资源简介

专题 5 函数类型题
第 1课时 一次函数专练
1.如图，一次函数 = + ( ≠ 0) 的图象与 轴、 轴分别交于 ( 12,0)， (0,6) 两
点。
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若 为 轴上一点，且 △ 的面积为 6，求点 的坐标。
答案
1
(1)一次函数解析式为 = + 6；
2
(2) 点 的坐标为 ( 10,0) 或 ( 14,0)。
解析
(1) 将 ( 12,0)、 (0,6) 代入 = + 12 + = 0，得方程组： = 6
1
解得 =
1
2，故解析式为 = + 6
= 6 2
(2) 设 ( , 0)，则 = | + 12|， = 6。
1 1
由 △ = = 6，得： | + 12| × 6 = 62 2
化简得 | + 12| = 2，解得 = 10 或 = 14，即 ( 10,0) 或 ( 14,0)。
2. = 1如图，已知直线 1 + 1
3
与 轴交于点 ，与直线 2 = 交于点 。2 2
(1) 求 △ 的面积；
(2) 求 1 > 2 时 的取值范围。
44/58
专题 5 函数类型题
答案
(1) △ 的面积为 1.5；
(2) 的取值范围为 > 1。
解析(1) 令 1 = 0
1
，则 + 1 = 0，解得 = 2，即 (2,0)， = 2。
2
= 1 + 1
2 = 1联立 ，解得
= 3 = 1.5
，即 ( 1,1.5)。
2
1 1
△ = × × | | = × 2 × 1.5 = 1.52 2
(2) 由交点 ( 1,1.5) 及函数图象，得 1 > 2 时 > 1。
3.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从 市前
往 市。他驾车从 市的一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 80kW h，行驶了
240km 后，从 市的一高速公路出口驶出。已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电
量 (kW h) 与行驶路程 (km) 之间的关系如图所示。
(1) 求 与 之间的关系式；
(2) 已知这辆车的 “满电量” 为 100kW h，求王师傅驾车从 市的这一高速公路出口驶出
时，该车的剩余电量占 “满电量” 的百分之多少？
答案
45/58
专题 5 函数类型题
1
(1) 与 的关系式为 = + 80(0 ≤ ≤ 240)5 ；
(2) 剩余电量占满电量的 32。
= 80
解析：(1) 设 = + ( ≠ 0,0 ≤ ≤ 240)，代入 (0,80)、(150,50)： 150 + = 50
1
= 1解得 5，即 = + 80。
= 80 5
1 32
(2)令 = 240，则 = × 240 + 80 = 32， × 100%＝32%5 100
4.为落实 “双减” 政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批
新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价的 8.5 折出售；
乙：一次购买商品总额不超过 300 元的按原价付费，超过 300 元的部分打 7 折。
设需要购买体育用品的原价总额为 元，去甲商店购买实付 甲 元，去乙商店购买实付 乙
元，其函数图象如图所示。
(1) 分别求出 甲， 乙 关于 的函数关系式；
(2) 两图象交于点 ，求点 的坐标；
(3) 请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算。
答案(1) 甲 = 0.85 ；
(0 ≤ ≤ 300)
乙 = 0.7 + 90 ( > 300) ；
46/58
专题 5 函数类型题
(2) 点 坐标为 (600,510)；
(3) 当 < 600 时，选甲店合算；当 = 600 时，两店一样；当 > 600 时，选乙店合算。
解析(1) 甲店： 甲 = 0.85 ；
乙店：0 ≤ ≤ 300 时， 乙 = ； > 300 时， 乙 = 300 + 0.7( 300) = 0.7 + 90。
(2) 联立 0.85 = 0.7 + 90，解得 = 600，
代入 甲 = 0.85 × 600 = 510，即 (600,510)。
(3) 结合图象与交点坐标直接判断。
5.如图，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 (0,24)，经过原点的直线 1 与经过点 的直
线 2 相交于点 ，点 的坐标为 (18,6)。
(1) 求直线 1， 2 的表达式；
(2) 点 为线段 上一动点（点 不与点 ， 重合）， ∥ 轴交 2 于点 ， ∥ 2，
∥ 轴。
①若点 的横坐标为 ，求四边形 的面积 与 的函数关系式；
②当 取最大值时，求出点 的坐标。
答案
1
(1)直线 1： = ；直线 2： = + 243 ；
4
(2)① = 2 + 24 (0 < < 18)；②点 坐标为 (9,3)。
3
解析
1 1
(1)设 1: = 1 ，代入 (18,6)，得 18 1 = 6， 1 = 3，即
1: = 3 。
47/58
专题 5 函数类型题
: = + (0,24) (18,6) = 24设 2 2 ，代入 、 ： 18 2 + = 6
= 1
解得 2 = 24 ，即 2: = + 24。
1 1 1
(2)①将 ＝ 代入 y＝ x，得 y＝ m， ∴ 点 的坐标为( , )(0 < < 18)，
3 3 3
∵CD∥y 轴，∴点 D 的横坐标也为 m，
将 x＝m 代入 y＝－x＋24 中，得 y＝－m＋24，
1 4
点 ( , + 24)， = ( + 24) = + 24
3 3
四边形 为平行四边形，高为 ，
4 4
= = ( + 24) = 23 3 + 24 (0 < < 18)
4
② = 3
2 + 24 是二次函数，开口向下，
24
当 = 4 = 9时， 最大，2 × ( 3 )
1
此时 = 3，即 (9,3)。
3
48/58
专题 5 函数类型题
第 2课时 反比例函数专练
1. 如图，反比例函数 = ( > 0) 与一次函数 = + 1 的图象交于点 (2,3)，点 是

