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第3章 一次函数
3.3 一次函数的应用（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。
2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。
3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。
4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。
学习重点：
建立一次函数模型解决实际问题，掌握分段一次函数的表达式书写与应用。
学习难点：
理解一次函数模型的局限性，准确划分分段函数的自变量取值范围。
学习过程
一、复习回顾
建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤：
1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型；
2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式；
3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；
4.应用这个函数模型解决实际问题.
二、探究新知
探究：建立一次函数模型进行预测
教材第114页
【做一做】在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑杆跳高的纪录如下表所示：
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立一个函数模型.
【议一议】(1)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1912年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？
(2)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1988年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？
(3)查阅相关记录，与(1)(2)中结果比较，你能发现什么？
【归纳】预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
三、例题探究
探究二：分段函数的应用
例2某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元.
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)小玲家3月份、4月份分别用电150 kW·h和220 kW·h，各应缴纳电费多少元？
【归纳】在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 .
2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同.
3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处。乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米。若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　）
A．1800米 B．2000米 C．2400米 D．2500米
2.“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时后，离目的地还有（　　）千米．
A．48 B．32 C．28 D．22
3.甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　）
A．小红跑步的速度为米/分
B．小刚步行的速度为米/分
C．
D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有米
选做题
4.某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为 ．
5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费(元)与用水量(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水吨，则应交水费 元．
6.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费　 　元．
【综合拓展类作业】
7.转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中段y与x之间的函数关系式．
（2）求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么
六、作业布置
1.快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超出部分的价格为5元．有下列结论：
①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　．
4.智能手机的出现，让生活变得更加便捷，同时也使大家对手机流量有了新的需求。某移动公司现推出两种流量套餐，流量费均为30元每月，其中A套餐的优惠方案是：先缴纳54元的办卡费，而后每月的流量收费享七折优惠；B套餐的优惠方案是：不需要缴纳办卡费，流量套餐使用超过10个月后，从第十一个月开始每月流量收费享五折优惠.设套餐使用x（月)，A套餐的总流量费为（元)，B套餐的总流量费为（元).
（1）B套餐一年的总流量费为　 　元；
（2）求与x的关系式；
（3）如何根据使用时间长短确定选择哪种套餐更实惠
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】解：由图象可得，乙的速度为： (米/分钟) ，
解得
设甲到达终点用的时间为b，
解得
∴A、B两地的路程为： (米)，
故答案为：C.
2.【答案】D
【解析】解：当时，设，
将和代入解析式得，
解得：，
当时，，
当时，（千米），
距离目的地还有：（千米），
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：∵（米/分），
∴小刚步行的速度为米/分；故B选项正确；
∵（米/分），
∴（米/分），
∴小红跑步的速度为米/分，故A选项正确；
∵（分），
∴，故C选项错误；
小红到达乙地时，小刚离甲地还有（米）；故D选项正确，
故选：C．
4.【答案】
【解析】解：根据题意可列函数表达式为：y=5+1.4（x-2.5）=1.4x+1.5，
∴费用（元）与距离之间的函数表达式为．
故答案为：．
5.【答案】
【解析】解：当x＞10时，设y关于x的函数关系式为y=kx+b（x＞10），将点（10，18）与点（15，31）代入y=kx+b（x＞10）得，
解得
∴y=2.6x-8（x＞10），
将x=20代入y=2.6x-8得y=2.6×20-8=44，
即当用水20吨时，应交水费44元.故答案为：44．
6.【答案】
【解析】解：由图形可得：
当时，元．
当时，设y与x的解析式为．
将与代入，
得：．
解得：．
∴．
∵，
∴小明打了6分钟应付费为元．
故答案为：1.8．
7.【答案】（1）解：设BC段y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），
据图可知，点B（2，100），点C（4，240），
把点B、点C的坐标代入函数关系式为y=kx+b，得：
，
解得：，
∴（2≤x≤4），
答：BC段y与x之间的函数关系式为（2≤x≤4）.
（2）解：据图可知，当小王与丈夫离家170千米时正在BC段上，
将y=170代入得：，
解得：x=3，
答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：由题意可知，甲、乙两地之间的距离是960千米，慢车行驶12小时，
∴慢车的速度为（千米/小时），②错误；
由图象可知，慢车出发5.4小时后两车相遇，而快车比慢车晚出发1小时
∴5.4-1=4.4（小时）， ①快车出发4.4小时后两车相遇 ，正确；
慢车9小时行驶了80×9=720（千米）
∴B（9，720）
设AB所在直线解析式为y=kx+b（k≠0）
解得：
AB所在直线解析式为，
③线段AB所在直线的函数表达式为，正确；
故答案为：D.
