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专题 3 几何证明与计算
第 1课时 有关三角形的证明与计算
1. 如图，点 是线段 的中点， = ，∠ = ∠ ，求证：∠ = ∠ 。
答案：证明：∵点 是线段 的中点，∴ = 。
=
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ∴△ △ (SAS)，∴∠ = ∠ 。
=
2. 如图，在△ 中，点 为 边的中点，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 。
(1) 求证：△ △ ；
(2) 若 ⊥ ，求证： = 。
答案：(1) 证明：∵点 为 的中点，∴ = 。
∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ 。
∠ = ∠
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ∴△ △ (AAS)。
=
(2) 证明：∵点 为 的中点， ⊥ ，∴直线 为线段 的垂直平分线，∴ = 。
由 (1) 知△ △ ，∴ = ，∴ = 。
3. 如图，在四边形 中， = ， 、 交于点 ， 、 分别是 、 的中点，
分别交 、 于点 、 ，求证： = 。
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专题 3 几何证明与计算
答案：证明：
取 边的中点 ，连接 、 。
1 1
∵ 、 分别是 、 的中点，∴ ∥ ， = 。同理， ∥ ， = 2 2 。
∵ = ，∴ = ，∴∠ = ∠ 。∵ ∥ ，∴∠ = ∠ 。
同理，∠ = ∠ ，∴∠ = ∠ ，∴ = 。
4. 如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 是斜边 上的高。
(1) 求证：△ ∽△ ；
(2) 若 = 6， = 10，求 的长。
答案：(1) 证明：∵ 是斜边 上的高，∴∠ = 90 。
∵∠ = 90 ，∴∠ = ∠ 。又∵∠ 为公共角，∴△ ∽△ 。
6
(2) 解：由 (1) 知△ ∽△ ，∴ = ，即
= = 3.6
6 10，解得 。
5. 如图，在△ 中， 是 边上的高， 是 边上的中线， ⊥ 于点 ， = 。
(1) 求证： = ；
(2) 已知 = 13， = 5，连接 ，求△ 的面积。
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专题 3 几何证明与计算
答案：
(1) 证明：连接 。在 Rt △ 中，点 是 的中点，∴ = = 。
∵ = ，∴ = ，即△ 为等腰三角形。
∵ ⊥ ，∴ = （等腰三角形三线合一）。
(2) 解：∵ = 13， = 5，∴ = = 13 5 = 8。
1
作 ⊥ 于点 ，∵ = ， ⊥ ，∴ = = 42 。
在 Rt △ 中， = = 5， = 4，∴ = 2 2 = 52 42 = 3。
1 1
∴ △ = = × 5 × 3 = 7.52 2 。
6. 如图，在四边形 中，∠ = ∠ = 90 ，点 在 上，且 = ，连接 、 ，点
是 的中点，连接 ，若 ⊥ 。
(1) 求证：△ △ ；
(2) 当 = 4， = 3时，求 sin 的值。
答案：(1) 证明：∵ ⊥ ，∴∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 。
∵∠ = 90 ，∴∠ + ∠ = 90 ，∴∠ = ∠ 。
∠ = ∠
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ∴△ △ (AAS)。
=
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(2) 解：
在 Rt △ 中， = 4， = 3，∴ = 2 + 2 = 42 + 32 = 5。
由 (1) 知△ △ ，∴ = = 5。
∵ ⊥ ，∴△ 为等腰直角三角形，∠ = 45 。
1 5
∵点 是 的中点，∴ = =2 2。
5 2 5 2作 ⊥ 于点 ，则 = sin 45 = × =2 2 4 ，
= 2 + 2 = 52 + 52 = 5 2，
10
∴sin = =
10
。
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专题 3 几何证明与计算
第 2课时 有关四边形的证明与计算
1.如图，在平行四边形 的边 ， 上截取 ， ，使得 = ，连接 ，点
， 是线段 上两点，且 = ，连接 ， 。
(1) 求证：△ △
(2) 若 ∠ = 107 ，∠ = 72 ，求 ∠ 的度数。
(1)证明：∵ 四边形 是平行四边形，∴ ∥ ，∴ ∠ = ∠
=
在 △ 和 △ 中， ∠ = ∠ ，∴ △ △ (SAS)
=
(2) 解：∵ △ △ ，∴ ∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∴ 107 = 72 + ∠ ，∴ ∠ = 35 ，∴ ∠ = 35
2.如图，在 中，点 ， 分别在 、 上， = ， = 。
