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第3章 一次函数
第3章 小结与评价
学习目标与重难点
学习目标：
1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。
2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。
3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。
4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。
学习重点：
一次函数知识体系的梳理，核心概念与方法的巩固应用。
学习难点：
知识间的关联理解，以及综合运用一次函数解决实际问题。
教学过程
一、知识图谱
二、思考回顾
教材第120页
1.函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优缺点？
【牛刀小试】下列四个选项中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
2.函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是什么？坐标为(a， f(a) )的点是否在函数y=f(x)的图象上？
【牛刀小试】若点(m,3)在函数y=f(x)的图象上，则f(m)=______.
3.什么是正比例函数？正比例函数的图象是什么？它具有哪些性质？
【牛刀小试】若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
4.什么是一次函数？如何画一次函数的图象？它与正比例函数的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？
【牛刀小试】关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
5.举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式.
【牛刀小试】已知一次函数的图象经过P(0，1)，Q(1，1)两点，求一次函数的表达式？
6.举例说明一次函数与二元一次方程的关系.
【牛刀小试】已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7.举例说明如何用一次函数解决简单实际问题.
【牛刀小试】如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm．（结果精确到）
三、注意事项
1.在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.
2.一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量.
3.一次函数的自变量的取值范围是全体实数.在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.
4.研究函数问题时，结合图象有助于我们更全面地掌握函数的特征.
5.如果实际问题中因变量y与自变量x之间是一次函数关系，那么找出自变量与因变量的两组对应值，就可以用待定系数法求出这个一次函数的表达式.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞3 D．x≥3
2.一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(　　)
A． B． C． D．
3.将直线向右平移1个单位后，正好经过点，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
选做题
4.如果一次函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　。（填“增大”或“减小”）
5.若点 在一次函数（为常数）的图象上，则的大小关系是　 　．
6.将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
【综合拓展类作业】
7.已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
五、作业布置
1.太原市第37中学校A同学在新冠疫情期间，妈妈每天为其测量体温，为了较直观地了 解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是（　　）
A．表格法 B．图象法
C．关系式法 D．以上三种方法均可
2.以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
4.已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选D．
2.【答案】A
【解析】解：∵树现在高，每月长高，
∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度，
即：。
故答案为：A
3.【答案】D
【解析】解：设将直线向右平移1个单位长度后的解析式为，
将代入，
可得，
解得：，
故选D．
4.【答案】增大
【解析】解：把x=1，y=0代入y=kx 3，
得到0=k×1 3，
即k 3=0，
解得k=3，
k=3>0，
∴y的值随x的增大而增大。
故答案为：增大
5.【答案】
【解析】解：∵-3<0，
∴又随x的增大而减小，
又∵3＞-2，
∴，
故答案为：.
6.【答案】
【解析】解：设张白纸粘合后的总长度为，
∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为，
可得
∴，
故答案为：．
7.【答案】（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
（2）解：由（1）可知．
当时，，解得．
故当时，y的值为3．
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：妈妈为了较直观地了解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况，
故答案为：B．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
∴点，故在第一象限；
故答案为：A．
3.【答案】C
【解析】由图可得，
甲无人机的速度为
乙无人机的速度为，
∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米，
乙无人机所在的位置距离地面的高度，
∴时，两架无人机的高度差为，
故选：C．
4．【答案】（1）解：∵与成正比例
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第3章
课标要求 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。 8.体会一次函数与二元一次方程的关系。 9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级下册第3章《一次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。本章以函数概念为起点，依次展开常量与变量、函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），再深入正比例函数和一次函数的图象与性质，通过待定系数法确定一次函数表达式，衔接一次函数与二元一次方程的关系，最终落脚于一次函数的实际应用。教材遵循“概念—性质—方法—应用”的逻辑主线，层层递进，既注重知识的系统性，又强化数形结合思想与建模能力的培养，为后续二次函数、反比例函数等复杂函数的学习奠定重要基础。
学情分析 八年级学生已具备初步的变量意识和方程运算能力，能够理解简单的数量关系，但对“函数”这一抽象概念的认知仍较零散，在将实际问题转化为函数模型、结合图象分析性质时存在困难。学生已学习正比例函数的相关知识，可通过类比迁移学习一次函数，但对一次函数与二元一次方程的内在联系、分段函数的应用等内容理解较浅，需要通过系统梳理和实例探究，逐步构建完整的函数知识体系，提升数形结合与解决实际问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.理解函数、常量、变量、自变量、函数值等核心概念，掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能根据实际情境选择合适的表示法刻画变量关系。 2.掌握正比例函数和一次函数的图象与性质，能熟练画出函数图象，理解k、b对图象位置与增减性的影响，明确一次函数与正比例函数图象的平移关系。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的表达式，能结合两点坐标或实际情境建立函数模型，解决简单的实际问题。 4.理解一次函数与二元一次方程的对应关系，能实现两者的相互转化，体会数形结合思想在方程与函数问题中的应用。 5.能运用一次函数模型解决行程、计费、测量等实际问题，提升数学建模能力与应用意识，感受函数在生活中的价值。 （二）教学重点、难点 重点 1.函数的概念与三种表示法，一次函数的图象与性质。 2.用待定系数法确定一次函数的表达式，建立一次函数模型解决实际问题。 难点 1.理解函数概念的抽象性，以及一次函数与二元一次方程的内在联系。 2.