2.【答案】C
【解析】解：设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，
根据题意得，
①当时，，则：时，有：，解得（舍）.
②当时，，则：
时，也有：，解得：.
∴他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，故①错误.
当时，元，元，
∵，
∴乙批发店花费少，故②正确.
③当时，则：或；解得或，
∵，
∴甲批发店购买数量多，故③正确.
故答案为：C．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，南海至北海的距离为d，
∴，，
联立函数解析式得：
解得：，
∴交点M的横坐标是；
故答案为：．
4．【答案】（1）330
（2）解：当时，；
当时，；
（3）解：根据题意，，
当，，解得：，
当时，，解得：，
如图，
当或时，，选择套餐更划算；
当时，，选择套餐更划算；
当或16时，，两种套餐都可以．
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分课时教学设计
第二课时《3.6 一次函数的应用》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《利用一次函数解决实际问题、分段函数问题》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第六节第二课时的内容。本节课是通过奥运纪录建模和阶梯电价两个实例，引导学生从实际数据中抽象出一次函数模型，并认识到模型的适用范围，同时引入分段一次函数解决阶梯收费问题，深化学生对函数建模和分段函数的理解，为后续复杂实际问题的解决提供方法支撑。
学习者分析 学生已掌握基本一次函数建模方法，能从简单情境中建立函数表达式，但对“模型局限性”和“分段函数”的认知较浅。八年级学生能处理单一变量关系，但在分析分段函数的自变量取值范围、拼接函数图象时容易混淆，需要教师引导明确分段逻辑。
教学目标 1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。
教学重点 建立一次函数模型解决实际问题，掌握分段一次函数的表达式书写与应用。
教学难点 理解一次函数模型的局限性，准确划分分段函数的自变量取值范围。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师提问：同学们，大家知道奥运会里‘空中飞人’项目是哪个吗？ 教师讲授： 没错，就是撑竿跳高！这项运动从1896年第一届现代奥运会就成为正式项目，纪录一直在被不断刷新。学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.环节二：探究新知教师活动2： 探究一：建立一次函数模型进行预测 【做一做】在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑杆跳高的纪录如下表所示： 观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立一个函数模型. 教师提问： 问题1：奥运会每4年一届，观察每一届记录，它们比上一届增加了多少？这说明了什么？ 问题2：应该怎样设自变量和因变量？怎么求函数表达式？ 解：∵每一届的纪录比上一届都大约提高了0.2m， ∴可以尝试建立一次函数模型来刻画. 设一次函数表达式为y=kt+b(k，b为常数，k≠0). 则 解得k=0.05，b=3.3. 于是y=0.05t+3.3. 当t=8时，y=3.7，这说明1908年奥运会的男子撑杆跳高纪录基本符合. 故y=0.05t+3.3可以大致反映它们之间函数关系. 【议一议】(1)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1912年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ (2)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1988年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ (3)查阅相关记录，与(1)(2)中结果比较，你能发现什么？ 解：当t=12时，y=0.05×12+3.3=3.9 经查询可知，1912年奥运会的男子撑杆跳高纪录为3.95 m，这一纪录也接近符合公式y=0.05t+3.3. 当t=88时，y=0.05×88+3.3=7.7 经查询可知，1988年奥运会的男子撑杆跳高纪录为5.9m，远低于7.7 m. 【归纳】预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤： 1.根据条件求出一次函数表当印达式； 2.将所给的数据代入求得的表达式中计算； 3.将计算的结果进行分析与比较； 4.得出答案.学生活动2： 认真读题 认真思考，举手回答问题 独立思考，求函数表达式 认真听讲 学生认真思考，进行计算 查阅相关记录，比较 认真听讲，了解利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤活动意图说明：本环节以奥运会撑杆跳高纪录为素材，引导学生观察数据规律，建立一次函数模型并进行预测，体会模型适用性，感受数学在实际中的应用，培养数据分析与建模素养。环节三：例题精讲教师活动3： 探究二：分段函数的应用 例2某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元. (1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； (2)画出这个函数的图象； (3)小玲家3月份、4月份分别用电150 kW·h和220 kW·h，各应缴纳电费多少元？ 教师提问： 问题1：若用电量不超过200kW·h，题目中的等量关系是什么？ 问题2：若用电量超过200kW·h，等量关系是什么？ 解：(1)由生活常识可知，电费与用电量相关. 当0≤x≤200时，y=0.6x； 当x>200时，y=200×0.6+(x200)×(0.6+0.3)=0.9x60. y与x的函数表达式也可以合起来表示为y= (2)使用自由描绘多个一次函数图像-初中数学 AI赋能教学素材（html交互动画）绘制分段函数图像；该函数的图象如图： (3)当x=150时，y=0.6×150=90， 故小玲家3月份应缴纳电费90元. 当x=200时，y=0.9×22060=138， 故小玲家4月份应缴纳电费138元. 【归纳】在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 . 2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同. 3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .学生活动3： 认真读题 认真思考，举手回答问题 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 作图 认真听讲 认真听讲，了解什么是分段函数活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤： 1.根据条件求出一次函数表当印达式； 2.将所给的数据代入求得的表达式中计算； 3.将计算的结果进行分析与比较； 4.得出答案. 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 . 