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湘教版2025—2026学年七年级下册期中模拟实战演练培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．-1的平方根是1 B．5是25的一个平方根
C．（-4）2的平方根是-4 D．64的立方根是±4
2．关于的方程解为负数，则实数a的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
3．若x>1，则x2，x，，这四个数中(　　)
A．最大，x2最小 B．x最大，最小
C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小
4．若，则的值为（　　）
A．2 B．-2 C．5 D．-5
5．若x>y成立，则下列不等式成立的是（　　）
A．2x-1>2y-1 B．-x+1>-y+1 C． D．-x>-y
6．若，则的值是（　　）
A．3 B．-3 C．-1 D．1
7．通过计算和比较图1，2 中阴影部分的面积，可以验证的等式为 （　　）
A．a(b-x)=ab-ax B．b(a-x)=ab-bx
C．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于x的不等式组 恰有3个整数解，则m的取值范围是　 　．
12．若ab＝1，a﹣b＝4，则 ＝　 　.
13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+a的结果为　 　.
14．若 ， ，则 　 　， 　 　
15．如图，宽为 的长方形图案由8个相同的小长方形拼成，若小长方形的边长为整数，则 的值为　 　.
16．已知 ，则 =　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）2 + + +| ﹣2|
（2） + ﹣ ．
18．（1）解下面的不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解下面的一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解.
19．湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元.
（1）求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？
（2）若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？
20．
（1）已知(求xy和的值.
（2）若a2+b2=15，(a-b)2=3，求ab和(a+b)2的值.
21．今年“五一”期间，为了更好地服务四方宾客，宜宾某商场用5600元购进A、B两种宜宾特产礼盒共110盒，这两种礼盒的进价、标价如表：
类型价格 A型 B型
进价（元/盒） 40 60
标价（元/盒） 60 100
（1）求这两种礼盒各购进多少盒？
（2）若A型礼盒按标价的9折出售，要使这批礼盒全部售出后商场获得不少于1900元的利润，则B型礼盒应按标价的至少几折出售？
22．如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形.
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为　 　（用含m，n的代数式表示)：
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出（m+n)2，（m-n)2，mm之间的一个等量关系　 　.
（3）若m+n=7，mn=3，求阴影正方形的面积.
23．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
（1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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湘教版2025—2026学年七年级下册期中模拟实战演练培优卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．-1的平方根是1 B．5是25的一个平方根
C．（-4）2的平方根是-4 D．64的立方根是±4
【答案】B
【解析】【解答】解：A、-1没有平方根，该选项是错误的，不符合题意；
B、5是25的一个平方根，该选项是正确的，符合题意；
C、（-4）2的平方根是±4，原命题是假命题，不符合题意；
D、64的立方根是4，该选项是错误的，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方根和立方根的定义，结合命题真假的判定求解。
2．关于的方程解为负数，则实数a的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ，解得：x=5-3a，
∵方程解为负数，
∴5-3a＜0，
∴-3a＜-5，
∴.
故答案为：C。
【分析】首先解关于x的方程，求得x=5-3a，然后根据方程解为负数， 即可得出不等式5-3a＜0，解不等式即可得出a的取值范围。
3．若x>1，则x2，x，，这四个数中(　　)
A．最大，x2最小 B．x最大，最小
C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小
【答案】C
【解析】【解答】解：若x＞1，则.
∴最大，最小.
故答案为：C.
【分析】 利用实数的大小比较来计算即可.
4．若，则的值为（　　）
A．2 B．-2 C．5 D．-5
【答案】B
【解析】【解答】解：，
∵，
∴m=-2，
故答案为：B．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求解即可。
5．若x>y成立，则下列不等式成立的是（　　）
A．2x-1>2y-1 B．-x+1>-y+1 C． D．-x>-y
【答案】A
【解析】【解答】解：A、2x-1>2y-1，A不符合题意；
B、-x+1＜-y+1，B不符合题意；
C、当m=0时，，C不符合题意；
D、-x＜-y，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．若，则的值是（　　）
A．3 B．-3 C．-1 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：由
，
，
，
故答案为：D．
【分析】用多项式乘多项式的法则把等式右边进行化简，左右对照，各项对应相等，即可解答．
7．通过计算和比较图1，2 中阴影部分的面积，可以验证的等式为 （　　）
A．a(b-x)=ab-ax B．b(a-x)=ab-bx
C．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D．(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x
【答案】D
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为：(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2；
图2中阴影部分的面积为：ab-ax-bx+x2，
∴(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2.
故答案为：D.
【分析】用含x的式子表示出图1中阴影矩形的长与宽，进而根据矩形面积计算公式列出式子表示出阴影部分的面积，进而根据多项式乘以多项式法则展开括号；图2中，根据阴影部分的面积=整个大矩形的面积-宽为x，长为a、b的两条道路的面积+长为x的正方形的面积，列出式子，从而比较即可得出答案.
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断C；根据平方差公式可判断D.
9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
10．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】由数轴可知，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查绝对值得化简，首先根据数轴判断a，b得大小，从而得到绝对值里每个整式得正负性，然后逐个化简整理即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于x的不等式组 恰有3个整数解，则m的取值范围是　 　．
【答案】-3＜m≤-2
【解析】【解答】解： 不等式组 ，
解得：-5≤x＜m，
∵关于x的不等式组 恰有3个整数解，
∴-3＜m≤-2，
故答案为：-3＜m≤-2.
【分析】利用不等式的性质求出-5≤x＜m，再计算求解即可。
12．若ab＝1，a﹣b＝4，则 ＝　 　.
【答案】18
【解析】【解答】解：原式= = ，
当ab=1，a-b=4，原式= =18，
故答案为18.
