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2025年下期期中质量检测四校联考
九年级数学试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：请将答案正确填写在答题卡上
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若方程（m﹣2）x|m|+3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
2．（3分）若反比例函数的图象经过二，四象限，则k的取值范围为（　　）
A．k＞3 B．k＜﹣3 C．k＞﹣3 D．k＜3
3．（3分）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　）
A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
4．（3分）方程的解是（　　）
A． B． C．， D．，
5．（3分）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
6．（3分）如果，那么的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．（3分）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，BC＝9，则CF的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
第7题图 第8题图 第10题图
8．（3分）漳浦一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台AB的长为18m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则BC的长为（结果精确到0.1m）（　　）
A．6.8m B．10m C．11.1m D．10.8m
9．（3分）已知x2＝3y+t，y2＝3x+t，且x≠y（t是常数），则称点M（x，y）是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B． C． D．或m＜1
10．（3分）如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM PH；④EF的最小值是．其中正确结论的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是 　 　 ．
12．（3分）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子2m2+3m+2025的值为　 　 ．
13．（3分）如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则AC＝　 　 ．
第13题图 第16题图 第18题图
14．（3分）若4x＝3y，则 　 　 ．
15．（3分）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2+2m+n+2025的值是 　 　 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　 　 ．
17．（3分）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．S1+S2+S3+ +Sn＝　 　 （用含n的代数式表示）．
18．（3分）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC交AC于点F，CE⊥AB于点E，BF、CE交于点M，AH垂直BF于点H，交EC延长线于点G，若，且，AH HG＝2k2+1，则BC的长　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣7x＝﹣12； （2）（x﹣2）2＝2﹣x．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若，BD＝1，求AD．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，点E为边AD上一点，ED＝1cm，连接BE．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）用含t的代数式表示：BP＝ 　 　 cm，BQ＝ 　 　 cm；
（2）连接PQ，若存在某一时刻t，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△ABE相似，请求出此时t的值．
23．（8分）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
24．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
25．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是 　 　 （填序号即可）；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．
26．（10分）如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．
（1）求证：CM＝BN；
（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；
（3）在（2）的条件下，求的值．
九年级数学期中考试试卷
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C C C B C D C
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是 　6　 ．
12．（3分）若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子2m2+3m+2025的值为　2026　 ．
13．（3分）如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则AC＝　　 ．
14．（3分）若4x＝3y，则 　　 ．
15．（3分）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2+2m+n+2025的值是 　2027　 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ．
17．（3分）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．S1+S2+S3+ +Sn＝　　 （用含n的代数式表示）．
18．（3分）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC交AC于点F，CE⊥AB于点E，BF、CE交于点M，AH垂直BF于点H，交EC延长线于点G，若，且，AH HG＝2k2+1，则BC的长　3　 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：
（1）x2﹣7x＝﹣12；
（2）（x﹣2）2＝2﹣x．
【解答】解：（1）方程化为一般式为x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝3，x2＝4；
（2）（x﹣2）2+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若，BD＝1，求AD．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴，
∵CD，BD＝1，