(1) 求证：四边形 是矩形；
1
(2) 若 = ， = 2，tan ∠ = 2，求
的长。
(1) 证明：∵ 四边形 是平行四边形，∴ = ， ∥
∵ = ，∴ = ，即 = ，
又 ∥ ，∴ 四边形 是平行四边形，
∵ = ，∴ 平行四边形 是矩形
(2) 解：∵ 四边形 是矩形，∴ ∠ = ∠ = 90
2
∵ = ， = 2，∴ △ 是等腰直角三角形，∴ = = = 22 ，
1
∵ tan ∠ = = = 2 = 2 2 = + = 2 + 2 2 = 3 2 2，∴ ，∴
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专题 3 几何证明与计算
3
3.如图，在矩形 中， = 4， = 2，点 ， 分别在 ， 上，且 = = 2。
(1) 求证：四边形 是菱形；
(2) 求线段 的长。
(1) 证明∵ 矩形 中， = 4， = 2
∴ ∥ ，∠ = ∠ = 90 ， = = 4， = = 2
3 3 5
∵ = = ，∴ = = 4 =2 2 2，
3
在 △ 中， = 2 + 2 = 22 + ( )2
5 5
= ，同理 =2 2 2
5
∴ = = = = 2，∴ 四边形
是菱形
(2) 解
3
过点 作 ⊥ 于点 ，∴ = = ， = = 22
5 5 3
∵ = ，∴ = = = 12 2 2
在 △ 中， = 2 + 2 = 22 + 12 = 5
4.如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ，交 于点 ，点 在 上，且 ∥ 。
(1) 求证：△ △
(2) 若 = 8， = 6，则 的长为 ____________。
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专题 3 几何证明与计算
(1) 证明：∵ 四边形 为正方形，∴ = ， ∥ ，∠ = ∠ = 90
∵ ∥ ，∴ 四边形 为矩形，∴ ∠ = 90 ， = ，∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ 垂直平分 ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠
在 △ 和 △ 中， = ，∴ △ △ (ASA)
∠ = ∠

(2) 答案：
5.如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，∠ = 90 。
(1) 求证： = ；
(2) 点 在 边上，满足 ∠ = ∠ ，若 = 6， = 8，求 的长及 tan ∠
的值。
(1) 证明：∵ 四边形 是平行四边形，∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形
∴ = ，
(2) 解
在 △ 中， = 2 + 2 = 62
1
+ 82 = 10，∴ = = 52 ，
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∵ ∠ = ∠ ，∴ = = 5，
过点 作 ⊥ 于点 ，∵ 是 中点， ∥ ，∴ 是 △ 中位线
1 1
∴ = = 3， = = 4，∴ = = 5 4 = 12 2 ，
3
在 △ 中，tan ∠ = = = 3，∴ = 5，tan ∠ = 31
6.如图，在平行四边形 中， ， 分别是 ∠ ，∠ 的平分线，且点 ， 分
别在边 ， 上。
(1) 求证：四边形 是平行四边形；
(2) 若 ∠ = 60 ， = 2 = 2，求 △ 的面积。
(1) 证明：∵ 四边形 是平行四边形∴ ∥ ，∠ = ∠ ，
1 1
∵ ， 分别平分 ∠ ，∠ ∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ 2 2 ，∴
∠ = ∠ ，
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∥ ，
又 ∥ ，∴ 四边形 是平行四边形
(2) 解
∵ 四边形 是平行四边形，∴ ∠ + ∠ = 180
∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 120 ，∵ 平分 ∠ ，∴ ∠ = 60 ，
∴ △ 是等边三角形， = = 2
1
过点 作 ⊥ 于 ，则 = = 1， = 2 2 = 22 12 = 32
1 1
∴ △ = × × = × 2 × 3 = 32 2
∵ 四边形 是平行四边形，∴ = = 1
2 2 2 2 3
∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，∴ = = ，∴ = = = 1 3 ，∴ △ 3 △ 3
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专题 3 几何证明与计算
第 3课时 有关圆的证明与计算
1. 如图， 为⊙ 的直径，点 ， 在⊙ 上， 与 交于点 ， = ， = ，
连接 ， 。
求证：(1) △ △ ； (2) 四边形 是菱形。
=
(1) 证明：在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ，∴△ △ (SAS)
