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2026年浙江省杭州市九年级中考数学预测练习试卷（解析版）
试卷共三大题．共24小题．满分120分，时间120分钟．
卷I（选择题）
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若a的相反数是2026，则a的倒数是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相反数与倒数的判断，掌握相反数为相加为0的两个数，倒数为乘积为1的两个数是解题的关键．
根据相反数与倒数的定义判断即可．
【详解】解：∵a的相反数是2026，
∴，
∴a的倒数是．
故选：D．
2．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质．
根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
根据题意可知，
∴．
故选：C.
2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量
已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解．
【详解】解：．
4．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．
如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案．
【详解】
解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故选：．
如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，
点B坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，，
∴，相似比为2，
∵点B坐标为，
∴点E的坐标是．
故选D．
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，
问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故选：D．
7．某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
【详解】解：总销售量为：（册），
∴科技类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
8. 如图，的两点在反比例函数的图象上，
过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ）
A. B. C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答．
【详解】解：设，
为的中点，
，
轴，
点的纵坐标为，
点在反比例函数上，
，
，点到的距离为，
．
水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，
其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，
这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，
同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，
点到水面的距离为，则水面宽度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解．
【详解】解：如图，作、交于点、，作于点，
设，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
点到水面的距离为，
，则，
圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗，
，
，
又，即，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
则，即，解得，，
或，
，
点是的中点，即，
或．
故选：D．
如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，
连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，
作的角平分线交于点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，得到，设，则，，，由等腰直角三角形的性质可得，又由得，即得，得到，，即得到，，得，再由可得，最后代入计算即可求解，
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：A．
卷II（非选择题）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．因式分解：________．
【答案】
【分析】利用平方差公式直接分解即可．
【详解】
故答案为：
12. 代数式与代数式的值相等，则______．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，根据两个代数式的值相等建立方程，然后解分式方程，解分式方程注意要检验．
【详解】解：根据题意得， ，其中 且 ．
去分母得 ，
展开得 ，
移项得 ，
即 ，
所以 ．
经检验， 是原方程的解．
故答案为：．
如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为，
仪器与气球的水平距离为22米，且距地面高度为1.5米，
则气球顶部离地面的高度是 米
（结果精确到0.1米，，，）．
【答案】10.3
【分析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
∴四边形是矩形，
∴
在中，，
∴，
∴，
故答案为：10.3．
“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”
这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，
他们出相同手势的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种，
∴他们出相同手势的概率为．
故答案为：．
15．【文化欣赏】
图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，
图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，
是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，
当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，
则这个桔槔支架的高度为____________米．
【答案】5.2
【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度．
【详解】解：米，
米，米，
如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则，
米，米，
（米）．
，
，
∴即，
解得米，
米，
又（米），
（米）．
故答案为：5.2．
一副三角板按图1放置，O是边的中点，．
如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是___________．
【答案】
【分析】BC交EF于点N，由题意得，，，，，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即cm，根据，得，即，解得，即可得．
【详解】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，，，，，BC=DF=12，
在中，，
，
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴（cm），
∴（cm），
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴cm，
∵，，
∴，
即，
，
，
∴（cm），
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
，
当时，原式．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算和特殊角的三角函数值，
（先算乘法，再算加减，得到化简结果，再把代入计算即可．
【详解】
当时，原式
19．2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．
图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，
旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．．
求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）；
机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．
在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，
问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)在规定范围内，理由见解析
【分析】（1）作于E，则,由条件可知根据，计算即可；
（2）作于E，则,适当解直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图，作于E，则,由条件可知，
∴
由题意可得：，
，
∴；
答：的长度约为．
（2）解：在规定范围内，理由如下：
如图，作于E，则，
由（1）可得：，
∴，
，
∴
∴此时手绢端点C与舞者距离为，
∵安全距离范围为，
∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内．
某学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，
两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，
学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
在学期初调查数据条形图中，B组人数是 人，并补全条形图；
在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 ．
七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
【答案】(1)20，图见解析
(2)
(3)估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数约为340人
(4)学期末比学期初有提高，见解析
【分析】（1）根据抽取的总人数50，减去组的人数，计算B组人数，再根据计算出的B组人数补全条形统计图；
（2）先根据扇形图中各部分百分比之和为1，计算A组所占的百分比．用乘以A组的百分比，得到A组所在扇形的圆心角度数；
（3）用七年级总人数乘以该C、D组百分比之和，用样本估计总体得到所求人数；
（4）对比学期初和学期末的平均数、中位数、众数的变化，结合统计量的意义分析劳动时间的整体变化情况，得出结论．
【详解】（1）解：B组人数为（人），
补全图形如下：
；
（2）解：A组所占百分比，
A组所在扇形的圆心角度数；
（3）解：C组占，D组占，两组百分比之和，
因此七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数（人），
答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数约为340人；
（4）解：该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高，理由如下：