【分析】先通分，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算.
13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+a的结果为　 　.
【答案】b
【解析】【解答】根据题意得，a<0，b>0，
∴a b<0，
∴|a b|+a=b a+a=b.
故答案为：
【分析】由图可知a<0，b>0，a b<0，根据负数的绝对值是它的相反数及合并同类项的法则即可求出答案.
14．若 ， ，则 　 　， 　 　
【答案】；
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×21=58；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=58+2×21=100.
故答案为：58；100.
【分析】根据完全平方公式的恒等变形可得a2+b2=(a-b)2+2ab，（a+b）2=a2+b2+2ab，然后整体代入即可算出答案.
15．如图，宽为 的长方形图案由8个相同的小长方形拼成，若小长方形的边长为整数，则 的值为　 　.
【答案】16
【解析】【解答】解：设小长方形的宽为a，长为b，
由题意得：5a=3b，所以b= ，
所以m=a+b= a+ = ，
因为 ，
所以10< <20，
解得： 又因为小长方形的边长为整数，
所以a=4、5、6、7，
因为b= ，所以5a是3的倍数，即a=6，b= =10，m= a+b=16.
故答案为：16.
【分析】设小长方形的宽为a，长为b，根据大长方形的性质可得5a=3b，m=a+b= a+ = ，再根据m的取值范围即可求出a的取值范围，又因为小长方形的边长为整数即可解答.
16．已知 ，则 =　 　．
【答案】11
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
而 ，
，
．
故答案为：11．
【分析】利用完全平方公式变形得到，再展开，将代入计算出xy的值即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）2 + + +| ﹣2|
（2） + ﹣ ．
【答案】（1）解：原式=2 +3﹣2+2﹣ = +3；
（2）解：原式=﹣3+4﹣ =1﹣ =﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据平方根和立方根、绝对值的性质直接求解即可；（2）先根据平方根和立方根化简，再合并同类二次根式即可.
18．（1）解下面的不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解下面的一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解.
【答案】（1）解：解不等式x-3(x-2)≤8，得x≥-1，解不等式 得x<2，将不等式的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为-1≤x<2
（2）解：
解不等式①，得x>-1，解不等式②，得x≤2，所以不等式组的解集为-1【解析】【分析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得非负整数解.
19．湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元.
（1）求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？
（2）若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？
【答案】（1）解：设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，
由题意得
解得
答：水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元；
（2）解：设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，
由题意得：
解得．
利润
，
W随m增大而增大，当时，
（元）．
答：该农场最多可获得320000元利润．
【解析】【分析】（1）设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，根据“ 种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，根据题意列一元一次不等式求出的取值范围，然后得到利润关于的一次函数关系式，再根据函数的增减性得到最大利润解答即可．
20．
（1）已知(求xy和的值.
（2）若a2+b2=15，(a-b)2=3，求ab和(a+b)2的值.
【答案】（1）解：由题意得：
∴
（2）解：由题意得：
∴
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式得到：，进而结合题意即可求解；
（2）根据完全平方公式得到：，进而结合题意即可求解.
21．今年“五一”期间，为了更好地服务四方宾客，宜宾某商场用5600元购进A、B两种宜宾特产礼盒共110盒，这两种礼盒的进价、标价如表：
类型价格 A型 B型
进价（元/盒） 40 60
标价（元/盒） 60 100
（1）求这两种礼盒各购进多少盒？
（2）若A型礼盒按标价的9折出售，要使这批礼盒全部售出后商场获得不少于1900元的利润，则B型礼盒应按标价的至少几折出售？
【答案】（1）解：设购进A种礼盒x盒，B种礼盒y盒，由题意得，
，
解得，
答：购进A种礼盒50盒，B种礼盒60盒；
（2）解：设B型礼盒按标价的a折出售，由题意得，
，
解得，
∴a的最小值为8，
故B型礼盒应按标价的至少八折出售．
【解析】【分析】（1）设购进A种礼盒x盒，B种礼盒y盒，根据题意得等量关系“A种礼盒的盒数+B种礼盒的盒数=110”，“A种礼盒的盒数×A的单价+B种礼盒的盒数×B的单价=5600”，据此列出方程组并求解即可；
（2）设B型礼盒应按标价的a折出售，根据“利润 =(标价×折扣－进价) × 销售量”列出不等式，求解即可．
（1）解：设购进A种礼盒x盒，B种礼盒y盒，
由题意得， ，
解得，
答：购进A种礼盒50盒，B种礼盒60盒；
（2）解：设B型礼盒应按标价的m折出售，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为8，
答：B型礼盒应按标价的至少八折出售．
22．如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形.
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为　 　（用含m，n的代数式表示)：
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出（m+n)2，（m-n)2，mm之间的一个等量关系　 　.
（3）若m+n=7，mn=3，求阴影正方形的面积.
【答案】（1）m-n
（2）4m-n
（3）解：∵，
∴，
当，.
∴.
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，图中的阴影正方形的边长可表示为m一n，
故答案为：m-n；
（2）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积和为4mm，
所以有，
故答案为：
【分析】（1）根据图形，结合边之间的关系即可求出答案.
（2）根据小正方形面积=大正方形面积-矩形面积建立等量关系即可.
（3）根据m+n=7，mn=3整体代入即可求出答案.
23．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
（1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得：，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
.
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
【解析】【解答】（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：.
【分析】（1）利用“变更方程”的定义可得，再求解即可；
（2）先联立方程组求出方程组的解，再根据“是二元一次方程的一个解”可得，则，最后将其代入计算即可；
（3）先联立方程组求出方程组的解，再结合“”可得，求出，再结合，求解即可.
（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得，，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
；
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
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