=
(2) 证明：∵△ △ ，∴ = ，∠ = ∠ ，∴ ∥ ，
∵ = ，∴ = ，∴ 四边形 是平行四边形
又∵ = ， ∴ 四边形 是菱形
2. 如图，四边形 是⊙ 的内接四边形，连接 ， ，延长 至点 。
(1) 若 = ，求证：∠ = ∠ ；
(2) 若 = 3，⊙ 的半径为 2，求 sin ∠ 的值。
(1) 证明：∵ 四边形 是⊙ 的内接四边形，∴ ∠ + ∠ = 180 ，
∵ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠
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(2) 解：
连接 并延长，交⊙ 于点 ，连接 ， ∴ ∠ = 90 ， = 2 × 2 = 4
3 3
在 Rt △ 中：sin = = ，∵ ∠ = ∠ 4 ，∴ sin ∠ = 4
3.如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上一点，过点 作⊙ 的切线 ，交 的延长线于
点 ，过点 作 ⊥ 于点 。
(1) 若∠ = 25 ，求∠ 的度数；
(2) 若 = 2， = 1，求 的长。
(1) 解：∵ ⊥ ， ∴ ∠ = 90 ，∠ = ∠ + ∠ = 90 + 25 = 115
(2) 解：∵ 是⊙ 的切线，∴ ⊥ ，∠ = 90 ，
∵ = = 2， = 1，∴ = + = 3， = 2 2 = 32 22 = 5

∵ ∠ = ∠ = 90 ， ∴ ∥ ∴ = ，
5 3 2 5
∵ = 2， = = 2 3

4. 如图， ， 为⊙ 的直径，点 在 上，连接 ， ，点 在 的延长线上， = ，
∠ + ∠ = 45 。
(1) 求证： 与⊙ 相切；
1
(2) 若 = 4 5，sin ∠ = ，求 3 的长。
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专题 3 几何证明与计算
(1) 证明：∵ ∠ = ∠ （同弧所对圆周角相等）
∵ ∠ + ∠ = 45 ， ∴ ∠ + ∠ = 45 ，即∠ = 45
∵ 为⊙ 直径，∴ ∠ = 90 ，∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 45 ，
∴ ∠ = 180 45 45 = 90 ，∴ ⊥ ，∴ 与⊙ 相切
2 2(2) 解：在 Rt △ 中，∠ = 45 ， = 4 5， = = × 4 5 = 2 102 2
∴ = = 2 10，连接 ，∵ 为直径，∴ ∠ = 90 ，
1 1 2 10
∵ ∠ = ∠ ，sin ∠ = sin ∠ = = = = 3， 3 ，3
5. 如图， ， ， ， 是⊙ 上的四点， 是直径， = ，⊙ 的切线 交 的
延长线于点 。
(1) 求证： ⊥ ；
(2) 若 = 5 6， = 5，求⊙ 的半径。
(1) 证明：
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专题 3 几何证明与计算
连接 并延长交 于点 ，连接 。
∵ = ， = ，∴ 垂直平分 ，∠ = 90 ，
∵ 是⊙ 切线，∴ ⊥ ，∠ = 90 ，
∵ 是直径，∴ ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形，∴ ∠ = 90 ，即 ⊥
解析：垂径定理推论得垂直，切线性质得垂直，三个直角证矩形，得 ⊥ 。
(2) 解：
∵ 四边形 是矩形，∴ = = 5，
在 Rt △ 中， = = 5 6， = 2 2 = (5 6)2 52 = 5 5，
设⊙ 半径为 ，则 = ， = 5 5 ，
在 Rt △ 中： 2 + 2 = 2，(5 5 )2 + 52 = 2，展开：125 10 5 + 2 + 25 = 2，
150 = 10 5 = 3 5，∴⊙ 半径为 3 5
6. 如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，过点 作⊙ 的切线 交 延长线于点

，点 为 上一点，且 = 。
(1) 求证： ∥ ；
(2) 若 垂直平分 ， = 3，求阴影部分的面积。
(1) 证明：连接 。
∵ 是⊙ 切线，∴ ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 ，
∵ 是直径，∴ ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 ，∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，

∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∥ ，
(2) 解：连接 ， 。∵ 垂直平分 ，∴ = ，
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专题 3 几何证明与计算
∵ = ，∴△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 180 60 = 120 ，