反比例函数图象上一点， ⊥ 轴于点 ，交一次函数的图象于点 ，连接 。
(1) = 求反比例函数 与一次函数 = + 1 的解析式；

(2) 当 = 4 时，求 △ 的面积。
解：
(1) 因为反比例函数 = ( > 0) 与一次函数 = + 1 的图象交于点 (2,3)，

所以 = 2 × 3 = 6，3 = 2 + 1，解得 = 6， = 1。
6
所以一次函数的解析式为 = + 1，反比例函数的解析式为 = ( > 0)。

(2) 将 = 4 代入一次函数解析式得 = 5，所以 (4,5)；
将 = 4 3 3 3 7代入反比例函数解析式得 = ，所以 (4, )。所以 = 5 = 。
2 2 2 2
因为 (2,3) = 1 × 7 × (4 2) = 7，所以 △ 。2 2 2
2. 如图，一次函数 1 = + 与反比例函数 2 = 的图象交于点 和点 (3, 1)。
(1) 求 的值和反比例函数的解析式；
(2) 当 1 > 2 时，求 的取值范围。
49/58
专题 5 函数类型题
解：
(1) 因为 1 = + 与 2 = 的图象交于点 (3, 1)

，所以 1 = 3+ ， 1 = ，
3
= 2 = 3 = 3解得 ， 。所以反比例函数的解析式为 2 。
= + 2
(2) 由 (1) 得 1 = + 2，联立 = 3 ，解得 = 1 或 = 3，

当 = 1 时， = 3，即 ( 1,3)。
所以当 1 > 2 时， 的取值范围为 < 1 或 0 < < 3。
3.如图，已知一次函数 = 2 + 8 的图象与坐标轴交于 ， 8两点，并与反比例函数 =

的图象有唯一交点 。
(1) 点 的坐标是___________；
(2) 若点 为线段 的中点，将一次函数 = 2 + 8 的图象向左平移 ( > 0) 个单
位长度后，点 和点 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 = 的图象上，求

的值。
50/58
专题 5 函数类型题
解：(1) (2,4)
(2) 因为一次函数 = 2 + 8 的图象与坐标轴交于 ， 两点，
令 = 0，得 = 4，所以 (4,0)。
因为点 为线段 的中点， (2,4)，
所以 ( 2+4 , 4+0 )，即 (3,2)。
2 2
一次函数向左平移 个单位后，点 、 对应点坐标为 (2 , 4)、(3 , 2)。

因为两点在反比例函数 = 上，

所以 = 4(2 ) = 2(3 )，
解得 = 1，
所以 = 4 × (2 1) = 4。
4.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度。密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中
的高度 h（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度
为 1g/cm3 的水中时，h = 20cm。
(1) 求 h 关于 的函数解析式；
(2) 当密度计悬浮在另一种液体中时，h = 25cm，求该液体的密度 。
51/58
专题 5 函数类型题

解：(1) 设 h 关于 的函数解析式为 h = ，

把 = 1，h = 20 代入解析式，得 = 1 × 20 = 20，
20
所以 h 关于 的函数解析式为 h = 。

(2) 把 h = 25 代入 h = 20，得 25 = 20，

解得 = 0.8，
经检验， = 0.8 是原方程的解。
答：该液体的密度 为 0.8g/cm3。
5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 1 + 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，

