资源简介

2025-2026 学年度第二学期阶段性质量检测
九年级数学试卷参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．C 2．D 3．B 4． C 5．A 6．A 7．D 8 ．C 9．B 10 ．A
二、填空题（共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分）
11． ﹣a（a﹣3）2 12．9 13．4 14． 4.5 15．19．
三、解答题。（共 75 分）
16．（本小题满分 8分）
1
解：（1）3 30° 12 + ( 2025)0 + ( 2) × 2
= 3 × 33 2 3 + 1 1 ........................................2分
= 3 2 3
= 3；..................................................................4分
2
2 = [ ( +1)( 1) （ ）原式 1 1 ] ÷ 2 1
= 1 ( +1)( 1) 1 ............................................6分
= +1 ，...................................................................7分
当 a 2 = 2+1 3＝ 时 原式 2 = 2．..............................8分
17．（本小题满分 8分）（1）解：∵∠ACB＝110°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝70°，..................................1分
∵EH⊥BD，∠CEH＝55°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝35°，..................................3分
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝35°．...............................4分
（2）证明：如图，过点 E作 EM⊥BF于点 M，作 EN⊥AC于点 N，....................5分
∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，
∴EM＝EH，....................................................6分
由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝35°，即 CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，..........................................7分
又∵点 E在∠CAF的内部，
∴AE平分∠CAF．................................8分
18．（本小题满分 8分）
解：（1）24，24，24；.....................................3分
（2）由甲、乙数据的大小波动情况，直观可得 s 2甲 ＜s 2乙 ，
1
甲的方差为：s 2甲 = 2 2 2 28 ×[（22﹣24） +（21﹣24） +2×（23﹣24） +（25﹣24） +3×（26
﹣24）2]= 72，....................................4分
1
乙的方差为：s 2乙 = 8 ×[（17﹣24）
2+（20﹣24）2+（23﹣24）2+2×（24﹣24）2+（25
﹣24）2+（29﹣24）2+（30﹣24）2]＝16，.............................5分
∴s 2＜s 2甲 乙 ；..........................................6分
（3）选择甲种牡丹更合适，
理由为：甲种牡丹的众数比乙种的高，甲种牡丹的方差比乙种的小，比较稳定．.......8分
19．（本小题满分 8分）

解：（1）由题意知可设为 1 = ( ≠ 0)，
将（2，3）代入得 k＝6，
∴ 61 = ；...................................1分
由题意可设为 y2＝mx+n（m≠0），
将（0，1），（1 3 n = 1， ）代入有 m+ n = 3，
= 2
∴ = 1，
∴y2＝2x+1；................................3分
= 6
（2） ，
= 2 + 1
解得 x1＝﹣2， 2 =
3
2，..............................5分
当 x＝﹣2时，y＝﹣3．
当 = 32时，y＝4，
∴交点 A（﹣2，﹣3）， ( 32，4)；..............................7分
（3）如图
当 y 1＝0时， = 2，
∴ ( 12，0)，
∴ △ =
1 × 1 × (3 + 4) = 72 2 4．.............................9分
20．（本小题满分 10分）解：石桌位于凉亭正中心（即 A，E，D三点共线），高度 DE为 0.5m，
M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内）
如图，连接 AE，BC交于点 O，
则 AE⊥BC，BC∥MN，
∴∠OBE＝53°，......................................2分
∵AB＝AC，
∴ = 1 12 =2，∠ = 2∠ = 60°，...............................4分
在 Rt△AOB 2中， = ∠ = ≈1.15，.............................6分3
在 Rt△OBE中，OE＝OB tan∠OBE≈ 2 × 1.33=2.66，....................8分
= + + = 1.15 + 2.66 + 0.5 ≈ 4.3（m）．
答：凉亭顶点 A到地面的距离约为 4.3m．.......................................10分
21．（本小题满分 10分）（1）证明：AB，CD是⊙O的直径，且 AB⊥CD于点 O，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，...............................1分
∵BC恰好平分∠DCG，
∴∠OCG＝2∠OCB＝2×45°＝90°，
∴GC⊥OC，........................................2分
又∵OC是⊙O的半径，
∴GC为⊙O的切线；.........................3分
（2）解：∵⊙O的直径为 8，即 AB＝CD＝8，
∴OC＝OB＝OD＝4，
∵点 F是 OD中点，
∴OF＝2，.....................................4分
∵AB⊥CD，
∴∠BOF＝90°，
在直角三角形 BOF中，由勾股定理得：FB= 2 + 2 = 42 + 22 =2 5，............5分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°＝∠BOF，
∵∠EBA＝∠OBF，
∴△BEA∽△BOF，...................6分

