资源简介

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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第3章
课标要求 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。 8.体会一次函数与二元一次方程的关系。 9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级下册第3章《一次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。本章以函数概念为起点，依次展开常量与变量、函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），再深入正比例函数和一次函数的图象与性质，通过待定系数法确定一次函数表达式，衔接一次函数与二元一次方程的关系，最终落脚于一次函数的实际应用。教材遵循“概念—性质—方法—应用”的逻辑主线，层层递进，既注重知识的系统性，又强化数形结合思想与建模能力的培养，为后续二次函数、反比例函数等复杂函数的学习奠定重要基础。
学情分析 八年级学生已具备初步的变量意识和方程运算能力，能够理解简单的数量关系，但对“函数”这一抽象概念的认知仍较零散，在将实际问题转化为函数模型、结合图象分析性质时存在困难。学生已学习正比例函数的相关知识，可通过类比迁移学习一次函数，但对一次函数与二元一次方程的内在联系、分段函数的应用等内容理解较浅，需要通过系统梳理和实例探究，逐步构建完整的函数知识体系，提升数形结合与解决实际问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.理解函数、常量、变量、自变量、函数值等核心概念，掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能根据实际情境选择合适的表示法刻画变量关系。 2.掌握正比例函数和一次函数的图象与性质，能熟练画出函数图象，理解k、b对图象位置与增减性的影响，明确一次函数与正比例函数图象的平移关系。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的表达式，能结合两点坐标或实际情境建立函数模型，解决简单的实际问题。 4.理解一次函数与二元一次方程的对应关系，能实现两者的相互转化，体会数形结合思想在方程与函数问题中的应用。 5.能运用一次函数模型解决行程、计费、测量等实际问题，提升数学建模能力与应用意识，感受函数在生活中的价值。 （二）教学重点、难点 重点 1.函数的概念与三种表示法，一次函数的图象与性质。 2.用待定系数法确定一次函数的表达式，建立一次函数模型解决实际问题。 难点 1.理解函数概念的抽象性，以及一次函数与二元一次方程的内在联系。 2.从实际情境中提取变量关系，建立合理的一次函数模型，并结合图象分析解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1函数的概念和表示法23.2一次函数13.3一次函数的图象23.4用待定系数法确定一次函数表达式13.5一次函数与二元一次方程的关系13.6一次函数的应用2第3章小结与复习1综合与实践生活节水1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 变量与函数1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。任务一：情境导入，初步接触函数。 任务二：探究新知，理解函数及相关概念。 任务三：独立思考，探究自变量和因变量。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.1.2 函数的表示法1.掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能说出各自的优点。 2.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 3.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。1.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 2.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。任务一：复习回顾 任务二：探究新知，探究函数的三种表示法。 任务三：例题精讲，学习从函数图象中提取关键信息。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 一次函数1.理解一次函数与正比例函数的概念，能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题，体会函数建模的思想。1.能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题。任务一：情境导入，列代数式。 任务二：探究新知，探究一次函数与正比例函数. 任务三：例题精讲，列出一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（1）1.理解正比例函数的图象是过原点的直线，掌握其图象画法，发展数学抽象素养。 2.掌握k的符号对正比例函数图象、增减性的影响，提升逻辑推理能力。 3.能运用正比例函数解决实际问题，增强数学建模与应用意识。1.能正确作出正比例函数的图象。 2.能运用正比例函数解决实际问题。任务一：情境导入，列函数。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象. 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（2）1.理解一次函数的图象是一条直线，掌握它与正比例函数图象的平移关系。 2.能熟练运用两点法画出一次函数的图象，理解对函数图象位置和增减性的影响。 3.能结合实际情境分析一次函数图象的意义，体会数形结合思想在解决实际问题中的应用。能熟练运用两点法画出一次函数的图象任务一：复习巩固。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.4 用待定系数法确定一次函数表达式1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。 3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。 4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。1.能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。任务一：复习巩固，回顾一次函数的相关概念。 任务二：探究新知，探究待定系数法。 任务三：例题精讲，用待定系数法确定一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.5 一次函数与二元一次方程的关系1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。1.能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 任务一：复习巩固，合作交流。 任务二：探究新知，探究一次函数与二元一次方程的关系。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（1）1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题。 3.能结合函数图象分析实际问题。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，一次函数的应用。 任务三：例题精讲，结合函数图象分析解决实际问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（2）1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。1.能根据实际数据建立一次函数模型。 2.会利用分段函数解决实际计费问题。任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，探究分段函数。 任务三：例题精讲，利用分段函数解决实际计费问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。 2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。 3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。 4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。能熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：生活节水1.了解地球水资源分布及我国水资源紧缺现状，认识生活节水的重要性，树立节水责任意识。 2.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 3.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 4.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。1.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 2.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 3.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。任务一：情境导入，认识生活节水的重要性。 任务二：认真思考, 合作探究。 任务三：合作交流，设计方案。