与反比例函数 = 2 ( > 0) 的图象交于点 。已知点 ( 1,0)，点 (1,3)。

(1) 求反比例函数及一次函数的表达式；
(2) 点 在线段 上，过点 且平行于 轴的直线交 于点 ，交反比例函数图象
于点 。当 = 2 时，求点 的坐标。
解：(1) 把点 (1,3) 代入 = 2，得 3 = 2，解得 2 = 3， 1
3
所以反比例函数的表达式为 = ( > 0)。

1 =
3
把点 ( 1,0) + = 0，点 (1,3) 代入 = + ，得 1 21 1 + = 3
，解得 ，
= 3
2
3 3
所以一次函数的表达式为 = + 。
2 2
(2) 设 ( , 3 + 3 ) 3，因为 ∥ 轴，所以 (0, + 3 )，
2 2 2 2
3
所以 = + 3， = 。
2 2
52/58
专题 5 函数类型题
= 2 3 + 3因为 ，所以 = 2( ) 3 3 6，解得 = ，所以 ( , )，
2 2 7 7 7
6所以点 的纵坐标为 。
7
把 = 6 代入 = 3 7 7 6，得 = ，所以点 的坐标为 ( , )。
7 2 2 7
6. 1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 与反比例函数 = 相交于 ( , 4)、
2
( , 1) 两点。
(1) 求反比例函数及一次函数的表达式；
(2) 求 △ 的面积；
(3) 若点 是 轴上一动点，连接 ， ，当 + 的值最小时，求点 的坐标。
解：
(1) 1 因为 ( , 4) 在反比例函数 = 的图象上，所以 = 1 × 4 = 2，
2 2
2
所以反比例函数的表达式为 = 。

