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广东省茂名市电白区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知等差数列中，，公差，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由是等差数列，可得.
故答案为：B.
【分析】本题考查等差数列的通项公式应用，核心是直接代入等差数列通项公式an =a1 +(n 1)d计算a8 。
2．已知2，，8成等比数列，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由题意得，因为2，，8成等比数列，则，所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查等比中项的性质应用，核心是利用等比数列中项的平方等于前后两项的乘积，建立方程求解x。
3．已知函数，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，则，
故答案为：B
【分析】本题考查基本初等函数的求导公式与导数值计算，核心是先对函数求导，再将x=0代入导函数求解。
4．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（　　）
A．22 B．30 C．37 D．46
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，
第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，
则第个“拐角数”为．
对A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；
对B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；
对D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．
故答案为：B.
【分析】分析“拐角数”的排列规律，推导其通项公式，再将选项中的数代入验证.
5．已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得，，解得，
设等差数列的公差为，则，解得，
所以数列的通项公式为.
故答案为：A.
【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的基本量计算，核心是通过前n项和公式求出首项a1 ，再结合通项公式求出公差d，最终推导通项公式。
6．在等比数列中，，，则（　　）
A． B． C．8 D．4
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，则，
又，所以.
所以.
故答案为：D
【分析】本题考查等比数列的通项公式与等比中项性质，核心是利用等比数列通项公式将转化为与公比的表达式，求出后再计算。
7．曲线上的点到直线的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设曲线上的一点是，，且过的切线与直线平行．
由，所以切线的斜率．
解得，．
即到直线的最短距离是．
故答案为：B
【分析】本题考查利用导数求曲线到直线的最短距离，核心是找到曲线与直线平行的切线的切点（该点到直线的距离即为最短距离），再通过点到直线的距离公式计算。
8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】 【解答】∵ 的对称轴为
又∵
∴
∵ 在R上恒成立
∴
∴当 时， 得 解得 ；
当 时， 得 解得 。
综上所述，
故答案为：C
【分析】分段讨论 和 时，求最小值的问题，关于 的不等式 在 上恒成立，解不等式即可得出 的取值范围。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C正确；
D：，D错误，
故答案为：AC
【分析】本题考查导数的四则运算法则与基本求导公式，核心是分别运用乘积法则、和差法则、复合函数求导法则，逐一验证各选项的导数运算正误。
10．已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时，取得最大值 D．当时，取得极大值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由的图象可知：在单调递减，故时，，A正确，
当时，单调递增，故是函数的极小值点，故，B正确，
当时，单调递减，所以时，取极大值，不是最大值，故C错误，D正确，
故答案为：ABD
【分析】本题考查函数图象与导数的关系，核心是根据函数的单调性判断导数的符号，结合极值点的定义判断极值与最值。
11．等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则最小
C． D．
【答案】A,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A：因为，所以，
所以，，，即.
对选项A，若，因为，，
则，，，
所以，故A正确；
B：若，，则，，所以最小，故B错误.
C：因为，所以，所以，即，故C错误.
D：因为，所以，，即.
，故D正确.
故答案为：AD
【分析】先对变形，结合等差数列性质推出且，再分和分析项的符号，逐一验证选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若数列中，，则　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列中，，
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
【分析】本题考查等比数列的通项公式应用，核心是由递推关系an+1 =2an 确定数列为等比数列，再代入通项公式计算a4 。
13．等差数列中，公差，，且，，成等比数列，则　 　.
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：由题意可得：，
即，又，
解得：，
故答案为：
【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质综合应用，核心是利用等比中项的性质建立关于公差d的方程，结合的条件求解。
14．已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，令，得，，
当，时，，当时，，
所以在区间，单调递增，在单调递减，
，分别是函数的极大、极小值点，
因为函数存在对称中心，
所以函数的对称中心为两极值点间的对称中心，因为，
所以在对称中心处的切线方程为，
即；
故答案为：
【分析】本题考查函数对称中心的求解与切线方程计算，核心是先通过导数求极值点确定对称中心，再求对称中心处的导数值（切线斜率），最后用点斜式写切线方程。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由得，令得，
当时，，时，，
所以当时函数取极大值，无极小值.