∴ = ，

EB= = 8×4∴ =
16 5
5 ，........................7分2 5
EF EB FB= 16 5 2 5 = 6 5∴ ＝ ﹣ 5 5 ；...............................8分
12 5
（3）解：点 C到 BF的距离为 ，........................10分
5
理由如下：
由（2）可知，OF＝2，OB＝OC＝4，FB＝2 5，
∴CF＝6，
1 1
∴S△CBF= 2CF OB= 2 ×6×4＝12，
设点 C 1 1到 BF的距离为 h，则 S△CBF= 2BF h= 2 ×2 5 h= 5 ，
∴h= △ = 12 = 12 55 ，5 5
12 5
∴点 C到 BF的距离为 ．
5
22．（本小题满分 11分）解：（1）由表格知，抛物线的顶点为（3，4.5），.......................1分
所以抛物线解析式为 y＝a（x﹣3）2+4.5，
将（0，0）代入，得：9a+4.5＝0，
1
解得 a= 2，...........................2分
∴抛物线解析式为 y＝﹣0.5（x﹣3）2+4.5；
＝﹣0.5x2+3x；............................3分
2 0.5 x 3 2+4.5 1x= 31（ ）由题意知﹣ （ ﹣ ） 5 8 ，
解得：x= 3110或 x=
5
2，.................................................5分
∵斜坡点 B靠近点 O，
5
∴x= 2，
y= 1 5 1则 5 × 2 = 2，
5 1
∴B（ ， ）；........................................7分
2 2
（3 1）小球在飞行过程中距坡面的铅直高度＝﹣0.5（x﹣3）2+4.5 5x.......................8分
= 1x2+ 142 5 x
= 1 14 982（x 5 ）
2+ 25，........................................9分
1∵ 2＜0，
x= 14
98
∴当 5 时，小球在飞行过程中距坡面的铅直高度取得最大值，最大值为 ．......10分25
98
答：小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为 米．............................11分
25
23．（本小题满分 11分）
解：（1）四边形 ACBD′是矩形，理由如下：
在 Rt△ABC中，CD是斜边 AB的中线，
∴CD＝AD＝BD，......................................................1分
∵将△BCD沿 CD方向平移，当点 C落在点 D的位置时，
∴CD＝DD′，
∴CD＝AD＝BD＝DD′，
∴四边形 ACBD′是平行四边形，................................2分
∵∠ACB＝90°，
∴四边形 ACBD′是矩形；.............................................3分
（2）∵BD⊥MN，
∴∠N+∠NDB＝90°，
由旋转可知，∠CDB＝∠N，................................4分
∴∠CDB+∠NDB＝90°，即∠CDN＝90°，
∴∠D′DN＝90°，即旋转角为 90°，..................................5分
∴∠MDB′＝90°，
∵将△BCD沿 CD方向平移到△B′DD′．
∴DB′∥CB，
∴∠DEC＝∠PEM＝∠MDB′＝90°，........................................6分
∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，
∴ = 2 + 2 = 10，
∵CD是斜边 AB的中线，
∴AD＝BD＝CD＝5，
= ∴ =
4 4
5， = = 3，.........................7分
由题意可知：∠B＝∠M，DM＝BC＝6，
∴在 Rt△CED 4中， = × ∠ = 5 × 5 = 4，
∴EM＝DM﹣DE＝2，..................................8分
∴在 Rt△PEM中， = × = 83；...............................9分
（3）①当点 B与点 N重合时，如图：过点 E作 EG⊥AB于点 G，
由旋转和平移得，∠DBC＝∠NDM，
∴ED＝EB，
∴ = = 12 =
5
2，
∵ ∠ = = ，
5
6
∴ = 2 ，
10
25
解得： = 6 ；.............................................10分
②当点 B不与点 N重合时，如图：过点 E作 EG⊥DC于点 G，
∵由旋转，平移得到∠N＝∠D′＝∠BDC，DB＝DN，
∴∠N＝∠DBN＝∠BDC，
∴MN∥DC，
∴∠M＝∠CDM＝∠DCB，
∴EC＝ED，
∴ = 1 = 52 2，
5
∴ = ∠ =