从统计量来看，学期初劳动时间的平均数为2.8、中位数为2.9、众数为2.8，学期末的平均数为3.5、中位数为3.6、众数为3.6，学期末的平均数、中位数、众数均高于学期初，这反映出学生一周参与劳动时间的整体水平、中间水平和最集中的时间都有所提升，综上，学期末学生的劳动时间相比学期初有明显提高．（理由不唯一，符合题意即可．）
小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：
（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图．
推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则．
（1）请用上述方法估算的值．
（2）在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同．
① 请验证小金的发现．
② 求取13或14时，所得近似值相同的无理数．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，估算的近似值，此时，取，即，代入求值即可；
（2）①或7，分别代入求值即可；
②根据题意或14，代入然后列方程即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可得此时，取，即，
；
【小问2详解】
①解：当，时，
；
当，时，
；
所以小金的发现正确；
②解：当时，
；
当时，
；
∴
解得，
．
如图，是的直径，，是上的点，是上一点，连接并延长交于点，
延长，交于点，，，连接．
求证：；
若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径长为
【分析】（1）根据为的直径，可得，根据得出，进而得出，即可得出；
（2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而求得，勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2）解：，
，，
，
，，
，
，
－，
在中，，
在中， ，
，，
，
，即，
，
，
即的半径长为．
抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与 y轴相交于点C．
若，，求点P和点A的坐标；
当，且时，求点P的坐标；
当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，
当的最大值为4时，求b的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）抛物线的表达式为：，令，则，，即可求解；
（2）抛物线解析式为：，顶点，当时，，则点A、B的坐标分别为：，，判断为等边三角形，进而即可求解；
（3）设，则，设，故，其对称轴为，且，分两种情况：①当时，即；②当时，得；根据的最大值为4，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意：，
，
当时，，
解得，，
又∵点A在B左侧，
；
（2）解：抛物线解析式为：，顶点，
当时，，
解得，，
，，
；
由抛物线对称性可知：，
，
为等边三角形，
，
过点P作于T，则，，
在中，，
，
解得（舍），，
；
（3）解：设，则，，
当时，，
令，
解得，，
，
，
∴点G在H的上方（如图1），
设，故，
其对称轴为，且，
分以下两种情况：
①当时，即，
由图2可知：
当时，t取得最大值，
解得或（舍去）；
②当时，得，由图3可知：
当时，t取得最大值，
解得（舍去）．
综上所述，b的值为．
在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接．
如图1，求证：；
如图2，当，时，求的长，
如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于
① 求证：；
② 当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，是直角三角形，由勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则．从而得到，使用勾股定理计算即可；
（3）①由旋转的性质可得，，，，则，结合，可证明．通过等量代换，可得，则可证明；
②作，垂足为，延长、交于点，设，则，使用勾股定理计算出．容易证明，根据相似三角形的性质可得，．由等腰三角形的性质，可得，进而得到．容易证明，则．由①中的，可得．由平行判定，则，代入即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
∴
解得，；
（3）解：①由旋转的性质可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图，作，垂足为，延长、交于点，设，
∵，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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2026年浙江省杭州市九年级中考数学预测练习试卷
试卷共三大题．共24小题．满分120分，时间120分钟．
卷I（选择题）
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若a的相反数是2026，则a的倒数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ）
A． B． C． D．
2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量
已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．
如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，
点B坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，
问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
8. 如图，的两点在反比例函数的图象上，
过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ）
A. B. C. 6 D. 5
水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，
其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，
这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，
同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，
点到水面的距离为，则水面宽度为（ ）
A． B． C．或 D．或
如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，
连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，
作的角平分线交于点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
卷II（非选择题）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．因式分解：________．
值相等，则______．
如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为，
仪器与气球的水平距离为22米，且距地面高度为1.5米，
则气球顶部离地面的高度是 米
（结果精确到0.1米，，，）．
“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”
这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，
他们出相同手势的概率为 ．
15．【文化欣赏】
图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，
图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，
是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，
当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，
则这个桔槔支架的高度为____________米．
一副三角板按图1放置，O是边的中点，．
如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是___________．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简求值：，其中．
18．先化简，再求值：，其中．
19．2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．
图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，
旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．．
求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）；
机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．
在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，
问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）
（参考数据：）
某学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，
两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，
学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
在学期初调查数据条形图中，B组人数是 人，并补全条形图；
在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是 ．
七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：
（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图．
推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则．
（1）请用上述方法估算的值．
（2）在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同．
① 请验证小金的发现．
② 求取13或14时，所得近似值相同的无理数．
如图，是的直径，，是上的点，是上一点，连接并延长交于点，
延长，交于点，，，连接．
求证：；
若，，求的半径长．
抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与 y轴相交于点C．
若，，求点P和点A的坐标；
当，且时，求点P的坐标；
当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，
当的最大值为4时，求b的值．
在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接．
如图1，求证：；
如图2，当，时，求的长，
如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于
① 求证：；
② 当时，直接写出的值．
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