公共顶点处拼成360度，能单独密铺，长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成 360度，能单独密铺。圆没有角，在拼接时圆与圆之间必然会有空隙，所以不能单独进行密铺。
【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360度。
（2）由分析可知，
等边三角形：60°×6＝360°
长方形：90°×4＝360°
所以能单独进行密铺的图形还有等边三角形、长方形等，不能单独进行密铺的图形还有圆等。（答案不唯一）
9．正五边形
【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。由题意得，正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108°，而360°不是108°的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象。三角形的内角和为180°，360°÷180°＝2。梯形的内角和为360°，360°÷360°＝1，所以三角形和梯形都可以密铺。
【详解】三角形、梯形和正五边形，不能单独密铺的是正五边形。
10． 圆 正五边形
【分析】平面图形密铺的特点：
（1）用一种或几种全等图形进行拼接；
（2）拼接处不留空隙、不重叠；
（3）连续铺成一片。
能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；长方形、四边形、三角形、正六边形等都具备这一特点，正五边形和圆就不具备这样的特点。
【详解】据分析可知：
我们学过的图形中，圆和正五边形不能单独密铺。
【点睛】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
11． 等边三角形 正方形
【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。
【详解】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺，如等边三角形、正方形。（答案不唯一）
12．长方形、正方形（答案不唯一）
【分析】能单独进行密铺的图形指铺起来图形间没有缝隙，如圆铺起来图形间有缝隙，不能密铺。
【详解】能单独进行密铺的图形有长方形、正方形等。
【点睛】本题主要考查学生对图形的认识。
13．√
【分析】能密铺图形在一个拼接点处的特点是：几个图形内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；据此解答。
【详解】正六边形的每个内角都等于120°，三个角都拼在一起正好等于360°，它可以密铺；而正五边形的每个内角都等于108°，不能被360°整除，它不能密铺；原说法正确。
故答案为：√
14． 平行四边形 三角形 圆
【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此解答。
【详解】三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。
圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，因此圆不能密铺。
由此可知，三角形、平行四边形和圆中，平行四边形和三角形能单独密铺，圆不能单独密铺。
15．正五边形
【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种完全一样的图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此判断图形能否单独密铺的关键是看这个图形的内角和能否被360°整除，或整除360°。据此填空即可。
【详解】三角形内角和为180°，能被360°整除，可以单独密铺；
正方形四个角都是直角，内角和为360°，能被360°整除，可以单独密铺；
正五边形可以分成三个三角形，内角和为540°，不能整除360°，不可以单独密铺；
正六边形可以分成四个三角形，内角和为720°，能整除360°，可以单独密铺。
正五边形不能单独密铺。
16．①④⑤
【分析】密铺的定义：用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌；几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；多边形的内角和为：（n－2）×180°，n为边数；据此解答。
【详解】根据分析：
①三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能单独密铺；
②圆是由曲线围成的，不能单独密铺；
③五边形的内角和是：
（5－2）×180°
＝3×180°
＝540°
540°不能被360°整除，五边形不能单独密铺；
④梯形的内角和是：
（4－2）×180°
＝2×180°
＝360°
360°÷360°＝1，梯形能单独密铺；
⑤平行四边形的内角和是：
（4－2）×180°
＝2×180°
＝360°
360°÷360°＝1，平行四边形能单独密铺；
所以能单独密铺得图形有①④⑤。
【点睛】掌握图形密铺的概念，是解答本题的关键。
17． 正方形 长方形 等边三角形
【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。据此可知，正五边形不可以密铺，等边三角形、正方形、长方形、正六边形可以单独用于密铺。
【详解】写出三个能够单独密铺的图形：正方形、长方形、等边三角形。（答案不唯一）
18．×
【分析】根据平面图形的密铺：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，分析解答即可。
【详解】根据密铺与圆的特征，正五边形和圆形都不能密铺。
故答案为：×
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
19．×
【分析】一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺，据此判断。
【详解】圆是由曲线构成的，不能单独密铺，所以题中说法错误。
故答案为：×。
【点睛】本题主要考查的是密铺知识的应用。
20．×
【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°。三角形、四边形都具备这一特点，正五边形就不具备这样的特点。
【详解】三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺，平行四边形的内角和是360°，可以密铺。故原题干说法错误。
故答案为：×
21．√
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌，据此解答即可。
【详解】正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，所以不能密铺；
圆不能单独密铺；故正五边形和圆都不能单独密铺。
所以说法正确。
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案。
22．√
【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。据此解答。
【详解】根据题意作图如下：
由图可知，圆形不能密铺。原题说法正确。
故答案为：√
23．（1）三角形；正方形；正六边形；正五边形
（2）见详解
【分析】（1）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片；由图即可看出哪此图形能单独密铺，哪些图形不能单独密铺；
（2）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；通过计算可知：一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；据此解答。
【详解】根据分析：
（1）通过观察我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。
（2）三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺；
四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺；
五边形的内角和是540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺；
六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺；
答：我发现一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。
【点睛】此题考查了密铺的意义、能密铺图形的特征。
24．见详解
【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺。
平面图形能密铺的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角。
【详解】
发现问题 哪些图形能密铺，哪些图形不能密铺？
我的联想 客厅地板的瓷砖是正方形的，卫生间墙面的瓷砖是长方形的。 用数学的眼光去观察，我的结论是：正方形能密铺，长方形也能密铺。
我的猜想 三角形、四边形、圆形等是不是都能密铺呢？
我的实践 通过观察蜂巢的图片，我知道：正六边形能密铺。 我发现我们玩的拼图游戏就是 拼图游戏就是密铺。
通过上面的拼摆，我发现：三角形能密铺。 我还发现：平行四边形、梯形也能密铺。 通过上面的拼摆，我发现：圆不能密铺。 我还知道正五边形也不能密铺。
我来创造 （答案不唯一）
【点睛】掌握密铺图形的特点是解题的关键。
25．解答：
如图是形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，
各等腰梯形全等，
3∠1=360°，
∠1=120°，
∠ABC=∠1=120°，
∠ADC=∠BAD=180° ∠1=60°．
这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是：60°，60°，120°，120°．
【详解】因为与∠1相邻的三个角相等，所以∠1=120°，根据等腰梯形的性质可求得其它各角的度数，则可求得答案．
26．拼接点处3种度数的角各取两个，并且所有拼接处的边长应相等.
【详解】密铺时需要三角形的边贴着边，所以拼接处的边长要相等，其次六边形的内角不能大于180°，所以新的六边形的每个角只能从三个度数的角中去两个角.
27．
87米
【分析】根据题意，已知学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛，首先用3乘8，求出一个正八边形的周长，再乘4，就是4个正八边形的周长；多加了3个3米的边，就是3×3＝9（米），所以，再减去9，就是围成这个花坛一共需要篱笆的长度；列式计算即可。
【详解】根据分析可知：
3×8×4－（3×3）
＝24×4－9
＝96－9
＝87（米）
答：围成这个花坛一共需要篱笆87米。
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