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模拟试题 （二模） 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图所示的化学实验仪器平面图，其中是轴对称图形的是（ ）
A．烧杯B．U型管 C．双颈烧瓶 D．漏斗
3．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 202 214 205 214
方差 3.8 3.8 5.6 5.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“馬”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示．则水面高度从变化到所用的时间是（ ）
A． B． C． D．
10．清明前夕，某班家委会组织同学们包车去八宝山给烈士扫墓．包车总费用为200元．原计划由本班学生平分车费．后来有5名家长主动加入帮忙，最终参与人数增加，实际参与者（每人）比原计划少出了 2 元．设原计划参加的学生人数为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，连接交于点D，则的长为（ ）
A．4 B．7 C． D．
12．如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，与反比例函数图象的一支交于，两点，连接，则以下结论：①的值为；②是等腰三角形；③；④；其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
13．因式分解：__________．
14．如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______．
15．学校准备在候选的名女生和名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是____．
16．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客娱乐，租借3艘大船和4艘小船共需240元，2艘大船和2艘小船共需要140元，则租借一艘大船的费用是______元．
17．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______．
18．矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______．
三、解答题
19．计算及化简求值：
(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求和的长．
21．某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组/cm 频数 频率
4
14
11
2
合计 50
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
c．乙试验田穗长在这一组的是：
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中的值为 ；
(2)表2中的值为 ；
(3)在此次考察中，稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 ；
A．甲 B．乙 C．无法推断
(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为多少万个？
22．2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单．
(1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？
23．如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
24．综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．
（，，，，，）
(1)求的度数；
(2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量；
(3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？
25．在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围；
(3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由．
26．综合与探究：如图，在中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)当点落在线段上时，
①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ；
②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；
(2)当时，过点作交于点，若，猜想与的数量关系并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C B D B D A
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】根据正数大于一切负数，两个正数比较，绝对值大的数更大，据此即可解答．
【详解】解：∵ 负数小于一切正数，
∴ ，，
又∵ 两个正数中 ，
∴ 整体大小关系为，
∴ 四个数中最大的数是1．
2．B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．烧杯口左侧有导流嘴，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．U型管沿竖直中线折叠左右能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．双颈烧瓶两个颈方向不同，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．漏斗下端管口为斜切状，沿竖直中线折叠左右无法重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
3．B
【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可．
【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次，
∴ 总运算次数为：．
4．A
【分析】根据平行线的性质求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴.
5．C
【分析】根据整式的运算法则逐一计算即可得．
【详解】A、，此选项错误，不符合题意；
B、不能合并，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项正确，符合题意；
D、，此选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则．
6．B
【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可．
【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好，
∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择，
又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差，
∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求．
7．D
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
，
，
．
8．B
【分析】根据已知点“炮”的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，再根据“馬”相对于原点的位置写出其坐标即可．
【详解】解：∵“炮”所在位置的坐标为，
∴原点O在“炮”所在位置的左侧3个单位长度，下方1个单位长度处，且网格正方形的边长为1个单位长度．
观察图形可知，“馬”所在位置在原点右侧1个单位长度，上方2个单位长度处，
∴“馬”所在位置的坐标为．
9．D
【分析】由图象可知漏壶初始水面高度为，经过漏完，据此求出漏水速度，再根据高度差求出所需时间．
【详解】解：由图象可知，当时，；当时，，
漏壶的漏水速度为：，
水面高度从变化到，
水面高度变化量为：，
所用的时间为：．
10．A
【分析】先分别表示出原计划和实际每人分摊的车费，再根据“实际每人比原计划少出2元”的等量关系列方程即可．
【详解】解：∵设原计划参加的学生人数为，包车总费用为元，
∴原计划每人分摊车费为元，
∵增加名家长后，实际参与人数为，
∴实际每人分摊车费为 元
∵实际参与者比原计划每人少出元
∴原计划每人车费减去实际每人车费等于，可得方程 ．
11．C
【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据作图可知是的垂直平分线，从而得到，最后在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：在 中，，，，
，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：，
即 ，
解得 ，
．
12．D
【分析】先利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数的解析式，再求出，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，结合图形一一判断即可得出答案．
【详解】解：①将代入中，
即，
解得：，即
故①正确；
②将代入中，
即，
解得：，
∴，
代入到上式，可得，
∴，
代入到上式，可得，
∴，
∴，
∴
联立，
解得：，，
∴，
过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，
即 ，，
∴，，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故②正确；
③∵，
∴，
∴，
故③正确；
④∵，，，，
∴，
∴，
故④正确
故选：D．
13．
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．
使用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14．
【分析】由平行线的性质可得，然后通过角度和差，平角定义即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
15．
/0.6
【分析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.．
【详解】解：画树状图为：
共种等可能的结果数，
其中选中一男一女的结果数为，
恰好选中一男一女的概率是．
16．40
【分析】设租借一艘大船的费用为元，租借一艘小船的费用为元，根据题意找出两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到结果．
【详解】解：设租借一艘大船的费用为元，租借一艘小船的费用为元．根据题意得
，
将②两边同乘以，得，
用得，
化简得，
所以，租借一艘大船的费用是40元．
17．
【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围.