2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同. 3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处。乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米。若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　） A．1800米　　　　B．2000米　　　　C．2400米　　　　D．2500米 2.“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时后，离目的地还有（　　）千米． A．48　　　　B．32　　　　C．28　　　　D．22 3.甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　） A．小红跑步的速度为米/分 B．小刚步行的速度为米/分 C． D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有米 选做题： 4.某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为　 　． 5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费(元)与用水量(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水吨，则应交水费　 　元． 6.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费　 　元． 【综合拓展类作业】 7.转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段y与x之间的函数关系式． （2）求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　）
A．①②　　　　B．②③　　　　C．①②③　　　　D．①③ 2.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超出部分的价格为5元．有下列结论： ①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多． 其中正确的结论是（　　） A．①②　　　　B．①③　　　　C．②③　　　　D．①②③ 3.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　． 【综合拓展类作业】 4.智能手机的出现，让生活变得更加便捷，同时也使大家对手机流量有了新的需求。某移动公司现推出两种流量套餐，流量费均为30元每月，其中A套餐的优惠方案是：先缴纳54元的办卡费，而后每月的流量收费享七折优惠；B套餐的优惠方案是：不需要缴纳办卡费，流量套餐使用超过10个月后，从第十一个月开始每月流量收费享五折优惠.设套餐使用x（月)，A套餐的总流量费为（元)，B套餐的总流量费为（元). （1）B套餐一年的总流量费为　 　元； （2）求与x的关系式； （3）如何根据使用时间长短确定选择哪种套餐更实惠
教学反思 本节课通过奥运纪录和阶梯电价实例，让学生体会函数建模的实用性与局限性，但部分学生对分段函数的区间划分和表达式书写仍不熟练，对模型预测偏差的理解不够深刻。后续需增加分层练习，强化分段函数的规范书写，同时设计更多对比案例，帮助学生认识数学模型的适用边界。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第3章
课标要求 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。 8.体会一次函数与二元一次方程的关系。 9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级下册第3章《一次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。本章以函数概念为起点，依次展开常量与变量、函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），再深入正比例函数和一次函数的图象与性质，通过待定系数法确定一次函数表达式，衔接一次函数与二元一次方程的关系，最终落脚于一次函数的实际应用。教材遵循“概念—性质—方法—应用”的逻辑主线，层层递进，既注重知识的系统性，又强化数形结合思想与建模能力的培养，为后续二次函数、反比例函数等复杂函数的学习奠定重要基础。
学情分析 八年级学生已具备初步的变量意识和方程运算能力，能够理解简单的数量关系，但对“函数”这一抽象概念的认知仍较零散，在将实际问题转化为函数模型、结合图象分析性质时存在困难。学生已学习正比例函数的相关知识，可通过类比迁移学习一次函数，但对一次函数与二元一次方程的内在联系、分段函数的应用等内容理解较浅，需要通过系统梳理和实例探究，逐步构建完整的函数知识体系，提升数形结合与解决实际问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.理解函数、常量、变量、自变量、函数值等核心概念，掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能根据实际情境选择合适的表示法刻画变量关系。 2.掌握正比例函数和一次函数的图象与性质，能熟练画出函数图象，理解k、b对图象位置与增减性的影响，明确一次函数与正比例函数图象的平移关系。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的表达式，能结合两点坐标或实际情境建立函数模型，解决简单的实际问题。 4.理解一次函数与二元一次方程的对应关系，能实现两者的相互转化，体会数形结合思想在方程与函数问题中的应用。 5.能运用一次函数模型解决行程、计费、测量等实际问题，提升数学建模能力与应用意识，感受函数在生活中的价值。 （二）教学重点、难点 重点 1.函数的概念与三种表示法，一次函数的图象与性质。 2.用待定系数法确定一次函数的表达式，建立一次函数模型解决实际问题。 难点 1.理解函数概念的抽象性，以及一次函数与二元一次方程的内在联系。 2.从实际情境中提取变量关系，建立合理的一次函数模型，并结合图象分析解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1函数的概念和表示法23.2一次函数13.3一次函数的图象23.4用待定系数法确定一次函数表达式13.5一次函数与二元一次方程的关系13.6一次函数的应用2第3章小结与复习1综合与实践生活节水1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 变量与函数1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。任务一：情境导入，初步接触函数。 任务二：探究新知，理解函数及相关概念。 任务三：独立思考，探究自变量和因变量。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.1.2 函数的表示法1.掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能说出各自的优点。 2.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 3.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。1.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 2.