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分课时教学设计
第一课时《3.5 一次函数与二元一次方程的关系》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《3.5 一次函数与二元一次方程的关系》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第五节的内容。本节课承接一次函数表达式与图象的学习，通过具体方程与函数的转化，揭示二元一次方程的解和一次函数图象上点的坐标一一对应关系，为后续学习用图象法解二元一次方程组奠定数形结合的基础。
学习者分析 学生已掌握二元一次方程的解、一次函数的图象与表达式等知识，能进行简单的方程变形，但对“方程的解”与“函数图象上的点”之间的对应关系理解较抽象，需要通过实例和直观图象帮助建立联结，在将直线转化为二元一次方程时易出现符号错误。
教学目标 1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。
教学重点 二元一次方程与一次函数的相互转化，以及两者的对应关系。
教学难点 理解“方程的解”与“函数图象上的点”的一一对应关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：1.什么是二元一次方程？ 2.什么是二元一次方程的解？ 3.一个二元一次方程有多少个解？ 教师讲授： 1.含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。 2.一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 3.一般地，一个二元一次方程有无数组解。学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究：一次函数与二元一次方程 【议一议】 （1） （4，1）与（1，7）是二元一次方程的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个。 （2） 给定一个二元一次方程，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ 教师讲授： (1)∵当时，， ∴ （4，1）是二元一次方程的解； ∵当时，， ∴（1，7）是二元一次方程的解； 该方程有无数个解，如（1，11），（0，9），等等。 （2）对于二元一次方程，整理可得. 若把看作自变量，看作因变量，则得到一次函数. 反过来，一次函数也可以写成二元一次方程的形式。 【思考】 （1）一次函数的图象上任一点的坐标都是二元一次方程的解吗？ （2）以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一次函数的图象吗？ 教师讲授： （1）如图 ，一次函数的图象上任一点的坐标可以表示为（c，2c + 9），其中c为任意实数。 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程的解。 （2）二元一次方程的所有解都可以表示为（c，2c + 9），其中 c 为任意实数 . 而任意点（c，2c + 9）都在一次函数的图象（一条直线）上，如图所示。 于是以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数的图象。 教师讲授：一般地，一次函数的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程； 反过来，以二元一次方程的解为坐标的点，都在一次函数的图象上，所有点构成一条直线。 教师讲授： 对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0) ，其任意一个解都满足一次函数y=x， 因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y=x的图象上 . 反之，一次函数y=x的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解。 【抽象】 在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0（a≠0，b≠0）表示一条直线，这条直线是一次函数y=x的图象。 教师讲授： 二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系。学生活动2： 合作交流，举手回答问题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真听讲 学生认真听讲，了解二元一次方程与一次函数的关系 认真听讲 认真听讲 认真听讲，了解二元一次方程与一次函数的区别活动意图说明：学生通过合作探究不仅提高了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，促进学生的全面发展。环节三：例题精讲教师活动3： 例1在平面直角坐标系中，画出二元一次方程表示的直线。 解：由可得一次函数=+2， 从而当x=0时，y=2， 当x=3时，y=4. 在平面直角坐标系中，描出A（0，2），B（3，4）两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数=+2的图象，从而它是二元一次方程表示的直线。 例2如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P（0，2），Q（4，5）两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 解：设直线PQ是一次函数（k，b为常数，k≠0）的图象。 因为点P（0，2）和点Q（4，5）都在该函数的图象上，所以 解得 因此，直线PQ是一次函数y= x2的图象， 从而它是二元一次方程x+y+2=0表示的直线。 【议一议】 关于x，y的二元一次方程kxy+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 教师讲授：∵函数的图象与x轴的交点的纵坐标为 0， 又∵当=0时， kx+b=0， 解得x=. 归纳：二元一次方程kxy+b=0（k≠0）所表示的直线与x轴的交点坐标是（,0）。学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 合作交流 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 一次函数与二元一次方程的联系： 一般地，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的一个解，以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上。学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一次函数和一次函数的图象的交点坐标是（，据此可知方程组的解为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 3.如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 选做题： 4.如图，一次函数与图象的交点为，则方程组的解为　 　。 5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为　 　 ． 6.如图，点A的坐标可以看成方程组　 　的解。 【综合拓展类作业】 7.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（　　） A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2 2.已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（　　） A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限 3.正比例函数（为整数）的图象与直线的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），那么满足条件的正比例函数有（　　） A．5个　　　　B．6个　　　　C．7个　　　　D．无数个 【综合拓展类作业】 4.已知直线与的交点坐标为（1，），试确定方程组的解和的值。
教学反思 本节课通过具体实例引导学生探究方程与函数的关系，直观性较强，但部分学生在转化方程时易混淆符号，对“一一对应”的本质理解不够深入。后续需增加对比练习，强化变形步骤，同时设计更多直观操作活动，帮助学生建立数形结合的直观感知。
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第3章 一次函数
3.5 一次函数与二元一次方程的关系
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。
01
能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。
02
掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。
03
02
新知导入
回顾
1.什么是二元一次方程？
2.什么是二元一次方程的解？
3.一个二元一次方程有多少个解？
含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.