从实际情境中提取变量关系，建立合理的一次函数模型，并结合图象分析解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1函数的概念和表示法23.2一次函数13.3一次函数的图象23.4用待定系数法确定一次函数表达式13.5一次函数与二元一次方程的关系13.6一次函数的应用2第3章小结与复习1综合与实践生活节水1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 变量与函数1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。任务一：情境导入，初步接触函数。 任务二：探究新知，理解函数及相关概念。 任务三：独立思考，探究自变量和因变量。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.1.2 函数的表示法1.掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能说出各自的优点。 2.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 3.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。1.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 2.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。任务一：复习回顾 任务二：探究新知，探究函数的三种表示法。 任务三：例题精讲，学习从函数图象中提取关键信息。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 一次函数1.理解一次函数与正比例函数的概念，能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题，体会函数建模的思想。1.能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题。任务一：情境导入，列代数式。 任务二：探究新知，探究一次函数与正比例函数. 任务三：例题精讲，列出一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（1）1.理解正比例函数的图象是过原点的直线，掌握其图象画法，发展数学抽象素养。 2.掌握k的符号对正比例函数图象、增减性的影响，提升逻辑推理能力。 3.能运用正比例函数解决实际问题，增强数学建模与应用意识。1.能正确作出正比例函数的图象。 2.能运用正比例函数解决实际问题。任务一：情境导入，列函数。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象. 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（2）1.理解一次函数的图象是一条直线，掌握它与正比例函数图象的平移关系。 2.能熟练运用两点法画出一次函数的图象，理解对函数图象位置和增减性的影响。 3.能结合实际情境分析一次函数图象的意义，体会数形结合思想在解决实际问题中的应用。能熟练运用两点法画出一次函数的图象任务一：复习巩固。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.4 用待定系数法确定一次函数表达式1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。 3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。 4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。1.能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。任务一：复习巩固，回顾一次函数的相关概念。 任务二：探究新知，探究待定系数法。 任务三：例题精讲，用待定系数法确定一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.5 一次函数与二元一次方程的关系1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。1.能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 任务一：复习巩固，合作交流。 任务二：探究新知，探究一次函数与二元一次方程的关系。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（1）1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题。 3.能结合函数图象分析实际问题。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，一次函数的应用。 任务三：例题精讲，结合函数图象分析解决实际问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（2）1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。1.能根据实际数据建立一次函数模型。 2.会利用分段函数解决实际计费问题。任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，探究分段函数。 任务三：例题精讲，利用分段函数解决实际计费问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。 2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。 3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。 4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。能熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：生活节水1.了解地球水资源分布及我国水资源紧缺现状，认识生活节水的重要性，树立节水责任意识。 2.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 3.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 4.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。1.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 2.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 3.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。任务一：情境导入，认识生活节水的重要性。 任务二：认真思考, 合作探究。 任务三：合作交流，设计方案。
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第3章 一次函数
小结与评价
01
教学目标
02
知识图谱
03
思考回顾
04
注意事项
05
课堂练习
06
作业布置
01
教学目标
梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。
01
巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。
02
深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。
03
02
知识图谱
03
思考回顾
1.函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优缺点？
一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). 其中，x叫作自变量，y叫作因变量.
函数的三种表示法：1.图象法、2.列表法、3.公式法
03
思考回顾
表示方法 优点 缺点
图象法 可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化 两个变量的读值不准确，不能准确地反映函数关系
列表法 可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 取的对应值有限,不能直接看出两个变量之间对应规律
公式法 可以方便地计算函数值 有些实际问题中的函数关系不一定能用公式法表示出来
03
思考回顾
牛刀小试：下列四个选项中，不是的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
D
03
思考回顾
2.函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是什么？坐标为(a， f(a) )的点是否在函数y=f(x)的图象上？
函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是(a，f(a))，其中a在自变量的取值范围内 .
反之，坐标为(a，f(a))的点都在函数y=f(x)的图象上 .
牛刀小试：若点(m, 3)在函数y=f(x)的图象上，则f(m)=______。
3
03
思考回顾
3.什么是正比例函数？正比例函数的图象是什么？它具有哪些性质？
当b=0时，一次函数 y=kx（k为常数，k≠0）也叫作正比例函数.
一般地，正比例函数的图象是一条经过原点O的直线.