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 30 ，
在 Rt △ 中，∠ = 30 ，∴ = 2 ，
3 3 3
∵ = + ， = ，∴ = = 3，即 = = 3，△ 的高 = =2 2 ，
1 1 3 3 9 3
△ = × × = × 3 × =2 2 2 4 ，
120 9 3
扇形 = × × 3
2 = 3 ， 阴影 = 扇形 △ = 3 360 4 ，
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专题 3 几何证明与计算
第 4课时 有关立体图形的证明与计算
1.图 2 是图 1 中长方体的三视图（含部分数据），用 表示面积，主视图的面积 主 = 2
3 +
2 ( > 1)。
(1) 求 左和 俯；
(2) 推断以该长方体的长、宽、高为边能否围成直角三角形。
= ( 2 1) 2 = 2 3 2 ,
答案：(1)
左
= ( 2 + 1)( 2 1) = 4俯 1.
(2) 能围成直角三角形。
解析：
(1) 由主视图面积 主 = 2
3 + 2 = 2 ( 2 + 1)，结合三视图对应边长关系，左视图两边为 2 、
2 1，俯视图两边为 2 + 1、 2 1，代入面积公式计算即可。
(2) 长方体的长、宽、高分别为 2 + 1、 2 1、2 ，
( 2 + 1)2 = 4 + 2 2 + 1,
( 2 1)2 = 4 2 2 + 1,
验证勾股定理：
(2 )2 = 4 2,
( 2 1)2 + (2 )2 = 4 + 2 2 + 1 = ( 2 + 1)2,
满足勾股定理，故能围成直角三角形。
2.如图，四边形 是矩形， = 6cm， = 10cm， 和 是对角线，若图中的阴影部
分以 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体图形的体积是多少立方厘米？（ 取 3.14）
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专题 3 几何证明与计算
1 2 1 = × × 6 × 10 2 × × × 32 × 5 = 90 ,
答案： 3 3
2 = 180 = 565.2立方厘米.
答：阴影部分扫过的立体图形的体积是 . 立方厘米。
解析：阴影部分以 为轴旋转一周，体积为大圆锥体积减去两个小圆锥体积，再乘以 2 得到
1
整体阴影旋转体积，代入圆锥体积公式 = 2h3 计算。
3.如图 1 是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图 2 所示的方式放置，这样可以快速晾干杯底，
干净透气。将图 2 的主体部分抽象成图 3，此时杯口与水平直线的夹角为35 ，四边形
可以看作矩形，测得 = 10cm， = 8cm，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，求点 到水平
直线 的距离 的长。（结果精确到 1 cm，参考数据：sin 35 ≈ 0.5736，cos 35 ≈ 0.8192）
答案： ≈ 13cm。
解析：
由矩形性质与角度关系得∠ = 35 ，作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，四边形 为矩形，
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专题 3 几何证明与计算
则：
= = sin 3 5 ≈ 8 × 0.5736 ≈ 4.59 cm,
= cos 35 ≈ 10 × 0.8192 ≈ 8.20 cm, = + ≈ 8.20 + 4.59 ≈ 13 cm
4.综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽
素材：一张圆形纸板、装饰彩带等。
步骤 1：如图 1，将一个底面半径为 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为 、圆心角为 的扇
形。因此制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量和裁剪材料；
步骤 2：如图 2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽。
(1) 现在需要制作一个 = 10cm， = 30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角
度数；
(2) 为了使 (1) 中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，如图 2，其中需要粘贴一
条从点 处开始，绕侧面一周又回到点 的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值。
答案：
(1) 圆心角度数为120 ；
(2) 彩带长度的最小值为 30 3cm。
解析：
(1) 圆锥侧面展开图扇形弧长等于底面圆周长：
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360 360 × 10
