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2025学年第二学期期中学业水平考试试题卷
八年级数学参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A C D C D A D
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．x≥﹣7　 12．　23　 13．　③　
14．　0　 15．　　 16．　34或　（写出1个答案给2分）
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）
；———————4分
（2）
．———————4分
（8分）
（1）x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝0，x2＝5；———————4分
（2）x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝1+4＝5
∴x，
解得x1，x2．———————4分
（8分）
（1）小明解方程的方法是 B ———————2分
（2）　③　———————2分
2x2﹣8x＝18，
x2﹣4x＝9，
x2﹣4x+4＝13，
（x﹣2）2＝13，
∴．———————4分
（10分）
m25＝70，，m75＝96———————6分
①甲组的中位数和乙组相同；②乙组的成绩更集中。（合理即可）——————4分
21．（12分）
（1）x2+5x+4＝（x+ 1 ）（x+ 4 ）———————4分
（2）①x2﹣10x+21＝0
∴（x﹣3）（x-7）＝0，
∴原方程的解为x1＝3，x2＝7．———————4分
②（2024x﹣5）（x+1）＝0，
∴原方程的解为x1，x2＝﹣1———————4分
22．（12分）（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%．———————6分
（2）设该棉帽售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为
400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只，
根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．
答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元．———————6分
（14分）
AC=5———————4分
（2）
且使BP＝x，DP＝8﹣x，BD＝8，AB＝3，CD＝3，
则，，
连接AC交BD于点E，则，
过A作AF∥BD交CD延长线于F，则AF＝BD＝8，DF＝AB＝3，CF＝DF+CD＝6，
在Rt△ACF中，，
故的最小值为10．———————6分（构图正确即给3分）
（3）①如图（2），作Rt△ABC与Rt△DBC，且使AC＝6，CD＝8，BC＝x，
则，，，
在△ACD中，AD2＝AC2+CD2＝102，则，
由条件可得，
∴，
∴，
∴64﹣x2＝40.96，
∴x2＝23.04，
∵x＞0，
∴x＝4.8；
②如图（3），作Rt△ABC与Rt△ADE，使AC＝AD+CD＝x+4，BC＝4，ED＝1，
则，
过点E作EF⊥BC于F，连接BE，则EF＝CD＝4，CF＝DE＝1，BF＝3，，
在△ABE中，AB﹣AE＜BE，
如图（4），当A、E、B三点共线时，有最大值为BE＝5． 做出一种即可———————4分2025学年第二学期期中学业水平考试试题卷
八年级数学
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3x＝x2﹣1 C．x2+3x＝0 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0，则该方程解的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个解
4．2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分按1：3：6的比例计入最终成绩。选手小越三项得分分别为9分、8分、10分，则小越的最终成绩为（　　）
A．9.3分 B．8.9分 C．9分 D．9.6分
5．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10
C．x（x﹣1）＝10×2 D．x（x+1）＝10×2
6．已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（　　）
A． B．
C． D．
7．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
8．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　）
A． B． C．D．
10．我们称形如（）的方程为关于x的“标准二次方程”。若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如2（x﹣3）2﹣4＝0与3（x﹣3）2﹣4＝0就是“伙伴方程”．已知2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是伙伴方程，那么代数式ax2+bx+2026能取的最大值是（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若有意义，则x的取值范围为 　 　 ．
12．已知x＝m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的根，则24﹣4m+m2的值为　 　 ．
13．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是　 　 ．
序号 分组情况 组内离差平方和
① 第一组1个，第二组3个 44
② 第一组2个，第二组2个 28
③ 第一组3个，第二组1个 16.67
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝0，则k的值为　 　
15．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形ABCD中，若S1﹣S2＝8，则AB＝　 　 ．
16．如图，把一副三角板按照图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝6cm，BMAB．△DEF从图1的位置出发，以2cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点N，连结MN．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t秒，当△AMN是等腰三角形时，t的值为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）； （2）．
18．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣5x＝0； （2）x2+x﹣1＝0．
19．（8分）小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下：
解；移项，得2x2﹣8x＝18① 两边同除以2，得x2﹣4x＝9② 配方，得x2﹣4x+4＝9③ 即（x﹣2）2＝9④ ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑥
（1）小明解方程的方法是　 　 ．（填字母）
A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法．
（2）他的求解过程从步骤　 　 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程．
20．（10分）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
（1）求甲组成绩的四分位数。
（2）请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩的分析结论。
21．（12分）将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法：
①竖分二次项与常数项：x2＝x x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”．
根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5．
【解决问题】
分解因式：x2+5x+4＝（x+ ）（x+ ）
试用上述方法和原理解下列方程：
①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0．
22．（12分）冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．
（1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，若保持原价，下个月的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？
23．（14分）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．
比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当0＜x＜3求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和3﹣x，1为直角边的直角三角形（如图），∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BP＝x，CD＝1，DP′＝3﹣x，由勾股定理知，，细心观察发现BP与DP′的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段AC的长．
（1）根据上述方法，求的最小值（线段AC的长）。
（2）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中0＜x＜8）；
（3）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x＞0）：
①解方程：；