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。任务一：复习回顾 任务二：探究新知，探究函数的三种表示法。 任务三：例题精讲，学习从函数图象中提取关键信息。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 一次函数1.理解一次函数与正比例函数的概念，能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题，体会函数建模的思想。1.能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题。任务一：情境导入，列代数式。 任务二：探究新知，探究一次函数与正比例函数. 任务三：例题精讲，列出一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（1）1.理解正比例函数的图象是过原点的直线，掌握其图象画法，发展数学抽象素养。 2.掌握k的符号对正比例函数图象、增减性的影响，提升逻辑推理能力。 3.能运用正比例函数解决实际问题，增强数学建模与应用意识。1.能正确作出正比例函数的图象。 2.能运用正比例函数解决实际问题。任务一：情境导入，列函数。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象. 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（2）1.理解一次函数的图象是一条直线，掌握它与正比例函数图象的平移关系。 2.能熟练运用两点法画出一次函数的图象，理解对函数图象位置和增减性的影响。 3.能结合实际情境分析一次函数图象的意义，体会数形结合思想在解决实际问题中的应用。能熟练运用两点法画出一次函数的图象任务一：复习巩固。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.4 用待定系数法确定一次函数表达式1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。 3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。 4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。1.能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。任务一：复习巩固，回顾一次函数的相关概念。 任务二：探究新知，探究待定系数法。 任务三：例题精讲，用待定系数法确定一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.5 一次函数与二元一次方程的关系1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。1.能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 任务一：复习巩固，合作交流。 任务二：探究新知，探究一次函数与二元一次方程的关系。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（1）1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题。 3.能结合函数图象分析实际问题。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，一次函数的应用。 任务三：例题精讲，结合函数图象分析解决实际问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（2）1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。1.能根据实际数据建立一次函数模型。 2.会利用分段函数解决实际计费问题。任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，探究分段函数。 任务三：例题精讲，利用分段函数解决实际计费问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。 2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。 3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。 4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。能熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：生活节水1.了解地球水资源分布及我国水资源紧缺现状，认识生活节水的重要性，树立节水责任意识。 2.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 3.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 4.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。1.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 2.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 3.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。任务一：情境导入，认识生活节水的重要性。 任务二：认真思考, 合作探究。 任务三：合作交流，设计方案。
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第3章 一次函数
3.6 一次函数的应用（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。
01
理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。
02
会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。
03
02
新知导入
你知道奥运会里‘空中飞人’项目是哪个吗？
撑竿跳高
这项运动从1896年第一届现代奥运会就成为正式项目，纪录一直在被不断刷新。
03
新知探究
做一做 在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑杆跳高的纪录如下表所示：
年份 1900 1904 1908
高度/m 3.3 3.5 3.71
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立一个函数模型.
03
新知探究
问题1：奥运会每4年一届，观察每一届记录，它们比上一届增加了多少？这说明了什么？
上表中每一届的纪录比上一届都大约提高了 0.2 m，可以尝试建立一次函数模型来刻画.
问题2：应该怎样设自变量和因变量？怎么求函数表达式？
自变量为从1900年起增加的年份t，因变量为撑杆跳高的纪录y
年份 1900 1904 1908
高度/m 3.3 3.5 3.71
待定系数法
解：∵每一届的纪录比上一届都大约提高了0.2m，
∴可以尝试建立一次函数模型来刻画.
设一次函数表达式为y=kt+b(k，b为常数，k≠0).
则
解得k=0.05，b=3.3.
于是y=0.05t+3.3.
当t=8时，y=3.7，
这说明1908年奥运会的男子撑杆跳高纪录基本符合.
故y=0.05t+3.3可以大致反映它们之间函数关系.