180 = 2 = = = 120. 30
(2)
展开扇形圆心角120 ，母线 = ′ = 30cm，作 ⊥ ′，∠ = 60 ：
3
= sin 60 = 30 × = 15 3 cm,
2
' = 2 = 30 3 cm
5.综合与实践
主题：制作长方体包装盒
素材：一张边长为 30cm的正方形纸板
步骤 1：如图 1，在正方形纸板的边 上取点 ， ，使 = ，以 为斜边向下作等腰直
角三角形 ；在正方形纸板的边 上取点 ， ，使 = = ，以 为斜边向左作等
腰直角三角形 ；分别在边 ， 上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形
（阴影部分），剪去阴影部分；
步骤 2：将剩余部分沿虚线折起，点 ， ， ， 恰好重合于点 处，如图 2，得到一个底面
为正方形 的长方体包装盒。
猜想与计算：
(1) 四边形 的形状为_____________；
(2) 若该长方体包装盒的底面积为 288cm2，求该长方体包装盒的体积。
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专题 3 几何证明与计算
答案：
(1) 矩形；
(2) 体积为 864 2cm3。
解析：
(1) 由折叠与等腰直角三角形性质，四边形 为矩形。
(2) 底面正方形 面积 288cm2，则边长 = 12 2cm；
△ 为等腰直角三角形，2 2 = (12 2)2，得 = 12cm；
等腰 Rt △ 中， = 3 2cm（长方体的高）；
体积 = 底面积 ×高 = 288 × 3 2 = 864 2cm3。
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第 1课时 有关三角形的证明与计算
1. 如图，点 是线段 的中点， = ，∠ = ∠ ，求证：∠ = ∠ 。
2. 如图，在△ 中，点 为 边的中点，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 。
(1) 求证：△ △ ；
(2) 若 ⊥ ，求证： = 。
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3. 如图，在四边形 中， = ， 、 交于点 ， 、 分别是 、 的中点，
分别交 、 于点 、 ，求证： = 。
4. 如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 是斜边 上的高。
(1) 求证：△ ∽△ ；
(2) 若 = 6， = 10，求 的长。
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5. 如图，在△ 中， 是 边上的高， 是 边上的中线， ⊥ 于点 ， = 。
(1) 求证： = ；
(2) 已知 = 13， = 5，连接 ，求△ 的面积。
6. 如图，在四边形 中，∠ = ∠ = 90 ，点 在 上，且 = ，连接 、 ，点
是 的中点，连接 ，若 ⊥ 。
(1) 求证：△ △ ；
(2) 当 = 4， = 3时，求 sin 的值。
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第 2课时 有关四边形的证明与计算
1.如图，在平行四边形 的边 ， 上截取 ， ，使得 = ，连接 ，点
， 是线段 上两点，且 = ，连接 ， 。
(1) 求证：△ △
(2) 若 ∠ = 107 ，∠ = 72 ，求 ∠ 的度数。
2.如图，在 中，点 ， 分别在 、 上， = ， = 。
(1) 求证：四边形 是矩形；
1
(2) 若 = ， = 2，tan ∠ = ，求 2 的长。
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3
3.如图，在矩形 中， = 4， = 2，点 ， 分别在 ， 上，且 = = 2。
(1) 求证：四边形 是菱形；
(2) 求线段 的长。
4.如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ，交 于点 ，点 在 上，且 ∥ 。
(1) 求证：△ △
(2) 若 = 8， = 6，则 的长为 ____________。
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专题 3 几何证明与计算
5.如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，∠ = 90 。
(1) 求证： = ；
(2) 点 在 边上，满足 ∠ = ∠ ，若 = 6， = 8，求 的长及 tan ∠
的值。
6.如图，在平行四边形 中， ， 分别是 ∠ ，∠ 的平分线，且点 ， 分
别在边 ， 上。
(1) 求证：四边形 是平行四边形；
(2) 若 ∠ = 60 ， = 2 = 2，求 △ 的面积。
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第 3课时 有关圆的证明与计算
1. 如图， 为⊙ 的直径，点 ， 在⊙ 上， 与 交于点 ， = ， = ，
连接 ， 。