∠ =
2
3 =
25
6 ，
5
∴ = = 6 25 = 116 6 ，
11 25
综上可知：BE的长为 或 ．.................................11分
6 62025－2026学年度第二学期阶段性质量检测
九年级数学试卷
注意事项：
1. 本试卷共8页，共23道题，满分120分，考试时间120分钟；
2. 请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）
1. ∣－∣的倒数是（ ）
A. B. － C. 4 D. －4
2. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ）
3. 两个粒子的质量分别为 0.03×10－8g和 0.02×10－9g，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（ ）
A. 2. 3×10－10g B. 3. 2×10－10g C. 2. 3×10－11g D. 3. 2×10－11g
4. 下列运算正确的是（ ）
A. （2a2）3＝6a6 B. （a－2）2＝a2－4 C. －＝ D. a8+a3＝a11
5. 将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（ ）
A. 75° B. 85° C. 90° D. 105°
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，按如下作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交 BA，BC于点M，N；（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点P；（3）作射线BP交AC于点D．根据以上作图，判断下列结论：①∠C＝2∠A；②AD＝BC；③BC2＝CD·AB 正确的有（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
8. 2026年春节，小亮同学利用寒假参加了济宁两日游，期间除感受到了“孔孟之乡”的深厚底蕴与“运河之都”的现代活力外，济宁的特色美食更是让他大快朵颐．他计划从夹饼、甏肉干饭、烧鸡、热豆腐、烧羊肉5种美食中随机品尝2种不同美食，则他品尝的恰好为夹饼和热豆腐的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知关于x的一元二次方程 mx2－（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若 +＝4m，则m的值是（ ）
A. －1 B. 2 C. －1或2 D. 不存在
10. 如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（－3，0），动点E，F同时从点A出发，E沿A→C运动，F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF. 当点E，F移动时，记△ABC在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图象为（ ）
二、填空题（本大题共 个小题每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内。）
11. 分解因式：－a3+6a2－9a＝__________．
12. 如果分式 与 的值相等，则x＝__________．
13. 如图，⊙O是正五边形 ABCDE的外接圆，半径为10，若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是_________．
14. 如图，双曲线 y＝（x＞0）经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作 BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积＝__________________．
15. 近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图（m）和图（m+1）的分子中共含有242个C原子，则m的值__________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内。）
16. （本小题满分8分）（1）计算：3tan30°－+（π－2026）0+（－2）×；
（2）先化简，再求值：（－a－1）÷，其中a＝2．
17. （本小题满分8分）如图，△ABC中，点D在边 BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
18. （本小题满分8分）菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹. 每到四、五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏. 某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：cm）如下：
品种序号 1 2 3 4 5 6 7 8
甲 22 23 21 26 25 26 23 26
乙 20 25 17 23 24 24 29 30
根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下：
统计量 品种 平均数 众数 中位数
甲 26
乙 24 24
（1）直接写出统计表中甲的平均数为____________cm、乙的众数为_____________cm、甲的中位数为__________cm；
（2）观察折线统计图比较甲、乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证；
（3）该研究机构计算采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成每朵是独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析）
19. （本小题满分9分）数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论：信息一：他们分别指出了函数y1的一个性质：
甲：函数的图象不经过原点；乙：函数的图象经过一、三象限；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小；丁：函数图象经过点（2，3）．
信息二：已知函数y2的图象是一条直线，甲、乙、丙、丁四名同学分别取x、y的一对对应值如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x － 1 0 1 2
y － 1 1 3 5
（1）根据题中的信息，写出两个函数的表达式；
（2）求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标；
（3）点O为坐标原点，则△OAB的面积＝____________________．
20.（本小题满分10分）在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离. 如图②，已知∠BAC＝120°，AB＝AC，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为4m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°. 已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度DE为0.5m，M，N为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点A到地面的距离. （结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，≈1.73）
21. （本小题满分10分）
如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD于点O，E为（AD）上一点，连接EB交CD于点F，延长EB到点G，连接BC、GC，BC恰好平分∠DCG．
（1）求证：GC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8，点F是OD中点，求EF的长；
（3）在满足（2）的条件下，直接写出点C到BF的距离．
22. （本小题满分11分）综合与实践
问题情境：如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
建模分析：第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系. 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离x（m）与小球飞行的高度y（m）的变化规律如表：
x/m 0 1 2 3 4 5 …
y/m 0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡OA的函数表达式为 y＝x（0≤x≤7）．
问题解决：（1）求小球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的函数表达式（不要求写自变量的范围）．
（2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米. 若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标．
（3）求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
23. （本小题满分11分）
问题情境
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD是斜边AB的中线．
初步探究
（1）如图2，将△BCD沿CD方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点D'，B'，连接AD'，BD'．试判断四边形ACBD'的形状，并说明理由．
深入思考
将△DD'B'绕点D顺时针旋转得到△DNM，D'，B'的对应点分别是N，M．
（2）如图3，当BD⊥MN时，垂足为Q，MN与CB交于点P，DM与CB交于点E，求线段PE的长．
（3）在旋转的过程中，线段DM与CB交于点E，当点B在线段MN上时，直接写出线段BE的长．
2

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