②求代数式的最大值．2025 学年第二学期期中学业水平考试试题卷
八年级数学
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A 1．ax2+bx+c＝0 B．x2+3x＝x2﹣1 C．x2+3x＝0 D． + = 2
2．下列运算正确的是（ ）
A．( 4)2 = 16 B． 2 × 6 = 2 3 C． 40 ÷ 5 = 8 D．3 2 2 = 3
3．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣mx﹣2＝0，则该方程解的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个解
4．2026年绍兴市举办“古城新韵”文化传承主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”
三项得分按 1：3：6的比例计入最终成绩。选手小越三项得分分别为 9分、8分、10分，则
小越的最终成绩为（ ）
A．9.3分 B．8.9分 C．9分 D．9.6分
5．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自
行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排 10场比赛，设应邀参加的足球队有 x个，
则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10
C．x（x﹣1）＝10×2 D．x（x+1）＝10×2
6．已知关于 的方程 2 2 + + = 0 的两个根分别为 1 = 3， 2 = 4， 则二次
三项式 2 2 + + 可因式分解为（ ）
A．（ + 3）（ ﹣4） B．（ ﹣3）（ + 4）
C．2（ + 3）（ ﹣4） D．2（ ﹣3）（ + 4）
7 1．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式： 2 = (8 )2 + (6 )2 +
5
(9 )2 + (6 )2 + (11 )2 ，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是
（ ）
A．平均数是 8 B．众数是 6 C．中位数是 9 D．方差是 3.6
8．已知 2 = ， 3 = ，则 0.0054的值为（ ）
3 3
A． B． C． D．
10 10 100 100
9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程
（正根）的几何解法．以方程 x2+2x﹣35＝0即 x（x+2）＝35为例，记载的
方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它
又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×35+22，因此 x＝5，
在下面四个选项中，能正确说明方程 x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（ ）
A． B． C． D．
10．我们称形如 ( )2 + = 0（ ≠ 0）的方程为关于 x的“标准二次方程”。若两个
一元二次方程可以写成 1( )2 + = 0 和 2( )2 + = 0 的形式（ 和 相同，
1 ≠ 2），则称它们是“伙伴方程”．如 2（x﹣3）2﹣4＝0与 3（x﹣3）2﹣4＝0就是“伙
伴方程”．已知 2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是伙伴方程，那么代数式
ax2+bx+2026能取的最大值是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．若 + 7有意义，则 x的取值范围为 ．
12．已知 x＝m是一元二次方程 x2﹣4x+1＝0的根，则 24﹣4m+m2的值为 ．
13．学校种植园中有 4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组
内植物株高尽量接近，将 4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有 3种情况，计
算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则 4盆植物的最优分组序号是 ．
序号 分组情况 组内离差平方和
① 第一组 1个，第二组 3个 44
② 第一组 2个，第二组 2个 28
③ 第一组 3个，第二组 1个 16.67
14．已知关于 x的一元二次方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0 有两个实数根 x1，x2，若 x1，x2
满足 x1x2+x1+x2＝0，则 k的值为
15．如图，把面积为 50 和 18 的两个正方形放入长方形 ABCD 中，若 S1﹣S2＝8，则 AB
＝ ．
16．如图，把一副三角板按照图 1 摆放（点 C与点 E重合），点 B，C（E），F在同一直
1
线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝6cm，BM= 3AB．△
DEF从图 1 的位置出发，以 2cm/s的速度沿 CB方向匀速运动，如图 2，DE与 AC相交
于点 N，连结 MN．当点 D运动到 AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为 t秒，当
△AMN是等腰三角形时，t的值为 ．
第 15 题 第 16 题
三．解答题（共 7 小题，满分 72 分）
17．（8分）计算：
（1） 18 8 + 12； （2）(2 3 1)
2 + ( 5 + 2)( 5 2)．
18．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣5x＝0； （2）x2+x﹣1＝0．
19．（8分）小明同学解一元二次方程 2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下：
解；移项，得 2x2﹣8x＝18①
两边同除以 2，得 x2﹣4x＝9②
配方，得 x2﹣4x+4＝9③
即（x﹣2）2＝9④
∴x﹣2＝3或 x﹣2＝﹣3⑤
∴x1＝5，x2＝﹣1⑥
（1）小明解方程的方法是 ．（填字母）
A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法．
（2）他的求解过程从步骤 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程．
20．（10 分）甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如
下：
93
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 90
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
80
（1）求甲组成绩的四分位数。
25 = 50 = 75 =
（2）请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩
的分析结论。
21．（12分）将 x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法：
①竖分二次项与常数项：x2＝x x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”．
根据乘法原理：若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0．所以方程 x2+2x﹣35＝0 可以这样求解：方
程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为 x1＝﹣7，x2＝5．
【解决问题】
（1）分解因式：x2+5x+4＝（x+ ）（x+ ）
（2）试用上述方法和原理解下列方程：
①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0．
22．（12分）冬季来临，某超市以每件 35元的价格购进某款棉帽，并以每件 58元的价格
出售．经统计，10月份的销售量为 256只，12月份的销售量为 400只．
（1）求该款棉帽 10月份到 12月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，若保持原价，下个月的销售量将与 12月份持平，现超市为了减少库
存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价 1元，月销售量就会增加 20只．当该
棉帽售价为多少元时，月销售利润达 8400元？
23．（14分）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，
构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．
比如 2 + 2的几何意义是以 a，b 为直角边的直角三角形斜边长，故当 0＜x＜3 求
2 + 9 + (3 )2 + 1的最小值时，可数形结合构造两个分别以 x，3和 3﹣x，1 为直
角边的直角三角形（如图），∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BP＝x，CD＝1，DP′＝3﹣x，
由勾股定理知 = 2 + 9， ′ = (3 )2 + 1，细心观察发现 BP与 DP′的长度恰
好凑成 3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当
A、P、C三点共线（点 P位于 A、C之间）时， 2 + 9 + (3 )2 + 1的最小值为线段
AC的长．
（1）根据上述方法，求 2 + 9 + (3 )2 + 1的最小值（线段 AC的长）。
（2）根据上述规律和结论，请构图求代数式 2 + 9 + (8 )2 + 9的最小值（其中 0
＜x＜8）；
（3）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任．选．一．题．进行解答（其中 x＞0）：
①解方程： 36 2 + 64 2 = 10；
②求代数式 ( + 4)2 + 16 2 + 1的最大值．

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