求证：(1) △ △ ； (2) 四边形 是菱形。
2. 如图，四边形 是⊙ 的内接四边形，连接 ， ，延长 至点 。
(1) 若 = ，求证：∠ = ∠ ；
(2) 若 = 3，⊙ 的半径为 2，求 sin ∠ 的值。
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专题 3 几何证明与计算
3.如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上一点，过点 作⊙ 的切线 ，交 的延长线于
点 ，过点 作 ⊥ 于点 。
(1) 若∠ = 25 ，求∠ 的度数；
(2) 若 = 2， = 1，求 的长。

4. 如图， ， 为⊙ 的直径，点 在 上，连接 ， ，点 在 的延长线上， = ，
∠ + ∠ = 45 。
(1) 求证： 与⊙ 相切；
1
(2) 若 = 4 5，sin ∠ = 3，求 的长。
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专题 3 几何证明与计算
5. 如图， ， ， ， 是⊙ 上的四点， 是直径， = ，⊙ 的切线 交 的
延长线于点 。
(1) 求证： ⊥ ；
(2) 若 = 5 6， = 5，求⊙ 的半径。
6. 如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，过点 作⊙ 的切线 交 延长线于点

，点 为 上一点，且 = 。
(1) 求证： ∥ ；
(2) 若 垂直平分 ， = 3，求阴影部分的面积。
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专题 3 几何证明与计算
第 4课时 有关立体图形的证明与计算
1.图 2 是图 1 中长方体的三视图（含部分数据），用 表示面积，主视图的面积 主 = 2
3 +
2 ( > 1)。
(1) 求 左和 俯；
(2) 推断以该长方体的长、宽、高为边能否围成直角三角形。
2.如图，四边形 是矩形， = 6cm， = 10cm， 和 是对角线，若图中的阴影部
分以 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体图形的体积是多少立方厘米？（ 取 3.14）
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专题 3 几何证明与计算
3.如图 1 是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图 2 所示的方式放置，这样可以快速晾干杯底，
干净透气。将图 2 的主体部分抽象成图 3，此时杯口与水平直线的夹角为35 ，四边形
可以看作矩形，测得 = 10cm， = 8cm，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，求点 到水平
直线 的距离 的长。（结果精确到 1 cm，参考数据：sin 35 ≈ 0.5736，cos 35 ≈ 0.8192）
4.综合与实践，主题：制作圆锥形生日帽
素材：一张圆形纸板、装饰彩带等。
步骤 1：如图 1，将一个底面半径为 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为 、圆心角为 的扇
形。因此制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量和裁剪材料；
步骤 2：如图 2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽。
(1) 现在需要制作一个 = 10cm， = 30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角
度数；
(2) 为了使 (1) 中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，如图 2，其中需要粘贴一
条从点 处开始，绕侧面一周又回到点 的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值。
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专题 3 几何证明与计算
5.综合与实践，主题：制作长方体包装盒
素材：一张边长为 30cm的正方形纸板
步骤 1：如图 1，在正方形纸板的边 上取点 ， ，使 = ，以 为斜边向下作等腰直
角三角形 ；在正方形纸板的边 上取点 ， ，使 = = ，以 为斜边向左作等
腰直角三角形 ；分别在边 ， 上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形
（阴影部分），剪去阴影部分；
步骤 2：将剩余部分沿虚线折起，点 ， ， ， 恰好重合于点 处，如图 2，得到一个底面
为正方形 的长方体包装盒。
猜想与计算：
(1) 四边形 的形状为_____________；
(2) 若该长方体包装盒的底面积为 288cm2，求该长方体包装盒的体积。
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