一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
一般地，一个二元一次方程有无数组解.
03
新知探究
议一议
(1) (4，1)与(1，7)是二元一次方程的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个.
∵当时，，
∴ (4，1)是二元一次方程的解；
∵当时，，
∴ (1，7)是二元一次方程的解；
该方程有无数个解，如(1，11)，(0，9)，等等.
03
新知探究
议一议
(2) 给定一个二元一次方程，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？
对于二元一次方程，整理可得.
若把看作自变量，看作因变量，则得到一次函数.
反过来，一次函数也可以写成二元一次方程的形式.
03
新知探究
思考
(1)一次函数的图象上任一点的坐标都是二元一次方程的解吗？
如图 ，一次函数的图象上任一点的坐标可以表示为（c，2c + 9），其中c为任意实数. 由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程的解.
03
新知探究
思考
(2)以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一次函数的图象吗？
二元一次方程的所有解都可以表示为（c，2c + 9），其中 c 为任意实数 . 而任意点（c，2c + 9）都在一次函数的图象（一条直线）上，如图所示.
03
新知探究
思考
(2)以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一次函数的图象吗？
于是以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数的图象.
03
新知探究
一般地，一次函数的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程；
反过来，以二元一次方程的解为坐标的点，都在一次函数的图象上，所有点构成一条直线.
二元一次方程
转化
一次函数
转化
一条直线
03
新知探究
对于关于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0) ，其任意一个解都满足一次函数y=x，
因而，在平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y=x的图象上 .
反之，一次函数y=x的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解.
03
新知探究
在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y=x的图象.
二元一次方程与一次函数的区别：
(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
(2)二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系 .
03
新知探究
解：由可得一次函数=+2，
从而当x=0时，y=2，
当x=3时，y=4.
在平面直角坐标系中，画出二元一次方程表
例1
示的直线.
在平面直角坐标系中，描出A(0，2)，B(3，4)两点，过这两点作直线，如图所示，
03
新知探究
则这条直线是一次函数=+2的图象，从而它是二元一次方程表示的直线.
一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kxy+b=0表示的直线.
03
新知探究
如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，2)，
例2
Q(4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
解：设直线PQ是一次函数(k，b为常数，k≠0)的图象.
因为点P(0，2)和点Q(4，5)都在该函数的图象上，所以
03
新知探究
解得
因此，直线PQ是一次函数y= x2的图象，
从而它是二元一次方程x+y+2=0表示的直线.
03
新知探究
议一议
关于x，y的二元一次方程kxy+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？
∵函数的图象与x轴的交点的纵坐标为 0，
又∵当=0时， kx+b=0，
解得x= .
二元一次方程kxy+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是(,0).
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.一次函数和一次函数的图象的交点坐标是，据此可知方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
A
04
课堂练习
2.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
A
04
课堂练习
3.如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（　　）
A．
B．
C．
D．
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，一次函数与图象的交点为，则方程组的解为　 　．
04
课堂练习
5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为　 　 ．
04
课堂练习
6.如图，点A的坐标可以看成是方程组　 　的解．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解。
解：对于方程=1，移项可得1，
对于方程=1，移项可得，
进一步变形为，
在同一平面直角坐标系中分别画出1和的图象如图:
04
课堂练习
通过观察图象，我们发现它们的交点坐标是(2，1)，
所以二元一次方程组的解为.