∴AD＝3．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上，
∴，即k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0），
把A、C两点坐标分别代入得：
，
解得：，
即直线AC的解析式为y＝2x+4；
上式中，令x＝0，y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
（2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2，
∴，
解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4，
∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD
＝10．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，点E为边AD上一点，ED＝1cm，连接BE．点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）用含t的代数式表示：BP＝ t cm，BQ＝ 　（5﹣t）　 cm；
（2）连接PQ，若存在某一时刻t，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△ABE相似，请求出此时t的值．
【解答】解：（1）由题意得，AB＝CD＝3cm，DE＝1cm，BC＝AD＝5cm，AE＝4cm，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBQ，
由勾股定理得，BE5（cm），
∵BP＝tcm，QC＝tcm，
∴PE＝（5﹣t）cm，BQ＝（5﹣t）cm．
故答案为：t，（5﹣t）；
（2）当∠BPQ＝90°＝∠A时，△BPQ∽△EAB，
∴，即，解得t，
当∠PQB＝90°＝∠A时，△BPQ∽△EBA，
∴，即，解得t，
综上所述，当t或t时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似．
23．（8分）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
【解答】解：（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）枚，
根据题意得：（68﹣45﹣m）（400+20m）＝8400，
整理得：m2﹣3m﹣40＝0，
解得：m1＝8，m2＝﹣5 （不符合题意，舍去），
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
24．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE＝4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
【解答】解：（1）将点A（4，1）代入y，
得，m2﹣3m＝4，
解得，m1＝4，m2＝﹣1，
∴m的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB＝∠CEA＝90°，
∴△CDB∽△CEA，
∴，
∵CE＝4CD，
∴AE＝4BD，
∵A（4，1），
∴AE＝4，
∴BD＝1，
∴xB＝1，
∴yB4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣1，b＝5，
∴yAB＝﹣x+5，
设直线AB与x轴交点为F，
当x＝0时，y＝5；当y＝0时x＝5，
∴C（0，5），F（5，0），
则OC＝OF＝5，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴CFOC＝5，
则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，
即OMCF．
25．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是 　②　 （填序号即可）；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．
【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）21×（﹣2）＝10≠0；
在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）21×8＝0．
∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．
故答案为：②．
（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，
∴K＝（n﹣2m）2m （﹣2n）＝0，
∴4m2+5mn+n2＝0．
（3）∵是倍根方程，
∴，
整理得：m＝3n．
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此方程的表达式为．
26．（10分）如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．
（1）求证：CM＝BN；
（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAN＝30°，AM＝AN，
∴∠BAN＝∠CAM＝120°，
∴△BAN≌△CAM，
∴CM＝BN；
（2）∵∠APF＝∠APC﹣∠CPF＝∠APC﹣30°，∠AMC＝∠APC﹣∠MAB＝∠APC﹣30°，
∴∠APF＝∠AMC，
又∵∠MAC＝∠PAF＝120°，
∴△APF∽△AMC；
（3）如图②，连接CF，
∵△APF∽△AMC，
∴∠AFP＝∠ACM，
∴A，F，C，P四点共圆，
∴∠PFC＝∠PAC＝90°，
∴∠AFP+∠CFN＝90°，
∵∠CFN+∠FCN＝90°，
∴∠FCN＝∠AFP＝∠ACM．
又∵∠FNC＝∠PAC＝90°．
∴△PAC∽△FNC，
∴2①；
∵△APF∽△AMC，
∴ ②，
由①可得，FNAP；由②可得，AFAP，
∴．
∴．2025年下期期中质量检测四校联考九年级数学答题卡
21(8分)
姓名：
学校：
班级：
座号：
考号：
注意事项
1,答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。
2。客观题答题，必须使用2B铅笔填涂修改时用橡皮擦干净」
3.主观题必须使用黑色签字笔书写。
贴条形码区
4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效
5.保持答卷清洁完整。
正确填涂
■
缺考标记
口
22(8分)
选择题(30分)
■
1EAJ[B][c]ED3[AJiB】[c】[D
5 [A][B][c][D]7 [A][B][c][D]9 [A][B][c][D]
2 A][B][c][D]4 [A][B][c][D]6 [A][B][c][D]8 [A][B][c][D]10 [A][B][c][D]
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
二填空题(（24分)
11(3分)
12(3分)
13(3分)
14(3分)
15(3分)
16(3分)
17(3分
18(3分)
三解答题(66分)
19(6分)
(1)x2-7x=-12:
(2)(x-2)2=2-x.
23(8分)
20(8分)
口口■
ID:3870480
第1页共2页
■
请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号
■
24(8分)
26(10分)
25(10分)
■
口■口
ID:3870480
第2页共2页

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