03
新知探究
确定函数模型
待定系数法
检验
总结
03
新知探究
你能利用公式y=0.05t+3.3估计1912年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？
解： 当t=12时，y=0.05×12+3.3=3.9
3.95
经查询可知，1912年奥运会的男子撑杆跳高纪录为3.95 m，这一纪录也接近符合公式y=0.05t+3.3.
03
新知探究
你能利用公式y=0.05t+3.3估计1988年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？
解： 当t=88时，y=0.05×88+3.3=7.7
5.9
经查询可知，1988年奥运会的男子撑杆跳高纪录为5.9m，远低于7.7 m.
03
新知探究
预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤：
1.根据条件求出一次函数表当印达式；
2.将所给的数据代入求得的表达式中计算；
3.将计算的结果进行分析与比较；
4.得出答案.
03
新知探究
例1
每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元.
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式；
某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度， 规定：
问题1：若用电量不超过200kW·h，题目中的等量关系是什么？
电费=0.6×用电量
问题2：若用电量超过200kW·h，等量关系是什么？
电费=0.6×200+(0.6+0.3)×超出部分用电量
03
新知探究
解：(1)由生活常识可知，电费与用电量相关.
当0≤x≤200时，y=0.6x；
当x>200时，y=200×0.6+(x200)×(0.6+0.3)=0.9x60.
y与x的函数表达式也可以合起来表示为y=
03
新知探究
(2)画出这个函数的图象；
(2)该函数的图象如图：
该函数图象由两个一次函数的图象拼接在一起。
03
新知探究
(3)小玲家3月份、4月份分别用电150kW·h和220kW·h，各应缴纳电费多少元？
(3)当x=150时，y=0.6×150=90，
故小玲家3月份应缴纳电费90元.
当x=200时，y=0.9×22060=138，
故小玲家4月份应缴纳电费138元.
03
新知探究
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 .
2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同.
3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处。乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米。若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　）
A．1800米
B．2000米
C．2400米
D．2500米
C
04
课堂练习
2.“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时后，离目的地还有（　　）千米．
A．48
B．32
C．28
D．22
D
04
课堂练习
3.甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　）
A．小红跑步的速度为150米/分
B．小刚步行的速度为100米/分
C．a=12
D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有500米
C
04
课堂练习
4.某市出租车计价方式如下：行驶距离在2.5km以内（含2.5km）付起步价5元，超过2.5km后，每多行驶1km加1.4元，乘车费用y（元）与乘车距离x(km)(x>2.5)之间的函数表达式为 ．
04
课堂练习
5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水20吨，则应交水费 元．
44
04
课堂练习
6.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费　 　元．
1.8
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往240km外的
老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中BC段y与x之间的函数关系式．
（2）求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？
04
课堂练习
（1）解：设BC段y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），
据图可知，点B（2，100），点C（4，240），
把点B、点C的坐标代入函数关系式为y=kx+b，得：，
解得：，
∴（2≤x≤4），
答：BC段y与x之间的函数关系式为（2≤x≤4）.
04
课堂练习
（2）解：据图可知，当小王与丈夫离家170千米时正在BC段上，
将y=170代入得：，
解得：x=3，
答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米．
05
课堂小结
预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
利用一次函数对邻近数据进行预测的一般步骤：
1.根据条件求出一次函数表当印达式；
2.将所给的数据代入求得的表达式中计算；
3.将计算的结果进行分析与比较；
4.得出答案.
05
课堂小结
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.
注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 .
2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同.
3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为t小时，两车之间
D
的距离为y千米，y与t的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
06
作业布置
2.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg，在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．有下列结论：
①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为90kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少；
06
作业布置
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多．
其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
C
06
作业布置
3.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.智能手机的出现，让生活变得更加便捷，同时也使大家对手机流量有了新的需求。某移动公司现推出两种流量套餐，流量费均为30元每月，其中A套餐的优惠方案是：先缴纳54元的办卡费，而后每月的流量收费享七折优惠；B套餐的优惠方案是：不需要缴纳办卡费，流量套餐使用超过10个月后，从第十一个月开始每月流量收费享五折优惠.设套餐使用x（月)，A套餐的总流量费为（元)，B套餐的总流量费为（元).
（1）B套餐一年的总流量费为　 　元；
（2）求与x的关系式；
（3）如何根据使用时间长短确定选择哪种套餐更实惠
330
06
作业布置
（2）解：当时，；
当时，；
（3）解：根据题意，，
当，，解得：，
当时，，解得：，
06
作业布置
如图，
当或时，，选择套餐更划算；
当时，，选择套餐更划算；
当或16时，，两种套餐都可以．
07
板书设计
建立一次函数模型进行预测：
分段函数的应用：
3.6 一次函数的应用（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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