05
课堂小结
一次函数与二元一次方程的联系：
一般地，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的一个解，以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（　　）
A．
B．1
C．
D．2
D
06
作业布置
2.已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.正比例函数（为整数）的图象与直线的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），那么满足条件的正比例函数有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个
B
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.已知直线与的交点坐标为(1，)，试确定方程组的解和的值.
解：将(1，)的坐标代入，得=2.
∴直线与的交点坐标为(1，2).
∴方程组的解是
将(1，2)的坐标代入，得2=，
解得=3.
07
板书设计
联系：
区别：
二元一次方程与轴的交点：
3.5 一次函数与二元一次方程的关系
习题讲解书写部分
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第3章 一次函数
3.5 一次函数与二元一次方程的关系
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。
2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。
3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。
4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。
学习重点：
二元一次方程与一次函数的相互转化，以及两者的对应关系。
学习难点：
理解“方程的解”与“函数图象上的点”的一一对应关系。
学习过程
一、复习回顾
回顾：1.什么是二元一次方程？
2.什么是二元一次方程的解？
3.一个二元一次方程有多少个解？
二、新知探究
探究：一次函数与二元一次方程
教材第108页
【议一议】(1) (4，1)与(1，7)是二元一次方程的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个.
(2) 给定一个二元一次方程，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？
【思考】(1)一次函数的图象上任一点的坐标都是二元一次方程的解吗？
(2)以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一次函数的图象吗？
【抽象】在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y=x的图象.
三、例题精讲
例1在平面直角坐标系中，画出二元一次方程表示的直线.
例2如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，2)，Q(4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线？
【议一议】关于x，y的二元一次方程kxy+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？
归纳：二元一次方程kxy+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是_____________.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.一次函数和一次函数的图象的交点坐标是，据此可知方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
2.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（　　）
A． B．
C． D．
选做题
4.如图，一次函数与图象的交点为，则方程组的解为　 　．
5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为　 　 ．
6.如图，点A的坐标可以看成是方程组　 　的解．
【综合拓展类作业】
7.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解。
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么
六、作业布置
1.若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（　　）
A． B．1 C． D．2
2.已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.正比例函数（为整数）的图象与直线的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），那么满足条件的正比例函数有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个
4.已知直线与的交点坐标为(1，)，试确定方程组的解和的值.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】解：由题意可知：的解为：
故选A.
2.【答案】A
【解析】解：∵直线y=-2x+5与y=kx+b交点的横坐标为1
∴将x=1代入直线y=-2x+5，可得y=3
∴直线y=-2x+5与y=kx+b交点坐标为(1，3)
∴关于x，y的二元一次方程组的解是
故答案为：A
3.【答案】A
【解析】解：由图可知：直线过，，因此直线的函数解析式为：；
直线过，，因此直线的函数解析式为：；
因此所求的二元一次方程组为：即
故答案为：A
4.【答案】.
【解析】解：如图，
∵一次函数与图象的交点为，
∴方程组的解为．
故答案为：.
5.【答案】
【解析】解：∵ 一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，
∴当x=3时，y=3+1=4，
∴关于x、y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
6.【答案】
【解析】解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；
设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x-1，
所以点A的坐标可以看成是方程组解．
故答案为．
7.【答案】解：对于方程=1，移项可得1，
对于方程=1，移项可得，
进一步变形为，
在同一平面直角坐标系中分别画出1和的图象如下图：
通过观察图象，我们发现它们的交点坐标是(2，1)，
所以二元一次方程组的解为.
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，
把可以变形为，
与对照即可得到，
，
解得：，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：将代入可得：
，
方程组的解是，
直线与的交点坐标为，在第二象限．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：联立得 解得
因为x为整数，
所以k-1=±8，±4，±2，±1，
所以k=9，-7，5，-3，3，-1，2，0.
又因为k≠0，
所以满足条件的k值有7个，即满足条件的正比例函数有7个.
故答案为：C.
4．【答案】解：将(1，)的坐标代入，得=2.
∴直线与的交点坐标为(1，2).
∴方程组的解是
将(1，2)的坐标代入，得2=，
解得=3.
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