（2）解：由（1）知函数在单调递增，在单调递减，且，，，
所以函数在区间的最大值为，最小值为0.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对函数f(x)求导，根据导数的正负确定函数的单调性，结合极值的定义求解极值；
(2) 利用导数法确定函数在区间[0，2]内的单调性，求出极值点和区间端点的函数值，比较后得到最值。
（1）由得，令得，
当时，，时，，
所以当时函数取极大值，无极小值.
（2）由（1）知函数在单调递增，在单调递减，且，，，
所以函数在区间的最大值为，最小值为0.
16．已知数列是等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前99项和；
（3）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，，
得，
所以数列的通项公式为，
即.
（2）解：由（1）知，，
所以数列的前99项和.
（3）解：，
所以，
即.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用等差数列的通项公式，结合已知项列出关于首项和公差的方程组，求解后得到通项公式；
(2) 代入等差数列前项和公式，计算前99项和；
(3) 先将拆分为分式差的形式，再利用裂项相消法求数列的前项和。
（1）设等差数列的公差为，
则，，
得，
所以数列的通项公式为，
即.
（2）由（1）知，，
所以数列的前99项和.
（3），
所以，
即.
17．已知数列的前项和为，若.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求的最大值.
【答案】（1）解：，故，
由，得，
两式相减并整理得，
所以为等比数列，公比为2，首项，
所以数列的通项公式为.
（2）解：，
所以为等差数列，首项为12，公差为.
所以.
由.
所以当或时，取得最大值.
且.
所以当或5时，取得最大值30.
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用数列前项和与通项的关系（），推导出数列的递推关系，结合等比数列的定义确定其通项公式；
(2) 先化简的表达式，确定数列为等差数列，再利用等差数列前项和公式求，结合数列的单调性求解的最大值。
（1），故，
由，得，
两式相减并整理得，
所以为等比数列，公比为2，首项，
所以数列的通项公式为.
（2），
所以为等差数列，首项为12，公差为.
所以.
由.
所以当或时，取得最大值.
且.
所以当或5时，取得最大值30.
18．已知函数，，点，过点的直线与曲线相切.
（1）求直线的方程；
（2）若函数曲线也与直线相切，求的值；
（3）设函数，当时，求证：.
【答案】（1）解：设直线与曲线相切于点，因为，所以，则有，
故切线方程为，
因为点在上，所以，解得，所以切点坐标为，
切线的方程为，即.
（2）解：设曲线与相切于点，
因为，所以有，所以，，
切点为，把切点坐标代入的方程，得，所以.
（3）证明：，定义域为，
当，，，故只需证明，
令，则，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以，，故，当且仅当时等号成立，
而此时.当时，有.
综上可得，所以，成立.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 设出曲线的切点，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合点在切线上求解切点坐标，进而得到切线方程；
(2) 设曲线的切点，根据切线斜率相等求出切点坐标，再代入切线方程求解的值；
(3) 构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合的条件证明。
（1）设直线与曲线相切于点，因为，所以，则有，故切线方程为，
因为点在上，所以，解得，所以切点坐标为，
切线的方程为，即.
（2）设曲线与相切于点，因为，所以有，所以，，切点为，把切点坐标代入的方程，得，所以.
（3）解法1：，定义域为，
当，，，故只需证明，
令，则，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以，，故，当且仅当时等号成立，
而此时.当时，有.
综上可得，所以，成立.
解法2：
，定义域为，
当，，，故只需证明.
令，则在单调递增，
且，，
所以存在唯一，使，即，故，
，且当时，，时，，
所以，
由，
得证.
19．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：由题意得，的定义域为，
当时，，，令，解得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时有最小值为，.
（2）解：.
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：①当时，恒成立，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
的极小值也是最小值为.
又当时，，当时，因为且比的增长速度快很多，所以.
要使有两个零点，只要即可，
则，可得.
综上，若有两个零点，则的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 当时，对求导分析单调性，求出函数最小值，结合最小值证明不等式；
(2) 对求导后，根据参数的取值范围（、），分析导数的正负，确定函数的单调区间；
(3) 结合(2)的单调性结论，分析函数的极值与零点的关系，通过极值的符号确定实数的取值范围。
（1）由题意，的定义域为，
当时，，，令，解得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时有最小值为，.
（2）.
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）①当时，恒成立，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
的极小值也是最小值为.
又当时，，当时，因为且比的增长速度快很多，所以.
要使有两个零点，只要即可，
则，可得.
综上，若有两个零点，则的取值范围是.
