资源简介

江西九师联盟2025-2026学年高三下学期四月测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与圆相交于，两点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球的表面积相等，则该圆锥的体积与球的体积之比为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
8.在正项数列中，，，，若，为数列的前项和，若，则正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，，，，，，，的分位数为，则( )
A.
B. 该组数据的极差为
C. 剔除该组数据中的后，剩余数据的平均数不变
D. 剔除该组数据中的后，剩余数据的方差变小
10.已知函数与的图象关于原点对称，则( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的图象关于点对称
C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象
D. ，存在唯一的，使得
11.在平面直角坐标系中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点在上，则( )
A. 的方程为
B. 点到的两渐近线的距离之积为
C.
D. 若为的内心，则定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，公比为，若，，则的公比 ．
13.已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点在第一象限，若的面积为，则 ．
14.如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为若，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，点在边的延长线上，，且，求的面积．
16.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点，为的重心．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量表示换成乙投篮时甲投篮的次数．
求，；
求的分布列；
当时，求．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点．
求的方程；
已知点，，点在上，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，且，．
(ⅰ)证明：直线恒过定点；
(ⅱ)记直线，的斜率分别为，，求的值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线的斜率为的切线方程；
若不等式在上恒成立，求的取值范围；
当时，若，且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由与余弦定理，得，
所以，所以，
所以，又，
故．
由正弦定理及，得，
所以，又，所以，
在中，由正弦定理，得，即，所以．
则，
故的面积为．

16.解：连接并延长交于，则为的中点，连接，则，且，
又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形．
所以，又 平面，平面，所以平面．
连接，，易证得，
因为平面，平面，所以平面；
因为，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
易证，，互相垂直，以为原点，以直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量，
则
令，得，，所以．
设平面的一个法向量，
则
令，得，，所以．
设二面角的大小为，
则．
所以，
故二面角的正弦值为．

17.解：，即甲两次投篮均不中，，
，即甲前两次投篮有次中，次不中，第三次投篮不中，
故；
的可能取值为，
当时，第次投篮未进，
则前面次投篮中有次未投中，
所以；
当时，若前面次投篮都投中，其概率为；
若前面次投篮中有次未投中，
其概率为，
故，
所以的分布列为
由上可知，
，
，
由得，
，
所以，
故当时，
．

18.解：记的半焦距为，由题意知，，
解得，，
所以的方程为．

(ⅰ)证明：设，，，
由，得，
则，，
即，，
同理得，，
由对称性可知，若直线过定点，则直线过的定点在轴上，设其为，
由，，三点共线，得，
则．
故直线恒过定点．
(ⅱ)因为在椭圆上，则，
所以，则，
又在椭圆上，则，所以，
又，则，
同理得，
由，得，
由，得，
则，．
因为，，所以，
又，则，
所以
．

19.解：设曲线的斜率为的切线的切点为，，
令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，所以，则，
故曲线的斜率为的切线方程为，即．
由题意知在上恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
由题意可知，
即实数的取值范围为．
证明：由可知，当时，在上恒成立，
所以当时，在上恒成立，当且仅当时等号成立．
因为，所以，，
所以，所以，
同理，则，所以，
因为，所以．
由，得当时，，所以在上单调递增；
当时，令，则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，，即在上恒成立，所以在上又单调递增．
又，，所以存在，使得，
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，故存在唯一的，使得，
所以当时，，当时，．
由上可知，，且，在上单调递增，所以，即，
因为，所以，又，则，
所以，则，
由，所以．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