03
思考回顾
正比例函数的性质：
1.直线y=kx(k>0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大
2.直线y=kx(k<0)经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小
牛刀小试：若函数是正比例函数，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
C
03
思考回顾
4.什么是一次函数？如何画一次函数的图象？它与正比例函数的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？
形如（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.
一次函数的图象是一条直线，它与正比例函数的图象平行(当≠0时)或重合(当=0时).
一般地，一次函数的图象可以看作由正比例函数的图象沿轴平移||个单位长度而得到.
03
思考回顾
一次函数的性质：
1.直线y=kx(k>0，b>0)经过第一、二、三象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大
2.直线y=kx(k>0，b<0)经过第一、三、四象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大
3.直线y=kx(k<0，b>0)经过第一、二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小
4.直线y=kx(k<0，b>0)经过第一、二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小
03
思考回顾
牛刀小试：关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
D
03
思考回顾
5.举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式.
1.设： 设出含有待定系数的函数表达式；
2.代： 把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组) ；
3.解： 解方程(组) ，求出待定的系数；
4.写： 将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .
一般步骤
03
思考回顾
牛刀小试：已知一次函数的图象经过P(3，5)，Q(4，9)两点，求一次函数的表达式？
解：设一次函数的表达式为（k，b为常数，k≠0）
根据题意得
解得
所以函数表达式为
03
思考回顾
6.举例说明一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与二元一次方程的联系：
一般地，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的一个解，以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上.
03
思考回顾
牛刀小试：已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
D
03
思考回顾
7.举例说明如何用一次函数解决简单实际问题.
建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤：
1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型；
2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式；
3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；
4.应用这个函数模型解决实际问题.
的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm．（结果精确到）
03
思考回顾
牛刀小试：如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人
27.3
04
注意事项
1.在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.
2.一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量.
3.一次函数的自变量的取值范围是全体实数.在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围.
4.研究函数问题时，结合图象有助于我们更全面地掌握函数的特征.
5.如果实际问题中因变量y与自变量x之间是一次函数关系，那么找出自变量与因变量的两组对应值，就可以用待定系数法求出这个一次函数的表达式.
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞3 D．x≥3
2.一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(　　)
A． B．C． D．
3.将直线向右平移1个单位后，正好经过点，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
D
A
D
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如果一次函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　。（填“增大”或“减小”）
5.若点 在一次函数（为常数）的图象上，则的大小关系是　 　．
6.将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　．
增大
05
课堂练习
7.已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
【综合拓展类作业】
（1）解：由是一次函数得，
解得．
故当时，是一次函数；
05
课堂练习
（2）解：由（1）可知．
当时，，
解得．
故当时，y的值为3．
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.太原市第37中学校A同学在新冠疫情期间，妈妈每天为其测量体温，为了较直观地了 解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是（　　）
A．表格法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可
2.以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B
A
高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　）
A．10 B．15
C．20 D．25
06
作业布置
3.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知与成正比例，且当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
（1）解：∵与成正比例
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴，
∴；
06
作业布置
（2）解：点是上述函数图象上的点，理由如下：
在中，当时，，
∴点是上述函数图象上的点．
07
板书设计
一次函数：
正比例函数：
待定系数法：
一次函数的应用：
第3章 小结与评价
习题讲解书写部分
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分课时教学设计
《小结与评价》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 本节课是湘教版八年级下册《一次函数》的小结与复习课，以知识图谱梳理函数概念、一次函数核心内容，通过思考回顾、注意事项和自评互评，帮助学生构建完整知识体系，强化概念理解、方法应用与反思意识，是对全章知识的整合与提升，为后续函数学习奠定基础。
学习者分析 学生已学习一次函数全章内容，掌握基本概念、图象性质与应用方法，但知识零散，对函数概念、一次函数与方程的关系等易混淆，在综合建模、数形结合分析问题时仍有不足，需要通过系统梳理和针对性练习查漏补缺。
教学目标 1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。 2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。 3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。 4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。
教学重点 一次函数知识体系的梳理，核心概念与方法的巩固应用。