1 / 1广东省茂名市电白区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知等差数列中，，公差，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知2，，8成等比数列，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
3．已知函数，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（　　）
A．22 B．30 C．37 D．46
5．已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（　　）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，，，则（　　）
A． B． C．8 D．4
7．曲线上的点到直线的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时，取得最大值 D．当时，取得极大值
11．等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则最小
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若数列中，，则　 　.
13．等差数列中，公差，，且，，成等比数列，则　 　.
14．已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
16．已知数列是等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前99项和；
（3）若，求数列的前项和.
17．已知数列的前项和为，若.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求的最大值.
18．已知函数，，点，过点的直线与曲线相切.
（1）求直线的方程；
（2）若函数曲线也与直线相切，求的值；
（3）设函数，当时，求证：.
19．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由是等差数列，可得.
故答案为：B.
【分析】本题考查等差数列的通项公式应用，核心是直接代入等差数列通项公式an =a1 +(n 1)d计算a8 。
2．【答案】D
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由题意得，因为2，，8成等比数列，则，所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查等比中项的性质应用，核心是利用等比数列中项的平方等于前后两项的乘积，建立方程求解x。
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，则，
故答案为：B
【分析】本题考查基本初等函数的求导公式与导数值计算，核心是先对函数求导，再将x=0代入导函数求解。
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，
第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，
则第个“拐角数”为．
对A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；
对B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；
对D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．
故答案为：B.
【分析】分析“拐角数”的排列规律，推导其通项公式，再将选项中的数代入验证.
5．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得，，解得，
设等差数列的公差为，则，解得，
所以数列的通项公式为.
故答案为：A.
【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的基本量计算，核心是通过前n项和公式求出首项a1 ，再结合通项公式求出公差d，最终推导通项公式。
6．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，则，
又，所以.
所以.
故答案为：D
【分析】本题考查等比数列的通项公式与等比中项性质，核心是利用等比数列通项公式将转化为与公比的表达式，求出后再计算。
7．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设曲线上的一点是，，且过的切线与直线平行．
由，所以切线的斜率．
解得，．
即到直线的最短距离是．
故答案为：B
【分析】本题考查利用导数求曲线到直线的最短距离，核心是找到曲线与直线平行的切线的切点（该点到直线的距离即为最短距离），再通过点到直线的距离公式计算。
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】 【解答】∵ 的对称轴为
又∵
∴
∵ 在R上恒成立
∴
∴当 时， 得 解得 ；
当 时， 得 解得 。
综上所述，
故答案为：C
【分析】分段讨论 和 时，求最小值的问题，关于 的不等式 在 上恒成立，解不等式即可得出 的取值范围。
9．【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C正确；
D：，D错误，
故答案为：AC
【分析】本题考查导数的四则运算法则与基本求导公式，核心是分别运用乘积法则、和差法则、复合函数求导法则，逐一验证各选项的导数运算正误。
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由的图象可知：在单调递减，故时，，A正确，
当时，单调递增，故是函数的极小值点，故，B正确，
当时，单调递减，所以时，取极大值，不是最大值，故C错误，D正确，
故答案为：ABD
【分析】本题考查函数图象与导数的关系，核心是根据函数的单调性判断导数的符号，结合极值点的定义判断极值与最值。
11．【答案】A,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A：因为，所以，
所以，，，即.
对选项A，若，因为，，
则，，，
所以，故A正确；
B：若，，则，，所以最小，故B错误.
C：因为，所以，所以，即，故C错误.
D：因为，所以，，即.
，故D正确.
故答案为：AD
【分析】先对变形，结合等差数列性质推出且，再分和分析项的符号，逐一验证选项。
12．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列中，，
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
【分析】本题考查等比数列的通项公式应用，核心是由递推关系an+1 =2an 确定数列为等比数列，再代入通项公式计算a4 。
13．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：由题意可得：，
即，又，
解得：，
故答案为：
【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质综合应用，核心是利用等比中项的性质建立关于公差d的方程，结合的条件求解。
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，令，得，，
当，时，，当时，，
所以在区间，单调递增，在单调递减，
，分别是函数的极大、极小值点，
因为函数存在对称中心，
所以函数的对称中心为两极值点间的对称中心，因为，
所以在对称中心处的切线方程为，
即；
故答案为：
【分析】本题考查函数对称中心的求解与切线方程计算，核心是先通过导数求极值点确定对称中心，再求对称中心处的导数值（切线斜率），最后用点斜式写切线方程。
15．【答案】（1）解：由得，令得，
当时，，时，，
所以当时函数取极大值，无极小值.