【详解】解：，
将方程变形为，
方程两边同乘去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
解得，
分式方程的解为负数，
，且，
即，且，
解得，
解得，
已经满足，
的取值范围是．
18．
【分析】过点作，垂足为点，利用勾股定理求得，由旋转可得，，，得到，然后解，求出，再由求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为点，
∵矩形中，，
∴，，，
由旋转可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质知，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)，
【分析】（1）先利用绝对值、二次根式的性质、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
当时，原式．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形；
（2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
∵点D为的中点，
∴；
如图所示，过点A作于H，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得．
21．(1)10
(2)
(3)A
(4)万个
【分析】（1）用调查人数乘以的频率即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据方差越小，数据越稳定求解即可；
（4）甲试验田的稻穗总量乘以穗长在范围内的频率的和即可解答．
【详解】（1）解：甲试验田在的频数为：．
（2）解：乙试验田抽取了50个数据，按大小顺序排列第25、26个数是最中间的两个数，而第25、26个数是和，
则中位数为．
（3）解：∵甲试验田穗长的方差小于乙试验田穗长的方差，
∴稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，即选项A符合题意．
（4）解：万个．
答：估计甲试验田所有“良好”的稻穗约为万个．
22．(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品
(2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件
【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（件）．
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品．
（2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，
根据题意得：，
安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
，
解得：，
，
随的增大而增大，
又为正整数，
最大取20，
当时，取得最大值，为（件），
此时（天）．
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论；
（2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点E．
∵是的切线，
∴，即．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，延长交于点F，
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴垂直平分，
∴.
由(1)可得，，
∴平行四边形是菱形，
，
，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴.
由(1)知，，
，
．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案．
（2）根据题意可得出，解不等式即可求解．
（3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S，
则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案．
【详解】（1）解：过点A作交与点D，
则，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴支架能承受的最大力F为，
则，
解得：，
则小桌板能放置物体的最大质量为．
（3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
，
∴．
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
25．(1)
(2)
(3)存在，黄金区间为
【分析】（1）把代入求得a的值即可解答；
（2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可；
（3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，解得：，
∴二次函数解析式为．
（2）解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为，
令，则．
设方程的两根为 ，则．
由根与系数的关系可得，
∵，
∴，即，解得：．
所以 t 的取值范围为．
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线，开口向上，顶点为．
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且．
①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴m，n 是方程 的两个根，解得，
∴，即；
②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小；
∴当时，，当时，，
∴
两式相减：
，
∵，即，
∴，即，
将代入得，即，
∴，
∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间．
综上，存在黄金区间，为．
26．(1)①；②，证明见解析
(2)或
【分析】（1）①首先根据题意证明和是等边三角形，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可；②首先证明出和是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）分两种情况：当点D在线段上时，设，则，然后根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，进而求解；同理可求当点D在线段的延长线上时．
【详解】（1）解：①∵将绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
②，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
（2）解：如图3，当点D在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，可得，
∴，即；
当点D在线段的延长线上时，
∵
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，解得：，
∴，即．
综上所述，或．
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