教学难点 知识间的关联理解，以及综合运用一次函数解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识图谱教师活动1： 教师讲授： 学生活动1： 认真听讲活动意图说明：在知识体系的指导下，学生可以更有针对性地进行学习。当学生掌握某个领域的知识时，可以清晰地了解需要学习的内容和顺序，避免盲目学习造成的时间和精力浪费。环节二：思考回顾教师活动2： 1.函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优缺点？ 教师讲授：一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). 其中，x叫作自变量，y叫作因变量. 函数的三种表示法：1.图象法、2.列表法、3.公式法 表示方法优点缺点图象法可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化两个变量的读值不准确，不能准确地反映函数关系列表法可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值取的对应值有限,不能直接看出两个变量之间对应规律公式法可以方便地计算函数值有些实际问题中的函数关系不一定能用公式法表示出来
【牛刀小试】下列四个选项中，不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 2.函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是什么？坐标为(a， f(a) )的点是否在函数y=f(x)的图象上？ 教师讲授：函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是(a，f(a))，其中a在自变量的取值范围内 . 反之，坐标为(a，f(a))的点都在函数y=f(x)的图象上 . 【牛刀小试】若点(m,3)在函数y=f(x)的图象上，则f(m)=______. 3.什么是正比例函数？正比例函数的图象是什么？它具有哪些性质？ 教师讲授： 正比例函数的定义：当b=0时，一次函数 y=kx（k为常数，k≠0）也叫作正比例函数. 正比例函数的图象：一般地，正比例函数的图象是一条经过原点O的直线. 正比例函数的性质： 1.直线y=kx(k>0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大 2.直线y=kx(k<0)经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小 【牛刀小试】若函数是正比例函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 4.什么是一次函数？如何画一次函数的图象？它与正比例函数的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？ 教师讲授： 一次函数的概念：形如（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数. 一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，它与正比例函数的图象平行(当≠0时)或重合(当=0时). 一般地，一次函数的图象可以看作由正比例函数的图象沿轴平移||个单位长度而得到. 一次函数的性质： 1.直线y=kx(k>0，b>0)经过第一、二、三象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大 2.直线y=kx(k>0，b<0)经过第一、三、四象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大 3.直线y=kx(k<0，b>0)经过第一、二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小 4.直线y=kx(k<0，b>0)经过第一、二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小 【牛刀小试】关于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象过点(3，0) B．y随着x的增大而增大 C．其图象可由的图象向上平移5个单位长度得到 D．图象经过第一、二、四象限 5.举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式. 待定系数法求一次函数的表达式的一般步骤： 1.设：设出含有待定系数的函数表达式； 2.代：把已知条件中的自变量与对应的函数值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； 3.解：解方程(组) ，求出待定的系数； 4.写：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 【牛刀小试】已知一次函数的图象经过P(3，5)，Q(4，9)两点，求一次函数的表达式？ 6.举例说明一次函数与二元一次方程的关系. 一次函数与二元一次方程的联系： 一般地，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的一个解，以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上. 【牛刀小试】已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 7.举例说明如何用一次函数解决简单实际问题. 建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型； 2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式； 3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； 4.应用这个函数模型解决实际问题. 【牛刀小试】如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的身高与指距满足一次函数，若人的身高为时，指距为；当人的身高为时，指距为．篮球运动员姚明的身高为，则据此估计他的指距是　 　cm．（结果精确到） 学生活动2： 回顾函数的定义 回顾函数的三种表示法 认真听讲 认真思考 认真听讲 认真思考 回顾正比例函数的定义、图象、性质 认真思考 回顾一次函数的概念、图象、性质 认真思考 认真听讲，回顾待定系数法 独立完成习题 回顾一次函数与二元一次方程的关系 认真思考 回顾如何用一次函数解决简单实际问题 认真思考活动意图说明：通过反复回顾和思考，学生可以对所学知识进行更深入的理解，发现其中的内在联系和规律，形成更加稳固的知识体系。环节三：注意事项教师活动3： 教师讲授：1.在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 2.一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量. 3.一次函数的自变量的取值范围是全体实数.在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围. 4.研究函数问题时，结合图象有助于我们更全面地掌握函数的特征. 5.如果实际问题中因变量y与自变量x之间是一次函数关系，那么找出自变量与因变量的两组对应值，就可以用待定系数法求出这个一次函数的表达式.学生活动4： 认真听讲活动意图说明：归纳易错点，提醒学生，帮助学生更好地掌握知识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞0　　　　B．x≥0　　　　C．x＞3　　　　D．x≥3 2.一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 3.将直线向右平移1个单位后，正好经过点，则的值为（　　） A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 选做题： 4.如果一次函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　。（填“增大”或“减小”） 5.若点 在一次函数（为常数）的图象上，则的大小关系是　 　． 6.将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为　 　． 【综合拓展类作业】 7.已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.太原市第37中学校A同学在新冠疫情期间，妈妈每天为其测量体温，为了较直观地了 解这位同学这个月的日期和每天体温的变化趋势，可选择的比较好的方法是（　　） A．表格法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2.以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（　　） A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限 3.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　） A．10　　　　B．15　　　　C．20　　　　D．25 【综合拓展类作业】 4.已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）判断点是否是上述函数图象上的点，说明理由．
教学反思 本节课通过知识图谱和问题回顾引导学生梳理知识，有效帮助学生构建体系，但部分学生对函数模型的实际应用、图象与方程的转化仍不熟练。后续需增加综合题练习，强化知识间的联结，同时引导学生做好自评反思，提升学习主动性。
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