因为 ( , 1) 2在反比例函数 = 的图象上，所以 1 = 2，解得 = 2，即 (2,1)。

设一次函数的表达式为 = + ，
1
把 ( 1 , 4)、 (2,1) + = 4 = 2代入得 2 ，解得 ，
2 2 + = 1 = 5
所以一次函数的表达式为 = 2 + 5。
53/58
专题 5 函数类型题
(2)
设直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
对于 = 2 + 5，令 = 0 得 = 5，令 = 0 得 = 5，
2
( 5所以 , 0)， (0,5)，所以 = 5， = 5。
2 2
△ = △ △ △
1 1 1
= × × × × × ×
2 2 2
1 5 1 5 1 1
= × × 5 × × 1 × 5 ×
2 2 2 2 2 2
= 15。
4
(3) 作点 关于 轴的对称点 ′，连接 ′ 交 轴于点 ，则 + 的最小值等
于 ′ 的长。
( 1 , 4) ′ 1因为 与 关于 轴对称，所以 ′( , 4)。
2 2
设直线 ′ 的表达式为 = + ，
1 = 6
代入 ′( 1 , 4)、 (2,1) + = 4得 2 ，解得 5，
2 2 + = 1 = 17
5
所以直线 ′ 的表达式为 = 6 + 17。令 = 0，得 = 17，
5 5 5
17
所以点 的坐标为 (0, )。
5
54/58
专题 5 函数类型题
第 3课时二次函数专练
1. 3如图，在平面直角坐标系中，直线 = + 3 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线 =
2
1 ( 2)2 + （ 为常数）经过点 且交 轴于 、 两点。
4
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点 为抛物线的顶点，连接 、 、 ，求四边形 的面积。
答案
1
（1）抛物线的函数解析式为 = ( 2)2 + 4；
4
（2）四边形 的面积为 10。
解析
1 = 3（ ）在直线 + 3 中，令 = 0，得 = 3，即 (0,3)。
2
将 (0,3) 1代入抛物线 = ( 2)2 + ：
4
1
3 = × (0 2)2 +
4
1
解得 = 4，故抛物线解析式为 = ( 2)2 + 4。
4
（2）在直线 = 3 + 3 中，令 = 0，得 = 2，即 (2,0)。
2
1
在抛物线 = ( 2)2 + 4 中，令 = 0：
4
1
0 = ( 2)2 + 4
4
解得 = 6 或 = 2，即 ( 2,0)。
抛物线顶点 坐标为 (2,4)。
1 1 1
连接 ，则： 四边形 = △ + △ + △ = × 2 × 3 + × 3 × 2 + × 2 × 4 = 102 2 2
55/58
专题 5 函数类型题
2.抛物线 = 2 + + 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，其中 (1,0)， (0,3)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点 ，使得 △ 的面积最大？若存在，请求出点
的坐标和 △ 的面积最大值；若不存在，请说明理由。
答案
（1）抛物线的解析式为 = 2 2 + 3；
（2）存在，点 坐标为 ( 3 , 15 )，△ 27面积最大值为 。
2 4 8
解析
1 (1,0) (0,3) = 2 + + 1 + + = 0（ ）将 、 代入 ： = 3
= 2
解得 = 3 ，故抛物线解析式为 =
2 2 + 3。
（2）令 = 0，则 2 2 + 3 = 0，解得 1 = 3， 2 = 1，即 ( 3,0)。
设 ( , 2 2 + 3)（ < 0），过点 作 ⊥ 轴于 。
△ = △ + 梯形 △
56/58
专题 5 函数类型题
1 1 1
= (3 + )( 2 2 + 3) + (3 2 2 + 3)( ) × 3 × 3
2 2 2
3 3 2 27
= + +
2 2 8
∵ 3 < 0，∴ 当 = 3 时， 27 3 15
2 2 △
最大为 ，此时 ( , )。
8 2 4
3.端午节前夕，某批发部购入一批进价为 8 元 / 袋的粽子，销售过程中发现：日销量 （单
位：袋）与售价 （单位：元 / 袋）满足如图所示的一次函数关系，图像过点 (10,280)、(14,120)。
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
答案
（1） 与 的函数关系式为 = 40 + 680；
（2）售价定为 12.5 元 / 袋时日利润最大，最大日销售利润为 810 元。
解析
（1）设 = + ，代入 (10,280)、(14,120) 10 + = 280： 14 + = 120
= 40
解得 = 680，故 = 40 + 680。
（2）设日销售利润为 元： = ( 8)( 40 + 680)
= 40 2 + 1000 5440
= 40( 12.5)2 + 810
∵ 40 < 0，∴ = 12.5 时， max = 810。
4.小强家菜地上有一个长为 20 米的蔬菜大棚，横截面顶部为抛物线形，一端固定在离地面高
57/58
专题 5 函数类型题
1 米的墙体 处，另一端固定在离地面高 2 米的墙体 处， 、 水平距离为 5 米。建
1
立平面直角坐标系，高度 （米）与离 的水平距离 （米）满足 = 2 + + 。
5
（1）求 、 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
3 31（ ）搭建高为 米的竹竿支架，大棚内可搭建支架土地每平方米需 5 根竹竿，求共需竹竿
20
多少根。
答案
（1） = 6， = 1；
5
（2 14）大棚最高处到地面距离为 米；
5
（3）共需准备 450 根竹竿。
解析
= 1 6
（1）由题意得 (0,1) (5,2) = 1、 ，代入 2 + + =： 1
5 × 52 + 5 + = 2，解得 5。
5 = 1
2 1 6 1 14（ ）将解析式配方： = 2 + + 1 = ( 3)2 +
5 5 5 5
当 = 3 14 14时， max = ，即最高处距离为 米。5 5
（3）令 = 31： 1 2 + 6 + 1 = 31 1 11，解得
20 5 5 20 1
= ， = 。
2 2 2
∵ 0 ≤ ≤ 5 1 9，可搭建长度为 5 = 米。
2 2
面积：20 × 9 = 90 平方米，竹竿数：90 × 5 = 450 根。
2
58/58专题 5 函数类型题
第 1课时 一次函数专练
1.如图，一次函数 = + ( ≠ 0) 的图象与 轴、 轴分别交于 ( 12,0)， (0,6) 两
点。
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若 为 轴上一点，且 △ 的面积为 6，求点 的坐标。
2. 1 3如图，已知直线 1 = + 1 与 轴交于点 ，与直线 2 = 交于点 。2 2
(1) 求 △ 的面积；
(2) 求 1 > 2 时 的取值范围。
31/38
专题 5 函数类型题
3.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从 市前
往 市。他驾车从 市的一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 80kW h，行驶了
240km 后，从 市的一高速公路出口驶出。已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电
量 (kW h) 与行驶路程 (km) 之间的关系如图所示。
(1) 求 与 之间的关系式；
(2) 已知这辆车的 “满电量” 为 100kW h，求王师傅驾车从 市的这一高速公路出口驶出
时，该车的剩余电量占 “满电量” 的百分之多少？
4.为落实 “双减” 政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批
新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价的 8.5 折出售；
乙：一次购买商品总额不超过 300 元的按原价付费，超过 300 元的部分打 7 折。
设需要购买体育用品的原价总额为 元，去甲商店购买实付 甲 元，去乙商店购买实付 乙
元，其函数图象如图所示。
(1) 分别求出 甲， 乙 关于 的函数关系式；
(2) 两图象交于点 ，求点 的坐标；
(3) 请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算。
32/38
专题 5 函数类型题
5.如图，在平面直角坐标系内，点 的坐标为 (0,24)，经过原点的直线 1 与经过点 的直
线 2 相交于点 ，点 的坐标为 (18,6)。
(1) 求直线 1， 2 的表达式；
(2) 点 为线段 上一动点（点 不与点 ， 重合）， ∥ 轴交 2 于点 ， ∥ 2，
∥ 轴。
①若点 的横坐标为 ，求四边形 的面积 与 的函数关系式；
②当 取最大值时，求出点 的坐标。
33/38
专题 5 函数类型题
第 2课时 反比例函数专练
1. 如图，反比例函数 = ( > 0) 与一次函数 = + 1 的图象交于点 (2,3)，点 是