（2）解：由（1）知函数在单调递增，在单调递减，且，，，
所以函数在区间的最大值为，最小值为0.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对函数f(x)求导，根据导数的正负确定函数的单调性，结合极值的定义求解极值；
(2) 利用导数法确定函数在区间[0，2]内的单调性，求出极值点和区间端点的函数值，比较后得到最值。
（1）由得，令得，
当时，，时，，
所以当时函数取极大值，无极小值.
（2）由（1）知函数在单调递增，在单调递减，且，，，
所以函数在区间的最大值为，最小值为0.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，，
得，
所以数列的通项公式为，
即.
（2）解：由（1）知，，
所以数列的前99项和.
（3）解：，
所以，
即.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用等差数列的通项公式，结合已知项列出关于首项和公差的方程组，求解后得到通项公式；
(2) 代入等差数列前项和公式，计算前99项和；
(3) 先将拆分为分式差的形式，再利用裂项相消法求数列的前项和。
（1）设等差数列的公差为，
则，，
得，
所以数列的通项公式为，
即.
（2）由（1）知，，
所以数列的前99项和.
（3），
所以，
即.
17．【答案】（1）解：，故，
由，得，
两式相减并整理得，
所以为等比数列，公比为2，首项，
所以数列的通项公式为.
（2）解：，
所以为等差数列，首项为12，公差为.
所以.
由.
所以当或时，取得最大值.
且.
所以当或5时，取得最大值30.
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用数列前项和与通项的关系（），推导出数列的递推关系，结合等比数列的定义确定其通项公式；
(2) 先化简的表达式，确定数列为等差数列，再利用等差数列前项和公式求，结合数列的单调性求解的最大值。
（1），故，
由，得，
两式相减并整理得，
所以为等比数列，公比为2，首项，
所以数列的通项公式为.
（2），
所以为等差数列，首项为12，公差为.
所以.
由.
所以当或时，取得最大值.
且.
所以当或5时，取得最大值30.
18．【答案】（1）解：设直线与曲线相切于点，因为，所以，则有，
故切线方程为，
因为点在上，所以，解得，所以切点坐标为，
切线的方程为，即.
（2）解：设曲线与相切于点，
因为，所以有，所以，，
切点为，把切点坐标代入的方程，得，所以.
（3）证明：，定义域为，
当，，，故只需证明，
令，则，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以，，故，当且仅当时等号成立，
而此时.当时，有.
综上可得，所以，成立.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 设出曲线的切点，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合点在切线上求解切点坐标，进而得到切线方程；
(2) 设曲线的切点，根据切线斜率相等求出切点坐标，再代入切线方程求解的值；
(3) 构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合的条件证明。
（1）设直线与曲线相切于点，因为，所以，则有，故切线方程为，
因为点在上，所以，解得，所以切点坐标为，
切线的方程为，即.
（2）设曲线与相切于点，因为，所以有，所以，，切点为，把切点坐标代入的方程，得，所以.
（3）解法1：，定义域为，
当，，，故只需证明，
令，则，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
所以，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以，，故，当且仅当时等号成立，
而此时.当时，有.
综上可得，所以，成立.
解法2：
，定义域为，
当，，，故只需证明.
令，则在单调递增，
且，，
所以存在唯一，使，即，故，
，且当时，，时，，
所以，
由，
得证.
19．【答案】（1）证明：由题意得，的定义域为，
当时，，，令，解得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时有最小值为，.
（2）解：.
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：①当时，恒成立，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
的极小值也是最小值为.
又当时，，当时，因为且比的增长速度快很多，所以.
要使有两个零点，只要即可，
则，可得.
综上，若有两个零点，则的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 当时，对求导分析单调性，求出函数最小值，结合最小值证明不等式；
(2) 对求导后，根据参数的取值范围（、），分析导数的正负，确定函数的单调区间；
(3) 结合(2)的单调性结论，分析函数的极值与零点的关系，通过极值的符号确定实数的取值范围。
（1）由题意，的定义域为，
当时，，，令，解得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时有最小值为，.
（2）.
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）①当时，恒成立，在上单调递增，最多有一个零点，不合题意；
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
的极小值也是最小值为.
又当时，，当时，因为且比的增长速度快很多，所以.
要使有两个零点，只要即可，
则，可得.
综上，若有两个零点，则的取值范围是.
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