反比例函数图象上一点， ⊥ 轴于点 ，交一次函数的图象于点 ，连接 。
(1) 求反比例函数 = 与一次函数 = + 1 的解析式；

(2) 当 = 4 时，求 △ 的面积。
2.如图，一次函数 1 = +

与反比例函数 2 = 的图象交于点 和点 (3, 1)。
(1) 求 的值和反比例函数的解析式；
(2) 当 1 > 2 时，求 的取值范围。
34/38
专题 5 函数类型题
3.如图，已知一次函数 = 2 + 8 8的图象与坐标轴交于 ， 两点，并与反比例函数 =

的图象有唯一交点 。
(1) 点 的坐标是___________；
(2) 若点 为线段 的中点，将一次函数 = 2 + 8 的图象向左平移 ( > 0) 个单

位长度后，点 和点 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 = 的图象上，求

的值。
4.科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度。密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中
的高度 h（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度
为 1g/cm3 的水中时，h = 20cm。
(1) 求 h 关于 的函数解析式；
(2) 当密度计悬浮在另一种液体中时，h = 25cm，求该液体的密度 。
35/38
专题 5 函数类型题
5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 1 + 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，

与反比例函数 = 2 ( > 0) 的图象交于点 。已知点 ( 1,0)，点 (1,3)。

(1) 求反比例函数及一次函数的表达式；
(2) 点 在线段 上，过点 且平行于 轴的直线交 于点 ，交反比例函数图象
于点 。当 = 2 时，求点 的坐标。
6. 1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 与反比例函数 = 相交于 ( , 4)、
2
( , 1) 两点。
(1) 求反比例函数及一次函数的表达式；
(2) 求 △ 的面积；
(3) 若点 是 轴上一动点，连接 ， ，当 + 的值最小时，求点 的坐标。
36/38
专题 5 函数类型题
第 3课时二次函数专练
1. 3如图，在平面直角坐标系中，直线 = + 3 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线 =
2
1 ( 2)2 + （ 为常数）经过点 且交 轴于 、 两点。
4
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点 为抛物线的顶点，连接 、 、 ，求四边形 的面积。
2.抛物线 = 2 + + 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，其中 (1,0)， (0,3)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点 ，使得 △ 的面积最大？若存在，请求出点
的坐标和 △ 的面积最大值；若不存在，请说明理由。
37/38
专题 5 函数类型题
3.端午节前夕，某批发部购入一批进价为 8 元 / 袋的粽子，销售过程中发现：日销量 （单
位：袋）与售价 （单位：元 / 袋）满足如图所示的一次函数关系，图像过点 (10,280)、(14,120)。
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
4.小强家菜地上有一个长为 20 米的蔬菜大棚，横截面顶部为抛物线形，一端固定在离地面高
1 米的墙体 处，另一端固定在离地面高 2 米的墙体 处， 、 水平距离为 5 米。建
= 1立平面直角坐标系，高度 （米）与离 的水平距离 （米）满足 2 + + 。
5
（1）求 、 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
3 31（ ）搭建高为 米的竹竿支架，大棚内可搭建支架土地每平方米需 5 根竹竿，求共需竹竿
20
多少根。
38/38

展开更多......

收起↑